Đề cương học tập toán lớp 10 tập 2

Ths Lê Văn Đoàn Ths Lê Văn Đoàn MỤC LỤC Trang PHẦN I – ĐẠI SỐ CHƯƠNG IV – BẤT ĐẲNG THỨC & BẤT PHƯƠNG TRÌNH - B – BẤT PHƯƠNG TRÌNH - I – Bất phương trình & Hệ bất phương trình bậc ẩn - Dạng tốn Giải phương bất trình bậc – Hai phương trình tương đương Dạng tốn Bất phương trình qui bậc – Hệ bất phương trình Dạng tốn Bất phương trình bậc ẩn chứa tham số 10 II – Dấu tam thức bậc hai & Bất phương trình bậc hai 15 Dạng toán Xét dấu & Giải bất phương trình bậc hai - 15 Dạng toán Phương trình & Bất phương trình chứa căn, trị tuyệt đối 20 Dạng toán Bài toán chứa tham số phương trình & bất phương trình - 35 CHƯƠNG V – GĨC VÀ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC 47 A – HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN - 47 B – CUNG LIÊN KẾT 52 C – CÔNG THỨC CỘNG CUNG 62 D – CÔNG THỨC NHÂN - 69 E – CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI - 77 PHẦN II – HÌNH HỌC CHƯƠNG III – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG - 89 A – TỌA ĐỘ VÉCTƠ & TỌA ĐỘ ĐIỂM 89 B – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 97 Dạng tốn Lập phương trình đường thẳng & Bài toán liên quan 100 Dạng toán Các toán dựng tam giác – Sự tương giao – Khoảng cách – Góc - 105 C – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN - 133 D – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELÍP 177 E – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG HYPERBOL - 197 F – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PARABOL - 211 G – BA ĐƯỜNG CONIC 224 H – ỨNG DỤNG TỌA ĐỘ GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH - 234 Đề cương học tập mơn Tốn 10 – Tập II Ths Lê Văn Đồn B – BẤT PHƯƠNG TRÌNH I – Bất phương trình hệ bất phương trình bậc ẩn Điều kiện bất phương trình Điều kiện bất phương trình điều kiện mà ẩn số phải thõa mãn để biểu thức hai vế bất phương trình có nghĩa Cụ thể, ta có ba trường hợp: + Dạng Điều kiện có nghĩa: + Dạng Điều kiện có nghĩa: + Dạng Điều kiện có nghĩa: Hai bất phương trình tương đương Hai bất phương trình gọi tương đương với chúng có tập nghiệm Phương pháp giải bất phương trình hệ bất phương trình bậc ẩn a/ Giải bất phương trình bậc ẩn Phương pháp:  Bước Đặt điều kiện cho bất phương trình có nghĩa (nếu có)  Bước Chuyển vế giải  Bước Giao nghiệm với điều kiện tập nghiệm S b/ Hệ bất phương trình bậc ẩn Phương pháp:  Bước Đặt điều kiện cho hệ bất phương trình có nghĩa (nếu có)  Bước Giải bất phương trình hệ lấy giao tập nghiệm thu  Bước Giao nghiệm với điều kiện tập nghiệm S Giải biện luận bất phương trình bậc dạng: Điều kiện Kết tập nghiệm Lưu ý: Ta giải tương tự cho trường hợp: "Cần cù bù thông minh…………" Page - - Ths Lê Văn Đoàn Chương Bất đẳng thức Bất phương trình Dạng Giải phương trình bậc – Hai phương trình tương đương BÀ TẬ Á DỤNG BAI TÂP AP DUNG Bài 1 Tìm điều kiện có nghĩa phương trình sau 1/ 1 2+ x x−3 x−3 4/ x − x−3 < x +1 6/ 1+ x − 2x2 ≤ x − 3x + x + x −4 2− 2x − x −1 − x + x−4 ≤ − 4x + 2/ x+6 (x − 3) ( ) −x − 10 > x + x2 − x + + ( x − x +1 x−5 x − + − x ≥ −4 4/ − x + x − ≥ −10 + x − + x2 > 5−x 6/ x − 10 ( ) x +2 < − x2 (x − 4)(x + 5) 8/ ) 4x + 4x + + x2 − 6x + 10 < x2 + + x − x + < x + 10/ < 4x + > x + x2 + + x +1 < 12/ x + x − + x2 + − ≤ Xét tương đương cặp bất phương trình sau 1/ −4x + > 2/ Page - - ≤ 2−x +x 7 x2 + & 3x − > x2 + 5/ 2x − − & 2x − < x − 6/ x +3− 7/ 4x + < − x & (18 + x − 2x )(4x + 8) < (18 + x − 2x )(1 − x) 8/ 3x + < x + & (3x + 1) 9/ x+5 < x −1 & (x + 5)(x − 1) < 10/ x2 ≥ x & x ≥1 11/ x ≥ x2 & x2 ≥ < x−4 x−5 1 (2 − x) 2 & x +1 x −2 ≥ x x +1> Giải bất phương trình sau 3 (2x − 7) > 1/ −2x + 3/ (x − 1) −1 < 2/ (x + 1) 4/ 3− 2+ 2x + >x+ (x + 1) < 3− x −1 5/ 3x + x − − 2x − < 6/ x +1 x +2 x − − 2x 8/ (x + 2) 9/ x+ x < x +3 10/ ( ( )( ) x −1 ≥ (x − 1) + )( ) 1− x + 1− x − > 1− x − 11/ (x − 4) (x + 1) > 12/ (x + 2) (x − 3) > 13/ x−3 ≥ 3−x 14/ x −1 < + x −1 "Cần cù bù thông minh…………" Page - - Ths Lê Văn Đoàn Chương Bất đẳng thức Bất phương trình x −2 15/ x−4 ≤ x−4 16/ (10 − x) x−4 x−4 ≥ 18/ x−3 ≤ − 2x x −2 ≥ 20/ (4 − x ) > 17/ (x − 1)(x + 1) 19/ (x − 3) − x ≤ Dạng Bất phương trình qui bất phương trình bậc ẩn Hệ bất phương trình bậc ẩn Dấu nhị thức bậc a/ Sử dụng bảng xét dấu (trái trái – phải cùng: với hệ số a) b/ Sử dụng trục số ● Nếu : ● Nếu : Bất phương trình tích số  Dạng: Trong đó: nhị thức bậc  Phương pháp: Lập bảng xét dấu Từ suy tập nghiệm Bất phương trình chứa ẩn số mẫu  Dạng: Trong đó:  Phương pháp: Lập bảng xét dấu nhị thức bậc Từ suy tập nghiệm Lưu ý: Không nên qui đồng khử mẫu Page - - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập mơn Tốn 10 – Tập II Ths Lê Văn Đồn Bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối  Tương tự giải phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối  Dạng : có nghĩa  Dạng , ta chia toán thành nhiều trường hợp Trong trường hợp ta Lưu ý: Với , ta ln có xét dấu qui tắc BÀ TẬ Á DỤNG BAI TÂP AP DUNG Bài 5 Lập bảng xét dấu hàm số sau 1/ f (x ) = x + 2/ f (x) = 2x + 3/ f (x ) = − x 4/ f (x) = 2 + x 5/ f (x) = − 3x 6/ f (x ) = m + x − 7/ f (x) = 4m − − m2 − 2m + x 8/ f (x) = 4m2 + 2m + x − 3m 9/ f (x ) = m + m − m + x ( 11/ f (x) = 13/ f (x) = ) ( 5x − (x − 3)(2x − 1) ) 1 − x −1 x −1 ( ) ( ) 10/ f (x) = 3x (3x − 1) 12/ f (x) = x (x + 1) x−2 14/ f (x) = (2x − 5) 15/ f (x) = (3 − 7x) 16/ f (x) = −(3x + 1) 17/ f (x) = (2x − 7) 18/ f (x) = − x 19/ f (x) = (5x + 2) 20/ f (x) = x (8 − 3x) 21/ f (x) = (4x − 1)(x − 1) 22/ f (x) = (3x + 7)(5 − 2x) 23/ f (x) = (2x + 5)(3x + 7) 24/ f (x) = x (x − 3) "Cần cù bù thông minh…………" ( ) Page - - Ths Lê Văn Đồn Chương Bất đẳng thức Bất phương trình 25/ f (x) = x (2 − 7x) 26/ f (x) = (x + 1) (4 − x) ( )( 27/ f (x) = x − ) 2−x 28/ f (x) = (2 − x) (2x + 5) 29/ f (x) = (2x − 4)(x + 1)(6 − 2x) 30/ f (x) = (4 − x)(x + 1)(5x − 2) 31/ f (x) = 3x (2x + 7)(9 − 3x) 32/ f (x) = (1 − 3x) (x − 1) 33/ f (x) = (4 − x) (5x − 2) 34/ f (x) = x2 (2x − 3) Bài Giải bất phương trình sau 1/ (x + 1)(x − 1)(3x − 6) > 2/ 3/ x − x − 20 > (x − 11) 4/ 3x (2x + 7)(9 − 3x) ≥ 5/ > x−3 6/ −3 > − 3x 7/ ≤ x −1 8/ x ≥ x−5 9/ x ≥ x −x 10/ 4x + ≤ 2x − (2x − 7)(4 − 5x) ≥ 11/ x −2 < x2 − 12/ 1− x < x 13/ 5x − ≤ x+6 14/ x+9 ≤ x −1 16/ − 6x ≥ −1 4x + 18/ x−3 x +5 > x +1 x −2 15/ 17/ x −1 ≥ x−3 (2x − 5)(x + 2) > −4x + 19/ 2x + ≥ 3x + 20/ 7x − ≥ 8x + 21/ x − − 2x < x+5 x−3 22/ 3x − > x −2 23/ x2 + 2x ≤ x2 − 24/ x −2 ≥ x2 − 25/ (4x + 3) (2x − 5) 26/ − 2x > x2 Page - - ≤ "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập mơn Tốn 10 – Tập II Ths Lê Văn Đoàn 27/ 2x − ≥ −1 2−x 28/ 2x − 3x + < 3x + 2x − 29/ −4 < 3x + − x 30/ 2x + x ≥ 1− x − 2x 33/ 35/ x+9 32/ < (x − 1) (x + 9) x2 31/ ≥ 3x − 34/ (3x + 1)(x − 3) ≤ − 2x 36/ ≥ x −1 x2 + 6x + > 2x − x − (x − 3)(x + 2) < x2 − 37/ ≤ x − 2x − 38/ x + > 39/ < x − x − x2 40/ + > x +1 x +2 x + 41/ (5 − 6x) (4x + 1) 42/ −1 < x − 3x − 44/ x +2 x −2 > 3x + 2x − 46/ x2 + 3x − ≥ −x 2−x 48/ (x + 2) (x + 6) ≥0 x − 7) (x − 2) ( 50/ (x − 1) (x + 2) x (x − 7) ≤ x − (2x − 6) 43/ (1 − x)(x + 4) 45/ (x − 1)(x + 2) 47/ (x + 9) ≤ −1 − x ≤ 4 < x −1 x +1 3 + +1< 49/ (x − 2)(x − 3) x − 51/ x2 − 3x + 24 < x2 − 3x + ≥ 52/ x − 6x + 11x − ≥ 53/ x + 8x + 17x + 10 < 54/ x + 6x + 11x + > 55/ 2x − 5x − 2x + < 56/ (x 58/ 5x − x 3x 15x −     2 (2x − 3) > 5x −     3/ 4   − 12x ≤ x +  3   4x − − x  <     5/   11 − x ≥ 2x −     2 (3x + 1) ≥ x −     Chương Bất đẳng thức Bất phương trình 2/  4x −   2x −     4/ x   ≤x+4  2   2x − 19 + x  <     6/   15x − > 2x +     3x − 14 2 (x − 4) <     7/  2x − 3x +   <     3x + < − x     8/   − 3x  3x − (x − 2)  − −1 >     3 − 4x − > x − − − 5x   18 12   9/ 3x + ≥ 2x +    4x + > 2x + 19   9x − 12 ≥ 4x + 15  10/   19 − 3x < + 5x    5x +   ≥ 3−x  11/   1 − 5x  < 3x +   13   x + ≤ + 2x  13/   5x − < 4x −   x +   ≥ 3−x   14/  1 − 5x  < 4x +     5x − < 4x +   15/   x < (x + 2)    7x − <  16/    (2x + 3)(x − 1) ≥     + x < x − 3x + ( ) 17/   x − 6x − 7x − < x −  ( )   (x − 2)(6 − x) ≥    18/  4x −     x −   >7  20/  x −  (2x − 3)(x + 3) ≥     2x +   ≥1   21/  x −  (x + 2)(2x − 4)  ≤0   x −1   Page - -   5x − ≥ 2x +  12/    x < (x + 2)     x +1  x−4  >   22/ 1 − 2x − 2x   Bài 668 Chứng tỏ phương trình Ax2 + By2 + F = với AF < 1/ 2/ 3/ Là phương trình đường trịn có tâm O (0; 0) A = B A ≠ B  Là phương trình elíp có đỉnh O (0; 0)  Tìm tọa độ tiêu điểm,  A.B >   phương trình đường chuẩn elíp A ≠ B  Là phương trình hyperbol có đỉnh O (0; 0)  Tìm tọa độ tiêu  A.B <   điểm, phương trình đường chuẩn hyperbol Bài 669 Chứng tỏ phương trình Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = với A.B >    C + D − E > Tìm tọa độ tiêu điểm,   1/ Là phương trình elíp A.    4A 4C    phương trình đường chuẩn elíp  C2  D2   2/ Là phương trình hyperbol A. + − E < Tìm tọa độ tiêu   4A 4C      điểm, phương trình đường chuẩn hyperbol C2 D2 + − E = 4A 4C Bài 670 Chứng tỏ phương trình Ax2 + Bx + Cy + D = với A ≠ 1/ Là phương tình parabol C ≠ 2/ Là phương trình đường thẳng C = B2 − 4AD = 3/ Là phương trình hai đường thẳng C = B2 − 4AD > 3/ Là điểm 4/ Là tập rỗng C = B2 − 4AD < Bài 671 Chứng tỏ phương trình Ay2 + By + Cx + D = với A ≠ 1/ Là phương tình parabol C ≠ 2/ Là phương trình đường thẳng C = B2 − 4AD = 3/ Là phương trình hai đường thẳng C = B2 − 4AD > 4/ Là tập rỗng C = B2 − 4AD < Bài 672 Chứng tỏ phương trình Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = (∗) 1/ Là phương trình elíp B2 − AC < 2/ 3/ 4/ 5/ Là phương trình hyperbol B2 − AC > Là phhương trình parabol B2 − AC = Là phương trình đường trịn B = A = C ≠ Là phương trình elíp hyperbol có trục phương với trục tọa độ B = A.C ≠ A ≠ C Là phương trình đường thẳng (∗) có nghiệm y phương trình bậc theo x 6/ Bài 673 Cho elíp (E) : 4x2 + 16y2 = 64 Page - 228 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập mơn Tốn 10 – Tập II 1/ 2/ Ths Lê Văn Đoàn Xác định tiêu điểm F1, F2, tâm sai vẽ elíp M điểm elíp Chứng tỏ tỉ số khoảng cách từ M đến tiêu điểm phải F2 tới đường thẳng x = 3/ có giá trị khơng đổi Cho đường trịn (C) : x2 + y2 + 4x − = Xét đường trịn (C1 ) di động ln qua tiêu điểm phải F2 tiếp xúc với đường tròn (C) Chứng tỏ tâm N đường tròn (C1 ) nằm hyperbol cố định Viết phương trình hyperbol Bài 674 Cho hyperbol (H) có phương trình (H) : 1/ 2/ 3/ x2 y2 = a b2 Tính độ dài phần đường tiệm cận chắn hai đường chuẩn Tính khoảng cách từ tiêu điểm đến tiệm cận Chứng minh chân đường vng góc hạ từ tiêu điểm đến đường tiệm cận nằm đường chuẩn ( − ) Bài 675 Tính góc α, < α ≤ 900 đường tiệm cận hyperbol Biết khoảng cách tiêu điểm gấp lần khoảng cách đường chuẩn Bài 676 Chứng minh điều kiện cần đủ để đường thẳng d : Ax + By + C = tiếp xúc với elíp 2 (E ) : x2 + y = a 2A2 + b2B2 = C2 hyperbol (H) : x2 a b Bài 677 Chứng minh điều kiện cần đủ để đường thẳng d : Ax + By + C = tiếp xúc với − y2 = a A − b B2 = C2 a b Bài 678 Chứng minh điều kiện cần đủ để đường thẳng d : Ax + By + C = tiếp xúc với parabol (P) : y2 = 2px B2p = 2AC Bài 679 Chứng minh phương trình tiếp tuyến với elíp (E) : M (x o ; yo ) ∈ (E) có dạng : xo x a + yo y b2 x2 a2 + xo x a2 − yo y b2 = điểm b2 = Bài 680 Chứng minh phương trình tiếp tuyến với hyperbol (H) : M (x o ; yo ) ∈ (H) có dạng : y2 x2 a2 − y2 b2 = điểm = Bài 681 Chứng minh phương trình tiếp tuyến với parabol (P) : y2 = 2px điểm M (x o ; yo ) ∈ (P) có dạng : y o y = p (x + x o ) Bài 682 Cho điểm M (1;2) Lập phương trình tiếp tuyến cơníc (ℑ) qua M, biết 1/ (ℑ) : x y2 + = 2/ (ℑ) : x2 − y2 = x2 y2 + = Chứng minh qua M kẻ hai tiếp tuyến đến (E) Bài 683 Cho điểm M (3; −4) elíp (E) có phương trình (E) : 1/ "Cần cù bù thơng minh…………" Page - 229 - Ths Lê Văn Đồn 2/ Phần hình học Xác định phương trình hai tiếp tuyến lập phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm (E) với hai tiếp tuyến 3/ Viết phương trình tiếp tuyến (E) qua điểm A (3; 0) 4/ Viết phương trình tiếp tuyến (E) qua điểm B (2; 3) 5/ Viết phương trình tiếp tuyến (E) , biết tiếp tuyến song song với d1 : x − 2y + = 6/ Viết phương trình tiếp tuyến (E), biết tiếp tuyến vng góc với d2 : y = x 7/ Viết phương trình tiếp tuyến (E), biết tiếp tuyến tạo với d3 : 2x − y = góc 60 1/ x y2 − = Viết phương trình tiếp tuyến (H) Biết tiếp tuyến 16 Đi qua điểm A (3; 0) 2/ Đi qua điểm B (3;2) 3/ Song song với đường thẳng d1 : x − y + = 4/ Vng góc với đường thẳng d2 : x − 2y + = 5/ Tạo với đường thẳng d3 : x − 2y − = góc 45 Bài 684 Cho hyperbol (H) : Bài 685 Cho parabol (P) : y2 = 2x Lập phương trình tiếp tuyến (E), biết tiếp tuyến 6/ Đi qua điểm A (2;2) 7/ Đi qua điểm B (2; 3) 8/ Song song với đường thẳng d1 : 3x − 4y + = 9/ Vuông góc với đường thẳng d2 : 4x − 3y + = 10/ Tạo với đường thẳng d3 : 2x − y = góc 60 Bài 686 Cho đường thẳng ∆ : 2x − y − = parabol (P) : y2 = 2x 1/ Lập phương trình tiếp tuyến parabol (P) vng góc với đường thẳng ∆ 2/ Gọi M tiếp điểm (P) với tiếp tuyến d Hãy lập phương trình đường trịn tâm M tiếp xúc với đường thẳng ∆ Bài 687 Cho parabol (P) : y = x2 − 2x + d1 : y = 2x Đường thẳng d đường thẳng phương với đường thẳng d1 cho d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B 1/ Lập phương trình d hai tiếp tuyến (P) A B vng góc với 2/ Lập phương trình d độ dài AB = 40 (x − 1) Bài 688 Cho điểm M (−2;9) hyperbol (H) : hyperbol (H) qua điểm M (y − 1) − 16 = Lập phương trình tiếp tuyến Bài 689 Lập phương trình tiếp tuyến chung 1/ 2/ Page - 230 - x2 y2 + =1 x2 y2 E) : + ( =1 (E ) : & (C) : x2 + y2 = & (H ) : x y2 − = 27 "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập mơn Tốn 10 – Tập II x2 y2 + = 3/ (E ) : 4/ & 6/ x2 y2 + = x y2 H) : ( − =1 x y2 H) : ( 16 − = 7/ (C) : (x + 2) 8/ (H1 ) : 9/ ( H) : 10/ 11/ 12/ 13/ + y2 = x y2 − =1 x y2 − =1 x2 y2 E) : + ( =1 x y2 ( H) : − = x2 y2 (E ) : + = (P1 ) : y = x2 + 2x + Bài 690 Cho elíp (E) : x2 (C) : x2 + y2 = & (E ) : & (C) : x2 + y2 = & (C) : (x + 2) & (P) : y2 = 12x & (E1 ) : 5/ Ths Lê Văn Đoàn (H ) : & (E ) : & (P) : y2 = 12x & (P) : y2 = 2x & & x2 y2 + = + y2 = x y2 − = x2 y2 + = (P) : y2 = 2x (P2 ) : y = x2 y2 = , (a > b) Chứng minh tích khoảng cách từ tiêu điểm đến a2 b2 tiếp tuyến elíp (E) bình phương độ dài trục nhỏ elíp + Bài 691 Cho hyperbol (H) : x2 y2 = Một tiếp tuyến (H) d tiếp xúc với (H) điểm a b2 T Gọi M, N giao điểm tiếp tuyến d với đường tiệm cận (H) − 1/ Chứng minh T trung điểm MN 2/ Chứng minh diện tích ∆OMN khơng phụ thuộc vào tiếp tuyến d Bài 692 Cho parabol (P) Chứng minh tiếp tuyến hai đầu mút dây cung qua tiêu vng góc với điểm đường chuẩn Bài 693 Cho elíp (E) : x2 Bài 694 Cho elíp (E) : x2 y2 = hai điểm M, N elíp (E), cho mỗ tiêu điểm F1, F2 a2 b2 (E) nhìn đoạn MN góc vng Hãy xác định vị trí M, N tiếp tuyến + y2 = với < b < a có hai tiêu điểm F1, F2 Đường thẳng di động d a2 b2 qua F2 cắt (E) P, Q + 1/ Đặt (Ox, F2P) = α, (0 ≤ α ≤ 2π) Tính độ dài F2 P, F2Q theo a, b, α 2/ Chứng minh: 3/ 1 + không đổi F2P F2Q Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn PQ "Cần cù bù thông minh…………" Page - 231 - Ths Lê Văn Đồn 4/ Phần hình học Đường thẳng F1P cắt elíp (E) S ≠ P Chứng minh Bài 695 Cho điểm F (−1; 0) đường thẳng ∆ : x + = F2 P F2Q + F1P F1S không đổi MF = elíp (E) d (M, ∆) 1/ Chứng minh quỹ tích điểm M cho 2/ Từ điểm N tùy ý đường thẳng ∆ kẻ hai tiếp tuyến đến (E) tiếp xúc với (E) P Q Chứng minh đường thẳng PQ qua F xác định vị trí N để độ dài đoạn PQ nhỏ Bài 696 Cho hai điểm M (−2; m), N (2; n) elíp (E) : x2 + 4y2 = 1/ Gọi A1, A2 đỉnh trục lớn elíp Hãy viết phương trình đường thẳng A1N A2M xác định tọa độ giao điểm I chúng 2/ Cho MN thay đổi tiếp xúc với elíp (E) Tìm quỹ tích điểm I 1/ 2/ x2 y2 + = A (−3; 0), M (−3; 0), N (3; 0), N (3; n) Xác định tọa độ giao điểm I AN BM Chứng tỏ để MN tiếp xúc với elíp (E) điều kiện cần đủ m, n thỏa mãn biểu 3/ thức m.n = Với m, n thay đổi MN ln tiếp xúc với elíp (E) Tìm quỹ tích điểm I Bài 697 Cho elíp (E) : Bài 698 Cho elíp (E) : x2 + y2 = với F1, F2 tiêu điểm A1, A2 đỉnh thuộc trục lớn a2 b2 Lấy M ∈ (E) H1, H2 theo thứ tự hình chiếu vng góc F1, F2 lên tiếp tuyến với (E) M Gọi (C) đường trịn đường kính A1A2 1/ Chứng minh H1, H2 ∈ (C) 2/ Các đường thẳng H1F2, H2 F2 cắt đường tròn (C) theo thứ tự điểm K1, K2 Chứng minh H1H2 K2K1 hình chữ nhật Bài 699 Cho elíp (E) : x2 Bài 700 Cho elíp (E) : x2 Bài 701 Cho elíp (E) : x2 y2 = với a > b Tiếp tuyến M elíp (E) cắt đường chuẩn ∆2 a2 b2 N Chứng minh tiêu điểm F2 nhìn MN góc vng + y2 = với a > b Tiếp tuyến M elíp (E) cắt hai trục tọa độ S1 a2 b2 S2 Xác định tọa độ M để ∆OS1S2 có diện tích nhỏ + y2 + = với a > b Từ điểm K tùy ý đường chuẩn ∆ kẻ hai tiếp a2 b tuyến đến (E) tiếp xúc với (E) hai điểm H1, H2 1/ Chứng minh đường thẳng H1H2 qua tiêu điểm F elíp (E) 2/ Xác định vị trí điểm K để đọa dài H1H2 nhỏ Page - 232 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập mơn Tốn 10 – Tập II Bài 702 Cho elíp (E) : x2 Ths Lê Văn Đồn y2 = với a > b Gọi A2 (a, 0) đỉnh trục lớn elíp (E) Góc a2 b2 vng tA2 z quay quanh A2 cắt (E) P, Q khơng trùng với tâm elíp 1/ 2/ + Chứng minh đường thẳng PQ qua điểm cố định Tiếp tuyến (E) P, Q cắt M Chứng minh M chạy đường thẳng cố định mà ta cần phải tìm Bài 703 Cho elíp (E) : x2 y2 = với a > b Hình chữ nhật Q gọi hình chữ nhật ngoại tiếp a2 b2 elíp (E) cạnh Q tiếp xúc với (E) Trong tất hình chữ nhật ngoại tiếp (E) + Hãy xác định: 1/ Hình chữ nhật có diện tích nhỏ 2/ Hình chữ nhật có diện tích lớn x2 y2 + = Viết phương trình cạnh hình chữ 16 nhật ngoại tiếp (E) có diện tích 15 Bài 704 Cho elíp (E) có phương trình (E) : x2 y2 x2 y2 + = (E2 ) : + = Một tiếp tuyến (E2 ) cắt (E1 ) hai điểm P,Q Chứng minh tiếp Bài 705 Cho (E1 ) : 1/ tuyến (E1 ) P,Q vng góc với 2/ Từ điểm M ∈ (E1 ) kẻ hai tiếp tuyến Mt1, Mt2 đến (E2 ) Chứng minh hai góc t1Mt2, F1MF2 với F1, F2 hai tiêu điểm (E1 ), (E2 ) có chung đường phân giác 3/ Phát biểu chứng minh tốn tổng qt "Cần cù bù thơng minh…………" Page - 233 - Ths Lê Văn Đồn Phần hình học H – ỨNG DỤNG TỌA ĐỘ GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH Bất đẳng thức tam giác Cho ∆ABC có cạnh Ta ln có: hay ● ● Như vậy, ta chọn có tọa độ thích hợp, dĩ nhiên liên quan đến bất đẳng thức, chứng minh sử dụng hai bất đẳng thức suy kết Bất đẳng thức véctơ Cho ● Dấu ● ● Dấu Dấu xảy xảy xảy phương phương Do ● phương nên Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Bunhiacôpxki Các ứng dụng 1/ Chứng minh bất đẳng thức 2/ Giải phương trình 3/ Giải bất phương trình 4/ Tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ Page - 234 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập mơn Tốn 10 – Tập II Ths Lê Văn Đoàn CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (a + c) + b2 + (a − c) Đặt u = (a + c; b), v = (a − c; b) Bài 706 Cho a, b, c ∈ » Chứng minh: HD: + b2 ≥ a + b2 a + 4b2 + 6a + + a + 4b2 − 2a − 12b + 10 ≥ Bài 707 Cho a, b, c ∈ » Chứng minh: HD: Đặt u = (a + 3;2b); v = (1 − a; − 2b) Bài 708 Cho a, b, c ∈ » Chứng minh: a + ab + b2 + a + ac + c2 ≥ b2 + bc + c2     b  c       b, v = −a + ; HD: Đặt u = a + ;       c      2  2         Bài 709 Chứng minh với số thực a ta ln có: a + a + + a − a + ≥     3  , v =  − a;    HD: Đặt u = a + ;      2 2           Bài 710 Cho a, b, c ∈ » Chứng minh: cos2 a cos2 b + sin2 (a − b) + sin2 a sin2 b + sin2 (a − b) ≥ ( ) ( ) HD: Đặt u = cos a cos b; sin (a − b) , v = sin a sin b; sin (a − b) Bài 711 Đại học An Ninh Nhân Nhân phân hiệu Tp Hồ Chí Minh năm 1998 Chứng minh rằng: x + − x + x + − x ≤ + 8, ∀x ∈  0;1 Dấu " = " xảy   ? HD: Đặt a = (1;1), b = ( ) x; − x , c = ( ) x; − x Bài 712 Bộ đề tuyển sinh Đại học – Cao đẳng (a + b)(1 − ab) Chứng minh: (1 + a )(1 + b ) 2 ≤ với a, b 2  2a − a     , v =  − b ; 2b     HD: Đặt u =  ;     1 + a2 + a2  1 + b2 + b2        Bài 713 Cho ba số dương : a, b, c a > c, b > c Chứng minh rằng: c (a − c) + c (b − c) ≤ ab Dấu " = " xảy ? HD: Đặt u = ( ) c; b − c , v = ( ) a − c; c Bài 714 Cho a, b, c, d ∈ » Chứng minh rằng: 1/ 2/ (ad + cd) ( )( (a + b) Đặt x = (a, c); y = (b; d) a + c + b2 + d2 ≥ HD: ) ≤ a2 + c2 b2 + d2 + ( c + d) Bài 715 Đại học khối A năm 2003 Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện: x + y + z ≤ "Cần cù bù thông minh…………" Page - 235 - Ths Lê Văn Đoàn Phần hình học x2 + Chứng minh rằng: x + y2 + y + z2 + z2 ≥ 82  1       1  1  HD: Đặt a =  x,  ; b = y,  ; c = z,   x  y  z          Bài 716 Dự bị Cao đẳng Giao Thông Vận Tải II năm 2003 Cho ba số x, y, z Chứng minh: x2 + xy + y2 + x2 + xz + z2 ≥ y2 + yz + z2         y   3  y z     z, B 0; y+ z, C  − ; 0 HD: Đặt A x + ;       2   2  2        Bài 717 Cho a, b, c, d số thực Chứng minh: a + b2 + c + d2 ≥ (a − c) + ( b − d) HD: Đặt M (a; b), N (c; d), O (0; 0) a − a + + a2 − a + ≥ với a     1   , B  ; − , C (a; 0)  HD: Đặt A  ;     2   2         Bài 719 Cho a − 2b + = Bài 718 Chứng minh: Chứng minh: a + b2 − 6a − 10b + 34 + a + b2 − 10a − 14b + 74 ≥ HD: Xét d : x − 2y + = A (3;5), B (5;7),C (a; b) ∈ d Bài 720 Cho x, y, z số thực đôi khác Chứng minh: x−y + x + y2 + y−z + y2 + z2 > x−z + x2 + z2 HD: Đặt A (x; yz), B (y; zx),C (z; xy) Bài 721 Cho x, y, z ba số thực thỏa x + 2y + 3z = + x2 + + y2 + + z2 ≥ 10     HD: Đặt A (1; x), B (3; x + 2y),C 6; x + 2y + 3z, O (0; 0) OA + AB + BC ≥ OC         Chứng minh: Bài 722 Cho a, b ∈ » Chứng minh: a + + a − 2ab + b2 + + b2 − 6b + 10 ≥ HD: Đặt A (0; −1), B (3; 3),C (a;1), D (b;2) AC + CD + BD ≥ AB cos4 x + cos4 y + sin2 x + sin2 y ≥ Bài 723 Cho x, y ∈ » Chứng minh: ( ) ( ) ( ) HD: Đặt a = cos2 x; cos2 y , b = sin2 x; , c = 0; sin2 y Bài 724 Cho x ∈ » Chứng minh: ( cos x + − sin x + ≤ cos 2x ) ( ) HD: Đặt a = cos2 x;1 , b = sin2 x;1 Bài 725 Cho ba số thực a, b, c thỏa a + b + c = Chứng minh: a + (b − c) + b2 + (c − a ) + c2 + (a − b) ≥ 2 HD: Đặt u = (−a; b − c), v = (−b; c − a ), w = (−c;a − b) Page - 236 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đề cương học tập mơn Tốn 10 – Tập II Ths Lê Văn Đoàn Bài 726 Cho a, b, c > ab + bc + ca = abc b2 + 2a c2 + 2b2 a + 2c2 + + ≥ ab bc ca 1   1       1  HD: Đặt u =  ; , v =  ; , w =  ;          c a     a b  b c         Bài 727 Cho a + b + c = ax + by + cz = Chứng minh: Chứng minh: 16a + a x2 + 16b2 + b2 y2 + 16c2 + c2 z2 ≥ 10 HD: Đặt u = (4a;ax ), v = (4b; by), w = (4c; cz) GIAỈ PHƯƠNG TRÌNH x2 − 2x + + x2 + 2x + 10 = 29 Bài 728 Giải phương trình: HD: Đặt u = (x − 1;2), v = (−1 − x; 3) nghiệm x = x2 − x + + x2 + x + =     3  , v = −x − ;  nghiệm x =   HD: Đặt u = x − ;         2  2        Bài 729 Giải phương trình: x2 − x + + x2 − 2x + = 9x2 − 12x + 13 HD: u = (2x − 1;1), v = (x − 1;2) nghiệm x = Bài 730 Giải phương trình: x2 + 4y2 + 6x + + x2 + 4y2 − 2x − 12y + 10 = Bài 731 Giải phương trình: HD: Đặt u = (x + 3;2y), v = (1 − x; − 2y) nghiệm x = 1, y = x − 4x + − x − 10x + 50 = Bài 732 Giải phương trình: HD: Đặt A (2;1), B (5; 5), C (x; 0) nghiệm x = GIAỈ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 733 Giải bất phương trình: ( (x − 3) + 2x − ≤ x − + x − ) HD: Đặt u = x − 3; x − , v = (1;1) nghiệm x = Bài 734 Giải bất phương trình: x2 + x + − x2 − x + ≤     3  , v = x − ;  nghiệm x ∈ »   HD: Đặt u = x + ;         2  2        GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài 735 Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = x2 − 8x + 32 + x2 − 6x + 18 "Cần cù bù thông minh…………" Page - 237 - Ths Lê Văn Đồn Phần hình học HD: Đặt A (x − 4; −4), B (x − 3; 3),O (0; 0) y = x = 24 Bài 736 Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = x2 − 2px + 2p2 + x2 − 2qx + 2q với p, q ≠ ( ) HD: Đặt u = (x − p; p), v = (q − x; q ) y = q + p2 x = 2pq p+q Bài 737 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 2x − 2x + + 2x2 + ( ) + x + + 2x2 − ( ) −1 x +1    1  1   ; − ,C  ; − , M (x; x) Pmin = x = HD: Đặt A (1;1), B −      2  2         Bài 738 Gọi (x; y) nghiệm phương trình: 2x + 3y = Tìm cặp nghiệm (x; y) cho biểu thức P = 3x2 + 2y2 nhỏ     ; , v = HD: Đặt u =     2   ( ) 3x; 2y Pmin = 4 9  (x; y) =  ;    35 35   35   Bài 739 Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = cos2 x − cos x + + cos2 x + cos x + 13 HD: Đặt u = (1 − cos x;1), v = (cos x + 3;2) y = Bài 740 Cho x2 + y2 = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = x + y + y + x HD: Đặt u = (x; y), v = ( ) + y; + x Pmax = + x = y = Bài 741 Tìm giá trị lớn biểu thức: P = a + cos x + a + sin x với x ∈ », a ≥  u = (1;1)  π HD:  Pmax = 2a + x = + k2π, (k ∈ »)  v = a + cos x; a + sin x    ( Page - 238 - ) ( ) "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" ... − 4x + 2x > x2 − x − 30 22 / x2 + 6x − < x+7 23 / x2 − ≥ x2 + 24 / x2 − 7x + 10 ≤ −x2 + 6x − 25 / 3x − x + 4x2 − x + ≥ 26 / (1 − 2x)(x x2 + 4x − 27 / > x +1 x2 − 3x − 28 / ≤0 − 2x 29 / Bài 20 x2 + −4x + 19/ 2x + ≥ 3x + 20 / 7x − ≥ 8x + 21 / x − − 2x < x+5 x−3 22 / 3x − > x ? ?2 23/ x2 + 2x ≤ x2 − 24 / x ? ?2 ≥ x2 − 25 / (4x + 3) (2x − 5) 26 / − 2x > x2... −x2 + 6x − > − 2x 19/ 3x2 + 13 + 2x < 20 / x2 − 4x + + 2x ≥ 21 / x + 6x − < x + 22 / 2x2 − 6x + − x + > 24 / 3x − 5x2 ≤ 5x − 23 / 2x + 4x − > 25 / x − x − 12 < − x 26 / − x + 2x2 − 3x − ≤ 27 /