a f(x )dx (b ) f(x 1)
28.1. SỬ DỤNG CÁC CẤP ĐỂ PHÂN TÍCH HỒI ỨNG NHANH CỦA PHẢN ỨNG (KỸ THUẬT HÓA HỌC/DẦU KHÍ)
PHẢN ỨNG (KỸ THUẬT HÓA HỌC/DẦU KHÍ)
Nội dung. Ở phần 12.2, ta phân tích trạng thái ổn định của chuổi các phản ứng. Bổ sung vào các phép tính về độ ổn định, ta cũng có thể quan tâm đến ứng ứng nhanh của toàn bộ các phản ứng hỗn hợp. Để thực hiện điều này, ta phải triển khai thức toán học đối với số hạng tích lũy ở biểu thức 12.1.
Quá trình tích lũy biểu thị sự thay đổi về lượng trong phản ứng theo sự thay đổi theo thời gian. Đối với hệ thống khối lượng không đổi, thì ta có thể lập công thức một cách đơn giản là :
Tích lũy
dt dc V
HÌNH 28.1
Một phản ứng hỗn hợp toàn bộ với đầu vào và đầu ra.
trong đó V = khối lượng và c = độ tập trung. Từ đó, công thức toán học đối với phần tích lũy là số lần về lượng tích phân c tương ứng với t.
Trong ứng dụng này ta sẽ phối hợp số hạng tích lũy vào khuôn khổ của cân bằng chung về khối lượng mà ta đã triển khai ở phần 12.1. Sau đó ta sẽ sử dụng nó để mô phỏng động lực của phản ứng đơn và hệ thống phản ứng. Trong phần sau này, ta sẽ trình bày về cách giá trị riêng của hệ thống có thể được xác định và cung cấp phần bên trong của động lực. Cuối cùng, ta sẽ minh họa về việc tối ưu có thể được sử dụng như thế nào để tính toán các tham số của các mô hình cân bằng về khối lượng.
Giải. Biểu thức (28.1) và (12.1) có thể sử dụng để biểu thị cân bằng khối lượng đối với phản ứng đơn như trình bày ở hình 28.1
c in C Qc dt dc V = − (28.2)
Phần tích lũy = đầu vào - đầu ra
Biểu thức 28.2 có thể được sử dụng để xác định về nghiệm biến theo thời gian hoặc thoáng qua đối với phản ứng. Ví dụ, nếu c = c0 tại t = 0, thì phép tính có thể được ứng dụng để giải về tích phân biểu thức 28.2 để có:
c = cm (1 - e-(Q/V)t) + c0e- (Q/V)t
Nếu cin = 50mg/m3; Q = 5 m3/min, V = 100 m3, và c0= 10mg/m3, thì biểu thức này là :
c = 50 (1 - e-0,05t) + 10e-0,05t
Hình 28.2 cho nghiệm tích phân chính xác.
Phương pháp Euler cho một phương án thay thế để giải biểu thức (28.2). Hình 28.2. bao gồm hai 2 nghiệm với kích cỡ bước khác nhau. Khi kích cỡ bước giảm, thì nghiệm số hội tụ về nghiệm vi phân.Từ đó, đối với trường hợp này, thì phương pháp số sẽ được sử dụng để kiểm tra kết quả vi phân.
Bên cạnh việc kiểm tra kết quả phân tích, các nghiệm số phải bổ sung thêm giá trị vào các hoàn cảnh này ở đó các nghiệm phân tích không thể hoặc khó khăn khi chúng không thực tế. Ví dụ, ngoài phản ứng đơn, các phương thức số có sử dụng đến khi tích lũy động lực của hệ thống phản ứng
HINHF 28.2
Vẽ đường biểu diễn nghiệm vi phân và số của biểu thức (28.2). Các nghiệm số có được bằng phương pháp Euler sử dụng các kích cỡ bước vi phân.
ứng. Ví dụ, ODE có thể được viết cho 5 phản ứng ghép ở hình 12.3. Cân bằng về khối lượng đối với phản ứng đầu tiên có thể được viết là:
115 15 1 12 31 31 01 01 1 c c c C i Q Q Q Q dt dc V = + − −
hoặc, thế các tham số (lưu ý rằng Q01c01 = 50 mg/min, Q03c03 = 160mg/min. V1 = 50 m3; V2 = 20 m3, V3 = 40 m3; V4 = 80 m3 và V5 = 100 m3. 1 02 , 0 12 , 0 1 3 1 = − c + c + dt dc
Tương tự, các phần cân bằng có thể được triển khai đối với phản ứng khác :
21 1 2 0,15c 0,15c dt dc = − 4 225 , 0 025 , 0 2 3 3 = c − c + dt dc 5 4 3 4 0,1c 0,1375c 0,025c dt dc = − + 5 2 1 5 0,03c 0,01c 0,04c dt dc − + =
Giả sử ở t = 0 toàn bộ các hệ số tập trung trong phản ứng đều bằng 0. Tính độ tập trung của chúng tăng như thế nào theo giờ tiếp theo.
Các biểu thức có thể được tích phân với phương pháp RK cấp 4 đối với hệ thống các biểu thức và các kết quả được minh họa ở hình 28.3. Lưu ý rằng mỗi phản ứng cho thấy sự hồi ứng nhanh khác nhau đối với sự đưa hóa chất vào. Các hồi ứng này có thể lập tham số bằng 90% số lần hồi đáp t90
HÌNH 28.3
Vẽ biểu diễn phần hồi ứng động lực hoặc tức thời của mạng lưới các phản ứng từ hình 12.3. Lưu ý rằng toàn bộ các phản ứng tiếp cận cuối cùng sự tập trung trạng thái ổn định của chúng trước đó được tính ở phần 12.1. Hơn nữa, thời gian đến trạng thái ổn định được biểu diễn bằng tham số bằng 90% số lần hồi ứng t90.
có thể tính thời gian yêu cầu cho mỗi phản ứng để phản ứng được 90% cấp độ trạng thái ổn định duy nhất của nó. Ranh giới thời gian từ 10 phút cho phản ứng 4 đến khoảng 70 phút cho phản ứng số 5. Thời gian hồi ứng của các phản ứng 4 và 5 đang được quan tâm đặc biệt bởi vì hai chuổi truy xuất đối với hệ thống thoát ra khỏi các bể này. Từ đó, một thiết kế kỹ thuật hóa học cho hệ thống có thể thay đổi dòng hoặc khối lượng phản ứng để tăng tốc sự hồi ứng của các bể này trong khi vẫn duy trì đầu ra cần thiết. Các phương pháp số của phần phân loại được trình bày ở phần này của tập sách có thể chứng minh về tính hữu dụng trong các tính toán thiết kế này.
Đi sâu vào bên trong của các đặc tính hồi đáp của hệ thống có thể được triển khai bằng cách tính toán giá trị riêng của chúng. Trước hết, hệ thống ODE có thể được viết thành bài toán giá trị riêng như sau :
Trong đó λ và {e} = giá tị riêng và véc tơ riêng tương ứng.
Một gói như MATLAB có thể được sử dụng để tạo ra một cách rất thuận lợi các giá trị riêng và véc tơ riêng.
Các giá trị riêng này có thể được biên dịch bằng cách công nhận rằng nghiệm tổng quát đối với hệ thống ODE có thể được biểu diễn là tổng các số mũ. Ví dụ, đối với phản ứng 1, thì nghiệm tổng quát phải ở dạng :
c1 = c11e-λ1t + c12e-λ2t + c13e-λ3t + + c14e-λ4t + c15e-λ5t
trong đó cij = phần của điều kiện ban đầu cho phản ứng i có liên quan đến giá trị riêng thứ j. Từ đó, bởi gì đối với trường hợp hiện tại, toàn bộ các giá trị riêng là dương (và từ đó số âm ở hàm số mũ), nghiệm này bao gồm 1 chuỗi các số mũ phân rã dần. Phần với giá trị riêng nhỏ nhất (trường hợp của chúng ta là 0,04) sẽ là chậm nhất. Trong một số trường hợp, thì kỹ sư thực hiện phân tích này có thể tiến hành có liên quan đến giá trị riêng này
HÌNH 28.4.
Thí nghiệm đơn lẻ để chọn dữ liệu định mức đối với hỗn hợp hóa học tan rã theo thời gian (in lại từ Chapra 1997)
ngược lại đối với các tham số hệ thống. Ví dụ, tỷ lệ chuổi ra từ phản ứng 5 đến khói lượng của nó là (Q55 + Q54)/V5 = 4/100 = 0,04. Thông tin này sau đó có thể được sử dụng để hiệu chỉnh hiệu năng động lực của hệ thống này.
Đề tài cuối cùng ta muốn xem lại trong ngữ cảnh hiện tại là phép tính tham số. Một khu vực ở đó xuất hiện dần dần là động lực phản ứng, đó là sự định lượng về mức độ phản ứng hóa học.
Một ví dụ đơn giản được biểu diễn ở hình 28.4. Một chuỗi các chén thí nghiệm được bố trí chứa các hợp chất hóa học có quá trình phân rã theo thời gian. Ở các khoảnh thời gian, độ tập trung trong một của những lọ thí nghiệm được tính toán và ghi chép lại. Từ đó, kết quả này là một bảng thời gian và độ tập trung.
Một mô hình được sử dụng chung để trình bày dữ liệu này là :
n kc dt dc − = (28.3)
Trong đó k = mức độ phản ứng và n = trình tự của phản ứng. Các kỹ sư hóa học sử dụng dữ liệu độ tập trung - thời gian của phần phân loại như đã biểu diễn ở hình 28.4 để tính toán k và n. Một cách thực hiện điều này là đoán các giá trị của các tham số và sau đó giải biểu thức (28.3) bằng phương pháp số. Các giá trị dự đoán về độ tập trung có thể được so sánh với các độ tập trung tính toán và đánh giá về tính phù hợp của nó được thực hiện. Nếu độ phù hợp là không tương xứng (ví dụ, bằng cách kiểm tra đường vẽ hoặc tính toán thống kê như tổng phần tư các số dư), thì các phần đoán này được hiệu chỉnh và quy trình được lập lại đến khi có được sự phù hợp hoàn hảo.
Dữ liệu sau có thể phù hợp ở dạng này :
i, d 0 1 3 5 10 15 20
HÌNH 28.5
Ứng dụng bảng dữ liệu và phương pháp số để xác định trình tự và hệ số mức độ của dữ liệu phản ứng. Ứng dụng này được thực hiện với bảng tính dữ liệu Excel.
Nghiệm đối với bài toán này ở hình 28.5. Bảng tính dữ liệu Excel được sử dụng để thực hiện phép tính.
Phần đoán ban đầu đối với mức phản ứng và trình tự được đưa vào ô B3 và B4, tương ứng và bước thời gian để tính số được tiêu chuẩn vào ô B5. Đối với trường hợp này, thì một cột thời gian tính toán đưaợc đưa vào cột A bắt đầu ở 0 (ô A7) và kết thúc ở 20 (ô A27). Hệ số k1 đến k4 đối với phương pháp RK cấp 4 sau đó được tính ở block B7.E27. Sau đó nó sử dụng để xác định độ tập trung dự đoán (các giá trị cp) ở cột F. Các giá trị tính toán (cm) được đưa vào cột G gần với các giá trị dự đoán tương ứng. Sau đó nó sử dụng có liên quan đến các giá trị dự đoán để tính số dư bình phương ở cột H. Các giá trị này sau đó được tổng hợp ở ô H29.
Ở điểm này, Phần Excel Solver (đáp áp Excel) có thể sử dụng để xác định các giá trị tham số tốt nhất. Khi bạn đánh giá Solver, bạn được nhắt về ô mục tiêu hoặc ô nghiệm (H29), theo hàng dù bạn có muốn tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa ô mục tiêu (tối giản), và được nhắc để
Hình 28.6
Vẽ phần phù hợp tạo ra với phương án tích phân/bình phương nhỏ nhất
các ô đã biến đổi (B3. N4). Bạn sau đó kích hoạt giải thuật [s(olve] và kết quả như ở hình 28.5. Như đã chứng minh, các giá trị ở các ô B3, B4 (k = 0,0915 và n = 1,044) tối giản tổng bình phương các số dư (SSR = 0,155) giữa các dữ liệu dự đoán và tính toán. Hình vẽ phù hợp theo dữ liệu như ở hình 28.6.