Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 50 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
50
Dung lượng
1,98 MB
Nội dung
!" µ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 (1.1) 2 j j k j k j k H r V r r E k r m Ψ = − ∇ + Ψ = Ψ r r r r r r r r ! ( ) ( ) ( ) 1.2 ik R j k j k r R e rΨ + = Ψ r ur r r r ur r ! #$%&'()%*(+,-%&.('(+%&/&0%12%&3'1-4% '5 6*7(-8%&'9:;%1-<=>-4%?@+* A ( ) ( ) ( ) 2 1 1.3 2 k E G r r r r m δ ′ ′ ∇ + − = − ÷ r r r r r ( ) ( ) ( ) 1.4 ikR k k G r R e G r+ = r r r r r r r "#$%&'()$*)+,-'.$,/' (+%&#$%&6%7B':C=D'6''E3'#$%& '()%'F*G%'#$%&1#$%&H-#$%&'()%*(+,-%&.( I""J KH-L'#$%&'()%%7B':1#:H7+7( %'9: ;%#$%&'()% -1-<=>-4%?@+* M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1.5 k k k r G r r V r r dr Ω ′ ′ ′ ′ Ψ = − Ψ ∫ r r r r r r r r r E#$%&'()%'F*G% (+%&1@7'K'F*N1O-CP%&Q-&%.(R 'S 0 Ω 2 1 2 E m ∇ + ÷ :%G%*T:-HL*U:#$%&'()%I"VJH- ( ) ( ) ( ) 2 1 ˆ 2 k k k H r E r E r m Ψ = − ∇ + Ψ = Ψ ÷ r r r r r r :')1#W* #HXBY':*'KC6*1Z%7[%&\]%&*6*&-T- #$%&'()%'F*G%I"VJ k Ψ r ( ) 0 1.6I δ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 * * 1.7 k k k k k I r V r r dr r V r G r r V r r drdr Ω Ω Ω = Ψ Ψ − ′ ′ ′ ′ − Ψ − Ψ ∫ ∫ ∫ r r r r r r r r r r r r r r r r r :\-L'(]%&^-#$%&'()%*U:*6*7[%&1<= * 'K [=B (: 'E 3' %&=B8% @_ \-L% '-8% `* \-4' @7 #$%&'()%'F*G%I"VJ*'K'=1#W*'E%&=B8%@_ \-L%'-8% - V (+%&\-K='P*I':*+-H7@7:-1a-@#W%&* 'K\-L%1b-3'*6*13*@XH-%:= k Ψ r * k Ψ r a-@#W%&@7\-L%'-8%*U:'F*G%>-7 :B\-L%'-8%3'@#W%&HN*c%&\/'cB_ I δ I k Ψ r * k Ψ r -T[5@73'471;\-L''9:;%1-<=>-4% ?@+*I"!J:>:-'(-K%7[%&T-')'.+47 %7B j k ϕ r ( ) ( ) ( ) 1.8 k jk jk j r C r ϕ Ψ = ∑ r r r r r d 71`' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 * * ' 1.9 ij k ik jk ik k jk I r V r r dr r V r G r r r drdr ϕ ϕ ϕ ϕ Ω Ω Ω = − ′ ′ − − ∫ ∫ ∫ r r r r r r r r r r r r r r r r r :B>:-'(-K%I"eJH7+*N%&'P*I"fJY,g'5@a-(]%& ( ) * 1.10 ij ik k jk ij I C I C= ∑ r r r f L=':@7\-L%'-8%3'@#W%&') *h%&*Z=3'\-L%'-8%'#$%&P%& * k Ψ r * k δ Ψ r * ik C r * * * ik ik ik C C C δ → + r r r 7H->6*%:=')13*@XH-%:=?-L%'-8% *U:>-1@7 * ik C δ r i I ( ) * 1.11 ij ik k jk i j I C I C δ δ = ÷ ∑ ∑ r r r &=B8%@_\-L%'-8%I"dJ,i%'-#$%&'()% ( ) 0 1.12 ij k jk j I C = ∑ r r e =O%*+@j-&-T-*U:4%7B'k%'a-Y*6*4[O T-'9:;%1-<=>-4% jk C r ij k I r ( ) ( ) det 0 1.13 ij k I = r -T-#$%&'()%I""!J*2%&':')1#W* H7 'E #$%& '()% *(+,-%&.( ': &-T- (: 1#W* %l%& @#W%& ( ) jk k C r⇒ Ψ r r r ( ) E k r K*'K6,m%&#$%&'()%HE:'()%\7B':T- \-L'\-K='P**U:7( % n 2%&':%o*@a-(]%&7( %'9:;%#$%& '()% ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ˆ 1.14 k H E G r r r r δ ′ ′ − + − = − r r r r r 'K\-K=,-g%p=:*6*@j-&-T-*U:#$%&'()% '#$%&P%& ( ) j rΨ r ( ) ( ) ( ) 0 0 ˆ 1.15 j j j H r E rΨ = Ψ r r %#[:= ( ) ( ) ( ) ( ) * 0 1 1.16 j j j j G r r r r E E ′ ′ − = Ψ Ψ − ∑ r r r r "q [...]... phương trình (1.16) ˆ bởi toán tử E − H 0 rồi dùng phương trình (1.15) và điều r kiện đủ của hệ hàm riêng Ψ j ( r ) ( ) r * r r r ′) = δ ( r − r ′) ∑Ψ j ( r ) Ψ j ( r j ( 1.17 ) r r Khi đó ta dễ thử lại rằng G ( r − r ′ ) thỏa mãn phương trình (1.14) 11 Trong trường hợp hàm Green trong biểu thức (1.3) r r 1 2 r r r′ ∇ + E ÷Gk ( r − r ) = δ ( r − r ′ ) 2m ˆ thì toán tử H 0 trong phương trình. .. lại chứa tích phân theo mặt cầu S r0 bán kính 14 r r r = r′ Vì hàm Green có điểm bất thường cho nên khi biến đổi các công thức chúng ta cần phải thận trọng Đầu tiên ta xét hình cầu ω ′ bán kính r0 − ε Cho ε → 0 rồi sau đó sẽ dần tới giới hạn ε → 0 Để biến đổi phương trình phương trình (1.5) ta dùng hệ thức r r 1 2 r V ( r ) Ψ( r) = ∇ + E ÷Ψ ( r ) 2m 15 Và có r r r r r r r 1 2 r r ∫′ G... là mặt bán cầu bán kính ( r0 − ε ) 16 Từ phương trình (1.3) đối với hàm Green ta thấy rằng tích phân thứ nhất trong vế phải của phương trình r trên bằng Ψ r ' Do đó ta có kết quả ( ) r r r r r r Ψ ( r ′ ) − ∫ G ( r ′ − r ) V ( r ) Ψ ( r ) dr = ω′ r r r 1 r r ∂Ψ ( r ) r ∂G ( r ′ − r ) =− ∫′ G ( r ′ − r ) ∂r − Ψ ( r ) ∂r dS 2m S ( 1.21) r Vì thế năng V ( r ) triệt tiêu ở ngoài hình cầu bán kính... ( r) r r Và dùng biểu thức của hàm Green G ( r − r ′ ) dưới dạng khai triển theo các hàm cầu 20 Nhận xét: Phương pháp biến thiên là chúng ta khai triển hàm sóng theo một hệ hàm đã biết nào đó rồi biến đổi phương trình Schrodinger về một dạng thích hợp, cụ thể là biến đổi phương trình tích phân (1.5) Giải phương trình này ta sẽ thu được làn sóng electron trong tinh thể Mặt khác mọi phương trình của... thể phối hợp r nó với phương pháp ô và giả thiết rằng thế năng V ( r ) đối xứng hình cầu Ngoài ra, thế năng này không đổi ở bên ngoài hình cầu bán kính nào đó nằm trong ô đối xứng Ω 0 Chọn gốc tính năng lượng một cách thích hợp, có thể coi: r V ( r ) = 0 , r > r0 ( 1.20 ) r V ( r ) = 0 ở bên ngoài hình cầu ω bán Khi giả thiết rằng kính r0 ta có thể biến đổi phương trình (1.5) Ψ của cũng như biểu thức... điêên tử, phương trình Schrodinger có dạng: r r µ r r Hψ k (r ) = Eψ k (r ) (2.1) r r ψ k (r ) là hàm sóng điện tử và Hamiltonian có dạng: r h∇ µ H =− + V (r ) 2m 2 2 (2.2) 22 r V (r ) là lớn, không thể xem là môêt nhiễu loạn Do đó, hàm sóng ban đầu không phải là hàm sóng của điêên tử tự do mà hàm sóng ban đầu được chọn là hàm sóng của điêên tử nằm trong nguyên tử r riêng biêêt ,cô lâêp và gọi là hàm... mãn phương trình: r r µ H 0ψ 0 (r ) = Eψ 0 (r ) (2.3) Trong đó: r h2 2 µ H0 = − ∇ + V0 (r ) 2m (2.4) r V0 (r ) là thế năng của điêên tử trong nguyên tử cô lâêp 23 Khi các nguyên tử tiến lại gần nhau, liên kết tạo thành mạng tinh thể thì thế năng do các nguyên tử còn lại tác đôêng lên điêên tử trong môêt nguyên tử ở nút mạng ta xét là yếu, được xem như là môêt nhiễu loạn Do đó ta áp dụng lý thuyết nhiễu... m n r r Vì các nút mạng là tương đương nên (2.11) không phụ thuôêc m, n mà chỉ phụ thuôêc vào vịu tương đối giữa các utrí ur r u nút mạng hay phụ thuôêc vào hiêêu Rm − Rn Do đó khi lấy tổng ta có thể giữ môêt nút cố định, nghĩa là: u r u r r m = 0, R m = 0, ρ m = r → ∑ = N (2.12) m Thay các giá trị (2.12) vào (2.11) ta được: E = ∑∫e (1) n r r r r ur u ur r u ψ (r )[V (r ) − V0 ( ρ n )] 0 ( ρ n... (r ) =ψ n ,l ,m (r ) - Nếu xét các s- điêên tử khi đó l=0 làm cho m=0 và như vâêy dù n có bằng bao nhiêu thì ta cũng chỉ có môêt r (0) hàm ψ n ,0,0 ( r ) sóng tương ứng với En 32 - Nếu xét các p- điêên tử khi đó l=1 làm cho m=-1,0,1 và như vâêy có 3 hàm sóng cùng tương ứng với môêt năng lượng (vì gần đúng bâêc môêt chỉ phụ thuôêc vào n) đó là: ψ ;ψ ;ψ n ,1,0 n ,1,1 n ,1, −1 - Nếu xét các điêên tử... nhau (thí dụ có sự chồng lấn giữa vùng năng lượng s và vùng năng lượng p) Khi đó hàm sóng mô tả điêên tử trong trạng thái s và trạng thái p đều có thể cùng tương ứng với môêt giá trị năng lượng 33 4 Hàm Wannier r r Như chúng ta đã chú ý ở trên, các hàm sóng ϕk r mà ta ( ) dùng trong phương pháp liên kết mạnh không phải là lời giải chính xác của phương trình Schrodinger Chúng là tổ r hợp bậc nhất của các