điều khiển số đại học bách khoa hà nội

điều khiển số đại học bách khoa hà nộiđiều khiển số đại học bách khoa hà nộiđiều khiển số đại học bách khoa hà nộiđiều khiển số đại học bách khoa hà nộiđiều khiển số đại học bách khoa hà nộiđiều khiển số đại học bách khoa hà nộiđiều khiển số đại học bách khoa hà nộiđiều khiển số đại học bách khoa hà nộiđiều khiển số đại học bách khoa hà nộiđiều khiển số đại học bách khoa hà nộiđiều khiển số đại học bách khoa hà nộiđiều khiển số đại học bách khoa hà nội

Điều khiển số (Digital Control Systems) Các ví dụ: Đánh số thứ tự theo chương giáo trình tên (Version 4, 11/2008) November 2008 Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội 1 Mô hình tín hiệu hệ thống 1.2 Mơ hình tín hiệu miền ảnh z Ví dụ 1.2.1 Một tín hiệu gián đoạn thời gian mô tả bởi: U ( z ) = z = z −1 − z −1 Hãy tìm ảnh U(z) miền hội tụ tín hiệu ! Lời giải: Dễ dàng tìm ảnh z tín hiệu kể cách tính tổng Laurent: ∞ ∞ ⎛ ⎞k a k −k U ( z ) = ∑ (a z ) = ∑ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ k =0 k =0 ⎝ z ⎠ Chuỗi hội tụ a z < 1, tức vùng phía ngồi đường trịn có bán kính a Ví dụ 1.2.2 Hãy tìm ảnh z hàm bước nhẩy đơn vị 1(t) ! ∞ ∞ ⎧1 t ≥ ⎧1 k = 0, 1, 2, … k ⎪ ⎪ −k ⎪ ⎪ u (t ) = 1(1) = ⎨ ⇒ uk = ⎨ ⇒ U ( z ) = ∑ 1⋅ z = ∑ ( z −1 ) ⎪0 t < ⎪0 k < k =0 k =0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ∞ r s Khi thay vào chuỗi: ∑ (r q ) = giá trị q = z-1 r = ta thu được: 1− q s =0 z = U ( z) = z −1 − z −1 Kết với giá trị toàn miền z, trừ điểm z = November 2008 Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội Mơ hình tín hiệu hệ thống 1.2 Mơ hình tín hiệu miền ảnh z Ví dụ 1.2.3 Hãy tìm ảnh z hàm e mũ (hàm exponent) ! f (t ) = e ; t ≥ ⇒ at f ( kT ) = f k = e Kết tính tổng chuỗi là: Ví dụ 1.2.4 akT ∞ ; k = 0, 1, 2, … ⇒ F ( z ) = ∑ e k =0 e−aT z F ( z) = = 1− e aT z −1 e−aT z −1 Hãy tìm ảnh z hàm dốc tuyến tính ! akT z −k ∞ = ∑ (eaT z−1 ) k k =0 f (t ) = at ; t ≥ 0; a = const ∞ −k Dễ dàng viết ảnh F(z) dạng chuỗi sau: F ( z ) = a ∑ kTz k =0 Để tính tổng ta phải áp dụng nguyên lý tịnh tiến sử dụng ảnh z hàm bước nhẩy 1(t) viết lại công thức trên: November 2008 ⎡Tz −1 + Tz −2 + Tz −3 + ⎤ ⎢ ⎥ −2 −3 ⎢ Tz + Tz + ⎥⎥ ⎢ F ( z) = a ⎢ Tz −3 + ⎥⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ z −1 z −2 z + z + = aT ⎢ ⎢⎣ z −1 z −1 z z −1 aTz = aT z = z −1 z −1 ( z −1) ⎤ z ⎡ −1 −2 ⎤ ⎥ = aT ⎢⎣ z + z + ⎥⎦ ⎥⎦ z −1 Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội Mơ hình tín hiệu hệ thống 1.2 Mơ hình tín hiệu miền ảnh z Ví dụ 1.2.5 Bổ xung lý thuyết: Tìm hàm gốc ảnh z cho trước phương pháp tách phân thức hữu tỷ thành phân thức tối giản Sau tìm hàm gốc phân thức tối giản •Điểm cực đơn: z ⇔ ak z−a Ví dụ: •Điểm cực lặp lại m lần: z m ( z − a) −m ( z − a) ⎛ k ⎞ k −m+1 ⎟a ⎟ ⇔ ⎜ ; m = 1, 2, ⎜ ⎟ ⎜m −1⎠ ⎟ ⎝ ⎛ k −1 ⎞ k − m ⎟a ⎜ ⎟ ⇔ ⎜ ⎟ ⎜m −1⎠ ⎟ ⎝ Cho trước ảnh z có dạng phân thức: F ( z) = 0,9 z z z = − z − 0,1z − 0, z − 0,5 z + 0, Áp dụng cơng thức để tìm hàm gốc: k f k = 0,5k − (−0, 4) November 2008 Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội Mơ hình tín hiệu hệ thống 1.2 Mơ hình tín hiệu miền ảnh z Ví dụ 1.2.6 Bổ xung lý thuyết: Tìm hàm gốc ảnh z cho trước phương pháp tính Residuum Khi z = zν điểm cực d m−1 ⎡ m ⎡ F ( z ) z k −1 ⎤ = - lặp lại m lần: Res ⎢ lim m−1 ⎢ F ( z )( z − zν ) z k −1 ⎤⎥ ⎥⎦ ⎣ z ⎦ (m −1)! z → z dz ⎣ ν ν - đơn: Res ⎡⎢ F ( z ) z k −1 ⎤⎥ = lim ⎡⎢ F ( z )( z − zν ) z k −1 ⎤⎥ ⎣ ⎦ z→ z ⎣ ⎦ z ν ν n Hàm gốc có dạng: f k = ∑ Res ⎡⎢⎣ F ( z ) z k −1 ⎤⎥⎦ ν =1 Xét hàm ảnh cho ví dụ 1.2.5: F ( z ) = 0,9 z ( z − 0,5)( z + 0, 4) ⎧ ⎡ 0,9 z ( z − 0,5) z k −1 ⎤ ⎪ ⎪ k ⎥ ⎡ F ( z ) z k −1 ⎤ = lim ⎢ ⎪ z1 = 0,5 ⇒ Res ⎢ ⎪ ⎥⎦ z → 0,5 ⎢ z − 0,5 z + 0, ⎥ = 0,5 ⎣ z ⎪ )( ) ⎦⎥ ⎪ ⎣⎢ ( ⎪ Có hai điểm cực z1, z2, khi: ⎨ k −1 ⎤ ⎪ ⎡ ⎪ ⎪ z = −0, ⇒ Res ⎡ F ( z ) z k −1 ⎤ = lim ⎢ 0,9 z ( z + 0, 4) z ⎥ = −(−0, 4)k ⎪ ⎢⎣ ⎥⎦ z →−0,4 ⎢ z − 0,5 z + 0, ⎥ ⎪ z )( ) ⎥⎦ ⎪ ⎢⎣ ( ⎪ ⎩ k k Hàm gốc có dạng sau: f k = 0,5 − (−0, 4) November 2008 Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội Mơ hình tín hiệu hệ thống 1.3 Mơ hình hệ thống miền ảnh z Ví dụ 1.3.1 Mơ tả khâu có chất gián đoạn phương trình sai phân Hãy tìm giá trị trung bình [xk], tính từ giá trị dãy [uk] ! Chú ý: Cịn gọi phép tính trung bình trượt xk = (uk + uk −1 + uk −2 + uk −3 ) Có thể giảm nhu cầu tính tốn cách sử dụng giá trị vừa tính trước đó: 1 xk −1 = (uk −1 + uk −2 + uk −3 + uk −4 ) xk = xk −1 + (uk − uk −4 ) Vậy: 4 Phép tính gọi thuật tốn tính giá trị trung bình trượt, đặc trưng cho khâu có chất gián đoạn Ví dụ 1.3.2 Mơ tả khâu có chất gián đoạn hàm truyền đạt Tiếp ví dụ 1.3.1: −4 1⎡ −1 −4 ⎤ = 1− z U ( z ) xk = xk −1 + (uk − uk −4 ) ⇒ X ( z ) = z X ( z ) + ⎢U ( z ) − z U ( z )⎥ ⎦ − z −1 4⎣ Thuật tốn tính giá trung bình trượt mơ tả hàm truyền đạt sau: X ( z ) 1 − z −4 G ( z) = = U ( z ) − z −1 November 2008 Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội Mơ hình tín hiệu hệ thống 1.3 Mơ hình hệ thống miền ảnh z Ví dụ 1.3.3 Mơ tả khâu có chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang hàm truyền đạt Hãy tìm hàm truyền đạt khâu tỷ lệ có quán tính bậc (khâu PT1): G ( s ) = Cách 1: •Từ ảnh G(s) ta tìm ảnh H(s) để sau tìm hàm gốc h(t) G (s) = 1 + sT1 ⇒ H (s) = t ⎞ ⎛ ⇒ h (t ) = ⎜1− e T1 ⎟1(t ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ s (1 + sT1 ) ⎝ ⎠ −kT kT •Sau gián đoạn hóa hàm gốc h(t), hk = − e ta tìm ảnh z tín hiệu gián đoạn hk: •Vậy hàm truyền đạt có dạng: Cách 2: •Có thể tách ảnh H(s) thành phân thức tối giản: •Dễ dàng tìm ảnh z H(s) cách tìm ảnh phân thức tối giản: ⇒ H ( z) = T1 1 + sT1 z z − z −1 z − e−T T1 z −1 1− e−T T1 G ( z ) = (1− z ) H ( z ) = 1− = z − e−T T1 z − e−T T1 1 T1 H (s) = = − s s+ s s+ T1 T1 z z Ζ {H ( s )} = H ( z ) = − z −1 z − e−T T 1− e−T T −1 ⇒ G ( z ) = (1− z ) H ( z ) = z − e−T T −1 ( ) 1 November 2008 Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội Mơ hình tín hiệu hệ thống 1.3 Mơ hình hệ thống miền ảnh z Ví dụ 1.3.4 Mơ tả khâu có chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang hàm truyền đạt Hãy tìm hàm truyền đạt miền ảnh z cho đối tượng sau: x (s) K GS ( s ) = = T1 ≠ T2 …≠ Tm u ( s ) (1 + sT1 )(1 + sT2 )…(1 + sTm ) •Tách HS(s) thành phân thức tối giản: 1 K GS ( s ) T1 T2 Tm A Am A1 A2 = = 0+ + + + H S (s) = ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ 1 s s ⎜ s + ⎟⎜ s + ⎟…⎜ s + ⎟ s+ s+ s+ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ s⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ T1 T2 Tm ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎜ T1 ⎠⎝ T2 ⎠ ⎜ Tm ⎠ ⎝ m ⎛1⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜− + ⎟ ⎟ A0 = K ; Ai = −K ∏ ⎜ ⎟ i = 1, 2, … , m ⎟ ∏ ⎜ ⎜T ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ j ⎠ j =1; j ≠i ⎝ Ti T j ⎠ ⎜ ⎟ ⎟ j =1; j ≠i ⎝ •Chuyển HS(s) sang miền ảnh z: ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎛ ⎟ ⎜ m ⎜ m ⎜ ⎟ A0 Ai ⎟ A0 Ai ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ H S ( s) = + ∑⎜ + ∑⎜ ⎟ ⇒ Ζ {H S ( s )} = T ⎟ ⎜ 1⎟ − ⎜ ⎟ s 1− z −1 i=1 ⎜ i =1 ⎜ s + Ti −1 ⎜1− z e ⎟ ⎝ ⎜ ⎟ ⎜ Ti ⎠ ⎝ m November 2008 Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Mơ hình tín hiệu hệ thống 1.3 Mơ hình hệ thống miền ảnh z Ví dụ 1.3.4 Mơ tả khâu có chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang hàm truyền đạt •Quy đồng mẫu số: T ⎛ − ⎜ ⎜ A0 ∏⎜1− z −1e T ⎜ i =1 ⎜ ⎝ m i GS ( z ) = (1− z −1 ) Ζ {H S ( s )} = Nhận xét: Khi tăng dần T •Giá trị tham số nhỏ dần •Giá trị tham số bi tăng dần •Tổng ∑bi=1+∑ai tăng dần •Khi T lớn, ta có: a3 + ∑ ; b3 ∑ bi bỏ qua a3, b3 Mơ hình ban đầu thực tế cịn mơ hình bậc November 2008 T ⎛ ⎞ m m − ⎜ ⎟ T ⎟ ⎜ ⎟ + ∑ (1− z −1 )Ai ∏ ⎜1− z −1e ⎜ ⎟ ⎟ j =1; j ≠i ⎜ ⎠ i =1 ⎝ T m ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜1− z −1e T ⎟ ⎟ ∏⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ i =1 ⎝ ⎠ j ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ i •Ví dụ số cụ thể: m = 3; K = 1; T1 = 10s; T2 = 7,5s; T3 = 5s Bảng: Hệ số GS(z) với chu kỳ trích mẫu T khác T [s] 10 12 b1 b2 b3 a1 a2 a3 ∑bi=1+∑ai 0,00269 0,00926 0,00186 -2,25498 1,68932 -0,42035 0,01399 0,0186 0,0486 0,0078 -1,7063 0,958 -0,1767 0,0750 0,05108 0,1086 0,01391 -1,2993 0,54723 -0,07427 0,17362 0,09896 0,17182 0,01746 -0,99538 0,31484 -0,03122 0,28824 0,15867 0,22570 0,01813 -0,76681 0,18243 -0,01312 0,40250 0,22608 0,26433 0,01672 -0,59381 0,10645 -0,00552 0,50712 Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội Mơ hình tín hiệu hệ thống 1.3 Mơ hình hệ thống miền ảnh z Ví dụ 1.3.5 Mơ tả khâu có chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang hàm truyền đạt Ví dụ xét khâu tỷ lệ có qn tính bậc (khâu PT2), điều khiển tín hiệu vào có dạng bậc thang Đây khâu liên tục mang tính điển hình Để dễ so sánh, ta chọn đối tượng động chiều (ĐCMC), điều khiển điện áp nuôi phần ứng Gọi uA(t) điện áp nuôi n(t) tốc độ quay, ĐCMC có mơ hình miền ảnh Laplace sau: N (s) J Mơmen qn tính K G (s) = = khối gắn vào trục ĐCMC U A ( s ) + sTmech + s 2TmechTel ψ0 Từ thông (coi const) Với: Tmech = J RA L 1 −1 = sec; Tel = A = sec; K = = (V sec) RA cψ0 ck ψ0 •Sau thay số cụ thể, ta biết khâu PT2 thay khâu PT1, với T1 = 1sec T2 = 0,2sec: •Ta biết công thức: November 2008 G (s) = RA Điện trở mạch phần ứng LA Điện cảm mạch phần ứng c, k Các số ĐCMC K = (1 + sT1 )(1 + sT2 ) + s + s 5 GS ( z ) = Ζ {GH ( s ) G ( s )} ⇔ GS ( z ) = (1− z −1 ) Ζ {H ( s )} Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội 10 ĐK có phản hồi trạng thái 3.1 Ơn lại kiến thức sở Ví dụ 3.1.3 Thiết kế hệ ĐK trạng thái có khâu lọc đầu vào (mục 3.1.3a) •Khi thiết kế khâu lọc đầu vào (còn gọi tầng tiền khuếch đại) cho hệ thống SISO ví dụ 3.1.2 ta sử dụng cơng thức: •Với kết ví dụ 3.1.2 ta có ngay: KVF KVF ( = ⎡cT b R cT − A R R ⎢ R ⎣ ) −1 bR ⎤ ⎥ ⎦ −1 ω + rR1 = K Sω0 Ví dụ 3.1.4 Thiết kế hệ ĐK trạng thái kết hợp hồi tiếp đầu (mục 3.1.3b) Hình bên: Kết hợp khâu ĐC trạng thái cho đối tượng SISO với vịng ngồi PI, KP = November 2008 Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội 34 ĐK có phản hồi trạng thái 3.1 Ơn lại kiến thức sở •Mơ hình hệ thống sau mở rộng có dạng đây: Ví dụ 3.1.4 (tiếp) Lợi giải pháp thể rõ qua ví dụ đối tượng khâu quán tính bậc PT1 GS ( s ) = 2+s ⎡• ⎤ ⎢x ( t )⎥ = ⎡ A ⎢ • ⎥ ⎢-cT ⎢ q ( t )⎥ ⎣ ⎣ ⎦ u ( t ) = ⎡ −rT ⎣ ⎡ • ⎤ ⎡ a ⎤ ⎡ x ( t ) ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢ x ( t )⎥ = ⎢ + ⎢ ⎥ u (t ) + ⎢ ⎥ w (t ) ⎥ ⎥⎢ ⎢ e ( t ) ⎥ ⎣-1 ⎦ ⎣ e ( t ) ⎦ ⎣ ⎦ ⎣1 ⎦ ⎣ ⎦ u ( t ) = [ −r ⎡ x ( t )⎤ KI ] ⎢ ⎥ e (t ) ⎦ ⎣ •Giả sử cần gán cặp cực s1,2 = - Tức cần có đa thức đặc tính: N * ( s ) = ( s + ) = s + 8s + 16 •So sánh hệ số ta thu r = KI = 16 dẫn tới: 16 Gw ( s ) = ; Gw ( ) = s + 8s + 16 November 2008 ⎤ ⎡ x ( t ) ⎤ ⎡b ⎤ ⎡0⎤ + ⎢ ⎥ u (t ) + ⎢ ⎥ w (t ) ⎥ ⎥⎢ 0⎦ ⎣ q ( t )⎦ ⎣ ⎦ ⎣1 ⎦ ⎡x ( t )⎤ • T ⎤⎢ KI ⎦ ⎥ ; q (t ) = e (t ) = w (t ) − y (t ) = w (t ) − c x (t ) ⎣ q ( t )⎦ Đa thức đặc tính: ⎡ ⎡ −2 ⎤ ⎡1 ⎤ + det ⎢ sI − ⎢ [ −r −1 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤ K I ]⎥ = s + ( + r ) s + K I ⎦ Đối tượng khâu PT1 Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội 35 ĐK có phản hồi trạng thái 3.1 Ôn lại kiến thức sở Ví dụ 3.1.5 Thiết kế khâu QS trạng thái cho đối tượng SISO (mục 3.1.3d) •Khi thiết kế khâu ĐC trạng thái ta nên xuất phát từ dạng chuẩn ĐK mơ hình đối tượng Tương tự, thiết kế khâu QS trạng thái ta xuất phát từ dạng chuẩn QS Xét đối tượng b0 + b1s + + bn −1sn −1 SISO có hàm truyền đạt sau đây: GS ( s ) = a0 + a1s + + an−1sn−1 + sn •Mơ hình trạng thái −a0 ⎤ ⎡0 ⎡ b0 ⎤ ⎢1 khâu đó, chuyển sang −a1 ⎥ ⎢b ⎥ ⎢ ⎥ dạng chuẩn QS chứa , 0, 1] AO = ⎢0 −a2 ⎥ ; bO = ⎢ ⎥ ; cT = [0, ⎢ ⎥ O ma trận bên: ⎢ ⎥ •Ma trận động học khâu QS có dạng đây: ⎡0 ⎢1 ⎢ AO − kO cT = ⎢0 O ⎢ ⎢ ⎢0 ⎣ November 2008 ⎢ ⎢0 ⎣ −a0 − kO1 −a1 − kO −a2 − kO ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ −an−1 − kOn ⎥ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢bn−1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎥ −an−1 ⎥ ⎦ Áp dụng cho khâu PT2: ⎡0 ⎡ K S ω0 ⎤ T −ω0 ⎤ AO = ⎢ ⎥ ; bO = ⎢ ⎥ ; cO = [0 1] −2Dω ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ với đa thức đặc tính: ( ) det ⎡sI − AO − kO cT ⎤ = s2 + s ( 2Dω0 + kO ) + ω0 + kO1 O ⎦ ⎣ Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội 36 ĐK có phản hồi trạng thái 3.1 Ôn lại kiến thức sở Ví dụ 3.1.5 (tiếp) •Tương tự ví dụ 3.1.2, sau cho trước (gán) vị trí cặp điểm cực, ta sử dụng so sánh hệ số đa thức đặc tính để tìm kO1 kO2 •Với kO1 kO2 ta giả xong nhiệm vụ tính tốn (quan sát) vector trạng thái xO (t ) dạng chuẩn QS Bởi khâu ĐC trạng thái ln thiết kế (xem ví dụ 3.1.2) dạng chuẩn ĐK cần vector trạng thái x R (t ) dạng chuẩn ĐK, ta phải thực phép chuyển đổi tương đương hai dạng chuẩn Sơ đồ cấu trúc hệ ĐK trạng thái cho đối tượng PT2, sử dụng khâu QS trạng thái đầy đủ minh họa hình thuộc trang x R (t ) = K S ω0 ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ x (t ) ⎢1 −2 Dω0 ⎥ O ⎣ ⎦ Kết mô cấu trúc với tham số chọn trang November 2008 Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội 37 ĐK có phản hồi trạng thái 3.1 Ơn lại kiến thức sở Ví dụ 3.1.5 (tiếp) •Tham số chọn cho khâu ĐC (ví dụ 3.1.2) ứng với D = 0: * D* = 1; ω0 = 2ω0 •Điểm cực khâu QS ứng với: * ω0 QS = 10 ω0 •So sánh hệ số đa thức đặc tính cho trước với tham số đa thức đặc tính tổng quát: 2 s + s kO + ω0 + kO1 = ( s + 10 ω0 ) = s + s 20 ω0 + 100 ω0 ⇒ kO1 = 99 ω0 ; kO = 20 ω0 Kết mô chọn ω0 = KS = giới thiệu trang trước November 2008 Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội Đối tượng ĐK (ở dạng chuẩn ĐK) Khâu QS trạng thái (ở dạng chuẩn QS) Chuyển hệ cho biến trạng thái Khâu ĐC trạng thái 38 ĐK có phản hồi trạng thái 3.2 Mơ hình trạng thái gián đoạn Ví dụ 3.2 Mơ hình gián đoạn đối tượng bao gồm DAC, khâu I2 ADC ⎧• ⎡0 ⎤ ⎡0⎤ ⎪x ( t ) = A x ( t ) + b u ( t ) ;A=⎢ ; b = ⎢ ⎥ ; cT = [1 0] ; d = ⎨ ⎥ •Khâu I2 liên tục mơ tả ⎣0 0⎦ ⎣1 ⎦ ⎪ y ( t ) = cT x ( t ) + d u ( t ) ⎩ mơ hình trạng thái bao gồm: • xT ( t ) = [ x1 , x2 ] ; x2 ( t ) = x1 ( t ) •Vì Ak = k ≥ 2, ta dễ dàng tìm Φ(T) nhờ khai triển chuỗi: ⎡1 T ⎤ ⎥ ⇒ Φ (T ) = e AT = I + AT = ⎢ ⎢⎣0 ⎥⎦ T T ⎡ T ⎡T 2⎤ ⎡ ν ⎤ σ (ν ) ν ⎤ ⎡ 0⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ h (T ) = ∫ Φ (ν ) d ν b = ∫ ⎢⎢ ⎥ ⎢1⎥ d ν = ∫ ⎢σ (ν )⎥ d ν = ⎢ T ⎥ σ (ν )⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎦ ⎣ 0 ⎢ ⎣ •Để kiểm tra ta tính hàm truyền đạt •Kết GS(z) hồn tồn trùng với miền ảnh z từ kết trên: kết tìm theo phương pháp: −1 GS ( z ) = cT ( zI − Φ) h ⎡ z −1 −T ⎤ −1 ⎡T ⎥ ⎢ = [1 0] ⎢ ⎢⎣ z −1⎦⎥ ⎢⎢⎣ T November 2008 GS ( z ) = Ζ {GH ( s ) GS ( s )} 2⎤⎥ T z + ⎥ = z −1 ( ) ⎦⎥ = (1− z−1 ) Ζ {1 s } Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội 39 ĐK có phản hồi trạng thái 3.3 Tính ĐK tính QS Ví dụ 3.3.1 Sự phụ thuộc vào chu kỳ trích mẫu T tính ĐK QS • •Bổ xung lý thuyết: Chuyển mơ hình trạng thái x ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) sang miền ảnh Laplace −1 −1 ta có: s X ( s ) − x = A X ( s ) + B U ( s ) ⇒ X ( s ) = ( sI − A ) x + ( sI − A ) B U ( s ) 0 ⇒ Φ (t , t0 ) = L −1 {(sI − A) } = L −1 ⎧ ( sI − A ) ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ det ( sI − A )⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ −1 ⎪ adj •Đối tượng khâu PT2 ví dụ 3.1.2 3.1.5 Khi ω0 = 1, D = KS = (đối tượng có cặp điểm cực kép s1,2 = ±j) ta có: ⎡ 1⎤ ⎡0⎤ A=⎢ ; b = ⎢ ⎥ ; cT = [1 0] ⎥ ⎣ −1 ⎦ ⎣1 ⎦ ⎡ cT ⎤ ⎡1 ⎤ ⎧rang QC = 2; ( det QC ≠ ) ⎡0 ⎤ ⎪ •Vậy theo cơng thức: QC = [b A b ] = ⎢ ⎥ ; QO = ⎢ T ⎥ = ⎢ ⎥ ⇒ ⎨ ⎣1 ⎦ ⎦ ⎪rang QO = 2; ( det QO ≠ ) ⎢c A ⎥ ⎣ hệ ĐK QS ⎣ ⎦ ⎩ hoàn toàn ⎧⎡ ⎪ ⎪ ⎧ ⎡ s 1⎤⎫ ⎡ cos t sin t ⎤ ⎤ −1 ⎫ ⎪ ⎪ −1 ⎪ ⎢ s −1⎥ ⎪ ⎢ ⎥⎪ = ⎢ ⎥ •Áp dụng phần bổ xung lý thuyết Φ (t ) = L ⎨ = L −1 ⎪ ⎬ ⎨ ⎬ ⎢ ⎪⎢⎣1 s ⎥⎦ ⎪ ⎪ s + ⎢⎣−1 s ⎥⎦⎪ ⎣− sin t cos t ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ta tính ma trận mơ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ T hình gián đoạn: ⎡ cos T sin T ⎤ ⎡ cos ν sin ν ⎤ ⎡0⎤ ⎡1− cos T ⎤ ⇒Φ= ⎢ ⎢− sin T ⎣ November 2008 ⎥;h = ∫ cos T ⎥⎦ ⎢ ⎢− sin ν ⎣ Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội ⎥ dν ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ cos ν ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ ⎢⎣ sin T ⎥⎦ 40 ĐK có phản hồi trạng thái 3.3 Tính ĐK tính QS Ví dụ 3.3.1 (tiếp) •Trên sở mơ hình gián đoạn ta tìm ma trận ĐK QS Để phân biệt với ma trận ĐK QS đối tượng miền ảnh Laplace, ta bổ xung gạch ngang bên ký hiệu: •Ma trận ĐK: Q C = [h Φ h ] ⎡1− cos T =⎢ ⎢⎣ sin T cos T − cos 2T ⎤ ⎥ − sin T + sin 2T ⎥⎦ Ta có rang Q = T ≠ ν π (ν = ±1, ±2, …) C Khi đó, đối tượng ĐK hoàn toàn Ngược lại, T = π ta có: ⎡ − 2⎤ tức det QC QC = ⎢ ⎢0 ⎣ ⎥ ⎥⎦ = 0, đối tượng khơng ĐK •Ma trận QS: ⎡ cT ⎤ ⎡ ⎥=⎢ QO = ⎢⎢ T ⎥ ⎢ ⎢⎣c Φ⎥⎦ ⎣cos T ⎤ ⎥ sin T ⎥⎦ Ta có rang Q = T ≠ ν π (ν = ±1, ±2, …) O Khi đó, đối tượng QS hoàn toàn Ngược lại, T = π ta có: ⎡ 0⎤ tức det November 2008 QO ⎥ QO = ⎢ ⎢−1 0⎥ ⎣ ⎦ = 0, đối tượng không QS Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội 41 ĐK có phản hồi trạng thái 3.3 Tính ĐK tính QS Ví dụ 3.3.2 Xây dựng QC để kiểm tra tính ĐK đối tượng quán tính bậc 1, a) Đối tượng bậc 1: GS ( z ) b1 z−1 + a1 z −1 Dạng chuẩn ĐK: ⇒ Φ = −a1; h = 1; c = b1 ⇒ QC = h = ⎡ ⎡b ⎤ ⎡ 0⎤ ⎤ ⎢ ⎥; h = ⎢ ⎥; c = ⎢ 2⎥ b) Đối tượng bậc 2: GS ( z ) ⇒ Φ= ⎢−a2 −a1 ⎥ ⎢ b1 ⎥ ⎢ 1⎥ + a1 z−1 + a2 z−2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡0 ⎤ ⎥ = −1 det QC = det [h Φ h ] = det ⎢ ⎢1 −a1 ⎥ ⎣ ⎦ c) Đối tượng bậc 3: ⎡ ⎡ 0⎤ ⎡ b3 ⎤ ⎤ −1 −2 −3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ b z +b z +b z GS ( z ) −1 −2 −3 ⇒ Φ = ⎢ 0 ⎥ ; h = ⎢0⎥ ; c = ⎢b2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + a1 z + a2 z + a3 z ⎢−a −a −a ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢b ⎥ 1⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 1⎦ ⎣ ⎡0 ⎤⎥ ⎢ Nhận xét: Cả đối −a1 ⎥⎥ = det QC = det ⎡⎢h Φ h Φ h⎤⎥ = det ⎢⎢0 tượng ĐK ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ không phụ thuộc ⎣⎢1 −a1 a1 − a2 ⎦⎥ tham số ai, bi b1 z−1 + b2 z−2 November 2008 Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội 42 ĐK có phản hồi trạng thái 3.3 Tính ĐK tính QS Ví dụ 3.3.3 Xây dựng QO để kiểm tra tính QS đối tượng quán tính bậc 1, dạng chuẩn ĐK a) Đối tượng bậc 1: GS ( z ) = b) Đối tượng bậc 2: GS ( z ) = b1 z−1 + a1 z −1 ⇒ QO = c = b1 b1 z−1 + b2 z−2 + a1 z−1 + a2 z−2 Đối tượng QS b1≠0 ⎡ cT ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ = det ⎢ b2 ⇒ det QO = det ⎢ ⎥ ⎢−b1a2 ⎢⎣cT Φ⎦⎥ ⎣ ⎤ b1 ⎥ (b2 − a1b1 )⎥⎦ = b2 + a2b12 + a1b1b2 ≠ Đối tượng bậc khơng QS được: •khi b1 = b2 = 0, b1 ( z − z01 ) b z + b2 GS ( z ) = = •khi hàm truyền đạt bên: z + a1 z + a2 ( z − z1 )( z − z2 ) có điểm khơng z01 nhận giá trị giống điểm cực z1, z2, z01 = − b2 b1 ; z1,2 = − a1 ± a1 − 4a2 với z01= z1 điểm không giản ước b2 + a2b12 + a1b1b2 = bớt điểm cực dẫn đến: Đối tượng bậc QS tham số cịn lại phải có b1≠0 b2≠0 Nếu b2=0 bắt buộc a2≠0 November 2008 Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội 43 ĐK có phản hồi trạng thái 3.4 Cấu trúc không gian trạng thái Ví dụ 3.4 Thiết kế khâu ĐC kiểu Dead – Beat cho đối tượng I2 (mục 3.4) ⎡T 2⎤ ⎡1 T ⎤ ⎥ ⎥ ; h (T ) = ⎢ •Theo ví dụ 3.2, đối tượng có mơ hình với: Φ (T ) = ⎢ ⎢ T ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣⎢0 ⎦⎥ ⎡1⎤ T •Bằng khâu ĐC r = [ r1 r2 ] ta phải đưa đối tượng từ trạng thái ban đầu x (0) = ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣1⎦ tới trạng thái cuối x(N) = sau lượng tối thiểu N = n = chu kỳ T •Thực gán điểm cực vào gốc tọa độ sở công thức (mục 3.4): ( ) det ⎡ zI − Φ − h rT ⎤ = z ⎣ ⎦ ⎡ T ⎤⎥ ⎢ z −1 + T −T + r2 det ⎢⎢ r1 ⎥⎥ ⎢ z −1 + T r2 ⎥⎦⎥ ⎢⎣ T r1 2 ⎛ ⎞ ⎜ − T r − T r ⎟ + 1− T r + T ⎟ = z − z⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎝ ⎠ ( •Có thể kiểm tra kết cách tính: x = Φ − h r T ) x0 ( T ) ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ r1 = ⎪ ⎪ T2 ⎪⇒ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ r2 = 2T ⎪ r1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎡12 T 4⎤ ⎥ =0 =⎢ ⎢⎣−1 T −1 2⎥⎦ •Dễ dàng thấy với x0 ta ln có xk = (k ≥ 2) vì: Φ − h r ⎡ ⎤ ⎥ xk •Chuỗi giá trị ĐK là: u k = −rT x k = − ⎢ T bé, u0 lớn ⎢⎣ T 2T ⎥⎦ ⎡1⎤ •Với trạng thái ban đầu cho x (0) = ⎢ ⎥ ta tính giá trị ĐK đầu tiên: u = − − ⎢⎣1⎥⎦ 2T T November 2008 Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội 44 Thực kỹ thuật hệ thống ĐK số 4.1 Ảnh hưởng số hóa (lượng tử hóa) biên độ Ví dụ 4.1.1 Hiệu ứng lượng tử hóa biến (mục 4.1.2a) Tác động sai số lượng tử hóa khâu ADC vào đại lượng ĐK Đối tượng ĐK khâu PT1 Đối với nhiễu ngẫu nhiên, khâu ĐC thiết kế (tối ưu tham số) có đặc tính PD •Với sai lệch ĐC: e (k ) = −y (k ) , thuật toán ĐC có dạng: u (k ) = −r0 y (k ) − r1y (k − 1) •Do „tạp âm lượng tử hóa“, đại lượng ĐK xếp chồng thêm: uδ (k ) = −r0δ (k ) − r1δ (k − 1) •Nếu uδ (k ) khâu PT1 (đặc điểm lọc thông thấp) lọc tới mức đáp ứng yδ (k ) ≈ Khi phương sai tín hiệu ngẫu nhiên tích lũy uδ (k ) là: 2 σuδ ≈ ⎡⎣r02+r12 ⎤⎦ σδ •Giả sử r0 = r1 = -1,5 Theo cơng thức phương sai mục 4.1.2a), ta tìm sai lệch sau: σuδ ≈ 3,35σδ = (3,35 12 ) Δ = 0,97Δ •Nhận xét: Đại lượng ĐK bị tạp âm lượng tử hóa khâu ADC gây nên sai lệch lớn cỡ gấp lần sai lệch khâu ADC Vì kỳ vọng xuất sai lệch khác không, nên ưu tiên chọn giải pháp „làm trịn“, khơng nên „cắt bỏ“ November 2008 Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội 45 Thực kỹ thuật hệ thống ĐK số 4.1 Ảnh hưởng số hóa (lượng tử hóa) biên độ Ví dụ 4.1.2 Hiệu ứng lượng tử hóa biến (mục 4.1.2b) Sai lệch tĩnh xuất lượng tử hóa khâu ADC •Xét đối tượng PT1 mô tả bởi: y (k+1) = −a1y (k)+b1u (k ) ; a1 = −0,5867; b1 = 0,4133 •Khâu ĐC có đặc tính tỷ lệ P: u (k ) = r0 e (k ) e (k ) = w (k ) − yQ (k ) •Sai lệch ĐC tính bởi: •Trong khâu ADC, đại lượng ĐC y(k) làm tròn đến chữ số sau dấu phẩy thành yQ(k) Bảng sau cho thấy diễn biến biến ĐK ĐC trường hợp cắt bỏ làm tròn w(k) = 1(k), giá trị ban đầu y(k) = u(k) = tham số r0 = 1,3 k Khơng làm trịn u(k) y(k) 1,3000 0,6015 0,5373 0,5670 0,5638 0,5653 0,5651 0,5652 0,5652 0,5652 November 2008 Làm tròn u(k) y(k) 1,3000 0,5980 0,5373 0,5720 0,5640 0,5720 0,5649 0,5720 0,5649 0,5649 yQ(k) 0,54 0,56 0,56 0,56 0,56 Đơn vị lượng tử Δ = 0,01 Đại lượng ĐC sau làm tròn giữ cố định giá trị yQ = 0,56 Sai lệch tĩnh Δy ≈ 0,005 bỏ qua Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội 46 Thực kỹ thuật hệ thống ĐK số 4.1 Ảnh hưởng số hóa (lượng tử hóa) biên độ Ví dụ 4.1.3 Hiệu ứng lượng tử hóa biến (mục 4.1.2b) Dao động xuất lượng tử hóa khâu ADC Hệ số khuếch đại vịng ĐC ví dụ 4.1.2 nâng lên r0 = 2,0 Cách làm tròn giữ nguyên ta thu bảng giá trị bên Dễ dàng nhận thấy xuất dao động bang-bang với chu kỳ M = Biên độ sai lệch ĐC |Δy| ≈ 0,003 (rất nhỏ) Biên độ dao động đại lượng ĐK Là |Δu| = 0,01, đơn vị lượng tử đại lượng ĐC y November 2008 k 10 11 12 13 14 15 Khơng làm trịn u(k) y(k) 2,0000 0,3468 0,8266 0,7434 0,6283 0,6482 0,6759 0,6711 0,6644 0,6656 0,6672 0,6669 0,6665 : 0,6667 : : : : Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội Làm tròn u(k) 2,0000 0,3400 0,7400 0,6600 0,6600 0,6800 0,6600 0,6600 0,6600 0,6800 0,6600 0,6600 0,6800 0,6600 0,6600 0,6800 y(k) 0,8266 0,6254 0,6727 0,6675 0,6644 0,6708 0,6663 0,6664 0,6637 0,6705 0,6661 0,6636 0,6703 0,6661 0,6636 yQ(k) 0,83 0,63 0,67 0,67 0,66 0,67 0,67 0,67 0,66 0,67 0,67 0,66 0,67 0,67 0,66 47 Thực kỹ thuật hệ thống ĐK số 4.1 Ảnh hưởng số hóa (lượng tử hóa) biên độ Ví dụ 4.1.4 Hiệu ứng lượng tử hóa kết tính trung gian (mục 4.1.4a) Dao động xuất làm trịn tích trung gian Tiếp tục xét vịng ĐC ví dụ 4.1.2 Các thừa số tích số làm trịn tới chữ số sau dấu phẩy Hệ số khuếch đại r0 = 2,0 Đơn vị lượng tử Δ = 0,01 Kết tính cất bảng bên Dễ dàng nhận thấy xuất dao động bang-bang với chu kỳ M = Biên độ sai lệch ĐC |Δy| ≈ 0,0034 (rất nhỏ) biên độ dao động đại lượng ĐK |Δu| = 0,01, có phép nhân thuật toán November 2008 k 10 11 12 13 14 15 Không làm tròn u(k) y(k) 2,0000 0,3468 0,8266 0,7434 0,6283 0,6482 0,6759 0,6711 0,6644 0,6656 0,6672 0,6669 0,6665 : 0,6667 : : : : Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội Làm tròn uQ(k) y(k) 2,00 0,34 0,8266 0,74 0,6255 0,66 0,6728 0,66 0,6675 0,68 0,6644 0,66 0,6708 0,66 0,6664 0,68 0,6637 0,66 0,6705 0,66 0,6661 0,68 0,6636 0,66 0,6704 0,66 0,6661 0,68 0,6636 0,66 0,6704 48 ... khơng chứa thành phần điều hịa (khơng chứa thành phần hình sin) November 2008 Assoc Prof Hon.-Prof Dr.-Ing habil Ng Ph Quang ĐHBK Hà Nội 22 ĐK có phản hồi đầu 2.1 Xét ổn định hệ thống ĐK số Ví dụ... Quang ĐHBK Hà Nội 44 Thực kỹ thuật hệ thống ĐK số 4.1 Ảnh hưởng số hóa (lượng tử hóa) biên độ Ví dụ 4.1.1 Hiệu ứng lượng tử hóa biến (mục 4.1.2a) Tác động sai số lượng tử hóa khâu ADC vào đại lượng... làm trịn tích trung gian Tiếp tục xét vịng ĐC ví dụ 4.1.2 Các thừa số tích số làm trịn tới chữ số sau dấu phẩy Hệ số khuếch đại r0 = 2,0 Đơn vị lượng tử Δ = 0,01 Kết tính cất bảng bên Dễ dàng