ứng dụng của định lí số dư trung hoa

Định lí số dư Trung Hoa mở rộng trên vành giao hoán và trong module. Đưa ra những ứng dụng của Định lí Số dư Trung Hoa đối với các vấn đề: Đồng dư thức và phương trình đồng dư, Số học trên vành số nguyên.

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 2

CHƯƠNG 1: ĐỊNH LÍ SỐ DƯ TRUNG HOA TRÊN VÀNH SỐ NGUYÊN 4

1.1 Số nguyên tố cùng nhau 4

1.2 Đồng dư thức 6

1.3 Định lí số dư Trung Hoa 11

CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÍ SỐ DƯ TRUNG HOA TRÊN VÀNH 15

2.1 Các phép toán về iđêan 15

2.2 Các iđêan đối nguyên tố 16

2.3 Định lí số dư Trung Hoa trên vành 17

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ SỐ DƯ TRUNG HOA 23

3.1 Ứng dụng của định lí số dư Trung Hoa đối với đồng dư thức và phương trình đồng dư… 23

3.2 Ứng dụng của định lí trong lý thuyết chia hết trên vành số nguyên 27

3.3 Ứng dụng định lí số dư Trung Hoa trên vành đa thức 31

KẾT LUẬN ……… 33

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài.

Định lí số dư Trung Hoa được bắt nguồn từ bài toán ‘‘Hàn Tín điểm binh’’của Trung Quốc thời Hán Cao Tổ Lưu Bang đang dựng nghiệp Định lí được vínhư là viên gạch quan trọng để xây nên tòa nhà lý thuyết số và những lí thuyếtcao cấp hơn của Toán học Bởi vậy trên thế giới đã có nhiều nhà Toán họcnghiên cứu và giải quyết các vấn đề liên quan tới định lí số dư Trung Hoa Định

lí giúp ta giải quyết nhiều bài toán khó, làm cho nhiều bài toán khó trở nên đơngiản hơn, đặc biệt cho ta những lời giải khá bất ngờ Như việc sử dụng định lí đểchứng minh công thức Phi hàm Euler, hay giải bài toán mở rộng của định líWilson và đếm số nghiệm của phương trình đồng dư Ngoài ra định lí còn đượcứng dụng trong thực tế đó là việc xây dựng lý thuyết mật mã, trong đó tiêu biểu

là lí thuyết mật mã RSA

2 Lí do chọn đề tài.

Định lí phần dư Trung Hoa khẳng định về sự tồn tại duy nhất của một lớpthặng dư các số nguyên thỏa mãn đồng thời nhiều đồng dư tuyến tính Do đó cóthể sử dụng định lí để giải quyết những bài toán về sự tồn tại và đếm các sốnguyên thỏa mãn một hệ các điều kiện quan hệ đồng dư, chia hết, hay đếm sốnghiệm của phương trình đồng dư Việc sử dụng hợp lí các bộ m m m1, 2, 3, ,… m r

và bộ a a1, , , 2 … a r(trong định lí) cho ta nhiều kết quả rất thú vị và từ đó có thểđưa ra nhiều bài tập hay và khó Định lí không chỉ bó hẹp trong vành số nguyên

mà còn được mở rộng cho vành giao hoán Mục đích chúng em nghiên cứu đềtài này với mong muốn phát hiện thêm những ứng dụng và mối liên quan củađịnh lí với một số vấn đề của Toán học Để từ đó giúp các bạn học sinh, sinhviên có thêm tư liệu để nghiên cứu về định lí ‘‘ Số dư Trung Hoa’’

3 Mục tiêu chọn đề tài.

– Mở rộng định lí số dư Trung Hoa trên vành

– Đưa ra những ứng dụng của Định lí Số dư Trung Hoa đối với các vấn đề:Đồng dư thức và phương trình đồng dư; Số học trên vành số nguyên

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu.

4.1 Đối tượng nghiên cứu : Định lí số dư Trung Hoa

4.2 Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu định lí và ứng dụng trên vành

5 Nội dung nghiên cứu.

CHƯƠNG 1: ĐỊNH LÍ SỐ DƯ TRUNG HOA TRÊN VÀNH SỐ NGUYÊN.1.1 Số nguyên tố cùng nhau

1.2 Đồng dư thức

1.3 Định lí số dư Trung Hoa

CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÍ SỐ DƯ TRUNG HOA TRÊN VÀNH

2.1 Các phép toán về iđêan

2.2 Các iđêan đối nguyên tố

2.3 Định lí số dư Trung Hoa trên vành

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ SỐ DƯ TRUNG HOA

3.1 Ứng dụng của định lí số dư Trung Hoa đối với đồng dư thức và phươngtrình đồng dư

3.2 Ứng dụng của định lí trong lý thuyết chia hết trên vành số nguyên

3.3 Ứng dụng định lí số dư Trung Hoa trên vành đa thức

6 Phương pháp nghiên cứu.

6.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan tới định lí số dư Trung Hoa

6.2 Phương pháp nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hóakiến thức về vấn đề nghiên cứu một cách đầy đủ, khoa học đồng thời tìm các ví

dụ minh họa từ quá trình học và nghiên cứu

CHƯƠNG 1: ĐỊNH LÍ SỐ DƯ TRUNG HOA TRÊN VÀNH SỐ NGUYÊN.

1.1 SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU.

Định nghĩa 1.1.1 Một số nguyên p được gọi là số nguyên tố, nếu p>1 và p

không có một ước số nguyên dương nào khác 1 và chính nó

Định lí 1.1.2 Mọi hợp số n đều có ước nguyên tố nhỏ hơn n

Chứng minh:

Do n là một hợp số nên ta có thể viết n ab= trong đó , a b là các số nguyên với

1 < ≤ <a b n

Ta phải có a hoặc b không vượt quá n , giả sử đó là a.

Do ước nguyên tố của a cũng là ước nguyên tố của n nên ta có điều phải chứng

minh

Định lí 1.1.3 Mọi số nguyên lớn hơn 1 đều phân tích được một cách duy nhất

thành tích các thừa số nguyên tố, trong đó các thừa số được viết với thứ tựkhông giảm

Chứng minh:

● Sự tồn tại : Giả sử tồn tại những số không viết được thành tích các số nguyên

tố Gọi n là số bé nhất trong những số đó Như vậy, n phải là hợp số, n ab= , với,

a b< n Do định nghĩa của n các số a và b phân tích được thành tích các số

nguyên tố, nghĩa là n cũng phân tích được, mâu thuẫn với giả thiết

●Tính duy nhất: Giả sử ta có:

1 2 s 1 2 r

n= p p … =p q q q trong đó p i , q j là các số nguyên tố Giản ước các số nguyên tố bằng nhau có mặttrong hai vế, ta được đẳng thức:

1 2 1 2

i i iu j j jv

trong đó không có số nguyên tố nào có mặt ở cả hai vế

Như vậy, vế trái chia hết cho q j1, do đó phải tồn tại một thừa số của tích chia hếtcho q ( vô lí ) Suy ra điều phải chứng minh j1

Số 1 là nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên

Nếu m≥ 1 là một số nguyên, tập hợp các số nguyên tố cùng nhau với m, lấy

theo modulo m, tạo thành một nhóm với phép nhân; nó được ký hiệu là

(¢ m¢)×hoặc m¢ ∗

Tính chất 1.1.6 Các điều kiện sau tương đương với điều kiện a và b nguyên tố

cùng nhau:

• Tồn tại các số nguyên x và y sao cho ax by+ =1.

• Nếu a và b1 là nguyên tố cùng nhau, a và b2 cũng nguyên tố cùng nhau, thì a

và b1b2 cũng là nguyên tố cùng nhau

• Nếu a và b là nguyên tố cùng nhau và a là ước của tích bc, thì a là ước của c.

Mở rộng cho n số nguyên:

• Cho n số nguyên a a1, , , 2 a n Các số này được gọi là nguyên tố cùng nhau nếuước chung lớn nhất của n số đó bằng 1.

• Các số a a1, , ,2 a nđược gọi là nguyên tố cùng nhau từng đôi một nếu từng cặp

hai số khác nhau trong chúng là nguyên tố cùng nhau

Ví dụ: Ba số 2, 10, 15 là nguyên tố cùng nhau, nhưng không nguyên tố cùng

nhau từng đôi một

1.2 ĐỒNG DƯ THỨC.

Định nghĩa 1.2.1 Cho một số nguyên dương m Hai số nguyên a và b được gọi

là đồng dư modulo m nếu hiệu a b− chia hết cho m Nếu a đồng dư với b modulo m, thì ta viết a b≡ (mod )m và gọi đó là một đồng dư thức.

Ví dụ: 2 5 (mod 3)≡ vì 3 5 2( − )

Nếu a b≡ (mod )m thì b được gọi là một thặng dư của a theo modulo m.

Nếu 0 ≤ ≤b m−1 thì b là một thặng dư bé nhất của a theo modulo m.

Mệnh đề 1.2.2 Cho a, b, c, m là những số nguyên m≠0 Khi đó, ta có:

(i) a a≡ (mod )m

(ii) Nếu a b≡ (mod )m thì b a≡ (mod )m

(iii) Nếu a b≡ (mod )m và b c≡ (mod )m thì a c≡ (mod ).m

(iv) Nếu a b≡ (mod )m và b d≡ (mod )m thì a b c d+ ≡ + (mod )m và

(mod )

(v) Nếu a b≡ (mod )m thì am bm≡ (mod ).m2

Tiếp theo, ký hiệu a là tập hợp tất cả các số nguyên đồng dư với a theo modulo

m, a= ∈{n ¢ n a≡ (mod ) m } Nói cách khác, alà tập hợp các số nguyên códạng {a km+ }.Từ đó, ta có định nghĩa sau:

(i) a b= khi và chỉ khi a b≡ mod ( m).

(ii) a b≠ khi và chỉ khi a∩ = ∅b .

(iii) Có đúng m lớp đồng dư phân biệt theo modulo m.

Chứng minh

(i) Giả sử a b= , xét a a b∈ = . Do đó, a b≡ mod ( m)

Ngược lại, nếua b≡ mod ( m) thìa b∈ . Ngoài ra, nếu c a≡ mod ( m) thì

(ii) Dễ thấy rằng, nếu a∩ = ∅b thì a b≠

Ngược lại, cần chứng tỏ rằng nếu a∩ ≠ ∅b thì a b= Thật vậy, giả sử

( )

mod

a b≡ m Do đó, theo (i) ta suy ra a b= .

(iii) Ta chứng minh tập {0,1,2, ,m−1} là m lớp đồng dư phân biệt theo modulo

m Thật vậy, giả sử tồn tại 0 k l m≤ < < sao cho k l= .Theo (i) ta có

a qm r= + ≤ <r m suy ra a r≡ mod ( m)hay a r= .

Định nghĩa 1.2.5 Tập gồm m phần tử { A a a= 1, , ,2 a m} gọi là một hệ thặng dư

đầy đủ modulo m nếu {B a a= 1, , ,2 a m} là tập gồm m lớp đồng dư phân biệt theo modulo m.

Từ định nghĩa ta thấy, hệ thặng dư đầy đủ theo modulo m là không duy nhất Ví

dụ các tập {0,1,2,3 , 0,1,2, 1 ,} { − } là những hệ thặng dư đầy đủ theo modulo 4

Mệnh đề 1.2.6 Cho a, b, c, m là các số nguyên, m>0, ac bc≡ mod ( m) và( , )

d = c m Khi đó, ta có:

Giả sử ac bc≡ mod ( m) Ta có m bc ac( − ), suy ra tồn tại số nguyên k sao

cho c b a( − ) =km. Khi đó, chia hai vế cho d ta được c (b a) k m

Định nghĩa 1.2.8.1 Số các số thuộc dãy 1, 2, , n nguyên tố với n được kí hiệu

là ( )ϕ n Người ta gọi hàm ( )ϕ n là một hàm Euler

Tính chất 1.2.8.2 Cho m, n là các số nguyên dương, ta có:

Giả sử r r1, , , 2 rϕ( )m là hệ thặng dư thu gọn gồm các số nguyên dương không

vượt quá m và nguyên tố cùng nhau với m

Theo định lí trên ta suy ra ar ar1, 2, , arϕ( )m là một hệ thặng dư thu gọn modulo

m Như vậy các đồng dư dương bé nhất của ar 1 , ar 2 , , arϕ( )m phải là các số r 1 ,

1.2.9 Phương trình đồng dư tuyến tính

Định nghĩa 1.2.9.1 Phương trình dạng ax ≡ b (mod m) được gọi là phương trình đồng dư tuyến tính với a, b, m là các số đã biết, x 0 là một nghiệm của phươngtrình khi và chỉ khi ax0 ≡b mod ( m)

Nếu x 0 là nghiệm thì các phần tử thuộc lớp x cũng là nghiệm.0

Định nghĩa 1.2.9.2 Giả sử a, m là các số nguyên, m>1 Nghiệm của phươngtrình ax≡1 (mod )m được gọi là nghịch đảo của a modulo m.

Định lí 1.2.9.3 Nghịch đảo của a modulo m là duy nhất ⇔( , ) 1.a m =

Chứng minh:

Gọi a’ là nghịch đảo của a modulo m⇒aa′≡1 (mod )m ⇒aa′+mb=1

( , ) 1a m

Đảo lại nếu ( , ) 1a m = ⇒tồn tại a’, m’ sao cho aa’ + mm’ = 1 ⇒aa’≡ 1 (mod m)

⇒ a’ là nghịch đảo của a modulo m

a’ là duy nhất bởi vì nếu có a’’ sao cho aa’’≡ 1 (mod m) thì aa’≡ aa’’(mod m),

mà (a,m) = 1⇒ a’≡ a’’(mod m).

Hệ quả 1.2.9.4 Nếu p nguyên tố thì mỗi phần tử của tập hợp {1, 2, , p−1} đều

có nghịch đảo duy nhất modulo p.

Định lí 1.2.9.5 Nếu (a,m) = 1 thì phương trình ax ≡ b (mod m) có nghiệm duy nhất theo modulo m.

Chứng minh:

Ta có {1, 2, , m là một hệ thặng dư đầy đủ modulo m và (a,m) =1 nên}

{a, 2 , , a ma cũng là một hệ thặng dư đầy đủ modulo m suy ra có đúng một}

phần tử của hệ này đồng dư với b theo modulo m⇒đpcm

Định lí 1.2.9.6 Định lí tồn tại nghiệm phương trình đồng dư tuyến tính

Giả sử (a,m) = d Khi đó phương trình ax ≡ b(mod m) (1) có nghiệm khi và chỉ khi d| b Hơn nữa, khi d | b thì (1) có d nghiệm phân biệt modulo m, đó là:

2, m, m, , ( 1)m

Nếu phương trình có nghiệm là x0⇒ax0 = +b mt⇒d b

Đảo lại, nếu d b thì phương trình a x b mod m

t duy nhất ⇒ phương trình ax b≡ (mod )m cũng có nghiệm t.

Mỗi nghiệm của (3) là nghiệm của (1) và ngược lại

Dễ thấy rằng (2) là d nghiệm của (3) nên (2) cũng là d nghiệm của (1) Ngoài ra hai nghiệm của (2) là phân biệt theo modulo m Thật vậy nếu:

Tiếp tục, ta chứng minh (1) không còn nghiệm nào khác ngoài (2)

Giả sử y là nghiệm của (1):

Ta có: k r≡ (mod )d với 0 ≤ <r .d Do đó k m r m (mod )m y

Mệnh đề 1.2.10 Giả sử p là số nguyên tố Số nguyên a là nghịch đảo modulo p

của chính nó khi và chỉ khi a≡1 (mod )p hoặc a≡ −1 (mod ).p

⇒ − M ⇒ + M hoặc a−1Mphay a≡ −1 (mod )p hoặc a≡1 (mod )p .

Định lí 1.2.11 Định lí Wilson Số p là nguyên tố khi và chỉ khi:

( p−1 !) ≡ −1 (mod ).p

Chứng minh:

Khi p = 2, ta có (p – 1)! = 1 ≡ –1 (mod 2)

Giả sử p là số nguyên tố, p>2, khi đó mỗi số nguyên a với 1≤ ≤ −a p 1tồn tại

nghịch đảo a’ với 1≤ ≤ −a′ p 1sao cho aa’≡ 1 (mod p) Theo mệnh đề trên chỉ

có 2 số là 1 và p – 1 là nghịch đảo modulo p của chính nó Như vậy, ta có thể nhóm các số 2, 3,…, p – 2 thành (p – 3)/2 cặp mà tích của chúng đồng dư 1 modulo p.

2.3 …(p – 3)(p – 2) ≡ 1 (mod p).

⇒ (p – 1)! ≡ 1(p – 1) ≡ –1 (mod p).

1.3 ĐỊNH LÍ SỐ DƯ TRUNG HOA.

Định lí 1.3.1 Định lí Trung Hoa về phần dư Giả sử m1,m2, m r là các sốnguyên tố cùng nhau từng cặp Khi đó hệ đồng dư:

x ≡ a1 (mod m1)

x ≡ a2 (mod m2)

x ≡ ar (mod m r)

có nghiệm duy nhất modulo M =m m m1 2 r

Chứng minh.

Ta xây dựng một nghiệm của hệ Giả sử:

M k =

k

M

m = m1m2 m k–1 m k+1 m r.

Ta có ( M k ,m k ) = 1 vì (m j ,m k ) = 1 với mọi j k Như vậy ta có thể tìm một

nghịch đảo y k của M k modulo m k , tức là M k y k ≡ 1( mod m k)

Đặt x = a1M1y1 + a2M2y2 + + a r M r y r

Ta thấy x ≡ a k (mod m k ) với mọi k Vì m j |M k với j k≠ nên M j ≡ 0 (mod m k) khi

j k.

Như vậy, x chính là một nghiệm của hệ đang xét.

Ta chứng tỏ rằng nghiệm vừa xây dựng là duy nhất modulo M

Giả sử x0, x1 là hai nghiệm của hệ Khi đó, với mỗi k, x0 ≡ ≡x1 a k(mod m k), chonên m k |( x0 −x1) , suy ra M |( x0 −x1)

Tương tự, M y2 ≡1 mod 15( ) có nghiệm y≡1 mod 15( ) Chọn N2 =

M y3 ≡1 mod 31( ) có nghiệm y≡9 mod 31 ( ) Chọn N3 =

Vậy hệ có nghiệm:

465.5.2 434.( 1).11 210.( 1).17 296 (mod 6510)

Bổ đề 1.3.2 Nếu a và b là các số nguyên dương thì thặng dư dương bé nhất

modulo 2 1b − của 2a −1 là 2 1r − , trong đó r là thặng dư dương bé nhất của a modulo b.

Hệ quả 1.3.4 Các số nguyên 2a −1 và 2 1b − nguyên tố cùng nhau khi và chỉ

khi a và b nguyên tố cùng nhau.

Việc giải hệ phương trình đồng dư trở nên đơn giản khi bộ số nguyên dương

• Giả sử hệ có nghiệm x0, đặt ( ,m m i j)=dij⇒ ≡ ≡a i x0 a j(mod )dij với mọi i, j

thỏa mãn 1 i≤ < ≤j n

• Ngược lại, nếu a i ≡a j(mod ( ,m m i j)) với mọi i, j thỏa mãn 1 i≤ < ≤j n thì ta

chứng minh hệ có nghiệm duy nhất modulo M = [m m1, 2, ,m bằng quy nạp n]

như sau:

Với n=2đặt ( ,m m1 2)=d m, 1 =dd m1, 2 =dd2,( , ) 1d d1 2 = ⇒ ≡a1 a2 ≡a (mod )d Đặt a1 = +a k d a1 , 2 = +a k d2 ,ta có

 có nghiệm duy nhất modulo [m m 1, 2]

Giả sử định lí đúng với n−1 Ta chứng minh định lí đúng với n.

Vì a i ≡a j (mod ( ,m m i j)) với mọi i, j thỏa mãn 1 i≤ < ≤j n nên

Theo nguyên lí quy nạp, định lí được chứng minh

CHƯƠNG II ĐỊNH LÍ SỐ DƯ TRUNG HOA TRÊN VÀNH.

2.1 CÁC PHÉP TOÁN VỀ IĐÊAN.

Định nghĩa 2.1.1 Ta gọi là iđêan trái (iđêan phải) của vành R, một vành con A

của R thỏa mãn điều kiện: xa A ax A∈ ( ∈ ), ∀ ∈a A, ∀ ∈x A. Vành con A được

gọi là một iđêan của R nếu và chỉ nếu A vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của

R.

Ví dụ: Bộ phận { }0 và R là hai iđêan của vành R.

Bộ phận m¢ các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước là

iđêan của vành các số nguyên ¢

Định lí 2.1.2 Một bộ phận A≠ ∅ của vành R là một iđêan của R khi và chỉ khi

các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) a b A a b A− ∈ ∀; , ∈

(ii) xa A ax A a A x R∈ , ∈ ∀ ∈ ∀ ∈; ,

Chứng minh: Được suy ra trực tiếp từ định nghĩa

Định nghĩa 2.1.3 R là một vành cho trước, thì ta gọi:

(i) I +J là tổng của hai iđêan I và J.

(ii) IJ là tích của hai iđêan I và J.

Mệnh đề 2.1.4 R là một vành cho trước, ta có các khẳng định sau:

(i) Nếu I, J là hai iđêan của R thì tập:

I J+ = a b a I b J+ ∈ ∈

2.2 CÁC IĐÊAN ĐỐI NGUYÊN TỐ.

Mệnh đề 2.2.1 Nếu I, J là các iđêan của R thỏa mãn I J+ = R (I và J được gọi

Mệnh đề 2.2.2 Giả sử R là vành giao hoán có đơn vị, I 1 , I 2 , ,I n là các iđêan của

R từng đôi một đối cực đại Khi đó ta có:

1 1

n n

i i i i

=

Do I i , I j đôi một đối cực đại ( j=2,n) nên tồn tại a j ∈I1 và b j∈I jđể 1= +a j b j.

n n

i i

i i

Vậy có điều phải chứng minh

Hệ quả 2.2.3 Tích của hữu hạn các iđêan cực đại khác nhau bằng giao của

chúng

2.3 ĐỊNH LÍ SỐ DƯ TRUNG HOA TRÊN VÀNH.

Định lí 2.3.1 Định lí Trung Hoa Cho I 1 , I 2 , ,I n là các iđêan của R Ánh xạ f:

→∏ xác định bởi f a( ) =(a I a I+ 1, + 2, , a I+ n). f là một toàn cấu khi

và chỉ khiI I1, , ,2 I n đôi một đối cực đại, tức I i + =I j R , với mọi i≠ j

(1 , ≤ i j≤ ).n

Chứng minh:

• Rõ ràng f là một đồng cấu vành.

• Giả sử I i + =I j R ,∀ ≠i j.Ta chứng minh f là toàn ánh Tức là tồn tại a R∈

mà f a( ) (0, ,0,1,0, ,0),1= 　 ở vị trí thứ i Ta đi chứng minh với i = 1.