Giúp em tự học tốt Đại Số 10

Chương 1: Mệnh đề-Tập hợp  §1 Mệnh đề mệnh đề chứa biến Mệnh đề −mệnh đề chứa biến a) Mệnh đề Mệnh đề lôgic (gọi tắt mệnh đề) câu khẳng định hoặc sai Một mệnh đề vừa vừa sai Một câu khẳng định gọi mệnh đề Một câu khẳng định sai gọi mệnh đề sai Ví dụ 1: a) Góc vng có số đo 800 (là mệnh đề sai) b) Số số nguyên tố (là mệnh đúng) c) Hôm trời đẹp q ! (khơng mệnh đề) d) Bạn có khỏe khơng ? (khơng mệnh đề) Ví dụ 2: Trong câu sau đậy câu mệnh đề? Nếu mệnh đề xác định xem mệnh đề hay sai a) Không lối này! b) Bây giờ? c) Chiến tranh giới lần thứ hai kết thúc năm 1946 d) 16 chia dư f) 2003 không số nguyên tố e) số vô tỉ  Chú ý: + Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh mệnh đề + Mệnh đề thường kí hiệu chữ in hoa Ví dụ: Q: “ 36 chia hết cho 12” + Một câu mà chưa thể nói hay sai chắn sai, vừa vừa sai mệnh đề Ví dụ: “Có sống ngồi Trái Đất” mệnh đề b) Mệnh đề chứa biến Những câu khẳng định mà tính đúng-sai chúng tùy thuộc vào giá trị biến gọi mệnh đề chứa biến Ví dụ: Cho P(x): “x > x2 “ với x số thực Khi đó: P(2) mệnh đề sai, P(1/2) mệnh đề Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P Mệnh đề “Không phải P” gọi mệnh đề phủ định P kí hiệu P Mệnh đề P P sai P sai P  Chú ý: Mệnh đề phủ định P diễn đạt theo nhiều cách khác Ví dụ: P: “ số vơ tỉ” Khi mệnh đề P phát biểu : “ số vô tỉ” “ số hữu tỉ” Mệnh đề kéo theo +Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “Nếu P Q” mệnh đề kéo theo +Kí hiệu P⇒Q + Mệnh đề kéo theo sai P Q sai * P⇒Q phát biểu “P kéo theo Q”, “P suy Q” hay “Vì P nên Q” Ví dụ: Cho tứ giác ABCD Xét hai mệnh đề P : “ Tứ giác ABCD hình chữ nhật “ Q : “ Tứ giác ABCD hình bình hành “ P⇒Q: “ Nếu tứ giác ABCD hình chữ nhật tứ giác ABCD hình bình hành “ -1- Q⇒P “ Nếu tứ giác ABCD hình bình hành tứ giác ABCD hình chữ nhật “ * Trong tốn học, định lí mệnh đề đúng, thường có dạng : P⇒Q P gọi giả thiết, Q gọi kết luận Hoặc P(x) điều kiện đủ để có Q(x) Q(x) điều kiện cần để có P(x) Hoặc điều kiện đủ để có Q(x) P(x) điều kiện cần để có P(x) Q(x) Mệnh đề đảo-Mệnh đề tương đương a) Mệnh đề đảo: Cho mệnh đề P⇒Q Mệnh đề Q⇒P gọi mệnh đề đảo P⇒Q b) Mệnh đề tương đương + Mệnh đề “P Q” (P Q) gọi mệnh đề tương đương, + Kí hiệu P⇔Q +Mệnh đề P⇔Q P⇒Q Q⇒P sai trường hợp lại ( hay P⇔Q hai P Q sai) Các cách đọc khác: P tương đương Q P điều kiện cần đủ để có Q Điều kiện cần đủ để có P(x) có Q(x) Ví dụ 1: Xét mệnh đề A: “36 chia hết cho chia hết cho 3”; B: “36 chia hết 12” Khi đó: A đúng; B A⇔B: “36 chia hết cho chia hết cho 36 chia hết 12” Ví dụ 2: Mệnh đề “Tam giác ABC tam giác có ba góc tam giác có ba cạnh nhau” mệnh đề gì? Mệnh đề hay sai? Giải thích Xét P:” Tam giác ABC tam giác có ba góc nhau” Q:” Tam giác có ba cạnh nhau” Khi P⇒ Q đúng; Q⇒P Vậy P⇔Q Các kí hiệu ∀ ∃ Kí hiệu ∀ (với mọi): " ∀x ∈ X , P( x) ” “ ∀x ∈ X : P ( x ) ” Kí hiệu ∃ (tồn tại) :“ ∃x ∈ X , P ( x) ” “ ∀x ∈ X : P ( x ) ” Phủ định mệnh đề “ ∀x∈ X, P(x) ” mệnh đề “∃x∈X, P(x) ” Phủ định mệnh đề “ ∃x∈ X, P(x) ” mệnh đề “∀x∈X, P(x) ” Ví dụ: Các biết tính đúng/sai mệnh đề sau? Nêu mệnh đề phủ định a) ∀n ∈ *, n2-1 bội b) ∀x ∈ ¡ , x2-x+1>0 c) x Ô , x2=3 d) n ∈ , 2n + số nguyên tố e) ∀n ∈ , 2n ≥ n+2 * Trong toán học, định lí mệnh đề đúng, thường có dạng : P⇒Q P gọi giả thiết, Q gọi kết luận Hoặc P(x) điều kiện đủ để có Q(x) Q(x) điều kiện cần để có P(x) Hoặc điều kiện đủ để có Q(x) P(x) điều kiện cần để có P(x) Q(x) -2- * Mệnh đề tương đương + Mệnh đề “P Q” (P Q) gọi mệnh đề tương đương Kí hiệu P⇔Q +Mệnh đề P⇔Q P⇒Q Q⇒P sai trường hợp lại ( hay P⇔Q hai P Q sai) Các cách đọc khác: P tương đương Q P điều kiện cần đủ để có Q Điều kiện cần đủ để có P(x) có Q(x) Bổ sung: Trong lơgic tốn, phân ngành lơgic học, sở ngành toán học, mệnh đề, hay gọi đầy đủ mệnh đề lôgic khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa Chú ý:(mệnh đề) Trong thực tế có mệnh đề mà tính sai ln gắn với thời gian địa điểm cụ thể: thời gian địa điểm sai thời gian địa điểm khác Nhưng thời điểm nào, địa điểm ln có giá trị chân lí sai Ví dụ: Sáng bạn An học Trời mưa Học sinh tiểu học nghỉ hè Ta thừa nhận luật sau lôgic mệnh đề: Luật trùng: Mỗi mệnh đề phải đúng, sai; khơng có mệnh đề khơng khơng sai Luật mâu thuẫn: Khơng có mệnh đề vừa lại vừa sai Có mệnh đề mà ta (hoặc chưa biết) sai biết "chắc chắc" nhận giá trị Ví dụ: Trên Hỏa có sống Chú ý:(mệnh đề kéo theo) Trong lơgic, xét giá trị chân lí mệnh đề a b người ta không quan tâm đến mối quan hệ nội dung hai mệnh đề a, b Khơng phân biệt trường hợp a có phải ngun nhân để có b hay khơng, mà quan tâm đến tính đúng, sai chúng Ví dụ: "Nếu mặt trời quay quanh trái đất Việt Nam nằm Châu Âu" ← mệnh đề Vì hai mệnh đề a = "mặt trời quay quanh trái đất" b = "Việt Nam nằm Châu Âu" sai "Nếu tháng 12 có 31 ngày năm có 13 tháng" ← mệnh đề sai Chú ý:(mệnh đề tương đương) Hai mệnh đề a, b tương đương với hồn tồn khơng có nghĩa nội dung chúng nhau, mà nói lên chúng có giá trị chân lí (cùng sai) Ví dụ: "Tháng 12 có 31 ngày trái đất quay quanh mặt trời" mệnh đề "12 trưa hôm Tuấn có mặt Hà Nội vào anh thành phố Hồ Chí Minh" mệnh đề sai "Hình vng có góc tù 100 số nguyên tố" mệnh đề -3- Giải toán suy luận Ví dụ:Tại Tiger Cup 98 có bốn đội lọt vào vòng bán kết: Việt Nam, Singapor, Thái Lan Inđơnêxia Trước thi đấu vịng bán kết, ba bạn Dung, Quang, Trung dự đốn sau: Dung: Singapor nhì, cịn Thái Lan ba Quang: Việt Nam nhì, cịn Thái Lan tư Trung: Singapor Inđơnêxia nhì Kết quả, bạn dự đoán đội sai đội Hỏi đội đạt giải mấy? Giải: Kí hiệu mệnh đề: d1, d2 hai dự đoán Dụng q1, q2 hai dự đoán Quang t1, t2 hai dự đốn Trung Vì Dung có dự đốn dự đốn sai, nên có hai khả năng: Nếu G(d1) = G(t1) = Suy G(t2) = Điều vơ lí hai đội Singapor Inđơnêxia đạt giải nhì Nếu G(d1) = G(d2) = Suy G(q2) = G(q1) = Suy G(t2) = G(t1) = Vậy Singapor nhất, Việt Nam nhì, Thái Lan ba cịn Inđơnêxia đạt giải tư Số vơ tỉ Trong tốn học, số vô tỉ số thực số hữu tỷ, nghĩa biểu diễn dạng tỉ số a/b , với a, b số ngun Ví dụ: Số thập phân vơ hạn có chu kỳ thay đổi: 0.1010010001000010000010000001 Số = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 Số pi = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 Số lơgarít tự nhiên e = 2,71828 18284 59045 23536 Nếu số hữu tỉ có biểu diễn thập phân hữu hạn (số thập phân hữu hạn, ví dụ: 1/2=0,5) vơ hạn tuần hồn (số thập phân vơ hạn tuần hồn, ví dụ:1/11= 0.090909 ) số vơ tỉ có biểu biễn thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Căn bậc hai tất số nguyên Ta chứng minh bậc hai số nguyên phải số nguyên số vô tỉ Lấy số nguyên r Thí dụ, r = Trong hệ nhị phân, = 102 Vậy, trên, = m/n thì, hệ nhị phân: m2 = 102 n2 m, n số nguyên Trường hợp n = xảy ra, ta biết khơng phải số ngun Lập luận trên, vế trái có số chẵn số (trong hệ nhị phân) cuối, vế phải lại có số lẻ số cuối Vậy giả thiết số hữu tỉ phải sai Với số nguyên r bất kỳ, chứng minh hệ r-phân: m2 = 10r n2 m, n số nguyên Nếu n = m2 = 10r = r, số ngun Cịn n ≠ thì, trên, số bình phương hệ r-phân phải có số chẵn số (trong hệ r-phân) cuối Do đẳng thức vế trái có số chẵn số cuối vế phải lại có số lẻ số cuối Vậy số hữu tỉ Số phương Số phương hay cịn gọi số hình vng số ngun có bậc số nguyên, hay nói cách khác, số phương bình phương (lũy thừa bậc 2) số nguyên khác Ví dụ:4 = 2²; = 3²; 1.000.000 = 1.000² Số phương hiển thị diện tích hình vng có chiều dài cạnh số nguyên -4- §1 MỆNH ĐỀ 1.1 Xét xem câu sau, câu mệnh đề, câu mệnh đề chứa biến? a) 7+x=3 b) 7+5=6 c) 4+x ” 1.8 Lập mệnh đề P⇒Q xét tính sai nó, với: a) P: “2 µ ; c) Nếu µ =900 ABC tam giác vng A -5- 1.14 Dùng kí hiệu ∀ ∃ để viết mệnh đề sau: a) Có số ngun khơng chia hết cho nó; b) Mọi số thức cộng với nó; c) Có số hữu tỉ nhỏ nghịch đảo nó; d) Mọi số tự nhiên lớn số đối 1.15 Phát biểu lời mệnh đề sau xét tính sai chúng a) ∀ x ∈ ¡ : x2≤ b) ∃ x ∈ ¡ : x2≤0 x2 − x2 − c) ∀ x ∈ ¡ : d) ∃ x ∈ ¡ : = x +1 = x +1 x −1 x −1 e) ∀ x ∈ ¡ : x 2+ x +1>0 f) ∃ x ∈ ¡ : x 2+ x +1>0 1.16.Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau xét tính sai a) ∀ x ∈ ¡ : x 1= x b) ∀ x ∈ ¡ : x x =1 c) ∀ n ∈ ¢ : n x2 b) ∀ x ∈ ¡ , |x| <  x< c) ∀ x ∈ N, n2+1 không chia hết cho d) ∃ a ∈ ¤ , a2=2 1.20 Các mệnh đề sau hay sai? Nếu sai, sửa lại cho đúng: A: ” 15 số nguyên tố” B: ”∃ a ∈ Â , 3a=7 C: a Ô , a23 1.21 Phát biểu định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ": a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt vng góc đường thẳng thứ ba hai đường thẳng song song b) Nếu hai tam giác chúng có diện tích c) Nếu số tự nhiên tận chữ số chia hết cho d) Nếu a+b > hai số a b phải dương 1.22 Phát biểu định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần": a) Nếu hai tam giác chúngcó góc tươmg ứmg b) Nếu tứ giác T hình thoi có hai đường chéo vng góc c) Nếu số tự nhiên chia hết cho chia hết cho d) Nếu a=b a2=b2 1.23 Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần đủ” “Tam giác ABC tam giác tam giác ABC tam giác cân có góc 600” 1.24 Hãy sửa lại (nếu cần) mệnh đề sau để mệnh đề đúng: a) Để tứ giác T hình vng, điều kiện cần đủ có bốn cạnh b) Để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7, điều kiện cần đủ số chia hết cho c) Để ab>0, điều kiện cần hai số a b điều dương d) Đề số nguyên dương chia hết cho 3, điều kiện đủ chia hết cho 1.25 Các mệnh đề sau hay sai? Giải thích -6- a) Hai tam giác chúng có diện tích b) Hai tam giác chúng đồng dạng c) Một tam giác tam giác vuông có góc(trong) tổng hai góc cịn lại d) Một tam giác tam giác có hai trung tuyến có góc 600 BÀI TẬP THÊM Xét (sai)của mệnh đề sau : a/ Hình thoi hình bình hành b/ Số khơng nghiệm phương trình : x2 − 5x + = c/ ( > ) ∧ (3 < π) e/ (5.12 > 4.6) ⇒ (π2 < 10) d/ ( 11 > ) ∨ (42 < 0) f) (1< ) ⇒ số nguyên tố Phủ định mệnh đề sau : a/ < x < b/ x ≤ −2 hay x ≥ c/ Có ∆ABC vng cân d/ Mọi số tự nhiên không chia hết cho e/ Có học sinh lớp 10A học yếu hay f/ x< hay x=3 g/ x ≤ hay x>1 h/ Pt x2 + = vơ nghiệm pt x+3 =0 có nghiệm Xét (sai)mênh đề phủ định mệnh đề sau : a/ ∀x ∈ R , x2 + > b/ ∀x ∈ R , x2 − 3x + = c/ ∃n ∈ N , n2 + chia hết cho d/ ∃n ∈ Q, 2n + ≠ e/ ∀a ∈ Q , a2 > a f) ∀x ∈ R , x2 +x chia hết cho 4.Dùng bảng (sai)để chứng minh: a) A⇒ B = B ⇒ A c) A ∨ B = A ∧ B b) AΛB = A ∨ B d) A ∧ ( B ∨ C ) = ( A ∧ B) ∨ ( A ∧ C ) B SUY LUẬN TOÁN HỌC Phát biểu định lý sau dạng "điều kiện đủ" a/ Nếu hai tam giác chúng đồng dạng b/ Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với c/ Nếu a + b > a > hay b > d/ Nếu số tự nhiên có chữ số tận số chia hết cho e/ Nếu a + b < hai số phải âm Phát biểu định lý sau dạng "điều kiện cần" a/ Hình chữ nhật có hai đường chéo b/ Nếu hai tam giác có góc tương ứng c/ Nếu số tự nhiên chia hết cho chia hết cho d/ Nếu a = b a3 = b3 e/ Nếu n2 số chẵn n số chẵn 7.Dùng phương pháp phản chứng, CMR : -7- a/ Nếu n2 số chẵn n số chẵn b/ Nếu n2 số chẵn n số chẵn c/ Nếu x2 + y2 = x = y = d/ Nếu x = hay y = d/ Nếu x ≠ − x + 2y − 2xy − = 1 y ≠ − x + y + 2xy ≠ − 2 e/ Nếu x.y chia hết cho x hay y chia hết cho f) Nếu d1// d2 d1// d3 d2 // d3 Chứng minh vơi số nguyên dương n, ta có: a) + + + + + (2n – 1) = n2 b) + + + + + (2n) = n(n +1) n (n + 1) n (n + 1)( n + 2) a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1) = 1 1 n b) 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1) = n + 1 1 n c) 1.3 + 3.5 + 5.7 + + (2n − 1).(2n + 1) = 2n + c) + + + + + n = n (n + 1)(2n + 1) 2 n (n + 1) e) 13 + 23 + 33 + + n3 = d) 12 + 22 + 32 + + n2 = f) + 22 + 23 + + n = 2(2 n – 1) ( 3n – ) g) 31 + 32 + 33 + + n = h) n +2n chia hết cho i) n3 +11n chia hết cho j) n3 +5n chia hết cho k) 2n + 63 hết 72 l) 2n + + n + chia hết cho m) 2n + n + + n chia hết cho 11 n) 2n – n chia hết cho o) n + 15.n – chia hết cho §1 MỆNH ĐỀ 1.3 a) P⇒Q: “ Nếu góc A 90 BC =AB2+AC2”→ Q⇒P: “ Nếu BC2=AB2+AC2 góc A 900 ”→ b) P⇒Q: “ µ = B tam giác ABC cân”→ A µ Q⇒ P:” “Nếu tam giác ABC cân µ = B ”→ sai (vì µ = C A µ A µ 1.4 a) ∃ x ∈ ¡ : x2=−1; “ Có số thực mà bình phương −1”→ sai ∀ x ∈ ¡ : x2≠−1; “ Với số thực, bình phương khác −1” b) ∀ x ∈ ¡ :x2+x+2≠0; “ Với số thực có x2+x+2≠0” → ∃ x ∈ ¡ :x2+x+2=0 1.5 a) Đúng P : “ + b) Sai P : ( ” 3− 2≠ 2− ) ≤8 -8- c) Đúng ( + 12 ) =27 số hữu tỉ P : “ ( d) Sai P :” x=2 khônglà nghiệm phương trình + 12 ) số vơ tỉ” x2 − = 0” x−2 1.8 Lập mệnh đề P⇒Q xét tính sai nó, với: a) Nếu 2 µ ; → mđ đảo 1.14 c) Nếu µ =900 ABC tam giác vng → mđ đảo sai (vuông B C) A a) ∃ n ∈ ¢ : n khơng chia hết cho n b) ∀ x ∈ ¡ : x +0=0 c) x Ô : x < x d) ∀ n ∈ ¥ : n>−n 1.15 Phát biểu lời mệnh đề sau xét tính sai chúng a) Bình phương số thực nhỏ 1→ sai b) Có số thực mà bình phương nhỏ 0→đúng x2 − = x + → Sai x −1 x2 − d) Có số thực, cho = x + → Đúng x −1 e) Với số thực x , cho x 2+ x +1>0→ f) Có số thực x , cho x 2+ x +1>0→ a) ∃ x ∈ ¡ : x 1≠ x → sai b) ∃ x ∈ ¡ : x x ≠1→ c) ∃ n ∈ ¢ : n≥n2 → c) Với số thực , cho 1.16 1.17 a) “Có hình vng khơng phải hình thoi”→ sai b) “Mọi tam giác cân tam giác đều”→ sai 1.18 Xét xem mệnh đề sau hay sai lập mệnh đề phủ định mệnh : a) x Ô , 4x2-1= sai; m ph x Ô , 4x2-10 b) ∃ n ∈ ¥ , n2+1 chia hết cho 4→ Sai Nếu n số tự nhiên chẳn : n =2k (k ∈ N) ⇒ n2+1 = 4k2+1 không chia hết cho Nếu n số tự nhiên le : n = 2k+1 (k ∈ N) ⇒ n2+1 = 4(k2+k)+2 không chia hết cho Mđ phủ định “ ∀ n ∈ ¥ , n2+1 khơng chia hết cho 4” c) ∀ x ∈ ¡ , (x-1)2 ≠ x-1 → Sai x =0 mđ phủ định “∃ x ∈ ¡ ,(x-1)2 =x-1” 1.19 a) đúng, ví dụ x =1/10 b) sai, x 0;B>0;C -137- ;D ;E ;F ) BÀI : Đơn giản biểu thức A= tgx sinx sin x cotgx sin x sinx - sin x cos x = = = cosx cosx sin x cosx sin x B= = C= sin x + cos x sin x + cos x (sin x + cos x )(sin x - sinx.cosx + cos x = - sinx.cosx sin x + cos x cos x - sin x cotg x - tg x cos x - sin x = cos x sin x = sin x cos x sin x cos x D= + cos x - cosx = - cos x =| sin x | π E = tg ( + x ) + tg ( x + 3π 5π π ) - tg ( x - ) - tg(x - ) 2 π π π 2 π π = −cotgx + tg ( + x ) - tg(x - ) + cotgx = − cotgx − cotgx + cotgx +cotgx = 2 = −cotgx + tg ( + x + π) - tg(x - - 2π) - tg[-( - x)] F= = - cos (90 + x ) - sin (90 - x) - sin x - cos x - cotg(90 - x).tg(90 + x) − tgx(−cotgx) = 0 - sin x - cos x +1 = cos x sin x +1= sin x G = cos10 + cos30 + +cos150 + cos170 = (cos10 + cos170)+(cos30 + cos150)+(cos50 + cos130)+(cos70+cos110) + cos90 = (cos10−cos10)+(cos30−cos30)+(cos50−cos50)+(cos70−cos70) = H = sin2100 + sin2200 + + sin2900 = ( sin210 + sin280)+(sin220+sin270)+(sin230+sin260)+(sin240+sin250)+sin290 = (sin210+cos210)+(sin220+cos220)+(sin230+cos230)+(sin240+cos240)+1 = K= cos 2a - cos4a sin4a - sin2a 2a + 4a 2a - 4a sin - sin3a.sin(-a) 2 = = tg3a = 4a + 2a 4a - 2a cos 3a sin a 2.cos sin 2 - 2.sin L = sin2a.cotga − cos2a = sin2a cos a sin2a.cosa - cos2a.sina sin( 2a - a) - cos2a = = =1 sin a sin a sin a M = tga + tg(a+ π 2π ) + tg (a + ) 3 -138- π 2π tga + tg 8tga tga + tga - 3 + = tga + + = tga + = tga + π 2π - 3tg a - 3.tga + 3tga - tga.tg - tga.tg 3 tga + tg 3(3tga - tg a) = 3tg3a - 3tg2a a (1 + cosa).tg sin a N= + cos a - cosa a a a tg sin a tg sin a tg sin a 2 + cos a = + cos a = + cos a = sin a + cos a = 1 - cosa a 2 a = sin tg + cosa 2 a cos 2 = P= cotga + tga cot ga - tga 1 + tga tga + tg a cos a = = = = 2 cos a - sin a cos 2a - tga - tg a tga cos a Q = (1 + 2cos2a + 2cos4a + 2cos6a).sina = sina + 2sina.cos2a + 2sina.cos4a + 2sinacos6a = sina +sin(−a) + sin3a + sin(−3a) + sin5a + sin(−5a) + sin7a = sin7a S= = sin a + sin 3a + sin 5a cos a + cos 3a + cos 5a sin a + sin 5a + sin 3a sin 3a cos 2a + sin 3a sin 3a (1 + cos 2a ) = = = tg3a cos a + cos 5a + cos 3a cos 3a cos 2a + cos 3a cos 3a (1 + cos 2a ) R = cos10x + 2cos24x + 6cos3x.cox−cosx−8cosx.cos33x = cos10x + (1 + cos8x) − cosx − 2cosx(4cos33x−3cosx) = cos10x + cos8x + − cosx − 2cosx.cos9x = 2cos9x.cosx+1−cosx−2cos9x.cosx = 1− cosx BÀI : Chứng minh đẳng thức luợng giác a) (tgα + cotgα)2 − (tgα − cotgα)2 = VT = tg2α + cotg2α+2.tgα.cotgα−(tg2α+tg2α−2tgα.cotgα) = tg α + cotg α + tg α b) = + tg α cotg α tg α + cot g α VT = tg α ( + tg α cot g α + 1) = tg α c) sin α − cos4α = 2sin2α −1 VT = (sin2α)2−(cos2α)2 = (sin2α+cos2α)(sin2α−cos2α) = sin2α−cos2α =2sin2α −1 d) sin6α − cos6α = 1−3sin2α cos2α VT = (sin2α+cos2α)(sin4α−sin2α.cos2α+cos4α) = sin4α−sin2α.cos2α+cos4α = (sin2α+cos2α)−2sin2α.cos2α−sin2α.cos2α e) (1 + tgx)(1 + cotgx ).sinx.cosx = + 2sinx.cosx VT = (1 + cot gx + tgx + tgx cot gx ) sin x cos x = (2 + = 2sinx.cosx + cos2x + sin2x = + 2cosx.sinx -139- cos x sin x + ) sin x cos x sin x cos x f) g) sin x - cosx = + cos x sinx sin2x = − cos2x tg 2a - tg a - tg 2a.tg a VT = = tg3a.tga ( tg 2a + tga )( tg2a - tga) tg 2a + tga tg2a - tga = = tg3a.tga (1 - tg2a.tga)(1 + tg2a.tga) - tg2a.tga + tg 2atga h) sin(a+b+c) =sina.cosb.cosc + cosa.sinb.cosc + cosa.cosb.sinc − sina.sinb.sinc VT = sin[(a+b)+c] = sin(a+b).cosc + cos(a+b).sinc = (sina.cosb+cosa.sinb)cosc + ( cosa.cosb − sina.sina)sinc = sina.cosb.cosc + cosa.sinb.cosc + cosa.cosb.sinc − sina.sinb.sinc i) 8cos4a−4cos2a−cos4a = VT = 8(cos2a)2 − 4cos2a − cos4a = 2(1 + cos2a)2 − 4cos2a − cos4a = + 4cos2a + 2cos22a − 4cos2a − cos4a = + + cos4a − cos4a = j) cos a - sina = - tg2a cos a + sin a cos 2a VT = k) (cosa - sina) - 2.cosa.sina - sin2a − tg2a = = = 2 (cosa + sina)(cosa - sina) cos a - sin a cos2a cos 2a + sin 2a π = cot g (a - ) - sin2a π π π + sin 2a sin(a + ) cos( - a ) π π 4 = = tg (a + ).ctog ( - a ) VT = π π π 4 sin - sin2a cos(a + ) sin( - a ) 4 π π π π = tg ( + a - ).[- cotg(a - )] = cot g (a - ) 4 sin a b l) sina + sinb +sinc = cos cos sin c , biết a + b = c a+b a-b c c c a-b c c cos + sin cos = sin cos + sin cos 2 2 2 2 c a-b a+b c a b = sin (cos + cos ) = sin cos cos 2 2 2 VT = sin m) cotgx + tgx = VT = sin x cos x sin x 2 + = = = sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin 2x n) cotgx − cotg2x = VT = sin x cos x cos2x sin 2x cos x - cos2x.sinx sin( 2x - x ) = = = sin x sin2x sin x sin 2x sin x sin x sin 2x o) − 4cos2x + cos4x = 8sin4x VP = 8sin4x = 2(1−cos2x)2 = 2−4cos2x + 2cos22x = 2−4cos2x + + cos4x = − 4cos2x + cos4x p) sin4x + cos4x = cos x + 4 VT = (sin2x)2 + (cos2x)2 = ( - cos2x + cos x ) +( ) 2 -140- = 1 1 + cos 4x + cos 2x = + = + cos x 2 2 4 cos x + 8 2 VT = (sin x+cos x) − 3sin xcos2x(sin2x+cos2x) q) sin6x + cos6x = - cos4x = cos 4x + 8 = − 3sin2x.cos2x = - sin 2 x = - r) cos3x.sin3x + sin3x.cos3x = sin x VT = sin2x.sinx.cos3x + cos2x.cosx.sin3x = (1−cos2x)sinx.cos3x + (1−sin2x).cosx.sin3x = sinx.cos3x − cos2xsinx.cos3x + cosx.sin3x −sin2x.cosx.sin3x = sinx.cos3x + cosx.sin3x − sinx.cosx(cosx.cos3x + sinx.sin3x) = sin(x+3x) − sinx.cosx.cos(x−3x) = sin4x − = sin4x − sin2x.cos2x sin4x = sin4x 4 s) Sin5x − 2sinx(cos4x + cos2x ) = sinx VT = sin5x −2sinx.cos4x − 2sinx.cos2x = sin5x − [sin(−3x) +sin5x]−[sin(−x)+sin3x] = sin5x + sin3x − sin5x + sinx − sin3x = sinx t) cos 5x 3x 7x x cos + sin sin = cos x cos x 2 2 5x 3x 5x 3x 7x x 7x x [cos( - ) + cos( + )] + [cos( - ) - cos( + )] 2 2 2 2 2 1 = (cos x + cos 4x ) + (cos 3x - cos 4x ) = (cos x + cos 3x ) = cos x cos x 2 VT = π π u) sin x.sin( - x).sin( + x ) = π π 7π 13π sin 3x Ap dụng tính A = sin sin sin 18 18 18 π VT = sin x sin( + x ) sin( - x) = sinx .[cos 2x - cos 2π 1 ] = sin x (1 - 2sin x + ) 2 1 (3 - 4sin x).sinx = (3sinx−4sin3x)= sin3x 4 π 7π 13π π π Ap dung : sin sin sin = sin = sin = 18 18 18 18 = v) sin(a+b)sin(a−b) = cos2b − cos2a w) cos(a+b)cos(a−b) =cos2a + cos2b − a+b b+c c+a sin sin 2 a+b b+c c+a y) cosa + cosb + cosc + cos(a+b+c) = cos cos cos 2 x) sina + sinb + sinc − sin(a+b+c) = sin BÀI : Chứng biểu thức lượng giác độc lập với biến ( Không phụ thuộc vào biến) cotg x - cos x sinx.cosx A= ; + 2x cot gx cot g B= (1 - cotg α ) cot g α - sin α.cos α ; -141- C= sin x + cos x + cos x + sin x ; D = 3(sin8α−cos8α) + 4(cos6α − 2sin6α ) + 6sin4α ; cos α - sin 2β E= - cotg α.cotg 2β ; α.sin 2β sin F= [1 - cotg (90 + α )]2 cot g (α - 90 ) - sin (180 - α).sin (90 - α) ; ( A=1; B =−4; C= 3; D= 1; E=−1; F =−4 ) π ) cos( x + π ) ; 3 π π H = cos (x - ) + cos x + cos (x + ) ; 3 2π 2π K = sin ( x ) + sin x + sin ( x + ) ; 3 G = sin x + cos( x - ( G= 1/4; H= 3/2 ; K=3/2 ) BÀI : Tính giá trị hàm số lượng giác − Biểu thức lượng giác a) Biết cosα = 4/5 00 < α < 900 + Tính sinα , tgα , cotgα + Tính giá trị biểu thức A = cot gα + tgα cot gα - tgα ( sinα = 3/5 ; A = 25/7 ) b) Biết tgα = −2 , với α góc tam giác + Tính cosα, sinα sin α + cos α sinα - 2cosα c) Cho tgα + cotgα = ( 00 < α < 900 ) + Tính giá trị biểu thức B = ( cosα = - ; B = 0) + Tính sinα, cosα , tgα, cotgα + Tính giá trị biểu thức C = sin α cos α tg α + cotg α (α = 450 ; C = 1/4 ) d) Cho sinα + cosα = + Tính sinα, cosα, gα, cotgα + Tính giá trị biểu thức D = sin5α + cos5α ( cosα = sinα = 2 ; D = / ) 4 e) Cho 3sin α − cos α = 1/2 + Tính biểu thức E = sin4α + 3cos4α (E=1) 0 0 f) Biết tg75 = + , tính sin15 , cos15 ; sin105 , cos1050 ( cotg150 = + ; tg1050 = - - ) g) Tính sin π π π π ; tg ; cos ; cot g 12 12 12 12 6- 6+ ( sin = ) ; cos = 4 h) Cho cosa = −9/41 , với π < a < 3π/2 Tính F = tg( a− π/4) ( F = 31/49 ) i) Cho tgx = 1/2, tính giá trị biểu thức G = tg2x - sin2x tg2x + sin2x ( G = 1/4 ) -142- a 2 ±1 ( H = −1/8 ; I = ) +2 + sin x + cos x k) Cho cotgx = 3/4 , tính giá trị biểu thức J = + sin x - cos2x j) Cho sina + cosa = , tính H = cos4a , I = tg ( A = 3/4 ) Bài : Biến đổi biểu thức lượng giác dạng a) Biến đổi dạng tổng A = sina.sin2a.sin3a 1 [cos(a−2a)−cos(a+2a)]sin3a = (cosa − cos3a)sin3a 2 1 1 = (cosa.sin3a − cos3a.sin3a) = [ (sin4a−sin(−2a))− sin6a] 2 2 1 1 = [ (sin2a+sin4a)− sin6a]= (sin2a+sin4a−sin6a) 2 5a B = 4cosa.cos2a.sin 5a 5a 5a = 2(cosa+cos3a).sin = 2cos3a.sin + 2cosa.sin 2 11a a 7a 3a = sin - sin + sin + sin 2 2 = b) Biến đổi tổng thành tích C = cos3a − sina = cos3a − cos( π π π −a) = − sin(2a - ) sin(a + ) 4 D = 1−2cosa + cos2a a a = −2cosa + 2cos2a = −2(1−cosa)cosa = −2.2.sin2 cosa = −4 sin2 cosa E = + cosa+cos2a + cos3a = 2cos2a + (cos3a+cosa) = 2cos2a + 2cos2a.cosa = 2(cos2a+cos3a).cosa = cos 5a a cos cos a 2 -143- BÀI TẬP * Dùng bảng giá trị giá trị lượng giác đặc biệt, hệ thức : Bài : Tíng giá trị biểu thức sau : π π a ) sin − cos + tan π − cot 2 b) cos π + sin ( a sin 90 ) − (b tan 45 ) sin 30 − 2ab cos + ( b tan 45 ) 2 π  π π c) sin −  cot  − cos  3 3 π π − tan d) 2a 2 0 π  π   2a cos  −  b cot  + ( 2ab sin ) 3  4 e)  π π  π  5a cos  + 2a sin − 2b cos 2  Bài : Tính giá trị lượng giác khác α biết : −5 3π a ) sin α = (0 < α < 90 ) b) cos α = (π < α < ) 13 2 π −4 π c) cot α = (0 < α < ) d ) cos α = (