www.vnmath.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ Khóa ngày 24-6-2011 Môn : TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài :150 phút Bài 1: (2 điểm) Giải hệ phương trình: 22 33 19 19 0 xyxy xy Bài 2: (1,5 điểm) Cho parabol (P): 2 yx và đường thẳng (d): yaxa . Xác định tham số a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 12 , x x thỏa mãn: 12 11 1 xx . Bài 3: (2,5 điểm) a) Giải phương trình : 22 1 22 11 x xx x x b) Tìm các số nguyên tố p sao cho hai số 2(p + 1) và 2(p 2 + 1) là hai số chính phương. Bài 4: (2 điểm) Cho hai đường tròn (S) và (T) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (S) tại C, tiếp xúc với đường tròn (T) tại E và sao cho khoảng cách từ A đến lớn hơn khoảng cách từ B đến . a) Gọi D là điểm đối xứng của A qua đường thẳng . Chứng minh rằng tứ giác BCDE nội tiếp được trong một đường tròn (V). b) Gọi S R , T R và V R lần lượt là các bán kính của các đường tròn (S), (T) và (V). Chứng minh rằng: 2 ST V R RR . Bài 5: (2 điểm) a) Xét các số thực x, y, z, t thỏa mãn đồng thời các điều kiện: x + y + z + t = 8 và xy + xz + xt + yz + yt + zt = 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của t. b) Cho 9 hình vuông có các độ dài cạnh tính bằng mét là n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7, n + 8, n + 9, với n là số nguyên dương. Gọi S là tổng diện tích của 9 hình vuông này. Có hay không một hình vuông diện tích bằng S và có độ dài cạnh là một số nguyên mét? HẾT SBD thí sinh: …………. Chữ ký GT1: …………… www.vnmath.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ Khóa ngày 24-6-2011 Môn : TOÁN CHUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI NỘI DUNG Điểm Bài 1 (2đ) Giải hệ phương trình : 22 33 19 (1) 19 0 (2) xyxy xy Đặt S = x + y và P = xy . 0,25 (1) trở thành: 2 319SP (3) 0,25 (2) trở thành: 19S + 19 = 0 S = -1 0,50 Thay S = -1 vào (3) ta có: P = -6 0,25 Với S = -1 và P = -6, ta có x và y là các nghiệm của phương trình: 2 60tt . Giải ra : 12 3; 2tt 0,50 Vậy hệ phương trình có nghiệm 3; 2 , 2 ; 3 0,25 Bài 2 (1,5đ) Cho parabol (P): 2 yx và đường thẳng (d): yaxa . Xác định tham số a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 12 , x x thỏa mãn: 12 11 1 xx Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 – ax + a = 0 (*) 0,25 (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi > 0 0,25 = a 2 - 4a > 0 a > 4 hoặc a < 0. 0,25 Lúc đó x 1 , x 2 khác 0. 12 11 1 xx 22 22 12 12 12 2 x xxxxx 222 12 12 1212 ()2 2 x xxxxxxx (**) 0,25 Ta có: x 1 + x 2 = a = x 1 x 2 0,25 nên (**) trở thành: aa a 0. Kết hợp với > 0, ta có: a > 4. 0,25 Bài 3 (2đ) Câu 3a (1đ5) Giải phương trình : 22 1 22 11 x xx x x Điều kiện : 1x 0,25 Viết lại : 22 (1 1) (1 1) 1 x xx 0,25 11111 x xx 0,25 TH1: 110 11111 x x xx : không có x. 0,25 TH2: 110 11111 x x xx x = 3 0,25 Vậy phương trình có nghiệm x = 3. 0,25 Câu 3b (1đ) Tìm các số nguyên tố p sao cho hai số 2(p + 1) và 2(p 2 + 1) là hai số chính phương. Khi 2(p + 1) là số chính phương thì đó là số chính phương chẵn và p là số nguyên tố lẻ. Đặt: 2(p + 1) = (2x) 2 và 2(p 2 + 1) = (2y) 2 , với x, y nguyên dương, 0 < x < y < p. 0,25 Ta có : 2(y 2 - x 2 ) = p(p - 1) nên 2(y - x)(y + x) chia hết cho p. Do p lẻ và 1 < y – x < p, 1 < y + x < 2p nên phải có y + x = p (a). Lúc này: 2(y - x) = p - 1 (b) 0,5 www.vnmath.com Từ (a) và (b), ta có p + 1 = 4x. Do đó: 2(4x) = 4x 2 . Suy ra x = 2 và p = 7. Kiểm tra lại thấy số nguyên tố p = 7 thỏa bài toán. 0,25 Bài4 (2đ) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp được trong một đường tròn (V). Câu 4a (1,25đ) Hình vẽ . 0,25 CDE CAE CAB EAB 0,25 CAB BCE ; EAB BEC 0,25 Do đó : 180 o CDE CBE BCE BEC CBE. 0,25 Vì vậy tứ giác BCDE nội tiếp được trong một đường tròn (V). 0,25 Câu 4b (0,75đ) Chứng minh rằng: 2 ST V R RR . CSV BCE TVE. 0,25 CVS CEB VTE. 0,25 Hai tam giác VCS và TEV đồng dạng nên : VC TE = SC VE hay SC.TE = VC.VE. Mà SC = R S , TE = R T , VC = VE = R V nên : R S .R T = (R V ) 2 0,25 Bài 5 (2đ) Câu 5 a (1đ) Xét các số thực x, y, z, t thỏa mãn đồng thời các điều kiện: x + y + z + t = 8 và xy + xz + xt + yz + yt + zt = 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của t. x + y + z = 8 - t ; xy + yz + zx = 18 - t(8 - t). 0,25 2(x + y + z ) 2 = 2( x 2 + y 2 + z 2 + 2xy +2yz + 2zx ) = (x - y) 2 + (y - z) 2 +(z - x) 2 + 6(xy + yz + zx) 6(xy + yz + zx). 0,25 Do đó: 2(8 - t) 2 6[18 - t(8 - t)] t 2 - 4t - 5 0 (t - 2) 2 9 -1 t 5. 0,25 Khi x = y = z = 3 thì t = -1. Giá trị nhỏ nhất của t là -1. 0,25 Câu 5 b (1đ) Cho 9 hình vuông có các độ dài cạnh tính bằng mét là n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6, n+7, n+8, n+9, với n là số nguyên dương. Gọi S là tổng diện tích của 9 hình vuông này. Có hay không hình vuông diện tích bằng S và có độ dài cạnh là một số nguyên mét? Giả sử tồn tại hình vuông diện tích bằng S và có độ dài cạnh là a (a ). Ta có: (n+1) 2 + (n+2) 2 + (n+3) 2 + (n+4) 2 + (n+5) 2 + (n+6) 2 + (n+7) 2 + (n+8) 2 + (n+9) 2 = a 2 . 0,25 Hay : 9n 2 + 90n + 285 = a 2 . Chú ý 9n 2 + 90n + 285 là số nguyên chia cho 9 dư 6. 0,25 A B D E C V T S www.vnmath.com Số chính phương a 2 chia cho 9 chỉ có thể dư 0; 1; 4; 7. Ta gặp mâu thuẩn. 0,25 Vậy không tồn tại hình vuông thỏa bài toán. 0,25 . 0,25 Do đó: 2(8 - t) 2 6[18 - t(8 - t)] t 2 - 4t - 5 0 (t - 2) 2 9 -1 t 5. 0,25 Khi x = y = z = 3 thì t = -1 . Giá trị nhỏ nhất của t là -1 . 0,25 Câu. GT1: …………… www.vnmath.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THI N HUẾ Khóa ngày 2 4-6 -2 011 Môn : TOÁN CHUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI NỘI DUNG Điểm Bài 1. www.vnmath.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THI N HUẾ Khóa ngày 2 4-6 -2 011 Môn : TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài :150 phút Bài 1: