toan cuc hay xem ngay keo nguoi

1 Giáo án tự chọn lớp 10 Chơng III: Bất phơng trình Đ1 Bất đẳng thức 1- Định nghĩa: Cho hai số a,b, ta nói rằng a lớn hơn b ( kí hiệu: a>b) nếu hiệu a-b là một số dơng; a nhỏ hơn b (kí hiệu:a<b) nếu hệu a-b là một số âm và ngợc lại. Nh vậy: a>b a-b>0 a<b a-b <0 Tơng tự ta cũng có định nghĩa a b và a b. a b a-b 0 a b a-b 0. Hai bất đẳng thức a>b (a b) và c>d (c d) đợc gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều. Hai bất đẳng thức a>b(a b)và c<d( c d) đợc gọi là hai bất đẳng thức ngợc chiều. 2- Tính chất: Nếu a >b và b >c thì a>c Nếu a > b thì c ta có a c > b c. Nếu a>b và c>d thì a+c>b+d Nếu a>b và c<d thì a-c>b-d Nếu a>b và c>0 thì a.c>b.c Nếu a>b và c<0 thì a.c <b.c Nếu a>b>0 và c>d>0 thì a.c>b.d. Nếu a>b>0 thì a n >b n. và n n a b Nếu n là một số tự nhiên thì a 2n >b 2n | a | >| b | a ta có 2 0 ;a a a a a | a+b| |a|+|b| dấu = xảy ra ab 0 |a-b| |a|-|b|. 2 Bất đẳng thức CÔ-SI : Nếu a 1 ,a 2 , ,a n là các số không âm thì ta có: 1 2 1 2 . n n n a a a a a a n . Dấu = xảy ra a 1 =a 2 = =a n Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Nếu ta có hai bộ số (a 1 ,a 2 , ,a n ), (b 1 ,b 2 , ,b n ) thì ta có : (a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( )( ) n n a a a b b b 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( )( ) n n n n a b a b a b a a a b b b Dấu = xảy ra 1 2 2 2 n n a a a b b b 3-Một số phơng pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức: a) Phơng pháp dùng định nghĩa: Để chứng minh bất đẳng thức: A>B (A B) là đúng ta cần chỉ ra A-B > 0 (A-B 0) Ví dụ1: Chứng minh rằng a, b, c ta có bất đẳng thức: a 2 +b 2 +c 2 a.b +b.c +c.a. Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu a+b+c 0 thì ta có bất đẳng thức 3 3 3 3a b c abc a b c a b c Ví dụ 3: Cho a.b 1. Chứng minh rằng 2 2 1 1 2 1 1 1a b ab b) Phơng pháp dùng phép biến đổi tơng đơng: Hai bất đẳng thức đợc gọi là tơng dơng nếu bất đẳng thức này đúng thì bất đẳng thức kia cũng đúng và ngợc lại. Phép biến đợc gọi là tơng đơng nếu nó biến đổi một bất đẳng thức này thành bất đẳng thức khác tơng đơng với nó. Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu |a| <1 và |b| <1 thì ta có bất đẳng thức. |a+b| <|1+ab| 3 Ví dụ 5: Cho a>c ; b>c; c>0. Chứng minh rằng: ( ) ( )c a c c b c ab c) Phơng pháp phản chứng: Để chứng minh bất đẳng thức A>B (A B) là đúng ta giả sử ngợc lại A>B (A B ) là sai. Tức là ta có A B (A < B) . Dùng phép biến đổi tơng đơng đa đến điều mâu thuẫn (điều vô lí). Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng. Ví dụ 6: Cho 0<a<1; 0<b<1; 0<c<1. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau là sai. 1 (1 ) ; 4 a b 1 (1 ) ; 4 b c 1 (1 ) ; 4 c a Ví dụ 7: Chứng minh rằng nếu ta có : 0 0 0 a b c ab bc ca abc thì a>0 ; b>0 ; c>0 d) Phơng pháp sử dụng các bất đẳng thức quan trọng đã biết: Sử dụng tính chất bắc cầu của bất đẳng thức và một số bất đẳng thức quan trọng quen biết ta có thể rút ngắn các phép chứng minh. Thông thờng các bất đẳng thức CÔ-SI và bất đẳng thức BUNHIACÔPSKI là những bất đẳng thức đợc sử dụng rộng rãi nhất. Ví dụ 8: Cho a, b là hai số dơng. Chứng minh rằng : a+b 4 1 ab ab Ví dụ 9: Cho x, y, z là ba số dơng. Chứng minh rằng: (x+y+z)(xy+yz+zx) 9xyz Ví dụ 10: Cho a>b>c>0. Chứng minh rằng: 1 4 ( )( ) a a b b c c 4 Ví dụ 11: Chứng minh rằng với n số dơng bất kì a 1 ,a 2 , ,a n ta có bất đẳng thức : 2 1 2 1 2 1 1 1 n n n a a a a a a Ví dụ 12: Chứng minh rằng với a, b, c dơng ta có bất đẳng thức: 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b Ví dụ 13: Cho các số x, y, u, v thoả mãn điều kiện x 2 +y 2 =1; u 2 +v 2 =1. Chứng minh bất đẳng thức | u(x+y)+v(x-y)| 2 Ví dụ 14: Cho các số x,y thoả mãn điều kiện 2x+3y=5. Chứng minh rằng 2x 2 +3y 2 5 Ví dụ 15: Cho các số x, y, z thoả mãn điều kiện x 2 +y 2 +z 2 =1. Chứng minh bất đẳng thức : |x+2y+3z| 14 Ví dụ 16: Cho các số a,b,c không âm thoả mãn điều kiện: a+b+c =1 . Chứng minh bất đẳng thức: 6a b b c c a 4-ứng dụng của bất đẳng thức tìm GTLN và GTNN a) Định nghĩa: Giả sử hàm số y= f(x) xác định trên tập D R . Nếu tồn tại x 0 D sao cho f(x) f(x 0 ) ( hoặc f(x) f(x 0 ) ) x D thì số M = f(x 0 ) ( hoặc m= f(x 0 ) ) đợc gọi là GTLN (hoặc GTNN) của hàm số y= f(x) trên tập D. Kí hiệu : maxf(x) =M ; min f(x) =m x D x D GTLN (GTNN) của một biểu thức chứa hai biến hoặc nhiều biến đợc định nghĩa tơng tự. b) Hệ quả của bất đẳng thức CÔ-SI: 5 Giả sử có n số không âm thay đổi : a 1 ,a 2 , ,a n mà a 1 +a 2 + +a n = S không đổi thì tích P = a 1 a 2 a n đạt GTLN a 1 =a 2 = =a n Giả sử có n số không ẩm thay đổi a 1 , a 2 , ,a n mà a 1 a 2 a n = P không đổi thì tổng S = a 1 +a 2 + +a n đạt GTNN a 1 =a 2 = =a n . Ví dụ 17: Tìm GTLN của hàm số y= x 2 (1-x) trong [0;1]. Ví dụ 18: Tìm GTLN của biểu thức F(x,y) = (3-x)(4-y)(2x+6y) với 0 x 3; 0 y 4 Ví dụ 19: Tìm GTNN của hàm số 2 1 y x x với x >0 Ví dụ 20: Tìm GTNN của hàm số 4 1 x y x x với 0 <x<1. Ví dụ 21: Cho các hàm số x,y,z dơng và x+y+z =1. Tìm GTLN của biểu thức: F = xy+yz+zx Ví dụ 22: Cho các số x,y,z dơng và x+y+z =1. Tìm GTNN của biểu thức : . x y F xyz Ví dụ 23: Cho các số không âm x,y,z và x+y+z=1. Tìm GTLN của 1 1 1F x y z Ví dụ 24: Cho 2x+5y =7. Tìm GTNN của biểu thức F =2x 2 +5y 2 . Bài tập. 1-Chứng minh rằng a, b 0 và x, y ta có bất đẳng thức: 6 (ax+by)(bx+ay) (a+b) 2 xy. 2- Chứng minh rằng a, b, c, d, e ta có bất đẳng thức: a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 a(b+c+d+e) 3- Chứng minh rằng nếu 0<x y z ta có: 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )( )y x z x z x z y x z 4-Cho a>b>0 và c ab . Chứng minh rằng ta có : 2 2 2 2 a c c b a c c b 5- Cho 0 <a <2 ; 0 < b < 2 ; 0 < c < 2. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau là sai: a(2-b) >1; b(2-c) >1; c(2-a)>1 6- Cho a, b, c thoả mãn: 2 2a b c ab c Chứng minh rằng b < 0. 7- Cho ba số không âm a, b, c. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc. 8- Cho ba số dơng a, b, c. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức: . 1 1 1a b c bc ac ab a b c 9-Cho x, y, z là các số dơng. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức: 3x+2y+4z 3 5xy yz zx 10- Chứng minh rằng với a, b, c dơng ta có: 7 . 2 2 2 9 a b b c c a a b c 11- Cho ba số dơng a,b,c thoả mãn điều kiện a+b+c=1. Chứng minh rằng: 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) 64 a b c 12-Cho a, b, c, d là các số dơng. Chứng minh bất đẳng thức: . 2 2 2 2 5 5 5 5 3 3 3 3 1 1 1 1a b c d b c d a a b c d 13-Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện 3x+4y =5. Chứng minh rằng ta có: . 2 2 25 3 4 7 x y 14- Cho a,b,c thoả mãn a 2 +b 2 +c 2 =3. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức: | ab +bc+ca | 3 15- Cho a, b, c dơng và a+b+c =1 . Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức: . 4 1 4 1 4 1 21a b c 16- Tìm GTLN của hàm số: y = 2 1x x trong [0;1]. 17- Tìm GTNN của hàm số: y= 3 3 1 x x với x>0. 18- Tìm GTLN của biểu thức: F(x,y) = (2x-x 2 )(y-2y 2 ) với 0 x 2; 0 y 1 2 19- Cho x, y là các số dơng. Tìm GTNN của biểu thức F(x,y) = 3 2 ( )x y xy 20- Cho các số x, y, z thoả mãn điều kiện xy+yz +zx =1 Tìm GTNN của biểu thức F(x,y)=x 4 +y 4 + z 4 . 8 Đ 2 Bất phơng trình bậc nhất 1- Dạng tổng quát: ax+b >0 ( ax+b <0) 2- Cách giải và biện luận: Xét bất phơng trình: ax+b >0 (1).Ta có (1) ax>-b Nếu a> 0 thì bất phơng trình có nghiệm: b x a Nếu a< 0 thì bất phơng trình có nghiệm: b x a Nếu a = 0 thì (1) trở thành 0x >-b Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phơng trình: mx+4 >2x+m 2 Ví dụ 2: Tìm m để hệ bất phơng trình sau có nghiệm: 3 2 4 5 3 2 0 x x x m Ví dụ 3 : Tìm m để bất phơng trình sau đợc nghiệm đúng x >0: (m+1)x-m 2 =m+6 >0. 3- Định lí về dấu nhị thức bậc nhất: Định lí: Cho nhị thức bậc nhất f(x) = ax+b (a 0) có nghiệm la x 0 = b a . Khi đó: f(x) cùng dấu với a x> x 0 . f(x) trái dấu với a x<x 0 af(x) <0 af(x)>0 x 0 b x a Ví dụ 4: Giải các bất phơng trình: a.(2x-1)(x-5)(x+3)(4-3x) >0. b. 2 3 0 (1 3 )( 4) x x x Ví dụ 5: Tìm m để hai bất phơng trình sau tơng đơng: Nếu b 0 thì bất phơng trình vô nghiệm. Nếu b > 0 thì bất phơng trình vô định 9 (m-2)x+3 m >0 và (m+1)x+2-m>0. Bài tập 1- Giải và biện luận các bất phơng trình sau: a. m(x+4)> 3mx+2. b. 2 1 0 1 x m x 2- Tìm m để hệ bất phơng trình sau có ngiệm: 3 6 1 x x mx m 3- Tìm m để hệ bát phơng trình: 1 0 2 4 1 x x x m a. Vô nghiệm. b. Có nghiệm duy nhất. 4-Tìm m để bất phơng trình (m-2)x-m<0 nghiệm đúng x<1. 5- Giải các bất phơng trình sau: a. (-3x+2)(x+1) 3 (4x-5)(x-2) 4 <0 b. ( 2)(2 4) 0 ( 1)(7 2) x x x x Đ 3 Định lí dấu tam thức bận hai - Bất phơng trình bậc hai 1- Định lí dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f(x) =ax 2 +bx +c(a 0) Nếu =b 2 -4ac(=b 2 -ac)<0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a hay a.f(x)>0x Nếu () =0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a trừ x= 2 b a và f( 2 b a ) = 0 Nếu () >0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x 1 <x 2 . Khi đó : 10 f(x) cùng dấu với hệ số a x: x<x 1 hoặc x>x 2 f(x) trái dấu với hệ số a x: x 1 <x<x 2 . a.f(x)>0 a.f(x)<0 a.f(x)>0 x x 1 x 2 b. Chú ý: Điều kiện để f(x) =ax 2 +bx+c >0 x là: 0 ( ') 0 a Điều kiện để f(x) =ax 2 +bx+c 0 x là a>0 ( ') 0 Điều kiện để f(x) <0 (f(x) 0) x tơng tự. Nếu hệ số a phụ thuộc tham số thì phải xét thêm trờng hợp a = 0 Ví dụ 1: Tìm m để f(x) = (m 2 -1)x 2 +2(m-1)x+3 0 x Ví dụ 2: Tìm m để f(x) =(m+1)x 2 -2(m+1)x-3 <0 x Ví dụ 3: Tìm m để với mọi x ta có: 2 2 2 3 2 1 x mx x x Ví dụ 4: Tìm m sao cho x 2 +4y 2 +2x+my+3 >0 x,y 2- Bất phơng trình bậc hai. a) Dạng tổng quát: Bất phơng trình bậc hai có dạng tổng quát là ax 2 +bx+c >0 (a 0) hoặc ax 2 +bx+c <0. b.Cách giải và biện luận: Xét bất phơng trình: ax 2 +bx+c >0 Với a =0 thì bất phơng trình trở thành bất phơng trình :bx+c >0 Với a >0 Nếu () <0 thì bất phơng trình có nghiệm x Nếu () =0 thì bất phơng trình có nghiệm x 2 b a Nếu ( )>0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x 1 <x 2 . . Giả sử có n số không âm thay đổi : a 1 ,a 2 , ,a n mà a 1 +a 2 + +a n = S không đổi thì tích P = a 1 a 2 a n đạt GTLN a 1 =a 2 = =a n Giả sử có n số không ẩm thay đổi a 1 , a 2 , ,a n . thức bậc hai f(x) =ax 2 +bx +c(a 0) Nếu =b 2 -4ac(=b 2 -ac)<0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a hay a.f(x)>0x Nếu () =0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a trừ x= 2 b a và f( 2 b a ) = 0 Nếu