bài giảng ôn thi cao học môn toán kinh tế - phùng duy quang

ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 1 ThS PHÙNG DUY QUANG (chủ biên) BÀI GIẢNG ÔN THI CAO HỌC Môn: TOÁN KINH TẾ HÀ NỘI, 2011 ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 2 Phần 1. Toán cơ sở ứng dụng trong kinh tế TOÁN CAO CẤP 1 Chuyên đề 1. Ma trận và Định thức §1. Ma trận và các phép toán § 2. Định thức của ma trận vuông cấp n § 3. Ma trận nghịch đảo § 4. Hạng của ma trận Chuyên đề 2. Hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng §1. Khái niệm hệ phương trình tuyến tính §2. Phương pháp giải hệ phương trình TOÁN CAO CẤP 2 Chuyên đề 3. Giới hạn, liên tục, vi – tích phân hàm một biến số §1. Giới hạn của dãy số § 2. Giới hạn của hàm số § 3. Hàm số liên tục § 4 Đạo hàm, vi phân và ứng dụng §5. Tích phân hàm một biến số Chuyên đề 4. Phép tính vi phân hàm nhiều biến số và ứng dụng § 1. Giới hạn và liên tục §2. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến § 3 Cực trị hàm nhiều biến Chuyên đề 5. Tổng hợp các dạng Toán cao cấp ứng dụng trong phân tích kinh tế ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 3 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Alpha C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGRAW-HILL Book Copany, 1984. 2. Lê Đình Thúy (chủ biên), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB Thống kê, 2004. 3. Bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB ĐHKTQD, 2008 4. Nguyễn Huy Hoàng, Toán cao cấp T1, T2. NXB Giáo dục Việt Nam, 2010. 5. Nguyễn Huy Hoàng,Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế T1, T2. NXB Giáo dục Việt Nam, 2010. 6. Ngô Văn Thứ, Nguyễn Quang Dong, Mô hình toán kinh tế, NXB Thống kê, 2005. ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 4 TOÁN CAO CẤP 1 Chuyên đề 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC §1. MA TRẬN 1. Các khái niệm Cho m, n là các số nguyên dương Định nghĩa 1. Ma trận là một bảng số xếp theo dòng và theo cột. Một ma trận có m dòng và n cột được gọi là ma trận cấp m × n. Khi cho một ma trận ta viết bảng số bên trong dấu ngoặc tròn hoặc ngoặc vuông. Ma trận cấp m × n có dạng tổng quát như sau:               mn2m1m n22221 n11211 a aa a aa a aa hoặc             mn2m1m n22221 n11211 a aa a aa a aa Viết tắt là A = (a ij ) n xn hoặc A = [a ij ] n xn Ví dụ 1. Cho ma trận       − = 176 752 A . A là một ma trận cấp 2 x 3 với a 11 = 2 ; a 12 = 5 ; a 13 = - 7 ; a 21 = 6 ; a 22 = 7 ; a 23 = 1 Định nghĩa 2. • Hai ma trận được coi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương ứng của chúng đôi một bằng nhau. • Ma trận chuyển vị của A là A T : A T = [a ji ] n xn • Ma trận đối của ma trận A là ma trận: -A = [- a ij ] n x n Ví dụ 2. Cho ma trận           − − = 02 14 31 A . Xác định A T , - A Ta có       −− = 013 241 A T ;           − − − =− 02 14 31 A ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 5 • Ma trận không cấp m x n là ma trận mà mọi phần tử đểu bằng 0 : nxm ]0[=θ • Khi n = 1 người ta gọi ma trận A là ma trận cột, còn khi m = 1 người ta gọi ma trận A là ma trận dòng. • Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau và bằng n. Một ma trận có số dòng và số cột cùng bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n. Khi đó các phần từ a 11 , a 22 , … , a nn gọi là các phần tử thuộc đường chéo chính, còn các phần tử a n1 , n 12 a − , … , a 1n gọi là các phần tử thuộc đường chéo phụ. • Ma trận tam giác là ma trận vuông khi có các phần tử nằm về một phía của đường chéo chính bằng 0. +) Ma trận A = [a ij ] n x n được gọi là ma trận tam giác trên nếu a ij = 0 với i > j:                 = −−− − − nn n1n1n1n n21n222 n11n11211 a0 00 aa 00 aa a0 aa aa A +) Ma trận A = [a ij ] n x n được gọi là ma trận tam giác dưới nếu a ij = 0 với i < j:                 = − −−−− nn1nn2n1n 1n1n21n11n 2221 11 aa aa 0a aa 00 aa 00 0a A Ví dụ 4. Cho một ví dụ về ma trận vuông cấp 3, ma trận tam giác trên, tam giác dưới cấp 3. Giải:           − − = 611 412 521 A ;           − = 600 410 521 B ;           −= 611 012 001 C • Ma trận chéo là ma trận vuông cấp n mà có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 6 • Ma trận chéo có tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị :                 = 10 00 01 00 00 10 00 01 E • Tập các ma trận cấp m x n trên trường số thực R, ký hiệu: Mat m x n (R) • Tập các ma trận vuông cấp n trên trường số thực R, ký hiệu: Mat n (R) Ví dụ 5. Cho ma trận       − = 176 752 A và           − = 2 m7 75 62 B a) Tìm A T và – A b) Tìm m để A T = B Giải: a) Ta có           − = 17 75 62 A T và       −−− −− = 176 752 A b) 1m1m m7 75 62 17 75 62 BA 2 2 T ±=⇔=⇔           − =           − ⇔= 2. Phép toán trên ma trận a) Phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với 1 số Định nghĩa 3. Cho hai ma trận cùng cấp m × n: [ ] [ ] nm ij nm ij bB;aA ×× = = Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m × n, kí hiệu A + B và được xác định như sau: [ ] nm iiij baBA × + = + Tích của ma trận A với một số α là một ma trận cấp m × n, kí hiệu α A và được xác định như sau: ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 7 [ ] nm ij a.A × α = α Hiệu của A trừ B: A – B = A + (-B) Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất cơ bản của phép toán tuyến tính Tính chất 1. Cho A, B, C là các ma trận bất kì cấp m × n, β α ; là các số bất kì ta luôn có: 1) A + B = B + A 2) (A + B) +C = A + (B + C) 3) A + 0 = A 4) A + (-A) = 0 5) 1.A = A 6) α (A + B) = α A + α B 7) ( α + β )A = α A + β A 8) ( α β )A = α ( β B) Ví dụ 6. Cho các ma trận       − =       − − = 312 212 B; 110 421 A . Khi đó       −−− −− =       − −+       − − =− 1116 1474 312 212 ).3( 110 421 .2B3A2 Ví dụ 7. Cho ma trận       = 35 31 B . Tìm ma trận C sao cho 3B – 2(B + C) = 2E Giải: Phương trình đã cho       − =       −       =−=⇔ 2/12/5 2/32/1 10 01 35 31 . 2 1 EB 2 1 C b) Phép nhân ma trận với ma trận Cho hai ma trận : ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 8 A =             mn2m1m n22221 n11211 a aa a aa a aa ; B =               np2n1n p22221 p11211 b bb b bb b bb Trong đó, ma trận A có số cột bằng số dòng của ma trận B. Định nghĩa 4. Tích của ma trận A với ma trận B là một ma trận cấp m × p, kí hiệu là AB và được xác định như sau: AB =             mn2m1m n22221 n11211 c cc c cc c cc trong đó ( ) p, ,2,1j;m, ,2,1i;baba babac n 1k kjiknjinj22ij11iij ===+++= ∑ = Chú ý 1. • Tích AB tồn tại khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước bằng số dòng của ma trận đứng sau. • Cỡ của ma trận AB: Ma trận AB có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trước và số cột bằng số cột của ma trận đứng sau. • Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử ij c là tích vô hướng của dòng thứ i của ma trận đứng trước và cột thứ j của ma trận đứng sau. Ví dụ 8. Cho hai ma trận       = 13 21 A và       = 231 410 B . Tính A.B và B.A Giải : Ta có       =       +++ +++ =             = 1461 872 2.14.33.11.31.10.3 2.24.13.21.11.20.1 231 410 . 13 21 B.A Nhưng số cột của B khác số dòng của A nên không tồn tại tích BA. ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 9 Ví dụ 9. Cho ma trận       − − = 023 012 A ;           − − = 1203 0112 1321 B . Tính A.B, BA Giải: Ta có       −− − =           − −       − − = 3781 1753 1203 0112 1321 . 023 012 B.A Còn B.A không tồn tại Các tính chất cơ bản của phép nhân ma trận Tính chất 2. Giả sử phép nhân các ma trận dưới đây đều thực hiện được. 1) (AB)C = A(BC) 2) A(B+C) = AB+AC; (B+C)D =BD +CD 3) α (AB) = ( α A)B = A( α B) 4) AE = A; EB =B Đặc biệt , với ma trận vuông A: AE = EA = A 5) ( ) T T T AB B A = Chú ý 2. Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán. Nếu θ = B.A thì chưa chắc θ = A hoặc θ = B . Ví dụ 10. Cho các ma trận       =       = 01 00 B; 00 10 A . Khi đó       =       = 10 00 A.B; 00 01 B.A và BA AB ≠ Ví dụ 11. Cho       =       = 10 00 B; 00 01 A , ta có       =             = 00 00 10 00 . 00 01 B.A ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 10 c) Luỹ thừa của ma trận vuông: Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta xác định A 0 = E; A n = A n -1 . A ( n là số nguyên dương) Ví dụ 12. Cho       = dc ba A . Chứng minh rằng, ma trận A thoả mãn phương trình θ=−++− )bcad(X)da(X 2 Giải: Ta có       −+       +−             =−++− 10 01 ).bcad( dc ba ).da( dc ba . dc ba E)bcad(A)da(A 2 = θ=       =       − − +       ++ ++ −       ++ ++ 00 00 bcad0 0bcad )da(d)da(c )da(b)da(a dbcc)da( b)da(bca 2 2 . (đpcm) Ví dụ 13. Cho ma trận       = 10 11 A . Tính A 2 , A 3 , , A n (n là số tự nhiên) Giải: Ta có       =             = 10 21 10 11 10 11 A 2 ;       =             = 10 31 10 11 10 21 A 3 ; ; tương tự ta có thể dự đoán       = 10 n1 A n . Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp công thức A n . Định nghĩa 5. Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A = [a ij ] m x n là các phép biến đổi có dạng i) đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau: )cc(dd jiji ↔↔ ii) nhân một dòng (cột) với một số khác 0: )kc(kd ii iii) nhân một dòng (cột) với một số rồi cộng vào dòng (cột) khác: )chc(dhd jiji + + Ví dụ 15. Cho ma trận           − − − = 4211 5212 6421 A . Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau: (1) nhân dòng 2 với 2 (2) hoán vị dòng 1 cho dòng 2 [...]...  2 6   0 0 − 1   -1 B n c t gi i T khái ni m và i u ki n kh ngh ch c a ma tr n, ta có m t s tính ch t sau: nh lý 4 Gi s A, B là các ma tr n vuông c p n i) N u A kh ngh ch thì A-1, AT, kA (k ≠ 0), Am (m nguyên dương) cũng kh ngh ch và (A-1 )-1 = A ; (AT )-1 = (A-1)T ; (kA) −1 = 1 −1 m -1 -1 m A ; (A ) = (A ) k ii) N u A, B kh ngh ch thì AB cũng kh ngh ch và (AB )-1 = B-1A-1 iii) N u A kh ngh ch... b) Ma tr n θ =   không kh 0 0  ngh ch vì m i ma tr n vuông B c p 2 θ.B = B.θ = θ ≠ E S duy nh t c a ma tr n ngh ch nh lý 2 Ma tr n ngh ch o o A-1 c a ma tr n vuông A n u t n t i thì duy nh t 3 S t n t i c a ma tr n ngh ch o nh lý 3 Ma tr n vuông A kh ngh ch khi và ch khi det(A) ≠ 0 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng 24 i h c Ngo i Thương Hà n i u có  A11 A 1 1 -1 và A = A =  12... u- Ví d 4.Tính c1 c2 c3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 a1 a2 D u+ b1 b2 c1 D u + c2 D u- 1 −2 3 nh th c ∆ 3 = 2 0 1 2 −2 1 Gi i: Ta có ∆ 3 = 1.0.1 + 2. (-2 ).1 + 3.2. (-2 ) – 3.0.2 – 1. (-2 ).2) – 1.1. (-2 ) = -1 0 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng nh th c c p 13 i h c Ngo i Thương Hà n i x2 x 1 Ví d 5 Gi i phương trình 1 1 1=0 2 1 4 Gi i: x2 x 1 x = 1 1 1 = x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ ... x x a ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng 22 i h c Ngo i Thương Hà n i t nhân t Nhân dòng 1 v i (-1 ) và c ng vào các dòng 2, dòng 3, … , dòng n ta ư c 1 x x x 0 a−x 0 0 0 0 0 a − x 0 0 0 0 0 a − x 0 ∆ n = [a + 5x ] x 0 0 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng 0 = [a + 5x ].(a − x ) 6 0 a−x 23 i h c Ngo i Thương Hà n i §3 MA TR N NGH CH O C A MA TR N VUÔNG Trong ph... det(A) o c a ma tr n A, t c là A-1 = B Ví d 1 Tìm ma tr n ngh ch o c a ma tr n 1 2 3 b) A = 2 5 3    1 0 8   1 2  a) A =   3 4  Gi i a) Bư c 1: Ta có det(A) = 1.4 – 2.3 = -2 ≠ 0 Nên ma tr n A kh ngh ch và A −1 = 1 A det(A ) Bư c 2: Ta l p ma tr n ph h p A c a ma tr n A Ta có A11 = (-1 )1+ 1.4 = 4; A12 = (- 1)1+ 2 3 = - 3; A21 = (- 1)2 + 1.2 = - 2; A22 = (- 1)2 + 2.1 = 1  4 − 2  − 3... ma tr n vuông o nh th c c a tích hai ma tr n vuông Cho hai ma tr n vuông c p n : A = [aij]n x n; B = [bij]n x n nh lý 1 nh th c c a tích hai ma tr n vuông b ng tích các nh th c c a ma tr n thành ph n: det(AB)= det(A)det(B) Ví d 1 Cho A, B là ma tr n vuông c p 3 có det(A) = 2, det(B) = -2 Tính det(AB), det(A2B); det(2AB) B n 2 c t gi i nh nghĩa ma tr n ngh ch o nh nghĩa 1 Cho A là ma tr n vuông c p n... a) Nhân c t 1 v i (-1 ) c ng vào c t 2, nhân c t 1 v i (-5 ) c ng vào c t 4; r i khai tri n nh th c theo c t 1, ta ư c ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng 19 i h c Ngo i Thương Hà n i 1 0 0 − c1 + c 2 −1 4 1 8 − 5 c1 + c 4 2 − 6 − 1 − 13 3 ∆4 0 −8 = 2 4 1 8 4 1 8 1+1 = 1.(−1) − 6 − 1 − 13 = − 6 − 1 − 13 −8 − 14 2 − 14 −8 2 − 14 C ng dòng 1 vào dòng 2, nhân dòng 1 v i (-2 ) c ng vào dòng 2,... khác không (t c là có m t ph n t khác 0) n u có thì luôn trên các dòng b ng không (t c là hàng có t t c các ph n t b ng 0) ii) hai dòng khác 0 k nhau thì ph n t khác 0 ph i c t ch a ph n t khác 0 u tiên u tiên dòng dư i bao gi cũng dòng trên Ví d 15 Các ma tr n sau là ma tr n d ng b c thang 1 0 A= 0  0 1 5 6 8 1 − 1  0 1 1 −1 3 5  ; B= 0 0 0 0 2 − 5   0 0 0 0 0 0 ThS Phùng Duy Quang. .. = C có nghi m duy nh t A.X = C ⇔ X = A −1C XA = C ⇔ X = C.A −1 1 3   2 6 Ví d 4 Tìm (A2 )-1 v i A =  B n c t gi i 4 M t s phương pháp tìm ma tr n ngh ch a) Phương pháp D a vào o nh th c nh lý 2.12, ta có các bư c tìm ma tr n ngh ch sau: Bư c 1: Tính det(A) N u det(A) = 0 thì A không kh ngh ch N u det(A) ≠ 0 thì A có ma tr n ngh ch o Bư c 2: Tìm ma tr n ph h p c a A: ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa... bi n i này nh th c tăng lên k l n ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng 16 i h c Ngo i Thương Hà n i id u * Nhân m t dòng (c t) v i m t s c ng vào dòng (c t) khác: hd i + d j (hc i + c j ) , phép bi n i này không làm thay Ví d 4 Tính i giá tr c a nh th c a b c nh th c ∆ 3 = a' b' c' ax + a ' y bx + b' y cx + c' y Gi i: Nhân dòng 1 v i (-x), dòng 2 v i (-y) c ng vào dòng 3 ta ư c: ∆ 3 − xd1 . ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 1 ThS PHÙNG DUY QUANG (chủ biên) BÀI GIẢNG ÔN THI CAO HỌC Môn: TOÁN KINH TẾ . Mathematical Economics, McGRAW-HILL Book Copany, 1984. 2. Lê Đình Thúy (chủ biên), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB Thống kê, 2004. 3. Bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB ĐHKTQD, 2008. HÀ NỘI, 2011 ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 2 Phần 1. Toán cơ sở ứng dụng trong kinh tế TOÁN CAO CẤP 1 Chuyên đề 1. Ma trận