Chuyên đề con lắc đơn 12

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ CHU KỲ CON LẮC ĐƠNKHI THAY ĐỔI CHIỀU DÀI VÀ GIA TỐC TRỌNG TRƯỜNG.. Để giúp cho việc dạy và học về dạng bài tập này được tốt, tạo điều kiện cho học sinh có phương p

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ CHU KỲ CON LẮC ĐƠN

KHI THAY ĐỔI CHIỀU DÀI VÀ GIA TỐC TRỌNG TRƯỜNG.

Bắt đầu từ năm học 2005- 2006 Bộ GD& ĐT quyết định chuyển từ hình thức từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan trong các

kỳ thi quốc gia như thi Tốt Nghiệp và thi Tuyển sinh đại học đã yêu cầu

sự đổi mới mạnh mẽ về phương pháp dạy và học của giáo viên và học sinh

Thực tế, trong quá trình giảng dạy và ôn luyện thi tôi thấy việc dạy học theo phương pháp trắc nghiệm khách quan đòi hỏi người giáo viên phải nghiên cứu cả chiều sâu lẫn chiều rộng của kiến thức nhằm giúp học sinh không những hiểu kỹ lý thuyết mà còn xây dựng được hệ thống các công thức giải nhanh và tối ưu trong các câu hỏi trắc nghiệm nhất là các câu hỏi định lượng để đạt được kết quả cao trong các kỳ thi.Chương “ Dao động cơ” là chương mở đầu của chương trình chuẩn Vật

lý 12 và là chương có số câu trắc nghiệm chiếm tỷ lệ lớn trong cấu trúc

đề thi quốc gia Vì vậy việc dạy và học của chương này ảnh hưởng rất lớn đến quá trình học tập của học sinh đối với bộ môn Và Bài toán về chu kỳ con lắc đơn là một dạng bài phố biến và quan trọng của chương

Để giúp cho việc dạy và học về dạng bài tập này được tốt, tạo điều kiện cho học sinh có phương pháp nhanh để làm bài tập, trong chuyên

đề này tôi đã đưa ra một số dạng bài tập về sự thay đổi chu kỳ con lắc đơn khi chiều dài và gia tốc trọng trường thay đổi Hy vọng chuyên đề này sẽ giúp ích cho quá trình dạy và học tập

I TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1.Khái niệm con lắc đơn.

- Con lắc đơn gồm một vật nhỏ, khối lượng m, treo ở đầu một sợi

dây mềm không dãn, khối lượng không đáng kể, dài l.

- Trong hệ quy chiếu quán tính, vị trí cân bằng của con lắc đơn là

vị trí dây treo có phương thẳng đứng, vật nặng ở vị trí thấp nhất

- Khi dao động của con lắc đơn với góc lệch nhỏ ( sinα≈α (rad)),

con lắc dao động điều hoà với chu kỳ: g

l

T = 2 π

Trong đó:l là chiều dài của con lắc (đơn vị là mét); g là gia tốc trọng

trường tại vị trí đặt con lắc ( đơn vị m/s2)

2 Con lắc đồng hồ

- Đồng hồ quả lắc có con lắc làm bằng thanh kim loại mảnh và

dao động của con lắc có thể coi như dao động điều hoà của con lắc đơn

- Chu kỳ chạy đúng của đồng hồ là T (thường T =2s); trong một

số trường hợp do nhiệt độ môi trường thay đổi và vị trí đặt con lắc thay

đổi nên đồng hồ chạy sai Gọi chu kỳ chạy sai của đồng hồ là T2 (còn

chu kỳ chạy đúng T =T1) và độ biến thiên chu kỳ là ∆T = T 2 – T 1 Nếu:

+ ∆T> 0: T 2 > T 1: Chu kỳ tăng, đồng hồ chạy chậm

+ ∆T< 0: T 2 < T 1 :Chu kỳ giảm, đồng hồ chạy nhanh

+ ∆T= 0 Chu kỳ không đổi, con lắc chạy đúng.

- Thời gian con lắc đồng hồ chạy sai sau khoảng thời gianτ :

+ Thời gian biểu kiến con lắc chạy sai chỉ là: τ' =nT1

Với n là số chu kỳ con lắc chạy sai T 2 trong khoảng thời gianτ : n T2

Nếu T2 thay đổi không đáng kể so với T1 thì: T1

T

∆

≈ τ θ

II CÁC DẠNG BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo chiều dài l.

1.1/ Con lắc đơn có chiều dài cắt ghép.

1.2/ Chu kỳ của con lắc vướng đinh 1.3/ Chiều dài con lắc đơn thay đổi theo nhiệt độ môi trường.

1.4/ Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hoặc thêm) một lượng rất nhỏ ∆l

Dạng 2: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo gia tốc trọng trường g.

2.1/ Gia tốc g thay đổi theo độ cao.

2.2/ Gia tốc trong trường g thay đổi theo độ sâu.

2.3/ Thay đổi vị trí địa lí đặt con lắc.

Dạng 3: Thay đổi đồng thời cả chiều dài l và gia tốc trọng trường g.

3.1/ Thay đổi nhiệt độ môi trường và thay đổi gia tốc trọng trường g.

3.2/ Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hoặc thêm) một lượng ∆l và thay đổi gia tốc g.

Dạng 4: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi khi có thêm lực lạ.

4.1/ Lực lạ là lực đẩy Acsimet.

Dạng 1: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo chiều dài l

1.1/ Con lắc đơn có chiều dài cắt ghép.

- Chu kỳ T của con lắc chiều dài l là T = 2 π g l

l = l1+l2 Biến đổi ta được : 2

2

2

1 T T

T = −

* Ví dụ:

Ví dụ 1: Con lắc đơn chiều dài l1 dao động điều hoà tại một nơi với

chu kỳ T1 = 1,5s Con lắc đơn chiều dài l2 cũng dao động điều hoà tại nơi đó với chu kỳ T2 =0,9s Tính chu kỳ của con lắc chiều dài l dao

động điều hoà ở nơi trên với:

T = +

Thay số: T = 1 , 5 2 + 0 , 9 2 = 1 , 75s

-Với l = l1- l2 Sử dụng công thức 2

2

2

1 T T

T = −

Thay số: T = 1 , 5 2 − 0 , 9 2 = 1 , 2s

Ví dụ 2:

Một con lắc đơn có dây treo chiều dài l Người ta thay đổi độ dài của

nó tới giá trị l ’ sao cho chu kỳ dao động mới chỉ bằng 90% chu kỳ dao động ban đầu Hỏi chiều dài l ’ bằng bao nhiêu lần chiều dài l ?

Hướng dẫn: Chu kỳ con lắc chiều dài l và l ’ lần lượt là:

2 = = =

l

l T

T

⇒l' = 0 , 81l

Ví dụ 3:

Tại một nơi trên mặt đất một con lắc đơn dao động điều hoà.Trong

khoảng thời gian ∆t, con lắc thực hiện 60 dao động toàn phần; thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44 cm thì cũng trong khoảng thời gian ∆t

ấy, nó thực hiện 50 dao động toàn phần Xác định chiều dài ban đầu của con lắc ?

Hướng dẫn:

Gọi chu kỳ con lắc chiều dài l1, l2 là T1;T2

Xét trong khoảng thời gian ∆t như nhau thì: 60T1 = 50T2

56

1

2 1

2 = =

⇒

l

l T

vướng đinh gồm 2 giai đoạn:

+ Giai đoạn đầu con lắc dao động với

chiều dài l và chu kỳ T1 = 2 π g l

+ Giai đoạn còn lại nó dao động với

chiều dài l ’ (điểm treo con lắc là vị trí đinh)

1 2

1

2 1 2

1 T T T T

* Ví dụ:

Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m làm bằng thép treo vào đầu một sợi dây mềm có khối lượng không đáng kể dài l = 1 m.Phía dưới điểm treo Q theo phương thẳng đứng của sợi dây có một chiếc đinh được đóng vào điểm O’ cách Q một đoạn O’Q = 50 cm sao cho con lắc bị vấp phải đinh trong quá trình dao động điều hoà

a/ Xác định chu kỳ dao động của quả cầu? cho gia tốc g = 9,8 m/s2

b/Nếu không đóng đinh vào O’ mà đặt tại vị trí cân bằng O một tấm thép được giữ cố định thì hiện tượng xảy ra như thế nào? (Coi rằng va chạm của quả cầu vào vật cản là hoàn toàn đàn hồi)

Hướng dẫn:

a/ Trong quá trình dao động con lắc bị vướng vào đinh O’ nằm trên phương thẳng đứng của dây treo nên mỗi dao động toàn phần của con lắc gồm 2 giai đoạn

+ Giai đoạn đầu con lắc dao động với chiều dài l =1m và chu kỳ

s g

l

8 , 9

1 2 2

1 = π = π =

+ Giai đoạn còn lại nó dao động với chiều dài l ’ = OO’ =0,5m và chu kỳ

s g

l

8 , 9

5 , 0 2 2

1 2

1

2 1 2

1 T T T T

T = + = + = 1/2 (2+1,4) = 1,7 s

b/ Tấm thép đặt tai VTCB O: Vì va chạm giữa

quả cầu và tấm thép là hoàn toàn đàn hồi nên

khi quả cầu va chạm vào tấm thép nó sẽ bật

ngược lại với vận tốc có cùng độ lớn ngay

trước lúc va chạm và vật lại lên đúng vị trí cao

nhất A ( Vì cơ năng bảo toàn)

Vậy con lắc chỉ dao động trên cung OA nên

chu kỳ dao động là:

T = 1/2T1 = 1 s

*Ví dụ 1:

Một đồng hồ quả lắc đếm giây có chu kỳ T = 2s Quả lắc được coi

như một con lắc đơn với dây treo và vật nặng làm bằng đồng có hệ số

nở dài

α = 17.10-6K-1 Giả sử đồng hồ chạy đúng ở chân không, nhiệt độ 200c

Tính chu kỳ của con lắc trong chân không ở 300c ? ở 300c đồng hồ

chạy nhanh hay chậm? Mỗi ngày chạy sai bao nhiêu?

Hướng dẫn: + Sử dụng công thức: 2 ) 1

2

1 1

O

A

Thời gian chạy chậm trong một ngày đêm : τ = 24.60.60 s là:

α = 2.10-5K-1 Vào mùa lạnh nhiệt độ trung bình là 170c hỏi con lắc sẽ chạy như thế nào? Một tuần nó chay sai bao nhiêu?

Hướng dẫn: Do nhiệt độ vào mùa đông giảm nên chu kỳ con lắc

giảm, đồng hồ chạy nhanh Một tuần :τ = 7.24.60.60 s đồng hồ chạy nhanh một thời gian:

Ví dụ 3: Con lắc đồng hồ có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh

khi nhiệt độ môi trường tăng thêm 100c thì trong 12 giờ con lắc chạy chậm 30s Nếu muốn con lắc chạy mỗi ngày chỉ chậm 45s thì nhiệt độ môi trường phải tăng lên bao nhiêu? Coi gia tốc trọng trường không thay đổi

1.3.Chiều dài con lắc đơn thay đổi theo nhiệt độ môi trường.

- Con lắc đơn có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh khi nhiệt

độ môi trường thay đổi từ t1 đến t2 thì chiều dài của dây được xác định

bởi: l2 =l1( 1 + α ∆t)

với ∆t =t2 −t1: Là độ biến thiên nhiệt độ của môi trường;

α : là hệ số nở dài của kim loại (Thường có giá trị rất nhỏ)

l

l T

T

∆ +

≈

∆ +

=

∆ +

=

2

1 1 ) 1 ( ) 1

1

1 1

2 1 2

2 ) 1

2

1 1

* Nhận xét: Khi nhiệt độ của môi trường tăng thì chu kỳ của con

lắc sẽ tăng (đồng hồ chạy chậm) và ngược lại

Thời gian chạy sai sau một khoảng thời gian τ :

Một đồng hồ quả lắc đếm giây có chu kỳ T = 2s Quả lắc được coi

như một con lắc đơn với dây treo và vật nặng làm bằng đồng có hệ số

nở dài

α = 17.10-6K-1 Giả sử đồng hồ chạy đúng ở chân không, nhiệt độ 200c Tính chu kỳ của con lắc trong chân không ở 300c ? ở 300c đồng hồ chạy nhanh hay chậm? Mỗi ngày chạy sai bao nhiêu?

Hướng dẫn: + Sử dụng công thức: 2 ) 1

2

1 1

2 = + − −

+ Chu kỳ T2>T nên đồng hồ chạy chậm.

Thời gian chạy chậm trong một ngày đêm : τ = 24.60.60 s là:

α = 2.10-5K-1 Vào mùa lạnh nhiệt độ trung bình là 170c hỏi con lắc sẽ chạy như thế nào? Một tuần nó chay sai bao nhiêu?

Hướng dẫn: Do nhiệt độ vào mùa đông giảm nên chu kỳ con lắc

giảm, đồng hồ chạy nhanh Một tuần :τ = 7.24.60.60 s đồng hồ chạy nhanh một thời gian:

Ví dụ 3: Con lắc đồng hồ có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh

khi nhiệt độ môi trường tăng thêm 100c thì trong 12 giờ con lắc chạy

chậm 30s Nếu muốn con lắc chạy mỗi ngày chỉ chậm 45s thì nhiệt độ môi trường phải tăng lên bao nhiêu? Coi gia tốc trọng trường không thay đổi.

1 1 1

1 1

2 1

2

2

1 1 ) 1 (

l

l l

l l

l l l

l T

1 2

1

l

l T

T T T

Một con lắc đếm giây có chu kỳ chạy đúng T = 2 s Người ta thay đổi

một lượng nhỏ chiều dài con lắc thì thấy mỗi ngày nó chạy nhanh 90s Hỏi chiều dài đã thay đổi một lượng bằng bao nhiêu chiều dài ban đầu,biết gia tốc trọng trường của con lắc không thay đổi

Hướng dẫn: Vì đồng hồ chạy nhanh (chu kỳ giảm) và gia tốc trọng

trường g không thay đổi nên chiều dài con lắc phải giảm

2

1 3600 24 2

1

1 1

l T

T

τ τ

Vậy chiều dài con lắc giảm 2%

Dạng 2: Chu kỳ con lắc thay đổi theo gia tốc

T =

∆

⇒

1

* Nhận xét: Đưa con lắc lên cao chu kỳ tăng nên đồng hồ chạy

chậm Thời gian con lắc đồng hồ chạy chậm sau khoảng thời gianτ :

a/ Xác định chu kỳ của con lắc tại độ cao đó? Cho bán kính trái đất R=

2 = +

b/Chu kỳ tăng, đồng hồ chạy chậm:

T

τ τ

Ví dụ 2:

Một con lắc đơn có chu kỳ dao động T = 4s tại mặt đất Đem con lắc lên độ cao h so với mặt đất thì chu kỳ dao động thay đổi 0,2% so với ban đầu Tính độ cao h? Cho bán kính trái đất R = 6400 km

Hướng dẫn: + Tại mặt đất chu kỳ T = 4s Lên độ cao h chu kỳ T’ và có:

∆T = T’ - T = 0,2% T ⇒ ∆ = 0 , 002

T T

m R G

R

Vm G R

m M G

3 2

4

3 2

' 2

'

3

4

.

mg R

m h R G

R

m V G R

m M G

2 1

* Nhận xét: Đưa con lắc xuống sâu trong lòng đất chu kỳ của con

lắc tăng lên, đồng hồ chạy chậm

Thời gian đồng hồ quả lắc chạy chậm sau khoảng thời gianτ :

R

h T

T

2

1

τ τ

θ = ∆ =

* Ví dụ 1:

Một con lắc đơn có chu kỳ dao động nhỏ tại mặt đất là T= 2s Đưa con lắc xuống giếng sâu 100m so với mặt đất thì chu kỳ của con lắc là bao nhiêu ? Coi trái đất như một hình cầu đồng chất bán kính R = 6400km và nhiệt độ trong giếng không thay đổi so với nhiệt độ trên mặt đất

1 , 0 1 ( ) 2 1

b/ Sau một tuần thì đồng hồ chạy sai bao nhiêu thời gian? Coi trái đất hình cầu đồng chât bán kính R = 6400km

Giải:

a/ Gọi chu kỳ chạy đúng của đồng hồ là T1; chu kỳ ở độ cao h và ở

hầm mỏ là T2 và T2’ ⇒ T2 = T2’

1

1 T

T T

T

24 , 30 6400 2

64 , 0 3600 24 7 2

Đặt con lắc tại 2 vị trí A(g1); B(g2)

Với g1; g2 lệch nhau không nhiều (Giả sử g2= g1 +∆g )

thì chu kỳ con lắc lần lượt là:

1 2

1 1

g

g g

g T

∆ +

=

=

⇒

1 1

2 1

h R

h R

h

640 2

a/ Hãy xác định chu kỳ của con lắc tại Hồ Chí Minh?

b/ Tại Hồ Chí Minh con lắc chạy nhanh hay chậm? Sau 12giờ nó chạy sai bao nhiêu thời gian?

b/ Chu kỳ tăng nên đồng hồ chạy chậm Thời gian con lắc chạy chậm

g

g T

T

23 , 13 793 , 9 2

006 , 0 3600 12

Ví dụ 2; Con lắc đơn dao động nhỏ được đưa từ Quảng Ngãi vào thành

phố Hồ Chí Minh, thì chu kỳ dao động tăng 0,015% Xác định gia tốc tại Quảng Ngãi biết gia tốc trọng trương tại Hồ Chí Minh là

0,00015 0, 00015 0,00015 9,790 /

+ Tại mặt đất (nhiệt độ t1) chu kỳ con lắc : T l g1

h t g

g l

l T

T

+

∆ +

≈ +

∆ +

=

2

1 1 ) 1 (

1

' 1

2 1 2

1

2

1 1

R

h t

T

2 2

1 1

1 1

R

h t

T = + ∆ +

R

h t T

T

2 2

h t T

1 (

h t T

-100c thì nó chạy nhanh hay chạy chậm? Mỗi ngày chạy sai bao nhiêu biết hệ số nở dài của con lắc là α = 1,8.10-5K-1 Bán kính trái đất R =

6400 km

Hướng dẫn: Sử dụng CT:

0 10 3 , 2 6400

2 , 3 ) 20 10 ( 10 8 , 1 2

1 2

1

>

= +

−

−

= +

h t T

T

87 , 19 10 3 , 2 3600 24 ) 2

Một con lắc đồng hồ ( xem như con lắc đơn) chạy đúng với chu kỳ T

=2 s tại mặt đất có nhiệt độ 250c Dây treo con lắc làm bằng kim loại có

hệ số nở dài α = 2.10-5K-1

a/ Đưa con lắc lên độ cao 1,5km so với mặt đất con lắc lại chạy nhanh hay chạy chậm? Một tuần chạy sai bao nhiêu? Coi nhiệt độ vẫn là

250c.Cho biết bán kính trái đất R = 6400km

b/ ở độ cao h=1,5km, muốn đồng hồ vẫn chạy đúng thì nhiệt độ ở đó phải là bao nhiêu?

h T

T

75 , 141 6400

5 , 1 3600 24 7

b/ ở độ cao h =1,5km, nhiệt độ t2 Muốn chu kỳ con lắc không thay đổi

1

1

= +

∆

⇒ +

h t T

T

α α

5 1

10 2 6400

5 , 1 2 25

Ví dụ 3:

Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất với chu kỳ T0 ở nhiệt

độ t1 Biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là α= 4.10-5K-1

a/ Tại mặt đất nếu nhiệt độ của môi trường tăng thêm 300c thì chu kỳ của con lắc sẽ tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm so với lúc đầu?

b/ Đưa đồng hồ lên độ cao h so với mặt đất, nhiệt độ giảm 250c Muốn đồng hồ vẫn chạy đúng thì h bằng bao nhiêu?

c/ Người ta đưa đồng hồ trên xuống hầm mỏ sâu 400m so với mặt đất, nhiệt độ dưới hầm thấp hơn nhiệt độ trên mặt đất 150c, hỏi đồng hồ chạy thế nào? mỗi ngày đồng hồ chạy sai bao nhiêu?

Cho biết bán kính trái đất R = 6370km

Hướng dẫn:

a/ Trên mặt đất chu kỳ con lắc thay đổi theo nhiệt độ Nhiệt độ tăng

do đó chu kỳ con lắc tăng

Vận dụng công thức: 4 10 30 6 10 0 , 06 %

2

1 2

h t T

T α

km t

R

2

) 25 (

10 4 6370 2

0

10 68 , 2 6370 2

4 , 0 ) 15 ( 10 4 2

1 2 2

T

20 , 23 6370 2

4 , 0 ) 15 ( 10 4 2

1 3600 24 ) 2 2

1

0

= +

−

= +

+ Chiều dài con lắc phụ thuộc vào nhiệt độ: l2 = l1(1+α ∆t)

+Gia tốc trọng trường g tại 2 vị trí có vĩ độ khác nhau: g1; g2

(giả sử g2= g1 + ∆g)

Ta có:

1 1

1 2

1 1

2 1

2

2

1 2

1 1 1

g

g t

g g

g t g

g l

l T

∆ +

∆ +

1

g

g t

1 2

1 (

1

g t

Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại Hà Nội được đem vào Hồ Chí Minh đã chạy chậm 34,56s trong một ngày đêm.

a/ Tính gia tốc g tai TP.HCM biết tại Hà Nội gia tốc là g1 = 9,793m/s2

và nhiệt độ tại Hà Nội thấp hơn ở Hồ Chí Minh 100c

b/ Muốn đồng hồ ở HCM chạy đúng người ta đặt đồng hồ vào phòng có nhiệt độ thích hợp Hỏi nhiệt độ rong phòng và bên ngoài chênh lệch nhau là bao nhiêu? Cho hệ số nở dài của thanh treo là 2.10-5K-1

1 (

1

g t

1 (

α τ θ

4 1

10 4 2

1 2

1∆ = ∆t− −

g

4 4

5 1

10 6 10

8 10 10

2 1

2

2

1 ) ( 2

1 1

g

g t

t T

3.2/ Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hoặc thêm)

một lượng ∆l và thay đổi gia tốc g.

Trường hợp 1: g thay đổi khi thay đổi độ cao (hoặc độ sâu) của con lắc.

2

g

g l

l T

T

=

+ Con lắc ở độ cao h: T T = l l g g = +∆l l + R h ≈ + ∆l l +R h

1 1

' 1

2 1

2

2

1 1 ) 1 ( 1 (

⇒ ∆T T = ∆l l + R h

1

1 2 1

+ Con lắc ở độ sâu h:

T T 21 l l 2h R

1 1

h l

l T

1 (

h l

l T