a Chứng minh rằng, bốn trung điểm của bốn cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD và bốn hình chiếu của K trên bốn cạnh đó cùng nằm trên một đường tròn.. b Chứng minh rằng, đường tròn đi qu
Trang 1Mục lục
1.1 Năm học 1991 - 1992 3
1.2 Năm học: 1992 - 1993 5
1.3 Năm học: 1993 - 1994 6
1.4 Năm học: 1997 - 1998 8
1.5 Năm học: 1998 - 1999 10
1.6 Năm học: 1999 - 2000 11
1.7 Năm học 2000 - 2001 13
1.8 Năm học 2001 - 2002 14
1.9 Năm học 2002 - 2003 16
1.10 Năm học 2003 - 2004 17
1.11 Năm học 2004-2005 19
1.12 Năm học 2005-2006 21
2 Trường THPT Chu Văn An và Hà Nội Amsterdam 23 2.1 Năm học 1989-1990 23
2.2 Năm học 1991-1992 24
2.3 Năm học 1992-1993 25
2.4 Năm học 1993-1994 27
3 Trường THPT Chuyên ĐHKHTN Hà Nội 29 3.1 Năm học 1991-1992 29
3.2 Năm học 1992-1993 31
3.3 Năm học 1993-1994 32
3.4 Năm học 1994-1995 34
3.5 Năm học 1995-1996 35
3.6 Năm học 1996-1997 37
1
Trang 23.7 Năm học 1997 - 1998 38
3.8 Năm học 1998 - 1999 40
3.9 Năm học 1999 42
3.10 Năm học 2000-2001 43
3.11 Năm học 2001-2002 45
3.12 Năm học 2002 - 2003 47
3.13 Năm học 2003 - 2004 48
3.14 Năm học 2003 - 2004 50
4 Trường THPT Chuyên Ngữ, Đại học Ngoại Ngữ 53 4.1 Năm học 2005-2006 53
5 Một số bộ đề thi vào lớp 10 không chuyên Toán 55 5.1 Đề số 1 55
5.2 Đề số 2 56
5.3 Đề số 3 56
Trang 32 Trong một giải bóng đá có 11 đội tham gia, bất cứ hai đội nào dự giải đều phải gặp nhauhai trận, một trận lượt đi và một trận lượt về Mỗi trận, bên thắng được 7 điểm, bênthua bị trừ đi 6 điểm (hay nói một cách khác là được −6 điểm), nếu hòa thì mỗi bên đềuđược 0 điểm.
(a) Kết thúc giải, đội B.L được 13 điểm Hãy tính số trận thắng, số trận hòa và số trậnthua của đội B.L
(b) Trong buổi tổng kết giải, sau khi nghe công bố số điểm của mỗi đội và thứ tự xếphạng của các đội, đội trưởng đội B.L nhẩm tính rồi nói to: "thế là số điểm của độimình đúng bằng trung bình cộng số điểm của tất cả các đội dự giải " Nghe được
ý kiến đấy một trọng tài lên tiếng: "Ông bạn tính nhầm to rồi đó!" Đội trưởng độiB.L cãi lại: "Tôi tính đúng rồi đấy!"
Hãy cho biết ai đúng, ai sai và giải thích vì sao?
3 Hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Một cát tuyến thayđổi đi qua A cắt đường tròn thứ nhất tại C và cắt đường tròn thứ hai tại D sao cho Anằm trong đoạn thẳng CD Tìm vị trí của cát tuyến CD sao cho chu vi tam giác BCDnhận giá trị lớn nhất
4 Cho tam giác đều ABC Hai điểm M và N lần lượt biến thiên trên hai cạnh AB và AC
Trang 4tam giác ABC.
5 Cho tam giác ABC có cả ba góc đều nhọn Chứng minh rằng, sin A + sin B + sin C <2(cos A + cos B + cos C) trong đó A, B và C là các góc của tam giác ABC
Ngày thi thứ hai
6 Cho a, b là các số dương Hãy rút gọn biểu thức sau:
8 Cho hình chữ nhật ABCD Qua một điểm M tùy ý nằm ở miền trong của hình chữ nhật
đó, ta kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình chữ nhật Các đường thẳngnày chia hình chữ nhật đã cho thành bốn hình chữ nhật nhỏ, mỗi hình chữ nhật chứamột trong bốn đỉnh A, B, C, D Chứng minh rằng, ít nhất một trong hai hình chữ nhậtchứa đỉnh A hoặc đỉnh C có diện tích không vượt quá 1
4 diện tích hình chữ nhật ABCD.
9 a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 có tất cả các tính chất sau: một nửa của nó là bìnhphương của một số nguyên, một phần ba của nó là lập phương của một số nguyên, mộtphần năm của nó lại là lũy thừa bậc năm của một số nguyên
b) Cho phương trình a2|x2− 2| + |a2x2− 1| + 2a2 = 1 (1) Tìm các giá trị của tham số
a để phương trình (1) có đúng hai nghiệm trên tập hợp các số nguyên
10 Hãy chỉ ra một cách sắp xếp mười hai số tự nhiên từ 1 đến 12 trên một vòng tròn saocho bất cứ ba số a, b, c nào đứng liền nhau theo thứ tự đó (theo chiều kìm đồng hồ haychiều ngược lại đều được) cũng thỏa mãn điều kiện: số b2− ac luôn chia hết cho 13 Hãygiải thích vì sao lại sắp xếp như vậy, nếu có thể
Trang 5x1x2 x1990− x1991x1992 = 1
x1x2 x1991− x1992 = 1Hỏi x1990 có thể nhận những giá trị nào?
6 Biết rằng n số thực a1, a2, , an (n ≥ 2) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
a) 0 < ai < 1, ∀i = 1, 2, 3, , n
b) Với mỗi cách phân tích tùy ý số 1993 thành tổng của n số tự nhiên khác 0: 1993 =
k1 + k2+ + kn (với ki ∈ N) đều tồn tại một chữ số i ∈ {1, 2, , n} sao cho kiai ∈ Z.Chứng minh rằng, a1+ a2+ + an ∈ Z
Ngày thi thứ hai
7 a) Chứng minh rằng nếu hai số x và y cùng dấu (xy ≥ 0) thì ta luôn có
x + y
√xy
+
x + y
... số vào đoạn thẳng AD Hãy gán số vào điểm
và cạnh cho thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:
(a) Số gán đoạn hiệu bình phương hai số hai đầu đoạn
(b) Tổng sáu số gán vào. .. NĂM HỌC 1993-1994 27
8 Để kỉ niệm kì thi Toán Quốc tế lần thứ 23, học sinh lấy số n 232 ghi tất
cả số tự nhiên 1, 2, , n vào tất hình vng cỡ 23 × 23 vngsao cho:
(a)... thuộc vào vị trí điểm P
(c) Tìm quỹ tích điểm P nằm tam giác ABC cho tam giác A0B0C0 vuông
ở A0 Hãy rõ cách dựng quỹ tích
Ngày thi