Bài thuyết trình quang lượng tử

SEMINAR QUANG LƯỢNG TỬ GVHD: TS. VÕ TÌNH HV : PHẠM TÙNG LÂM Lớp VLLT_VLT K21 1.6. Sự tương đương giữa một khí Bose nhiều hạt và một tập những dao động tử điều hòa lượng tử CHƯƠNG I LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ TRƯỜNG BỨC XẠ Chúng ta đi chứng minh rằng một tập các dao động tử điều hòa lượng tử là tương đương về mặt động lực học với một khí Bose nhiều hạt. Xét một khí Bose có N hạt chứa trong một thể tích V. 2 3 Hàm sóng của N hạt có thể được viết bởi tích đối xứng các hàm sóng của hạt đơn lẻ ( ) . s r ψ r r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , 1 2 1 1 2 2 ! ! ! , , ! p q k N N n n n p q k n p p p p n n n n p p p q q q q n n n r r r N r r r r r r ψ ψ ψ ψ ψ ψ + + +   Ψ = ×       × × × uur uur uur uur uur uur uur uur ur r r ur ur ur r r r ur ur r ur ur r r r r ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1.157 p n k k k k r r r σ σ σ ψ ψ ψ + + +           ∑             uur ur r r r r r r Với là số hạt trên một trạng thái. ( ) , , , , s n s p q k= r r ur r r ( ) 1.158 s s n N= ∑ r r * Hàm sóng của một hạt tự do: ( ) ( ) 1 1.159 i sr s r e V ψ = rr r r * Cho N hạt tương tác lẫn nhau thông qua một điện thế ( ) ( ) 1 1.160 j N j r ν = ϒ = ∑ r => Một hạt ở trạng thái có thể chuyển đến trạng thái ( ) j p r ψ ur ur ( ) j k r ψ r ur k p ν r ur Sự biến đổi cho quá trình này tỉ lệ với yếu tố ma trận ( ) ( ) ( ) ( ) * 1.161 j j j j k p k p d r r r r ν ψ ν ψ = ∫ r ur r ur ur ur ur ur 4 Trước khi xem xét cho hệ tổng quát khí Bose gồm N hạt bên trong thể tích V, ta xét trường hợp đơn giản hệ có 3 hạt boson. Hàm sóng mô tả trạng thái ban đầu của hệ 3 hạt: ( ) 2, 1 p k n n= = ur r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2, 1 1 2 3 1 2 3 3 1 2 2 3 1 1 , , [ 3 ] 1.164 p k n n p p k p p k p p k r r r r r r r r r r r r ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ = = Ψ = + + ur r ur ur r ur ur r ur ur r ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur Ở đây với 1 2 ! ! 1 ! 3 p k n n N   =       ur r 2, 1, 3 p k n n N= = = ur r 5 Hàm sóng mô tả trạng thái sau của hệ 3 hạt: ( ) 1, 2 p k n n= = ur r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1, 2 1 2 3 1 2 3 3 1 2 2 3 1 1 , , [ 3 ] 1.165 p k n n p k k p k k p k k r r r r r r r r r r r r ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ = = Ψ = + + ur r ur r r ur r r ur r r ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur Yếu tố ma trận cho hệ 3 hạt: ( ) ( ) ( ) ( ) 3* 3 1 2 3 1, 2 1 2 3 3 3 2, 1 1 2 3 1 . , , . , , 1.166 p k p k n n i n n i M d r d r d r r r r r r r r ν = = = = = = Ψ × Ψ ∫∫∫ ∑ ur r ur r ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur 6 Vì đây là hệ hạt đồng nhất, do đó đóng góp của các hạt là như nhau, nên ta có: ( ) ( ) 3 1 1 3 i i r r ν ν = = ∑ ur ur Ta thay 2 hàm sóng và vào biểu thức yếu tố ma trận M 3 đồng thời khai triển ra ta có tổng cộng 9 tích phân. ( ) 3* 1, 2 1 2 3 , , p k n n r r r = = Ψ ur r ur ur ur ( ) 3 2, 1 1 2 3 , , p k n n r r r = = Ψ ur r ur ur ur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * 1 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 p k k p p k I dr d r d r r r r r r r r ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ = ∫∫∫ ur r r ur ur r ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur Ta tính tích phân thứ nhất: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 3 3 3 1 * 2 2 2 1 0 0 k k k p d r r r I d r r r k p do k p ψ ψ ψ ψ δ  =  ⇒ =  = − = ≠   ∫ ∫ r r r ur ur ur ur ur ur ur r ur r ur 7 Tiếp tục tính cho 8 tích phân còn lại, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * 2 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 * * * 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 * * * 4 1 2 3 3 1 2 1 0 0 p k k p k k p k k p p k p k k I d r dr d r r r r r r r r I d r dr d r r r r r r r r I d r dr d r r r r r ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ ψ ψ ψ ν ψ = = = = = ∫∫∫ ∫∫∫ ur r r ur r r ur r r ur ur r ur r r ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 * * * 5 1 2 3 3 1 2 1 3 1 2 * * * 6 1 2 3 3 1 2 1 2 3 1 7 1 2 3 0 0 0 p p k p k k p p k p k k p p k p r r r I d r dr d r r r r r r r r I d r d r d r r r r r r r r I d r d r d r ψ ψ ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ ψ = = ≠ = = = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ur ur r ur r r ur ur r ur r r ur ur r u ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * 2 3 1 1 1 2 3 * * * 8 1 2 3 2 3 1 1 3 1 2 * * * 9 1 2 3 2 3 1 1 2 3 1 0 0 k k p p k p k k p p k p k k p p k r r r r r r r I d r d r d r r r r r r r r I d r d r d r r r r r r r r ψ ψ ν ψ ψ ψ ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ ≠ = = = ∫∫∫ ∫∫∫ r r r ur ur r ur r r ur ur r ur r r ur ur r ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ( ) 0= ∫∫∫ ur 8 Để thuận lợi cho việc tính toán ta giữ lại hai số hạng 84 I và I đều bằng 0, ta có biểu thức ( ) 3 4 5 7 8 1 3. 3 M I I I I= + + + Đặt thừa số làm thừa số chung, ta được ( ) ( ) ( ) * 1 1 1 1 k p d r r r r ψ ν ψ ∫ r ur ur ur ur ur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 3 1 2 3 1 1 1 * * * * 3 2 2 3 3 2 3 2 * * * * 2 3 2 3 2 3 3 2 1 2 3 . [ ] = 2. 2. . k p p k p k p k p k p k p k p k p k M d r d r d r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r d r d r d r ψ ν ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ = × × + + + + ∫∫∫ r ur ur r ur r ur r ur r ur r ur r ur r ur r ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * 3 2 2 3 * 1 1 1 3 2 2 3 1 . 2 1 . . 2 p k p k k p p k p k r r r r r r r r r r r ψ ψ ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ ψ ψ   + ×     × +   ∫∫∫ ur r ur r r ur ur r ur r ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur 9 Dùng phương trình hàm sóng của hệ 2 hạt boson có ( ) 1, 1, 2 p k n n N= = = ur r Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1, 1 2 3 2 3 3 2 1 , . 2 p k n n p k p k r r r r r r ψ ψ ψ ψ = =   Ψ = +   ur r ur r ur r ur ur ur ur ur ur Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 * 2 3 1 1 1 1 2 3 1, 1 2 3 2. 2. . . , p k n n k p M d r r r r d r d r r r ψ ν ψ = = = Ψ ∫ ∫∫ ur r r ur ur ur ur ur ur ur ur ur Vì hàm sóng cho hai hạt đã được chuẩn hóa nên ( ) ( ) ( ) * 3 1 1 1 1 2. 2. . 2. 2. k p k p M dr r r r ψ ν ψ ν = = ∫ r ur r ur ur ur ur ur 10 [...]... tử số hạt ở trạng + n s là toán tử số lượng tử + là r thái p và là toán tử ecmite + r $p $ $ n u = a ur a ur p p kích thích và là toán tử ecmite $s = a + a s n $s $ 19 KẾT LUẬN * Mỗi hạt boson tương ứng về mặt động lực học với một dao động tử điều hòa lượng tử * Dirac viết: “Hệ động lực học gồm có tập hợp của những hạt boson tương tự tương đương với hệ động lực học gồm có một tập của các dao động tử. .. toán tử sinh hủy ta cũng có thể tìm được kết quả của yếu tố ma trận MN cho hệ N hạt boson nếu ta có thế tương tác được biểu diễn như sau: r r $+ + k a u r ϒ = ∑ au r $p ν k p r u r k,p u r p Toán tử Hamiltonian của phân tử tự do có xung lượng theo các toán tử sinh hủy như sau: r2 r2 p + p $u r µ = ˆr ˆr H ∑ apap = ∑ np r r p 2m p 2m 16 * Một số tính chất của hệ dao động tử điều hòa lượng tử Các toán tử. ..       18 => Sự tương đương giữa một khí Bose nhiều hạt và một tập những dao động tử điều hòa lượng tử về mặt động lực Hệ khí Bose $ + u r p $ u r p + a và a làm tăng,rgiảm u số hạt ở trạng thái p một đơn vị + Hamiltonian của hạt tự do Dao động tử điều hòa lượng tử $ + s $ + a và a s làm tăng, giảm số lượng tử kích thích đi một đơn vị + Hamiltonian của hạt tự do r2 r2 p + p $u µ  $+ $ 1  $... gồm có một tập của các dao động tử - Hai hệ thống đó chỉ là các hệ thống tương tự đứng trên hai quan điểm khác nhau Có một dao động tử liên kết với mỗi trạng thái boson độc lập Ở đây ta có một trong những kết quả cơ bản của cơ học lượng tử, cho phép thống nhất giữa lý thuyết sóng và các hạt của ánh sáng 20 ... tính chất của hệ dao động tử điều hòa lượng tử Các toán tử sinh hủy của dao động tử: $ a s Ψ n = n Ψ n −1 $+ Ψ = n + 1 Ψ as n n +1 $+ a s Ψ = n Ψ $ as $ n n 17 Khi đó toán tử Hamiltonian có dạng:  $+ $ 1  $ 1 µ = H ∑ hωs  a s a s + ÷ = ∑ hωs  n s + ÷ 2 s 2   s $+ , a s thỏa mãn hệ thức giao hoán sau: Các toán tử a s $  a s , a +'  = δ $ $s ss '     $s , a s '  =  a + , a +'  = 0 $... Véc tơ trạng thái cho hệ nhiều hạt nu , nq , , nk , p * Các toán tử sinh - hủy cho hạt boson r $p r r r a u nu , nq , , nk , p = r r r r nu nu − 1, nq , , nk , p p r $+ nu , nr , , nr , r au p q p k = r r r r nu + 1 nu + 1, nq , , nk , p p r r $+ a u nu , nr , , nr , = nu nu , nr , , nr , r r r au $p p q p k p p q k Các toán tử này thỏa mãn hệ thức giao hoán: r r a u , a + '  = δ uu $ p $u...Bây giờ ta xét hệ khí Bose gồm N hạt chứa trong thể tích V Xét quá trình tán xạ của một hạt đơn u utrong hệ N hạt từ lẻ r r r Ψ (nN ),nq , ,n r1 , r2 , r N thông qua trạng thái đầu có hàm sóng p k thế tương tác ϒ cho hàm sóng ở trạng thái cuối như sau: u u r u u r u . SEMINAR QUANG LƯỢNG TỬ GVHD: TS. VÕ TÌNH HV : PHẠM TÙNG LÂM Lớp VLLT_VLT K21 1.6. Sự tương đương giữa một khí Bose nhiều hạt và một tập những dao động tử điều hòa lượng tử CHƯƠNG I LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ. r H Toán tử Hamiltonian của phân tử tự do có xung lượng theo các toán tử sinh hủy như sau: p ur * Một số tính chất của hệ dao động tử điều hòa lượng tử Các toán tử sinh hủy của dao động tử: $ $ $. động tử điều hòa lượng tử về mặt động lực Hệ khí Bose Dao động tử điều hòa lượng tử + làm tăng, giảm số hạt ở trạng thái một đơn vị $ $ pp và aa + ur ur p ur + làm tăng, giảm số lượng tử kích