2,0 điểm Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: N hà Mai có một mảnh vườn trồng rau cải bắp.. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp.. Mai
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH
- -
(Dùng cho mọi thí sinh) Ngày thi : 29/6/2011 Thời gian làm bài : 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Chữ ký giám thị 1:
Chữ ký giám thị 2:
(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1 (2,0 điểm)
1 Rút gọn các biểu thức sau:
2 + 3 − 2 − 3 +
2 Biết rằng đồ thị của hàm số y = ax - 4 đi qua điểm M(2; 5) Tìm a
Bài 2 (2,0 điểm)
1 Giải các phương trình sau:
2 Cho phương trình: x2 - 2(m+1)x + 2m - 2 = 0 với x là Nn số
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1, x2, tính theo m giá trị của biểu thức
x + 2 m+1 x + 2m 2 −
Bài 3 (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:
N hà Mai có một mảnh vườn trồng rau cải bắp Vườn được đánh thành nhiều
luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp Mai tính rằng: nếu tăng thêm 7
luống rau nhưng mỗi luống trồng ít đi 2 cây thì số cây toàn vườn ít đi 9 cây, nếu
giảm đi 5 luống nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số rau toàn vườn sẽ
tăng thêm 15 cây Hỏi vườn nhà Mai trồng bao nhiêu cây rau cải bắp ?
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C cố định trên đường kính
AB (C ≠ A, B), điểm M di động trên đường tròn (M ≠ A, B) Qua M kẻ đường
thẳng vuông góc với CM, đường thẳng này cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường
tròn (O) lần lượt ở D và E
a) Chứng minh ACMD và BCME là các tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh DC ⊥ EC
c) Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ADEB là nhỏ nhất
Bài 5 (1,0 điểm)
Tìm các bộ số thực (x, y, z) thoả mãn:
1
2
……… Hết ………
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 2Bài Sơ lược cách giải Cho
điểm
Bài 1
1a
0,5 đ
Rút gọn được A = 1+ 2-1
Từ đó suy ra: A = 2
0,25 0,25
1b
0,75 đ Biến đổi được: B = (2+(23)(2− 3)− 3) − (2+(23)(2+ 3)− 3) + 5 3
B = (2 − 3) (− 2 + 3)+ 5 3 = 2 − 3 2 − − 3 + 5 3
Suy ra : B = 3 3
0,25 0,25 0,25
2
0,75 đ
Do đồ thị của hàm số y = ax - 4 đi qua điểm M(2; 5) nên : 5 = a.2 - 4
từ đó tìm được: a = 9/2
0,5 0,25
Bài 2
1a
0,5 đ
N hận thấy phương trình x2 - 3x + 2 = 0 có a+b+c = 1-3+2 = 0
suy ra phương trình có một nghiệm là x =1, còn nghiệm kia là x = c/a = 2
0,25 0,25
1b
0,5 đ
Biến đổi phương trình đã cho: x4 + 2x2 = 0 <=> x2(x2+2) = 0
<=> x2 = 0 hoặc (x2+2) = 0
Giải phương trình x2 = 0 được một nghiệm x = 0
Phương trình: x2+2 = 0 vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có duy nhất
nghiệm là x = 0
0,25 0,25
2a
0,5 đ
Có ∆' = [-(m+1)]2 - (2m -2), tính được ∆' = m2 + 3
Do m2 ≥ 0 với ∀m nên m2 + 3 > 0 với ∀m hay ∆' > 0 với ∀m
từ đó suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với ∀m
0,25 0,25
2b
x + 2 m+1 x + 2m 2 −
x − 2 m+1 x + 2m 2 − + 2(m+1)x1+2(m+1)x2
x − 2 m+1 x + 2m 2 − + 2(m+1)(x1+x2)
Do x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 - 2(m+1)x + 2m - 2 = 0 nên ta có
2
x − 2 m+1 x + 2m 2 − = 0 và (x1+x2) = 2(m+1)
từ đó suy ra E = 4(m+1)2
0,25
0,25
Trang 3Bài Sơ lược cách giải Cho
điểm
Bài 3
2,0 đ
* Gọi số luống rau trong vườn nhà Mai là x, số cây rau cải bắp trồng trên mỗi
luống là y Điều kiện: x, y nguyên, x >5; y >2
N ếu tăng thêm 7 luống rau nhưng mỗi luống trồng ít đi 2 cây thì số cây
toàn vườn là (x+7)(y-2), theo bài ra ta có ph/tr: (x+7)(y-2) = xy - 9 (1)
N ếu giảm đi 5 luống nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cây rau
toàn vườn là (x-5)(y+2), theo bài ra ta có ph/tr: (x-5)(y+2) = xy + 15 (2)
từ đó ta có hệ phương trình: (x+7)(y-2) = xy - 9 (1)
(x-5)(y+2) = xy + 15 (2)
* Biến đổi hệ trên thành hệ phương trình : -2x + 7y = 5
2x - 5y = 25
Giải hệ phương trình trên, được: x = 50 và y = 15
* Các giá trị x = 50 và y = 15 đều thoả mãn các điều kiện của bài toán
Từ đó tính được số cây rau cải bắp trong vườn là: 50.15 = 750 (cây)
Trả lời: Vườn nhà Mai trồng 750 cây rau cải bắp
0,25 0,25 0,25 0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 4
4a
1,0 đ
Vẽ hình đúng và đủ cho ý 4a
Tứ giác ACMD có CAD= 900
và CMD= 900
=> CAD+CMD= 1800
suy ra ACMD là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh tương tự, được BCME là tứ giác nội tiếp
0,25 0,25 0,25 0,25
4b
1,0 đ Do tứ giác ACMD nội tiếp nên ta có
MDC= MAC, và tứ giác BCME nội tiếp nên MEC= MBC
mà AMB= 900
(góc nội tiếp chắn nửa đ/tròn (O) ) => MAC+MBC= 900
từ đó có : MDC+MEC= 900
suy ra DCE= 900
hay DC ⊥ EC (đpcm !)
0,25
0,5 0,25
4c
1,0 đ
Tứ giác ABED là hình thang vuông nên có diện tích là S = (1/2).AB.(AD+BE)
Chứng minh được: ∆ADC ∼∆BCE rồi suy ra : AD.BE = AC.CB, do điểm C cố
định nên tích AC.CB = k không đổi => tích AD.BE = k không đổi
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương, ta có: AD+BE ≥ 2 AD BE. = 2 k
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AD = BE
Từ đó suy ra: S ≥ AB k (không đổi), dấu bằng xảy ra <=> AD = BE
<=> DE // AB <=> CM ⊥ AB
Vậy với vị trí của M thuộc đương tròn (O) sao cho CM ⊥ AB thì diện tích tứ
giác ADEB là nhỏ nhất.
0,25
0,25 0,25 0,25
Bài 5
2
<=> x+ y+ −z (2 x−29 4+ y− +6 6 z−2011 2032) 0+ =
( x−29 1)− +( y− −6 2) +( z−2011 3)− = 0
<=> ( x−29 1)− 2=( y− −6 2)2 =( z−2011 3)− 2= 0
Từ đó tìm được duy nhất bộ số thực (x, y, z) thoả mãn yêu cầu của bài toán
là: x = 30; y = 10; z = 2020
0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 4Các chú ý khi chấm:
1 Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược
một cách giải Bài làm của học sinh phải chi tiết,
lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được
điểm tối đa Trong các phần có liên quan với nhau,
nếu học sinh làm sai phần trước thì phần sau liên
quan dù làm đúng cũng không cho điểm Trường
hợp sai sót nhỏ có thể cho điểm nhưng phải trừ
điểm chỗ sai đó Không cho điểm lời giải bài hình
nếu học sinh không vẽ hình
2 Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án,
tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng
không được vượt quá số điểm dành cho câu hoặc
phần đó Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình
chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho
điểm theo sự thống nhất của cả tổ
3 Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng
không dưới 0,25 đ Điểm toàn bài là tổng số điểm
các phần đã chấm, không làm tròn điểm
O
M
E
D
Trang 5Bài 3
2,0 đ
* Gọi độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông là x (cm) và y (cm)
Điều kiện: x, y > 3; x hoặc y > 5
N ếu mỗi cạnh tăng lên 2 cm thì diện tích tam giác là : 1
2(x+2)(y+2), theo bài ra
ta có phương trình: 1
2(x+2)(y+2) = 1
2xy + 23 (1)
N ếu một cạnh giảm đi 3 cm, còn cạnh kia giảm đi 5 cm thì diện tích tam giác là :
0,25
0,25
1
2(x-3)(y-5), theo bài ra ta có phương trình: 1
2(x-3)(y-5) = 1
2xy - 33 (2)
từ đó ta có hệ phương trình: 1
2(x+2)(y+2) = 1
2xy + 23 (1) 1
2(x-3)(y-5) = 1
2xy - 33 (2)
* Biến đổi hệ trên thành hệ phương trình : x + y = 21
5x + 3y = 81
Giải hệ phương trình trên, được: x = 9 và y = 12
* Các giá trị x = 9 và y = 12 đều thoả mãn các điều kiện
Trả lời: Hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là 9 cm và 12 cm
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ
Câu 5 ( 1,0 điểm )
Giải phương trình: (x2 + 3x +1)2 + 3(x2 + 3x + 1) + 1 - x = 0
Câu 3 ( 2 điểm ) Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:
N hà Mai có một mảnh vườn trồng rau cải bắp Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp Mai tính rằng : nếu tăng thêm 7 luống rau nhưng mỗi luống trồng ít đi 2 cây thì số cây toàn vườn ít đi 9 cây, nếu giảm đi 5 luống nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số rau toàn vườn sẽ tăng thêm 15 cây Hỏi vườn nhà Mai trồng bao nhiêu cây rau cải bắp ?
Tính diện tích của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 2 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 23 cm2, và nếu một cạnh giảm đi 3 cm, cạnh kia giảm đi 5 cm thì diện tích của tam giác đó giảm đi 33 cm2
Câu 3 ( 2 điểm )
2 Cho phương trình: x2 - 2mx + m2 - 2 = 0 với x là Nn số
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1, x2, tìm các giá trị m để biểu thức sau nhận giá trị nhỏ nhất: A = x12 + 2mx2 + m2 − 2m 2 −