Chuyên đề con lắc đơn

Con lắc đơn gồm một vật nặng treo vào sợi dây không giản, vật nặng kích thước không đáng kể so với chiều dài sợi dây, sợi dây khối lượng không đáng kể so với khối lượng của vật nặng.. 2

MỞ ĐẦU CHUYÊN ĐỀ VỀ CON LẮC ĐƠN

Thực hiện nhiệm vụ năm học 2013 – 2014, ôn thi Đại học – cao đẳng là một trong những nhiệm vụ hàng năm của nhà trường Với cương vị là một giáo viên phụ trách môn thi ĐH –CĐ cho HS lớp 12 tôi xin được đóng góp một chuyên đề giúp các em HS dễ dàng, tự tin trong việc giải quyết đề thi

Đề thi ĐH – CĐ phần cơ học chiếm khoảng 10 câu (1/5 tổng số câu), trong đó phần CON LẮC ĐƠN có khoảng

02 câu Số lượng câu không nhiều nhưng qua đó hình thành cho HS phương pháp học tập, phân loại, sắp xếp kiến thức của các phần khác trong chương trình lớp 12

Với chuyên đề “ CON LẮC ĐƠN” của mình tôi hy vọng HS Trường THPT Nguyễn Thị Giang sẽ tìm được phương pháp học tập, niềm tin, hứng thú, tự tin hơn trong các cuộc thi

Số tiết dự kiến: 12 tiết

1 Phạm vi áp dụng: Chương trình Vật lý lớp 12

2 Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 09 tiết

NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

* Con lắc đơn

1 Con lắc đơn gồm một vật nặng treo vào sợi dây không giản, vật nặng

kích thước không đáng kể so với chiều dài sợi dây, sợi dây khối lượng

không đáng kể so với khối lượng của vật nặng Cơ năng của con lắc đơn

được bảo toàn nếu bỏ qua ma sát

2 Khi dao động nhỏ (sinα ≈ α (rad)), CLĐ dao động điều hòa với

g f

ω

π π

Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và α0 << 1 rad hay S0 << l

4 Lực kéo về (lực hồi phục) F mgsin mg mg s m s2

l

= − = − = − = −

Lưu ý: + Với con lắc đơn lực hồi phục tỉ lệ với khối lượng

+ Với con lắc lò xo lực hồi phục không phụ thuộc vào khối lượng

Lưu ý: S0 đóng vai trò như A còn s đóng vai trò như x

5 Hệ thức độc lập:

* a = -ω2s = -ω2αl

α =α +

6 Năng lượng của con lắc đơn.

Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng O

+ Động năng : Wđ =

2

1

mv2+ Thế năng: Wt = mgl(1 - cosα) =

2

1mglα2 (α ≤ 1rad, α (rad))

+ Cơ năng: W = Wt + Wđ = mgl(1 - cosα0) = 2 02 2 2 02 02 02

Lưu ý: Cơ năng của con lắc đơn tỉ lệ với khối lượng vật còn cơ năng của con lắc lò xo không phụ thuộc vào

khối lượng của vật

7 Khi con lắc đơn dao động với α0 bất kỳ Cơ năng, vận tốc và lực căng của sợi dây con lắc đơn

W = mgl(1-cosα0); v2 = 2gl(cosα – cosα0) và TC = mg(3cosα – 2cosα0)

Lưu ý: - Các công thức này áp dụng đúng cho cả khi α0 có giá trị lớn

+ ∆T> 0: T 2 > T 1: Chu kỳ tăng, đồng hồ chạy chậm.

+ ∆T< 0: T 2 < T 1 :Chu kỳ giảm, đồng hồ chạy nhanh.

+ ∆T= 0 Chu kỳ không đổi, con lắc chạy đúng.

- Thời gian con lắc đồng hồ chạy sai sau khoảng thời gianτ :

+ Thời gian biểu kiến con lắc chạy sai chỉ là: τ' =nT1.

Với n là số chu kỳ con lắc chạy sai T 2 trong khoảng thời gianτ :

1

n T

B CÁC DẠNG BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Đại cương về con lắc đơn.

Dạng 2: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo các yếu tố:.

2.1/ Chiều dài con lắc đơn thay đổi theo nhiệt độ môi trường.

2.2/ Gia tốc g thay đổi theo độ cao, độ sâu, vị trí địa lí đặt con lắc.

2.3/ Lực lạ là lực điện, lực đẩy Acsimet, lực quán tính.

* Ví dụ:

Ví dụ 1: Con lắc đơn chiều dài l 1 dao động điều hoà tại một nơi với chu kỳ T 1 = 1,5s Con lắc đơn chiều dài l 2

cũng dao động điều hoà tại nơi đó với chu kỳ T 2 =0,9s Tính chu kỳ của con lắc chiều dài l dao động điều hoà ở

nơi trên với:

T = + Thay số: T = 1,52 +0,92 =1,75s -Với l = l 1 - l 2 Sử dụng công thức 2

2

2

1 T T

T = − Thay số: T = 1,52 −0,92 =1,2s

Ví dụ 2:

Một con lắc đơn có dây treo chiều dài l Người ta thay đổi độ dài của nó tới giá trị l ’ sao cho chu kỳ dao động mới chỉ bằng 90% chu kỳ dao động ban đầu Hỏi chiều dài l ’ bằng bao nhiêu lần chiều dài l ?

Hướng dẫn: Chu kỳ con lắc chiều dài l và l lần lượt là:

T

⇒l' =0,81l

Ví dụ 3:

Tại một nơi trên mặt đất một con lắc đơn dao động điều hoà.Trong khoảng thời gian t∆ , con lắc thực hiện 60

dao động toàn phần; thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44 cm thì cũng trong khoảng thời gian t∆ ấy, nó thực

hiện 50 dao động toàn phần Xác định chiều dài ban đầu của con lắc ?

Hướng dẫn:

Gọi chu kỳ con lắc chiều dài l1, l2 là T1;T2

Xét trong khoảng thời gian ∆t như nhau thì: 60T1 = 50T2

5

61

Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m làm bằng thép treo vào đầu một sợi dây mềm có khối lượng

không đáng kể dài l = 1 m.Phía dưới điểm treo Q theo phương thẳng đứng của sợi dây một chiếc đinh được đóng

vào điểm O’ cách Q một đoạn O’Q = 50 cm sao cho con lắcvấp phải đinh trong quá trình dao động điều hoà

a/ Xác định chu kỳ dao động của quả cầu? cho gia tốc g = 9,8 m/s2

b/Nếu không đóng đinh vào O’ mà đặt tại vị trí cân bằng O một tấm thép được giữ cố định thì hiện tượng xảy ra

như thế nào? (Coi rằng va chạm của quả cầu vào vật cản là hoàn toàn đàn hồi)

Hướng dẫn:

a/ Trong quá trình dao động con lắc bị vướng vào đinh O’ nằm trên phương thẳng đứng của dây treo nên mỗi

dao động toàn phần của con lắc gồm 2 giai đoạn

+ Giai đoạn đầu con lắc dao động với chiều dài l =1m và chu kỳ s

g

l

8,9

122

+ Giai đoạn còn lại nó dao động với chiều dài l ’ = OO’ =0,5m và chu kỳ

' 2

2

12

1

2

1

2 1 2

T

T = + = + = 1/2 (2+1,4) = 1,7 s

b/ Tấm thép đặt tai VTCB O: Vì va chạm giữa quả cầu và tấm thép là hoàn toàn đàn hồi nên khi quả cầu va

chạm vào tấm thép nó sẽ bật ngược lại với vận tốc có cùng độ lớn ngay trước lúc va chạm và vật lại lên đúng vị

trí cao nhất A ( Vì cơ năng bảo toàn)

Vậy con lắc chỉ dao động trên cung OA nên chu kỳ dao động là: T = 1/2T1 = 1 s

OA

Dạng 2: SỰ PHỤ THUỘC CỦA CHU KỲ CON LẮC ĐƠN VÀO YẾU TỐ BÊN NGOÀI

2.1 Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo nhiệt độ môi trường.

- Con lắc đơn có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh khi nhiệt độ môi trường thay đổi từ t 1 đến t 2 thì chiều

dài của dây được xác định bởi: l2 =l1(1+α.∆t)

với ∆t =t2 −t1: Là độ biến thiên nhiệt độ của môi trường;

α : là hệ số nở dài của kim loại (Thường có giá trị rất nhỏ).

l

l T

T

∆+

≈

∆+

=

∆+

=

2

11)1()1

1

2

11

2

11

1 2

1

* Nhận xét: Khi nhiệt độ của môi trường tăng thì chu kỳ của con lắc sẽ tăng (đồng hồ chạy chậm) và ngược lại.

Thời gian chạy sai sau một khoảng thời gian τ : t

2

11

Ví dụ 1: Một đồng hồ quả lắc đếm giây có chu kỳ T = 2s Quả lắc được coi như một con lắc đơn với dây treo làm

bằng đồng có hệ số nở dài α = 17.10-6K-1 Giả sử đồng hồ chạy đúng ở chân không, nhiệt độ 200c

Tính chu kỳ của con lắc trong chân không ở 300c ? ở 300c đồng hồ chạy nhanh hay chậm? Mỗi ngày chạy sai bao nhiêu?

Hướng dẫn: + Sử dụng công thức: 2 ) 1

2

11

+ Chu kỳ T 2 >T nên đồng hồ chạy chậm.

Thời gian chạy chậm trong một ngày đêm : τ = 24.60.60 s là:

t T

= 24.3600.1/2.17.10-6 10 = 7,34 s

Ví dụ 2: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ vào mùa nóng khi nhiệt độ trung bình là 320c, con lắc có thể xem là

con lắc đơn Hệ số nở dài của dây treo con lắc α = 2.10-5K-1 Vào mùa lạnh nhiệt độ trung bình là 170c hỏi con

lắc sẽ chạy như thế nào? Một tuần nó chay sai bao nhiêu?

O

Hướng dẫn: Do nhiệt độ vào mùa đông giảm nên chu kỳ con lắc giảm, đồng hồ chạy nhanh Một tuần :τ = 7.24.60.60 s đồng hồ chạy nhanh một thời gian:

t T

= 7.24.3600.1/2.2.10-5 15 = 90,72 s

Ví dụ 3: Con lắc đồng hồ có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh khi nhiệt độ môi trường tăng thêm 100c thì trong 12 giờ con lắc chạy chậm 30s Nếu muốn con lắc chạy mỗi ngày chỉ chậm 45s thì nhiệt độ môi trường phải tăng lên bao nhiêu? Coi gia tốc trọng trường không thay đổi

2

11

Khi nhiệt độ tăng thêm300c thì mỗi ngày sẽ chạy chậm: 1 1

1

60

θ = α∆ = ;Nếu con lắc chạy chậm mỗi ngày 45s thì nhiệt độ tăng lên ∆t2 thoả mãn:

2.2 Chu kỳ con lắc thay đổi theo gia tốc trọng trường g.

2.2.1 Gia tốc g thay đổi theo độ cao.

h R g

g T

T

=

∆

⇒1

* Nhận xét: Đưa con lắc lên cao chu kỳ tăng nên đồng hồ chạy chậm Thời gian con lắc đồng hồ chạy

chậm sau khoảng thời gianτ :

R

h T

T

ττ

θ = ∆ =

1

Ví dụ 1:

Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất với chu kỳ T =2s Đưa con lắc lên độ cao h=1km so với mặt đất

và coi như nhiệt độ ở độ cao đó không đôi so với mặt đất

a/ Xác định chu kỳ của con lắc tại độ cao đó? Cho bán kính trái đất R= 6370 km

b/ Tại độ cao h con lắc chạy nhanh hay chậm , mỗi ngày chạy sai bao nhiêu?

T

ττ

+ áp dụng công thức:

R

h T

m R G

R

Vm G R

m M G

3

2 2

3

4

' 2

mg R

m h R G

R

m V G R

h h

R

R g

g T

T

21)1

1

' 1

−

=

21

* Nhận xét: Đưa con lắc xuống sâu trong lòng đất chu kỳ của con lắc tăng lên, đồng hồ chạy chậm.

Thời gian đồng hồ quả lắc chạy chậm sau khoảng thời gianτ :

R

h T

T

21

ττ

θ = ∆ =

* Ví dụ 1:

Một con lắc đơn có chu kỳ dao động nhỏ tại mặt đất là T= 2s Đưa con lắc xuống giếng sâu 100m so với mặt đất thì chu kỳ của con lắc là bao nhiêu ? Coi trái đất như một hình cầu đồng chất bán kính R = 6400km và nhiệt độ trong giếng không thay đổi so với nhiệt độ trên mặt đất

1,01()21

a/ Xác định độ sâu của hầm mỏ? Coi nhiệt độ không thay đổi

b/ Sau một tuần thì đồng hồ chạy sai bao nhiêu thời gian? Coi trái đất hình cầu đồng chât bán kính R = 6400km

T

24,306400.2

64,0.3600.24.721

2.2.3 Thay đổi vị trí địa lí đặt con lắc.

* Phương pháp:

m h

h R

h R

h

6402

Đặt con lắc tại 2 vị trí A(g1); B(g2) Với g1; g2 lệch nhau một lượng g∆ (Giả sử g2= g1 + g∆ ) thì chu kỳ

g

g g

g T

∆+

T = ∆

∆

=τ τθ

*Ví dụ 1.

Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại Hà Nội (T = 2s) Đưa con lắc vào Hồ Chí Minh giả sử nhiệt độ không thay đổi, Biết gia tốc ở Hà Nội và Hồ Chí Minh lần lượt là: g1 = 9,793m/s2 và g2= 9,787m/s2

a/ Hãy xác định chu kỳ của con lắc tại Hồ Chí Minh?

b/ Tại Hồ Chí Minh con lắc chạy nhanh hay chậm? Sau 12giờ nó chạy sai bao nhiêu thời gian?

g T

T

23,13793,9.2

006,0.3600.12

2 11

Ví dụ 2; Con lắc đơn dao động nhỏ được đưa từ Quảng Ngãi vào thành phố Hồ Chí Minh, thì chu kỳ dao động

tăng 0,015% Xác định gia tốc tại Quảng Ngãi biết gia tốc trọng trương tại Hồ Chí Minh là

Ngoài trọng lực P con lắc còn chịu thêm tác dụng của lực F không đổi thì coi như con lắc chịu tác dụng

của trọng lực hiệu dụng P với hd P = P + F hd

Ví dụ 1: Con lắc đơn có chiều dài l, vật nặng m tích điện +q đặt trong điện trường đều có cường độ E ở nơi có

gia tốc trọng trường g Tính chu kỳ dao động của con lắc

F g

F g

π

=

− Nếu F>P thì có hiện tượng như bóng bay và

g m qE

l T

−

=2π

P F E

P F E

c) Khi cường độ điện trường hướng sang phải, sang trái:

* Vị trí cân bằng được xác định bởi θ:

tanθ=

mg

qE P

=

m

qE g

g hd

2 2

=

m

qE g

l

2.3.2 Lực lạ là lực đẩy Acsimet.

Ví dụ 1: Hãy so sánh chu kỳ của con lắc đơn trong không khí với chu kỳ của nó trong chân không biết

vật nặng có khối lượng riêng D, không khí có khối lượng riêng là d

P hd = P - F a g

D

d g DV

dVg g

a) Khi điểm treo con lắc có gia tốc a0 hướng thẳng đứng lên

trên.

(Tức điểm treo chuyển động thẳng đứng lên trên nhanh dần đều

hoặc chuyển động thẳng đứng xuống dưới chậm dần đều)

Ở đây : P = P + Fqt P hd hd = P + F qt

0

ma P

P hd = + g hd =g+a 0

0

2

a g

l T

(Tức điểm treo chuyển động thẳng đứng đi xuống nhanh dần đều

hoặc chuyển động thẳng đứng lên trên chậm dần đều)

l T

−

= π

/(điều kiện g>a0)

c) Khi điểm treo con lắc có gia tốc a0 hướng ngang sang

phải, sang trái.

* Vị trí cân bằng được xác định bởi θ:

tanθ=

g

a mg

ma P

2 ma P

2

a g

l T

C BÀI TẬP TỰ GIẢI

Câu 1: Đối với con lắc đơn, đồ thị biểu diễn mối liên hệ giữa chiều dài l của con lắc và chu kì dao động T của

nó là

A đường hyperbol B đường parabol C đường elip D.đường thẳng

Câu 2: Nếu gia tốc trọng trường giảm đi 6 lần, độ dài sợi dây của con lắc đơn giảm đi 2 lần thì chu kì dao động

điều hoà của con lắc đơn tăng hay giảm bao nhiêu lần ?

A Giảm 3 lần B Tăng 3 lần C Tăng 12 lần D Giảm 12 lần

Câu 3: Con lắc đơn đang đứng yên ở vị trí cân bằng Lúc t = 0 truyền cho con lắc vận tốc v0 = 20cm/s nằm ngang theo chiều dương thì nó dao động điều hoà với chu kì T = 2π/5s Phương trình dao động của con lắc dạng li độ góc là

A α = 0,1cos(5t-π/2) (rad) B α = 0,1sin(5t +π) (rad)

C α = 0,1sin(t/5)(rad). D α = 0,1sin(t/5 +π)(rad).

Câu 4: Cho con lắc đơn dài l = 1m, dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s2 Kéo con lắc lệch khỏi

vị trí cân bằng một góc α0 = 600 rồi thả nhẹ Bỏ qua ma sát Tốc độ của vật khi qua vị trí có li độ góc α = 300 là

A 2,71m/s B 7,32m/s C 2,71cm/s D 2,17m/s

Câu 5: Một con lắc đơn có chiều dài l = 1m được kéo ra khỏi vị trí cân bằng một góc α0 = 50 so với phương thẳng đứng rồi thả nhẹ cho vật dao động Cho g = π2 = 10m/s2 Tốc độ của con lắc khi về đến vị trí cân bằng có giá trị là

Câu 10: Một con lắc đơn có khối lượng vật nặng m = 200g, chiều dài l = 50cm Từ vị trí cân bằng ta truyền cho

vật nặng vận tốc v = 1m/s theo phương ngang Lấy g = π2 = 10m/s2 Lực căng dây khi vật đi qua vị trí cân bằng là

Câu 11: Một con lắc đơn có khối lượng vật nặng m = 0,2kg, chiều dài dây treo l, dao động nhỏ với biên độ S0 = 5cm và chu kì T = 2s Lấy g = π2 = 10m/s2 Cơ năng của con lắc là

A 5.10-5J B 25.10-5J C 25.10-4J D 25.10-3J

Câu 12: Một con lắc đơn có khối lượng vật nặng m = 200g dao động với phương trình s = 10cos2t(cm) Ở thời

điểm t =π/6(s), con lắc có động năng là

Câu 13: Một con lắc đơn dao động với biên độ góc α0 = 60 Con lắc có động năng bằng 3 lần thế năng tại vị trí

có li độ góc là

A 1,50 B 20 C 2,50 D 30

Câu 14: Một con lắc đơn dao động điều hoà với phương trình α = 0,14cos(2πt-π/2)(rad) Thời gian ngắn nhất

để con lắc đi từ vị trí có li độ góc 0,07(rad) đến vị trí biên gần nhất là

Câu 15: Một con lắc đơn dao động điều hoà với phương trình s = 6cos(0,5πt-π/2)(cm) Khoảng thời gian ngắn nhất để con lắc đi từ vị trí có li độ s = 3cm đến li độ cực đại S0 = 6cm là

Câu 16: Viết biểu thức cơ năng của con lắc đơn khi biết góc lệch cực đại α0 của dây treo:

A mg l(1- cosα0) B mg lcosα0 C mg l D mg l(1 + cosα0)

Câu 17: Tại cùng một vị trí địa lý, nếu thay đổi chiều dài con lắc sao cho chu kì dao động điều hoà của nó giảm

đi hai lần Khi đó chiều dài của con lắc đã được:

A tăng lên 4 lần B giảm đi 4 lần C tăng lên 2 lần D giảm đi 2 lần

Câu 18: Con lắc lò xo có độ cứng k dao động điều hoà với biên độ A Con lắc đơn gồm dây treo có chiều dài l,

vật nặng có khối lượng m dao động điều hoà với biên độ góc α0 ở nơi có gia tốc trọng trường g Năng lượng dao động của hai con lắc bằng nhau Tỉ số k/m bằng:

A

2 0 2

2gA

αl

2 0 2

gA

αl

Câu 19: Một con lắc đơn dao động điều hoà, với biên độ cung S0 Khi thế năng bằng một nửa cơ năng dao động toàn phần thì li độ bằng

A s = 5sin(

2

t-2

π

2

t+2

π)(cm)

Câu 21: Một con lắc đơn có khối lượng vật nặng m = 200g, dây treo có chiều dài l = 100cm Kéo con lắc ra khỏi

vị trí cân bằng một góc 600 rồi buông ra không vận tốc đầu Lấy g = 10m/s2 Năng lượng dao động của vật là

Câu 22: Một con lắc đơn có chiều dài l Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng góc α0 = 600 Tỉ số giữa lực căng cực đại và cực tiểu là

Câu 23: Một con lắc đơn có chiều dài ldao động điều hoà với chu kì T Khi đi qua vị trí cân bằng dây treo con

lắc bị kẹt chặt tại trung điểm của nó Chu kì dao động mới tính theo chu kì ban đầu là

Câu 24: Chu kì dao động của con lắc đơn là 1s Thời gian ngắn nhất để con lắc đi từ vị trí mà tại đó động năng

cực đại đến vị trí mà tại đó động năng bằng 3 lần thế năng bằng

Câu 25: Một con lắc đơn có chiều day dây treo là l = 20cm treo cố định Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng

góc 0,1rad về phía bên phải rồi truyền cho nó vận tốc 14cm/s theo phương vuông góc với dây về phía vị trí cân bằng Coi con lắc dao động điều hoà Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng từ vị trí cân bằng