CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN THÔNG THƯỜNG

PHẦN 7.1. ĐỘNG CƠ Ở chương 1 của tập sách này, chúng ta có được biểu thức sau trên cơ sở định luật thứ 2 của Newton để tính tốc độ v của vận động viên nhảy dù là hàm số của thời gian t (xem biểu thức 1.9) : (PT7.1) Trong đó g là hằng số trọng lực hấp dẫn, m là khối lượng, và c là hệ số trở lực. Các biểu thức này kết hợp thành hàm ẩn số và đạo hàm của nó là biểu thức vi phân. Biểu thức (PT7.1), đôi khi được xem là biểu thức tỷ lệ bởi vì nó biểu thị về tỉ lệ thay đổi của một biến số là hàm số của các biến và tham số. Biểu thức này đóng một vai trò cơ sở trong ngành kỹ thuật bởi vì có nhiều hiện tượng vật lý được định dạng tốt nhất về mặt toán học về tỷ lệ thay đổi của chúng. Ở biểu thức (PT7.1), thì lượng được vi phân, v, được gọi là biến phụ thuộc. Lượng tương ứng với v được vi phân t, gọi là biến độc lập. Khi hàm số có liên quan đến một biến độc lập, thì biểu thức gọi là biểu thức vi phân gốc (hoặc ODE). Điều này tương phản với biểu thức vi phân từng phần (hoặc PDE) có liên quan đến hai biến độc lập trở lên. Biểu thức vi phân cũng được phân loại theo trình tự của nó. Ví dụ, biểu thức (PT7.1) được gọi là biểu thức bậc nhất bởi vì đạo hàm cao nhất này là đạo hàm bậc nhất. Biểu thức bậc hai bao gồm đạo hàm thứ hai. Ví dụ, biểu thức trình bày về vị trí x của hệ khối nguồn với cái tắt dần là biểu thức bậc hai (xem phần 8.4)

CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN THÔNG THƯỜNG PHẦN 7.1. ĐỘNG CƠ Ở chương 1 của tập sách này, chúng ta có được biểu thức sau trên cơ sở định luật thứ 2 của Newton để tính tốc độ v của vận động viên nhảy dù là hàm số của thời gian t (xem biểu thức 1.9) : v m c g dt dv −= (PT7.1) Trong đó g là hằng số trọng lực hấp dẫn, m là khối lượng, và c là hệ số trở lực. Các biểu thức này kết hợp thành hàm ẩn số và đạo hàm của nó là biểu thức vi phân. Biểu thức (PT7.1), đôi khi được xem là biểu thức tỷ lệ bởi vì nó biểu thị về tỉ lệ thay đổi của một biến số là hàm số của các biến và tham số. Biểu thức này đóng một vai trò cơ sở trong ngành kỹ thuật bởi vì có nhiều hiện tượng vật lý được định dạng tốt nhất về mặt toán học về tỷ lệ thay đổi của chúng. Ở biểu thức (PT7.1), thì lượng được vi phân, v, được gọi là biến phụ thuộc. Lượng tương ứng với v được vi phân t, gọi là biến độc lập. Khi hàm số có liên quan đến một biến độc lập, thì biểu thức gọi là biểu thức vi phân gốc (hoặc ODE). Điều này tương phản với biểu thức vi phân từng phần (hoặc PDE) có liên quan đến hai biến độc lập trở lên. Biểu thức vi phân cũng được phân loại theo trình tự của nó. Ví dụ, biểu thức (PT7.1) được gọi là biểu thức bậc nhất bởi vì đạo hàm cao nhất này là đạo hàm bậc nhất. Biểu thức bậc hai bao gồm đạo hàm thứ hai. Ví dụ, biểu thức trình bày về vị trí x của hệ khối nguồn với cái tắt dần là biểu thức bậc hai (xem phần 8.4) 0 2 2 =++ kx dt dx c dt d m (PT7.2) Trong đó c là hệ số tắt dần và k là hằng số nguồn. Tương tự, biểu thức thứ n bao gồm có đạo hàm thứ n. Các biểu thức có trình tự cao hơn có thể giảm thành một hệ thống các biểu thức bậc nhất. Đối với biểu thức (PT7.2), điều này được tiến hành bằng cách xác định biến số mới y, trong đó : dt dx y = (PT7.3) Mà chính bản thân nó được vi phân để tạo ra : 2 2 dt td dt dx = (PT7.4) 1 Các biểu thức (PT7.3) và (PT7.4) sau đó có thể thay thế thành biểu thức (PT7.2) để có được : 0=++ kxcy dt dy m (PT7.5) hoặc m kxcy dt dy + = (PT7.6) Từ đó, các biểu thức (PT7.3) và (PT7.6) là một cặp các biểu thức trình tự thứ nhất tương ứng với biểu thức bậc hai gốc. Do các biểu thức vi phân thứ n khác có thể lược giản một cách đơn giản, phần này của tập sách tập trung vào nghiệm của biểu thức đầu tiên. Một số ứng dụng kỹ thuật ở chương 28 có liên hệ đến nghiệm của ODE trình tự thứ hai bằng cách giảm 1 cặp các biểu thức bậc nhất. PT7.1.1. Phương pháp không tính toán để giải ODE Không cần đến tính toán, ODE thường được giải với các kỹ thuật tích phân giải tích.Ví dụ, biểu thức (PT7.1) có thể được nhân với dt và tích phân để có : ∫ −= dtv m c gv )( (PT7.7) Phía bên tay phải của biểu thức được gọi là tích phân không xác định do các giới hạn của các tích phân không được cụ thể hóa. Điều này tương phản với phần tích phân xác định đã được bàn luận trước đó ở phần sáu so với biểu thức (PT7.7) với biểu thức (PT6.6). Nghiệm tích phân đối với biểu thức (PT7.7) có được khi tích phân không xác định có thể đánh giá chính xác ở dạng phương trình. Ví dụ, xem lại điều này đối với bài toán của người nhảy dù đang rơi, biểu thức (PT7.7) được giải bằng phương pháp tích phân bằng biểu thức (1.10) (cho v = 0, t = 0). tmc e c gm tv ),( 1()( − −= (1.10) Các cơ cấu đao hàm các nghiệm tích phân này sẽ được bàn luận ở phần PT7.2. Còn lúc này, số hạng quan trọng là các nghiệm chính xác đối với nhiều ODE của tầm quan trọng thực tế thì chưa có. Điều này là đúng với phần lớn các tình huống được bàn luận ở các phần khác của tập sách này, các phương pháp số chỉ cho giải pháp cho các trường hợp này. Bởi vì các phương pháp số này thường yêu cầu đến người tính toán, kỹ sư trong thời đại trước tính toán đôi khi còn giới hạn trong nội dung khảo sát của chúng. Một phương pháp rất quan trọng mà các kỹ sư và các nhà toán học triển khi để giải được định đề này là sự tuyến tính hóa. Biểu thức tích phân thông thường tuyến tính là một phần hợp với hình thái sau : )()(')( )( 01 )( xfyxayxayxa n n =+++ (PT7.8) Trong đó y (n) là đạo hàm thứ n của y tương ứng với x và, a và f được là hàm cụ thể của x. Biểu thức này được gọi là tuyến tính bởi vì không có tích hoặc 2 hàm số không tuyến tính nào của biến số phụ thuộc y và đạo hàm của nó. Tầm quan trọng thực tế của CDE tuyến tính là chúng có thể giải được bằng phương pháp tích phân. Ngược lại, phần lớn các biểu thức không tuyến tính 3 không thể giải chính xác được. Từ đó, trong thời đại trước tính toán, một chiến thuật để giải biểu thức không tuyến tính là tuyến hóa chúng. (Hỉnh PT7.1 : Con lắc đang lắc lư) Ví dụ đơn giản là ứng dụng của ODE để dự đoán về độ chuyển động của con lắc đu đưa (hình PT7.1). Theo cách tương tự với đạo hàm bài toán một người nhảy dù đang rơi. Định luật thứ hai Newton có thể được sử dụng để triển khai biểu thức vi phân sau (phần 28.4 để đạo hàm toàn bộ). 0sin 2 2 =+ θ θ l g dt d (PT7.9) Trong đó θ là góc chuyển động của con lắc, g là hệ số trọng trường và l là chiều dài con lắc. Biểu thức này là không tuyến tính do số hạng sin θ. Một cách để có được nghiệm tích phân là nhận thực đối với độ dịch chuyển nhỏ của con lắc từ điểm cân bằng (đó là, với các giá trị nhỏ của θ) θθ ≅sin (PT7.10) Từ đó, nếu ta cho rằng ta chỉ quan tâm đến các trường hợp ở đó θ là nhỏ, biểu thức (PT7.10) có thể thay thế bằng biểu thức (PT7.9) để có : 0 2 2 =+ θ θ l g dt d (PT7.11) Từ đó, ta có , biểu thức đã biến đổi (PT7.10) thành dạng tuyến tính dễ giải bằng phương pháp tích phân. Mặc dù tuyến tính hóa duy trì là công cụ rất có giá trị để giải bài toán kỹ thuật, đó là các trường hợp ở đó nó không thể viện dẫn được. Ví dụ, giả sử là ta quan tâm đến việc nghiên cứu đến chuyển động của con lắc để có độ dịch chuyển lớn từ vị trí cân bằng. Trong những ví dụ như thế, thì các phương pháp số cho một giải pháp thực tế để có được nghiệm. Ngày nay, khả năng rộng khắp của máy tính đã đặt phương pháp này trong tầm với của toàn bộ các kỹ sư thực tế. PT7.1.2. ODE và thực tế về kỹ thuật Các định luật cơ bản về vật lý, cơ học, điện và nhiệt động học thường căn cứ vào việc quan sát theo kinh nghiệm giải thích về các biến số trong tính chât vật lý và hệ thống trạng thái vật lý. Đôi khi có trình bày về trạng thái của hệ thống vật lý một cách trực tiếp, các định luật này thường có sự thay đổi về không gian và thời gian. Một số ví dụ được kê ở bảng PT7.1. Các định luật này xác định được các cơ cấu của sự thay đổi. Khi kết hợp với các định luật liên tục về năng lượng, khối lượng, hoặc động lượng, kết quả biểu thức vi phân. Tích phân tiếp theo của các biểu thức vi phân này cho trong hàm số toán học được biểu thị trạng thái về không gian và thời gian của một hệ thống trong biến số về năng lượng, khối lượng hoặc vận tốc. Bài toán về người nhảy dù đang rơi được giới thiệu ở chương 1 là một ví dụ của phép đạo hàm của biểu thức vi phân thông thường từ một định luật cơ bản. Áp dụng định luật thứ hai Newton để triển khai một ODE 4 trình bày về mức thay đổi vận tốc của người nhảy dù đang rơi. Bằng cách tích phân mối quan hệ này, ta có được một biểu thức dự đoán về tốc độ rơi là một hàm số theo thời gian. (Hình PT7.2). Biểu thức này có thể được sử dụng trong một số các cách khác nhau kể cả cho mục đích thiết kế. 5 Bảng PT7.1. Các ví dụ về các định luật cơ bản được viết dưới dạng mức thay đổi của biến số (t = thời gian và x = vị trí) Định luật Biểu diễn toán học Biến số và tham số Định luật Newton m F dt dv = ' Tốc độ (v), lực (F), và khối lượng (m) Định Luật nhiệt Fourier dx dT kq '−= Sự dung nhiệt (q), độ dẫn nhiệt (k’) và nhiệt độ “T) ĐỊnh Luật tán xạ Fick dx dc DJ −= Sự dung khối lượng (J), hệ số tán xạ (D), và độ tập trung (c) Định luật Faraday (độ tụt áp qua điện cảm) dt di lv i =∆ Độ tụt áp ( i v∆ ), điện cảm (l) và dòng (i) Hình PT7.2 Trình tự các sự kiện trong ứng dụng ODE để giải bài toán kỹ thuật. Ví dụ cho thấy là tốc độ của người nhảy dù đang rơi. Thực ra, những quan hệ toán học này là cơ sở của nghiệm đối với số lượng lớn các bài toán kỹ thuật. Tuy nhiên, như trình bày ở phần trước, có nhiều biểu thức vi phân về ý nghĩa thực tiễn không thể giải được bằng cách sử dụng các phương pháp giải tích trong tính toán. Vì thế, các phương pháp được bàn luận trong các chương sau là khá quan trọng trong mọi lĩnh vực của kỹ thuật. 6 PT7.2. CƠ SỞ TOÁN HỌC Nghiệm của biểu thức vi phân thông thường là hàm số cụ thể của tham số và biến số độc lập thỏa mãn biểu thức vi phân gốc, Để minh họa khái niệm này, ta bắt đầu với một biểu thức đã cho : y = - 0,5x 4 + 4x 3 - 10x 2 + 8,5 x + 1 (PT7.12) đó là đa thức cấp bốn của nó (hình PT7.3a). Lúc này, nếu ta vi phân biểu thức (PT7.13) ta có được một ODE : 5,820122 23 +−+−= xxx dx dy (PT7.13) Biểu thức này cũng trình bày về biểu diễn của đa thức, nhưng thei cách khác với (PT7.12). Ít khi biểu diễn một cách rõ ràng các giá trị của y đối với mỗi giá trị của x. (PT7.13) cho mức thay đổi của y tương ứng với x (đó là, độ xiên) ở mỗi giá trị của x. Hình PT7.3 cho thấy cả hàm số và đạo hàm được vẽ cong theo x. Hình PT7.3. Vẽ đồ thị (a) y của x và (b) dy/dx đối với hàm số : y = -0,5x 4 + 4x 3 - 10x 2 + 8,5 + 1. 7 Lưu ý rằng giá trị 0 của đạo hàm tương ứng với điểm ở đó hàm số gốc là phẳng, đó là có độ xiên bằng 0. Tương tự, giá trị tuyệt đối tối đa của đạo hàm là các điểm cuối của khoảng ngắt quảng ở đó các độ xiên của hàm số là lớn nhất, Mặc dù, như đã minh chứng, ta có thể xác định được biểu thức vi phân là một hàm số gốc, đối tượng ở đây là để xác định được hàm số gốc đã cho là biểu thức gốc. Biểu thức gốc sau đó biểu thị nghiệm. Đối với trường hợp hiện tại, thì ta có thể xác định được nghiệm này bằng phương pháp vi phân biểu thức (PT7.13) : ∫ +−+−= dxxxxy )5,820122( 23 Ứng dụng quy tắc vi phân (xem bảng PT6.2) ∫ ≠+ + = + 1 1 1 nC n u duu n n Đối với mỗi số hạng của biểu thức cho được nghiệm y = - 0,5x 4 + 4x 3 - 10x 2 + 8,5 x + 1 (PT7.14) là xác định đối với hàm số gốc với một ngoại lệ. Trong trường hợp vi phân và sau đó tích phân, ta làm mất giá trị không đổi của 1 trong biểu thức gốc và đạt được giá trị C. C này được gọi là hằng số của tích phân. Hệ số nàykhông đổi xuất hiện chỉ ra rằng nghiệm không phải là duy nhất. Thực chất, nó không chỉ là một trong số vô hạn của các hàm số có thực (tương ứng với số vô hạn của giá trị có thực của C) thỏa mãn được biểu thức vi phân. Ví dụ, hình PT7.4 cho thấy về hàm có tực thỏa mãn được biểu thức (PT7.14). Hình PT7.14 Sáu nghiệm có thực đối với số nguyên - 2x 3 + 12x 2 - 20x + 8,5. Mỗi cái tương thích với một giá trị khác nhau của hằng số lấy tích phân C. 8 Vì thế, để cụ thể hóa toàn bộ nghiệm, một biểu thức vi phân thường được phối hợp với điều kiện phụ. Đối với ODE cấp 1, loại điều kiện phụ gọi là giá trị ban đầu yêu cầu để xác định hằng số này và có được nghiệm duy nhất. Ví dụ, Biểu thức (PT7.13) có thể phối hợp bằng điều kiện ban đầu là khi x = 0, y = 1. Những giá trị này có thể thế vào biểu thức (PT7.14) : L = - 0,5 (0) 4 + 4 (0) 3 - 10(0) 2 + 8,5(0) + C (PT7.15) để xác định C = 1. Vì thế, nghiệm duy nhất thỏa mãn cả biểu thức vi phân và điều kiện ban đầu cụ thể tìm được bằng cách thế C = 1 vào biểu thức (PT7.14) để có : y = - 0,5 x 4 + 4 x 3 - 10x 2 + 8,5x + 1 (PT7.16) Từ đó, ta “chốt” biểu thức (PT7.14) bằng ép nó đi thông qua điều kiện ban đầu và như thế, ta triển khai được một nghiệm duy nhất cho ODE và có trọn vòng đối với hàm số ban đầu biểu thức (PT7.12) Các điều kiện ban đầu có sự chuyển dịch rất rõ ràng đối với biểu thức vi phân đạo hàm từ việc giải bài toán vật lý. Ví dụ, trong bài toán người nhảy dù đang rơi, điều kiện ban đầu được phản ánh yếu tố vật chất vào thời điểm thời gian bằng không thì tốc độ dọc sẽ bằng 0. Nếu người nhảy dù đã sẵn sàng ở chuyển động dọc vào thời điểm 0, thì nghiệm sẽ được hiệu chỉnh để hạch toán cho tốc độ ban đầu này. Khi liên hệ đến biểu thích vi phân bậc n, thì điều kiện n được yêu cầu để tìm được nghiệm duy nhất. Nếu toàn bộ các điều kiện được cụ thể hóa ở cùng giá trị của biến độc lập (ví dụ, ở x hoặc t = 0), thì bài toán được gọi là bài toán giá trị ban đầu. Điều này tương phản với các bài toán giá trị biên khi chỉ tiêu kỹ thuật của điều kiện xuất hiện ở các giá trị khác nhau của biến độc lập. Chương 25 và 26 sẽ tập trung vào các bài toán giá trị ban đầu. Các bài toán giá trị biên cụ thể ở chương 27 theo giá trị riêng. PT7.3. ĐỊNH HƯỚNG Trước khi tiếp tục với các phương pháp số để giải các biểu thức vi phâm thông thường, một số định hướng có thể áp dụng ở đây. Tài liệu sau dự định cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan về tài liệu được thảo luận ở phần 7. Hơn nữa, ta đã định dạng mục tiêu để tập trung sự nghiên cứu của bạn vào lĩnh vực cần nghiên cứu. PT7.3.1. Nội dung và xem trước Hình PT7.3.1. cho thấy tổng quan của phần 7. Hai nhóm rộng của phương pháp số đối với bài toán giá trị ban đầu sẽ được bàn luận ở phần này của tập sách. Phương pháp một bước, có trong chương 25 cho phép tính toán y i+1 , cho ra biểu thức vi phân và y i . Còn phương pháp đa bước có trong chương 26 yêu cầu các giá trị bổ sung của y khác với ở i. Về toàn bộ nhưng có ngoại lệ nhỏ, thì các phương pháp 1 ở chương 25 được gọi là kỹ thuật Runge-Kutta. Mặc dù chương này có thể được tổ chức trong khái niệm về lý thuyết, nhưng chúng ta đã chọn một phương án mang tính biểu trưng hơn, rõ ràng hơn để giới thiệu về phương pháp này. Từ đó, ta bắt đầu chương này với phương pháp Euler có sự trình bày đồ họa một cách trực tiếp. Từ đó, ta sử dụng nhận định có hướng rõ ràng để triển 9 khai hai bản đã nâng cấp của phương pháp Euler - Các kỹ thuật Heun và điểm giữa. Sau phần giới thiệu này, ta chính thức triển khai khái niệm về phương pháp Runge-Kutta (hoặc RK) và minh chứng được về các kỹ thuật trước đó là phương pháp RK cấp hai và cấp 1 thực tế. Điều này được thực hiện bằng một cuộc thảo luận của các định thức RK cấp cao hơn trình tự được sử dụng cho việc giải bài toán kỹ thuật. Hơn nữa, ta tính ứng dụng của phương pháp một bước của hệ thống ODE. Cuối cùng, chương này kết thúc bằng bàn luận của các phương pháp RK ứng dụng được điều chỉnh tự động kích cỡ bước tương ứng với lỗi cắt bỏ của phép tính. Hình PT7.5 Trình diễn hệ thống tổ chức của phần 7 : Biểu thức vi phân thông thường. 10 [...]... phần mềm mục tiêu chung được sử dụng một cách rộng rãi Cụ thể, bạn phải làm quen với vi c sử dụng các loại công cụ này để thực hiện các phương pháp số để giải các bài toán kỹ thuật 12 CHƯƠNG 25 PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA Chương này đưa ra để giải các biểu thức vi phân thông thường dưới dạng : dy = f ( x, y ) dx Ở chương 1, ta sử dụng một phương pháp số để giải biểu thức này về tốc độ của người nhảy dù đang... hết ta sử dụng chuổi Taylor để mở rộng biểu thức (25.1.3) Chuổi Taylor đối với hàm số 2 biến được xác định (quay lại biểu thức (4.26) a1 + a 2 = 1 1 a1 p 2 = 2 1 a1 q11 = 2 Ba biểu thức đồng thời này có chứa 4 ẩn số Do có thêm một ẩn số so với số biểu thức, nên không có tập hợp số duy nhất thỏa mãn các biểu thức này Tuy nhiên, giả thiết giá trị đối với một trong các số đó, ta có thể xác định ∂g ∂g g... bạn phải thường áp dụng các kỹ thuật như phương pháp Euler sử dụng số các kích cỡ bước khác nhau để có được phép tính gián tiếp của các lỗi có liên quan 2 Như đã đề cập ở trên, trong bài toán thực tế ta thường liên hệ với các hàm số có tính phức hợp hơn so với các đa thức đơn giản Nhờ đó, các đạo hàm cần để đánh giá các phương pháp mở rộng chuổi Taylor có thể không phải dễ dàng tính được Mặc dù các giới... nối giữa 2 phương pháp này có thể chính thức được minh chứng bằng vi c bắt đầu với phương trình vi phân thông thường dy = f (x) dx Biểu thức này có thể được giải để tìm y bằng tích phân ∫ y i +1 y1 dy = ∫ xi +1 f ( x)dx xi Từ đó : y i +1 − y i = ∫ xi +1 xi f ( x)dx Hoặc : y i +1 = y i + ∫ xi +1 xi f ( x)dx Lúc này, quay lại chương 21, quy tắc hình thang biểu thức 21.3, được xác định là : ∫ xi +1 xi... và q được tính bằng cách đưa biểu thức 25.28 bằng số hạng trong phương pháp mở rộng chuổi Taylor (Ô 25.1) Từ đó, ít nhất đối với bản thấp hơn, số các số hạng n thường biểu thị trình tự của tiếp cận này Ví dụ, trong phần sau, Phương pháp RK cấp hai sử dụng hàm gia tăng có hai số hạng (n = 2) Những phương pháp cấp 2 này chính xác nếu nghiệm đối với biểu thức vi phân bằng ¼ Hơn nữa do các số hang h3 trở... hạng trình tự cao của biểu thức mở rộng chuổi Taylor Giải : Do chúng ta liên hệ đến một đa thức, ta có thể sử dụng chuổi Taylor để có được tính toán chính xác các lỗi trong phương pháp Euler Biểu thức (25.7) có thể được vi t lại như sau : Ea = f ' ( xi , y j ) 2! h2 + f ' ( xi , y j ) 3! h3 + f ' ( xi , y j ) 4! h4 (25.2.1) Trong đó f’(xi, yi) = đạo hàm đầu tiên của biểu thức vi phân (đó là, đạo hàm... xác định là : ∫ xi +1 xi f ( x )dx ≅ f ( xi ) + f ( xi +1 ) h 2 Trong đó : h = xi+1 - xi Thế biểu thức 25.22 vào biểu thức 25.21 ta có y i +1 = y i + f ( xi ) + f ( xi +1 ) h 2 Tương đương với biểu thức 25.18 Do biểu thức (25.23) là biểu thị trực tiếp của quy tắc hình thang, nên lỗi cắt bỏ cục bộ đã cho bởi công thức 21.6 E1 = f " (ξ ) 3 h 12 Trong đó ξ nằm giữa xi và xi+1 Từ đó, phương pháp này là cấp... khoảnh (a, b) Sử dụng phương pháp đặt tên phân loại khoa học đối với trường hợp hiện tại ta có thể biểu thị được là : ∫ xi +1 xi f ( x) dx ≅ hf ( x1+1 / 2 ) Thế công thức này vào biểu thức (25.21) ta có được biểu thức (25.27) Từ đó, khi phương pháp Heun có thể đượ c gọi là quy tắc hình thang, thì phương pháp điểm giữa có tên từ vi c xác định công thức tích phân làm cơ sở Phương pháp điểm giữa là cấp... nó là các bản nhóm rộng hơn của các tiếp cận 1 bước gọi là các phương pháp Runge-Kutta Ta lúc này quay lại đạo hàm chính thức của các kỹ thuật này 25.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA Các phương pháp Runge-Kutta (RK) đạt được độ chính xác của tiếp cận chuổi Taylor mà không có yêu cầu tính toán các đạo hàm bậc cao hơn Nhiều biến số tồn tại nhưng toàn bộ có thể được đặt trong mẫu tổng quát của biểu thức 25.1... x (e − e ) + 2e −0,5 x 13 Biểu thức này có thể được sử dụng để tạo ra giá trị nghiệm thực ở bảng 25.2 Trước hết, độ xiên ở (x0, y0) được tính như sau : y’0 = 4e0 - 0,5(2) = 3 Kết quả này hoàn toàn khác với độ xiên bình quân thực tế đối với khoảng bằng với 4,1946, như đã tính từ biểu thức vi phân có sử dụng biểu thức (PT6 ) Nghiệm số có được qua sử dụng phép dự đoán (biểu thức 25.15)để có được kết quả