Cực trị của hàm số chuyên đề 2

Cực trị của hàm số chuyên đề 2 Cực trị của hàm số chuyên đề 2 Cực trị của hàm số chuyên đề 2 Cực trị của hàm số chuyên đề 2 Cực trị của hàm số chuyên đề 2 Cực trị của hàm số chuyên đề 2 Cực trị của hàm số chuyên đề 2 Cực trị của hàm số chuyên đề 2 Cực trị của hàm số chuyên đề 2

Chuyên đề 2: Hàm số và các vấn đề liên quan

Bài 2 Cực trị của hàm số

A- Kiến thức nền tảng:

1 Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên D, ( ; ) a b ⊂ D x ; 0∈ ( ; ) a b

+) Nếu với mọi x thuộc (a;b), x x ≠ 0 luôn có f x ( ) < f x ( )0 thì ta nói f(x) đạt cực đại tại x 0

hay x là điểm cực đại của hàm số f(x), 0 f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số Điểm ( )0

( ; ( ))

A x f x được gọi là điểm cực đại của đồ thị.

+) Nếu với mọi x thuộc (a;b), x x ≠ 0 luôn có f x ( ) > f x ( )0 thì ta nói f(x) đạt cực đại tại x 0

hay x là điểm cực tiểu của hàm số f(x), 0 f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số Điểm ( )0

( ; ( ))

A x f x được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị

• Chú ý:

- Điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.

- Giá trị cực đại, cực tiểu được gọi là giá trị cực trị của hàm số

- Hàm số có thể đạt cực đại, cực tiểu tại nhiều điểm nhưng cũng có thể không đạt cực đại, cực tiểu

- Giá trị cực đại, cực tiểu f x nói chung chỉ là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên ( )0 (a;b) chưa chắc chắc đã là GTLN,NN của hàm số trên TXĐ Do đó giá trị cực đại chưa chắc đã lớn hơn giá trị cực tiểu.

2 Dấu hiệu nhận biết

a) Dấu hiệu 1

Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm trên (a;b) chứa x ( f(x) có thể không có đạo hàm tại 0 x )0

+) Nếu '( ) f x đổi dấu từ (+) sang (-) khi x đi qua x thì hàm số đạt cực đại tại 0 x0

+) Nếu '( ) f x đổi dấu từ (-) sang (+) khi x đi qua x thì hàm số đạt cực tiểu tại 0 x0

Quy tắc 1: Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số y = f(x)

+ Tìm tập xác định

+ Tính f’(x)

+ Tìm các điểm là cho f’(x) = 0 hoặc không xác định.

+ Lập BBT

+ Kết luận

Bài tập ví dụ:

Bài 1 Tìm cực đại, cực tiểu của các hàm số sau:

a) y = − 2 x3+ 3 x2 + 1 b) y x = 3 − 3 x2+ 3 x + 1

x

x y

x

+

=

1

y

x

=

+

Phạm Nguyên Bằng – Công ty phát triển giáo dục An Sơn

1

x

= − +

+

h) y = x2 − 2 x + 2

Bài 2 Tìm cực đại, cực tiểu của các hàm số sau:

a) y = 3 x x2 ( − 5 ) b) y = 2 1 + x2 − + x 2

c)

2 2

y

=

y = x − x + − x + x

b) Dấu hiệu 2

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trên (a;b); x0∈ ( ; ) a b :

0

'( ) 0

''( ) 0

f x

f x



 <

 thì hàm số đạt cực đại tại x0 hay x0 là điểm cực đại.

0

'( ) 0

''( ) 0

f x

f x



 >

 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 hay x0 là điểm cực tiểu.

0

'( ) 0

''( ) 0

f x

f x



 thì hàm số đạt cực trị tại x0 hay x0 là điểm cực trị.

Bài tập ví dụ:

Bài 1 Tìm cực đại, cực tiểu của các hàm số sau:

a) y x = 4 − 8 x3 + 22 x2 − 24 x + 10 b) y = sin2x

Bài 2 Tìm m để hàm số: y x = 3 − 2 mx2+ m x2 − 2 đạt cực tiểu tại x = 1

Bài 3 Tìm m để hàm số: y x = 3 − ( m + 3 ) x2+ mx m + + 5 đạt cực trị tại x = 2

Bài 4 Tìm a,b để hàm số:

2 ax 1

y

x

=

− đạt cực đại tại điểm M(0;-1) Bài tập củng cố phần kiến thức nền tảng:

Bài 1 Tìm cực trị của các hàm số sau:

2

x y

x

=

+ −

4

4 1

x y

x

= +

5) y x = 4 − 6 x2 − 8 x + 18 6) 2

2

1 1

x x y

x

+ −

=

− 7) y = sin2 x + cos ; x x ∈ ( ) 0; π 8) y x = 2 − 3 x + 2

y = x  π π 

10) y = sinx cos ; + x x ∈ − ( π π ; )

11) 2 os2 4sin ; 0;

2

y = c x + x x  π 

∈  

Bài 2: Chứng minh rằng hàm số:

y

x m

=

− luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m.

Bài 3: Cho hàm số:

3

3

x

y = − mx + m − + m x + Tìm m để hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1.

Bài 4 Tìm a,b để hàm số:

2 2

2 x ax 5

y

x b

=

+ đạt cực đại tại

1 2

x= và y CD =6

B- Các dạng toán về cực trị các hàm thường gặp

* Cực trị của hàm bậc 3

I/ Tóm tắt lý thuyết cơ bản

Xét hàm số bậc ba: y = ax3+ bx2+ + ⇒ = cx d y ' 3 ax2 + 2 bx c +

• Nếu a = 0 khi đó hàm số suy biến thành bậc 2, ta có : ' 2 ' 0

2

c

b

Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị.

• Nếu a ≠ 0 thì dấu của y’ phụ thuộc vào dấu của biệt thức ∆

+) Hàm số không có cực trị khi y’ không đổi dấu, tức là phương trình y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức là ∆ ≤0

+) Hàm số có 2 cực trị khi y’ đổi dấu 2 lần , tức là phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Từ đó ta có đk để hàm có 2 cực trị là ∆ >0

Vậy, với hàm số bậc ba thì hàm số chỉ có 2 cực trị hoặc không có cực trị nào.

II/ Dạng bài tập:

Dạng 1 Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ x x= 0 cho trước

• Phương pháp 1: Sử dụng y’’

0

'( ) 0

''( ) 0

f x

f x



 <

 thì hàm số đạt cực đại tại x0 hay x0 là điểm cực đại.

0

'( ) 0

''( ) 0

f x

f x



 >

 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 hay x0 là điểm cực tiểu.

0

'( ) 0

''( ) 0

f x

f x



 thì hàm số đạt cực trị tại x0 hay x0 là điểm cực trị.

• Phương pháp 2: Sử dụng điều kiện cần và đủ:

+) Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x x= 0=> y x'( )0 = ⇒0 m

+) Sau đó thay m vào hàm số , khảo sát xem hàm số có đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x x= 0

hay không ? Sau đó kết luận

Ví dụ 1 Biện luận theo m số cực trị của hàm số: y = x (3+ m + 1) x2 + 2 mx − + 3 m

Phạm Nguyên Bằng – Công ty phát triển giáo dục An Sơn

Ví dụ 2 Cho hàm số: y x = 3 + ( m − 2) x2 + ( m + 1) x + − 3 m

a Tìm m để hàm số luôn có cđ, ct

b Tìm m để hàm số đạt cực đại tại c = -1

c Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Dạng 2 Câu hỏi về hoành độ điểm cực đại, cực tiểu:

Ví dụ 1. Cho hàm số y x= 3− 3(m+ 1)x2+ 9x m− , với m là tham số thực.

Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1 2, sao cho x1−x2 ≤2.

Ví dụ 2. Cho hàm số y x= 3+ − (1 2 )m x2+ − (2 m x m) + + 2, với m là tham số thực.

Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1 x2 1

3

− >

Ví dụ 3. Cho hàm số y 1x3 mx2 mx 1

3

= − + − , với m là tham số thực.

Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1−x2 ≥8.

Ví dụ 4. Cho hàm số y 1x3 (m 1)x2 3(m 2)x 1

= − − + − + , với m là tham số thực.

Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1+ 2x2 = 1

Ví dụ 5. Cho hàm số y= 4x3+mx2− 3x

Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa x1= − 4x2

Ví dụ 6. Cho hàm số y 1x3 ax2 3ax 4

3

= − − + (1) (a là tham số).

Tìm a để hàm số (1) đạt cực trị tại x1,x2 phân biệt và thoả mãn điều kiện:

2

Ví dụ 7. Cho hàm số y= 2x3+ 9mx2+ 12m x2 + 1 (m là tham số).

Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2CÑ =x CT

Ví dụ 8. Cho hàm số y= (m+ 2)x3+ 3x2+mx− 5, m là tham số.

Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương.

Ví dụ 9. Cho hàm số y 1x3 1mx2 (m2 3)x

= − + − (1), m là tham số.

Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có các điểm cực trị x x1 2, với x1> 0,x2 > 0 và x12 x22 5

2

Ví dụ 10. Cho hàm số y x= 3+ − (1 2 )m x2+ − (2 m x m) + + 2 (m là tham số) (1).

Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực

tiểu nhỏ hơn 1

Ví dụ 11. Cho hàm số y m x3 (m 2)x2 (m 1)x 2

3

= + − + − + (Cm).

Tìm m để hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 thỏa mãn x1<x2 < 1.

Ví dụ 12. Cho hàm số y x= + −3 (1 2 )m x2+ −(2 m x m) + +2 (Cm).

Tìm m để hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị có hoành độ thuộc khoảng ( 2;0)−

Dạng 3 Bài toán cực trị khi phương trình y’ = 0 giải được nghiệm

*) Phương pháp:

- Khi xét đến y’ = 0 mà ta nhận thấy ( )2

am b

∆ = + thì ta nghĩ đến ngay việc giải ra nghiệm của pt: y’ = 0.

Bài 1 Cho hàm số y= 2x3+ 9mx2+ 12m x2 + 1 (m là tham số).

Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2CÑ =x CT

Bài 2 Cho hàm số 1 3 ( 2) 2 (1 ) 2 1

x

y= x + m− + −m x+ m+ (m là tham số) Tìm m để:

a) Hàm số có cực đại, cực tiểu

b) Hàm số có cực đại, cực tiểu tại x x sao cho 1; 2 3 3

1 2 2 9

x + x <

c) Hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ nhỏ hơn 2

d) Hàm số có cực đại, cực tiểu tại x x sao cho: 1; 2 2 2

1 4 2 13

Bài 3 ( Trích đề thi đại học khối B- 2012)

Cho hàm số y x= 3− 3mx2+ 3m3 (m là tham số).

Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại tại A,B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 48, với O là gốc tọa

độ

Bài 4 Cho hàm số y x= 3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x m− 3 + 4m− 1 (m là tham số).

Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại tại ,cực tiểu sao cho tam giác tam giác OAB vuông tại O

Bài 5 Cho hàm số y x= 3 + 3(m+ 1)x2 + 3m m( + 2)x m+ 3 + 2m2 (m là tham số).

Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trị với mọi m và khoảng cách giữa các điểm cực trị không đổi

Bài 6 Cho hàm số 1 3 2 ( 2 1) 1

3

y= x −mx + m − x+

Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và y CD+y CT >2

Bài 7 ( Trích đề thi đại học khối B- 2014)

Cho hàm số y x= 3− 3mx+ 1(1) (m là tham số).

Cho A(2;3).Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị tại B,C sao cho diện tích tam giác ABC cân tại A

Phạm Nguyên Bằng – Công ty phát triển giáo dục An Sơn

Dạng 4 Đường thẳng đi wa cực trị và các bài toán liên đới.

Bài 1. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số : y= −2x3+3x2+1 bằng 2 cách

Bài 2. Cho hàm số y= − +x3 3mx2+ 3(1 −m x m2) + 3−m2 (1)

Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

Bài 3. Cho hàm số y x= 3− 3x2−mx+ 2 có đồ thị là (Cm)

Tìm m để (C m) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường

thẳng d: y= − + 4x 3.

Bài 4. Cho hàm số y= 2x3 + 3(m− 1)x2 + 6 1 2m( − m x) có đồ thị là (Cm).

Tìm m để (C m ) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng d: y= − 4x.

Bài 5. Cho hàm số y x= 3+mx2+ 7x+ 3 có đồ thị là (Cm)

Tìm m để (C m) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị vuông góc với đường

thẳng d: y= 3x− 7.

Bài 6. Cho hàm số y x= 3− 3x2−mx+ 2 có đồ thị là (Cm)

Tìm m để (C m) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d:

x+ 4y− = 5 0 một góc a = 45 0

Bài 7. Cho hàm số y x= 3− 3x2+ 2 (C)

Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) tiếp xúc với đường tròn (S) có phương trình

( − ) + − − ( 1) = 5

Bài 8. Cho hàm số y x= 3− 3mx+ 2 (C m)

Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của( )C m cắt đường tròn tâm I(1;1), bán kính bằng 1 tại

hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích ∆IAB đạt giá trị lớn nhất

Dạng 5 Bài toán về tính đối xứng của các điểm cực trị.

• Phương pháp:

Gọi 2 điểm cực trị của hàm số là : A x y B x y( ; ); ( ; )1 1 2 2 Ta có một số tính chất sau:

+) A,B nằm về hai phía của trục Oy khi x x1 2<0

+) A,B nằm cùng về phía của trục Oy khi x x1 2 >0

+) A,B nằm về hai phía của trục Ox khi y y1 2 <0

+) A,B nằm cùng về phía của trục Ox khi y y1 2 >0

+) A,B nằm đối xứng wa đường thẳng d khi AB d

I d

 ∈

 với I là trung điểm của AB

+) A,B cách đều đường thẳng d khi AB d/ /

I d



 ∈

 (với I là trung điểm của AB)

Ví dụ 3: Cho hàm số y x= 3− 3x2−mx+ 2 (m là tham số) có đồ thị là (C m)

Xác định m để (C m) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y x 1= − .

Ví dụ 4: Cho hàm số y x= 3− 3mx2+ 4m3 (m là tham số) có đồ thị là (C m)

Xác định m để (C m ) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

Ví dụ 5: Cho hàm số y x= 3− 3x2+mx (1)

Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường

thẳng d: x− 2y− = 5 0.

Ví dụ 6: Cho hàm số y x= 3− 3x2+ 2 (1)

Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y= 3x− 2sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất.

Dạng 6 Bài toán tổng hợp về tính đối xứng của các điểm cực trị.

Phạm Nguyên Bằng – Công ty phát triển giáo dục An Sơn

Bài 1. Cho hàm số y x= 3− 3mx2+ 3(m2− 1)x m− 3+m (1)

Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O (ĐS:m= − ± 3 2 2)

Bài 2. Cho hàm số y x= 3+ 6mx2+ 9x+ 2m (1), với m là tham số thực.

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng đi qua

hai điểm cực trị bằng 4

5 ( ĐS : m= ±1.)

Bài 3. Cho hàm số y x= 3− 3x2+mx+ 1 (1), với m là tham số thực.

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm I 1 11;

2 4

  đến đường thẳng đi

qua hai điểm cực trị là lớn nhất ( ĐS : m 1= )

Bài 4. Cho hàm số y x= 3+ 3(m+ 1)x2+ 3 (m m+ 2)x m+ 3+ 3m2 (C m)

Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị (Cm) luôn có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực trị là không

đổi ( ĐS : AB 2 5= )

Bài 5. Cho hàm số y= 2x2− 3(m+ 1)x2+ 6mx m+ 3

Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho AB= 2.( ĐS: m = 2 v m = 0 )

Bài 6. Cho hàm số y x= 3− 3mx2+ 3(m2− 1)x m− 3+ 4m− 1 (1)

Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho ∆OAB vuông tại O ( ĐS: m= − 1;m= 2)

Bài 7. Cho hàm số y x= 3+ 3x2+m (1)

Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho ·AOB= 120 0 ( ĐS: 12 2 3

3

Bài 8. Cho hàm số y x= 3− 3x2+m2− +m 1 (1)

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại, cực tiểu là A và B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 7,

với điểm C(–2; 4 ) ( ĐS: m = 3; m = -2 )

Bài 9. Cho hàm số y x= 3− 3(m+ 1)x2+ 12mx− 3m+ 4 (C)

Tìm m để hàm số có hai cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm C 1; 9

2

− − 

 lập thành tam giác

nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm ( ĐS: m = -1/2)

Bài 10. Cho hàm số y f x= ( ) 2 = x3+ 3(m− 3)x2+ − 11 3m (C m).

Tìm m để (C m) có hai điểm cực trị M M1, 2 sao cho các điểmM M1, 2và B(0; –1) thẳng hàng ( ĐS: m = 4 )

Bài 11. Cho hàm số y 1x3 (m 1)x2 4(m 1)3

= − + + + (1) (m là tham số thực).

Tìm m để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (1) nằm về 2 phía (phía trong và phía ngoài) của đường tròn

có phương trình (C): x2+y2− 4x+ = 3 0 ( ĐS: 1 m 1

− < < )

Bài 12. Cho hàm số y x= 3− 3mx2+ 3(m2− 1)x m− 3 (Cm)

Chứng minh rằng (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi đường thẳng cố định

Bài 13. Cho hàm số y 1x3 mx2 x m 1 (C m)

3

Tìm m để đồ thị (Cm) có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực trị là nhỏ nhất ( ĐS: m = 0 )

Bài 14. Cho hàm số y x= 3− 3x2−mx+ 2 (1)

Tìm m để hàm số (1) có 2 cực trị và đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ

độ một tam giác cân ( ĐS: m 3

2

= − )

• Cực trị của hàm trùng phương

Ví dụ 1 Cho hàm số y x= 4− 2mx2+ 3m− 1.Tìm m để:

a) Hàm số có 1 cực trị

b) Hàm số có 3 cực trị

Ví dụ 2: Cho hàm số y 1x4 mx2 3

Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại

Ví dụ 3 : ( Trích B- 2002) Cho hàm số : y mx= 4 +(m2 − 9)x2 + 10 1( ) ( m là tham số )

Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị

Phạm Nguyên Bằng – Công ty phát triển giáo dục An Sơn

Ví dụ 1( ĐH khối B – 2011): Cho hàm số y f x= ( ) =x4+ 2(m+ 1)x2+m(C m)

Tìm m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị A,B,C sao cho OA = BC Với O là gốc tọa độ, a là điểm cực trị thuộc trục tung , B và C là 2 điểm cực trị còn lại

Ví dụ 2: Cho hàm số y f x= ( ) =x4+ 2(m− 2)x2+m2− 5m+ 5 (C m) Tìm các giá trị của m để đồ thị (C m) của

hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác:

a) Vuông cân

b) Đều

Ví dụ 3: Cho hàm số y f x= ( ) =x4 + 2mx2− −m 1 (C m) Tìm các giá trị của m để đồ thị (C m) của hàm số có

các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác:

a) có S = 4 2

b) đều

c) có góc bằng 120 0

Ví dụ 4 Cho hàm số y x= 4− 2mx2+ −m 1 có đồ thị (Cm)

Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Ví dụ 5: Cho hàm số y 1x4 (3m 1)x2 2(m 1)

4

= − + + + (Cm).

Tìm m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc toạ độ O.

Ví dụ 6: (A,A1 – 2012)

Cho hàm số y x= 4− 2(m+ 1)x2+m2 (1)

Tìm m để hàm số của hàm số (1) có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác vuông.

Bài tập củng cố :