Mới quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lóp 10
LOI MO DAU
Đáp ứng xu thế hội nhập thế giới, đưa kinh tế Việt Nam lên một tầm cao mới,
giáo dục Việt Nam cũng phải có những biến chuyên mạnh mẽ nhằm nâng cao chất lượng giáo dục để có thể đào tạo ra một lớp người lao động: “tự chủ, năng động, sáng
tạo, có năng lực giải quyết vấn đề đo thực tiễn đặt ra, tự lo liệu việc làm, lập nghiệp và thăng tiễn trong cuộc sống, qua đó góp phần xây dựng đất nước giàu mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh” — Trần Hồng Quân 1995
Trong số rất nhiều nội dung phải thay đổi thì không thể không nói đến nội dung đổi mới phương pháp dạy học Đề thực hiện được nhiệm vụ này, mỗi giáo viên phải trang bị cho mình một cái nhìn tổng thể, toàn điện và sâu sắc về nội dung chương trình SGK Vì vậy, việc nghiên cứu nội dung chương trình sách giáo khoa với mỗi giáo viên là một trong những việc rất cần thiết
Trong bài tiểu luận này, em xin được phép trình bày những nghiên cứu của
bản thân về mảng tri thức liên quan đến parabol trong chương trình Đại số và Hình học lớp 10 như là một tài liệu để phục vụ cho công tác giảng dạy sau này
Trang 2Mới quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lóp 10 MỤC LỤC LOT IMỞ ĐẦU -£ttEEEEEEEEEEEEkttttiiiirrrrrrrrrrrrrrriririie 1 8/9080 2 An vn 3 I Lý do chọn đề tài: -222< 22EEC2EEECEE112221112111211 11 e 3 Il Xây dựng đề cương nghiên cứu: 22©+++2E+++£E+zerrxerrrreree 3 IV 0006151 01 3 2 Phương pháp và tô chức nghiên cứu: B NỘI DŨNG che I Lịch sử ra đời của parabol trong môi quan hệ với lịch sử hình thành 6159141580000) 2T 4 II Quan điểm đại số về các đường coniC: 2-2+2++z+czxecrvecee 5
II Nói về Parabol: ccccccvvveveeeeeeerrrrrrrrrrrrrrrrrrree sesssssnsseeeeees 7
IV Khai quat về kiến thức Parabol trong Đại số 10 và Hình học 10: 9
V Xây dựng tình huống dạy học bài parabol trong Hình học 10: 11 1 _ Mục đích xây dung tình huống: 2 +z+2+z+£xzeerreeree 11 2 _ Tình hung day hoe .oc.esccsssseessssessssesssseessssesssseessseessseessseesssseessseesssees 12 ( Nộp kèm theo file word này là 1 giáo án điện tử bài ”Parabol” Hình hoc lớp 10 dựa trên cở sở xây dựng tình huống đưới đây) . - 12
a) _ Mục đích yêu cầUu: -©++22++eSEEEEEEEEEEEE.CEEL.CErLkrrrvee 12
b) Phuong phap — Phuong tiện dạy học 12
c) Chuẩn bị của học sinh và giáo viên: 12
d)ọ Các bước tiến hành thực nghiệm: 13
TÀI LIỆU THAM KHẢO 2: ©2£22EE£+EEE2£EEEECEEEEEEEErrEkerrrrrcree 21
Ghi chu:
Để đến các mục cần xem có thể click vào mục lục ở mục đó ấn Ctrl + click
Trang 3Mới quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10
A PHAN MO DAU I Ly do chon dé tai:
Parabol đã trở thành một mảng kiến thức trọng tâm của chương trình
lớp 10, học sinh sẽ gặp parabol trong cả Đại số và Hình học Vấn đề là liệu học sinh khi gặp một bài toán về parabol sẽ áp dụng kiến thức được học như thế
nào?
Để rèn luyện các kỹ năng toán học, nâng cao khả năng sáng tạo và linh hoạt trong tư duy cho học sinh đòi hỏi giáo viên phải giảng dạy đảm bảo tính logic, hợp lý và tính sư phạm cao đề học sinh có thể lĩnh hội tri thức đễ dàng
Do đó, em chọn đề tài “Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức parabol ở lớp 10” với mục đích tìm hiểu lịch sử hình thành và một số kiến thức liên quan đến parabol để áp dụng vào việc soạn giáo án và giảng dạy nội dung parabol trong chương trình Hình học 10 Từ đó, giúp học
sinh thấy được mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức
parabol
II X4y dung đề cương nghiên cứu:
1 Mục đích nghiên cứu:
Mỗi quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức parabol
2 Phương pháp và tỗ chức nghiên cứu:
Nghiên cứu lịch sử của parabol trong mối quan hệ với lịch sử ra đời của các đường conIc
Quan điểm Đại số về các đường conic Nói về parabol
Trang 4Mới quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lóp 10
B.NỘI DUNG
I Lịch sử ra đời của parabol trong mối quan hệ với lịch sử hình thành các đường conic
Các đường conic là một chủ đề toán học được nghiên cứu một cách có hệ
thống và triệt để Những đường conic được phát hiện bởi Menaechmus (người Hy Lạp, 375 — 325 năm trước Công nguyên), từng là giám hd cho Alexander the Great Những đường conic được phôi thai trong nô lực giải 3 bài toán nỗi tiếng: chia thành ba góc bằng nhau của 1 góc, gấp đôi khối lập phương và phép cầu phương vòng tròn
Những đường conic được định nghĩa lần đầu tiên như là sự cắt nhau của 1 hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh thay đổi với 1 mặt phẳng vuông góc với đường sinh của hình nón, tùy thuộc vào góc nhỏ, bằng, hay lớn hơn 90° mà chúng ta có được elip, parabol, hay hypebol tương ứng
Appollonius ( 262 — 190 năm trước Công nguyên) — được biết đến như 1 nha hình học vĩ đại - đã củng cố và mở rộng những kết quả trước đó về những đường conic trong chuyên khảo “Conic Sections”, gồm 8 cuốn sách với 487 định đề Trích dẫn từ Morris Kline: “Như 1 thành tựu, nó - Appollonius’ Conic Sections — qua vi đại đến nỗi nó hầu như đã là 1 đề tài khép kín đối với các nhà tư tưởng sau này, ít nhất là từ quan điểm thuần hình học” Quyển thứ VIII của “Conic Sections” da bi thất lạc “Conic Sections” của Appollonius và “Elements” của Euclid có thể được xem là tỉnh hoa của nền toán học Hy Lạp Appollonius cũng là người đặt tên elip, hypebol và parabol Một bản giải thích tóm tắt về việc đặt tên có thể được tìm thấy trong “Howard Eves” — một tác phẩm giới thiệu về lịch sử toán học.(trang 172)
Trong Renaissanee, những quy luật chuyên động của hành tinh của Kepler,
tọa độ hình học của Descarte và Fermat và những công trình hình học xạ ảnh ban đầu
của Desargues, La Hire, Pascal đã mở rộng những đường conic lên một cấp độ cao Nhiều nhà toán học sau này cũng đóng góp vào sự phát triển của conic, đặt biệt là sự phát triển của hình học xạ ảnh là lĩnh vực mà những đường conic là đối tượng cơ bản như hình tròn trong hình học Hy Lạp Trong số những người đóng góp phải kể đến
Trang 5Mới quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lóp 10
Newton, Dandelin, Gergonne, Poncelet, Brianchon, Dupin, Chasles, va Steiner Thiét diện conic 1a 1 dé tai kinh dién da thuc day nhiéu sự phát triển trong lịch sử toán học
Dich từ trang web:
http://xahlee.org/specialplanecurves_dir/Conicsections_dir/conicsections.html
II Quan diém dai sô về các đường conic:
" Trong tọa độ Đềcac, các đường conic thỏa mãn phương trình bậc hai có dạng :
Ax? + Bry + Cụ? + Dz + Eụ + P =0 trong đó A, B, C, D, E và F là các hằng số; A, B, C là các số khác 0
Khi chúng ta thay đổi một vài trong các hằng số này thì hình dạng tương ứng
của conic sẽ thay đổi theo.Vì vậy, tập trung chú ý vào những sự thay đổi này trong các phương trình đại số khi nghiên cứu từng đường conic là một điều quan trọng Việc chúng ta biết được sự khác biệt trong các phương trình sẽ giúp chúng ta xác định một cách nhanh chóng loại conic được biểu diễn bằng phương trình đã cho Có lẽ chúng ta đã làm việc nhiều với những phương trình như vậy mặc dù có thể không nhận ra nó ở góc độ liên quan đến các đường conic
Dịch từ trang web:
http:// www.Krelinst.org/UCES/archive/resources/conics/node7.html
Nếu 8” —4AŒ <0 thì phương trình biểu diễn 1 elip (trừ trường hợp A= C và =0)
Néu B? —4AC = 0 thì phương trình biểu diễn I parabol
Néu B® —4AC > Ư thì phương trình biểu điễn 1 hypebol
Nếu có thêm điều kiện 4 + C = Ö, phương trình biểu diễn 1 hypebol đều Thay đổi hệ trục tọa độ, ta có thể đưa các phương trình của các conic về dạng
Trang 6Mới quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lóp 10 2 2 2 2 ⁄ xy Elip: stab _;†+“;=l P ar b ba Parabol: y? =4ax 2 2 x _Y Hypebol: — =; =1 yP a2 g
Những dạng chính tắc có thể được viết như những phương trình tham số: Elip: (acos6, bsin 8)
Parabol: (2/2,24/)
Hypebol: (asec0,btan@) hoặc (+ acoshu, bsinhu)
" Trong tọa độ thuần nhất, các đường conic có thể được biểu diễn qua phương trình:
Aya” + Agy’ + Agz” + 2Byry + 2Boxz + 2Byyz =
Hoặc qua dang ma trận: A; Bì By # + U z]- Bì A» B, U =0 By Bs 4; Z Đặt: A, B, By M= Bì Ag Bà K_— Ay Bì
By bạ Aj| Ô— đe ln Ao}?
Ma trận Ä được gọi là ma trận của thiết dién conic va ỗ được gọi là biệt số của thiết điện conic
Nếu 6 = 0 thì thiết diện conic là 1 parabol
Nếu ö < 0 thì nó là 1 hypebol và là 1 hypebol đều nếu ỗ < 0 và A1 = -A2 Và nếu & > 0 thì nó là 1 elip.( Nó là 1 đường tròn nếu 6 > 0 va Al = A2) Dịch từ trang web:http://en.wikipedia.org/wiki/conic_section
Trang 7Mới quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lóp 10
Ill Nói về Parabol:
Thuật ngữ “parabol” xuất phát từ từ “parabole” của tiếng Hy Lạp Parabol có thể được xem như là elip với 1 tiêu điểm ở vô cực Điều này có nghĩa là các tia sáng song song cùng chiếu vào 1 chiếc gương hình parabol sẽ gặp nhau tại 1 điểm
Người ta kể rằng: Archimedes đã sử dụng gương hình parabol trong chiến tranh Suốt thời kỳ bao vây thành phố Syracuse (214 - 212 năm trước Công nguyên) bởi những người La Mã, Archimedes đã xây dựng sự phản chiếu những tắm kim loại theo hình dang cia parabol Những tắm kim loại được dùng để hội tụ những tia nắng mặt trời vào tàu của người La Mã, và làm chúng bốc cháy
Menaechmus tim thấy parabol trong khi đang thử tìm 1 hình lập phương có diện tích bang hai lần diện tích của hình lập phương đã cho Thực tế là ông đã có giải phương trình x” = 2 Menaechmus đã giải phương trình như sự tương giao của 2 parabol y =x’ va x=1/2y?
Euclid da viét vé parabol va Apollonius (200 nam trudéc Céng nguyén) đã đưa ra đường cong nảy cùng với tên của nó
Pascal đã xem đường cong này là hình chiếu của 1 hình tròn
Luca Valerio (người Ý) đã xác định diện tích của I parabol vào năm 1606; được gọi là phép cầu phương của parabol
Nhưng Archimedes là người đầu tiên tìm ra giá trị của diện tích này trong tác phẩm "Quadrature of a Parabola" của ông
Cuối thời Trung cổ, súng đại bác được dùng ở chiến trường Bởi vậy, việc dự
đoán vị trí chính xác đích của những viên đạn bắn ra là rất quan trọng Nhiều nhà khoa học cố tìm câu trả lời cho câu hỏi này, và Galileo Galilei là người đầu tiên tìm ra mối quan hệ Đó là quỹ đạo của đạn bắn ra (bỏ qua hiệu ứng của sự ma sát) có dạng của 1 parabol
Dich tir trang web: http://www.2dcurves.com/conicsetion/conicsectionp.html
Trang 8Mới quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lóp 10 đường thăng được vẽ ứrên bê mặt xiên của hình nón từ đỉnh của hình nón tới đáy của nó Hình vẽ từ trang web: http://id.mind.net/~zone/mmts/miscellaneousMath/conicsections/parabol.html
Một parabol là tập hợp của tất ca nhimg diém (x,y) ma khoảng cách tới 1 đường thăng có định (được gọi là đường chuẩn) va 1 điểm cố định — không nằm trên đường chuẩn — (được gọi là tiêu điểm) là bằng nhau
Còn một vài thuật ngữ khác tồn tại trong mối quan hệ với parabol Điểm thuộc parabol, nằm giữa tiêu điểm và đường chuẩn của parabol được gọi là đỉnh và đường
thẳng đi qua tiêu điểm và đỉnh được gọi là trục của parabol (Tương tự như trục lớn
của elip và trục thực của hypebol)
Bây giờ, chúng ta thay đổi phương trình chính tắc của parabol và chú ý 4 loại parabol sinh ra từ sự thay đổi đó Khi xem xét 4 loại parabol đó, chúng ta hãy chú ý tới sự khác biệt giữa các phương trình liên hệ với sự khác nhau giữa 4 parabol đó
Trang 9Mới quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10 Chú ý: Ở đây, chúng ta giả sử rằng: đ >0 Trong trường hợp d là số âm xem FIGURE P5 và P6 FIGURE nã FIGURE PS Vì vậy, chúng ta thấy rằng có 4 hướng khác nhau của parabol, chúng phụ thuộc vào:
“_ Biến nào là biến bậc hai (x hay y) "_ d là số âm hay số dương
Đối với parabol có trục ngang làm đường chuẩn và đỉnh tại (h, k), phương trình sẽ là (x — h)’ = 2p(y — k), trong đó: p là khoảng cách giữa tiêu điểm và đường chuẩn Ngược lại, phương trình của 1 parabol với trục thắng đứng làm đường chuẩn là (y— kỶ = 2p(x — h) Dịch từ trang web: http:// www.Krelinst.org/UCES/archive/resources/conics/node51.html IV Khai quat vé kién thire Parabol trong Dai sé 10 va Hinh hoc 10:
Qua tìm hiểu lịch sử và những vấn đề liên quan đến parabol, chúng ta đã có I
cái nhìn khái quát về parabol Dưới quan điểm Đại số và Hình học, parabol đã được
đưa vào sách giáo khoa THPT
Trang 10Mới quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lóp 10
xứng còn trường hợp nhận trục hoành hoặc các đường thằng song song với trục hoành thì chưa được đề cập đến “ Sự bạn chế này là hợp lý vì học sinh chỉ mới bắt đâu làm quen với parabol từ lớp 9, lên lớp 10 là sự củng cố lại và tiếp tục khái quát một phân hình ảnh parabol của lớp 9, nên sự khái quát này không phải là “toàn bộ”, mà phải mang tính chất “từng bước ”, nội dụng “vừa đủ” dé học sinh lĩnh hội và phải sát với những gì học sinh được học ở lớp 9 dé học sinh có thé “ thấy mối liên quan giữa parabol ở học sinh lóp 9 và lớp 10” (Trích tiểu luận “Khái niệm parabol trong thé ché day học ở trường THPT” của Nguyễn Thị Thu Thùy)
Thì trong Hình học 10, học sinh chủ yếu được học các tinh chat “hình học” và “giải tích” của parabol bằng định nghĩa theo kiểu mô tả parabol qua các yếu tố rất quen thuộc và cơ bản của hình học như điểm, đường thằng, khoảng cách, thiết lập phương trình chính tắc Sách Hình học còn đưa vào phần chú ý như sự giải thích tại sao trong Đại số lại thừa nhận đồ thị của hàm số bậc hai là parabol Như vậy, với việc đại số hóa Hình học — sự ra đời của hình học giải tích, các mô hình Hình học được
mang “hình đáng” Đại số trở nên dễ khảo sát hơn đồng thời nối liền Hình học với Đại số
Như đã nói ở trên, Đại số 10 không đưa đầy đủ các dạng của parabol, Hình học
10 đã bổ sung thêm dưới dạng phương trình chính tắc nhưng vấn đề là học sinh sẽ
tiếp thu điều này thế nào bởi học sinh được học trong Đại số “hàm số bậc hai có đạng
y= ax”+bx+c (a #0) là parabol” trong khi trong Hình học thì “phương trình chính tắc của parabol lại là yˆ = 2px, trong đó p > 0” Và với 1 bài toán về parabol sẽ phải vận
dụng kiến thức về Hình học hay Đại số để giải
Trong 2 tiết đạy bài Parabol trong phần Hình học, chúng ta sẽ phải cung cấp cho học sinh khái niệm parabol theo Hình học, phương trình chính tắc và các yếu tố
liên quan đồng thời giúp các em hiểu về parabol theo 2 quan điểm Đại số và Hình học 1 cách rõ ràng và biết cách áp dụng chúng khi có 1 bài toán về parabol
Để làm được điều đó, chúng ta phải làm sáng tỏ:
" Phương trình chính tắc của parabol là ldạng của hàm số bậc hai nhưng biến bậc hai là y, không phải là hàm số bậc hai theo biến x như hàm y= ax”+bx+c (a #0) trong Đại số
10
Trang 11Mới quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lóp 10
o_ Nếu là hàm số bậc hai theo biến x thì trục đối xứng sẽ là trục tung hoặc những đường thẳng song song với trục tung
o_ Nếu là hàm số bậc hai theo biến y thì trục đối xứng là trục hoành hoặc những đường thẳng song song với trục hoành
" Làm rõ phần chú ý
" Đưa ra một số bài tập để áp dụng kiến thức đã học trong Đại số và Hình học Do đó, khái niệm parabol trong Đại số và Hình học 10 có sự nối kết với nhau nhất định “đô thi ham sé bac hai là một parabol, xem đồ thị như một công cụ để xây dựng bảng biến thiên, tính cực trị của hàm số; ngược lại, phương trình chính tắc của
một parabol có dạng là hàm số bậc hai và lấy dạng chính tắc này để khảo sát.”
(Trích tiểu luận “Mối liên hệ giữa đại số và hình học xét riêng giữa hàm số bậc hai và
parabol” của Hoang Minh Tri)
V Xây dựng tình huống dạy học bài parabol trong Hình học
10:
1 Mục đích xây dựng tình huống:
Hình thành biểu tượng trực quan về parabol trước khi bước vào định nghĩa parabol theo quan điểm Hình học Việc hình thành biểu tượng cho học sinh được xây dựng dựa trên thực nghiệm để học sinh quan sát, phán đoán đề từ đó rút ra được kết
luận cần thiết cho bài học Cách tiếp cận này giúp học sinh dễ dàng hiểu được bản chất của khái niệm parabol
Tổ chức để học sinh từng bước tìm ra phương trình chính tắc của parabol Giáo viên sẽ dẫn dat hoc sinh đi tìm phương trình chính tắc của parabol qua 1 hệ
thống câu hỏi có tính chất dẫn dắt, gợi mở vấn đề Làm như vậy có tác dụng gắn kết một cách tự nhiên biểu tượng trực quan về parabol vừa hình thành ở học sinh thông qua hoạt động với việc thiết lập phương trình chính tắc
Trang 12Mới quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lóp 10
2 Tình huống dạy học
( Nộp kèm theo file word này là 1 giáo án điện tử bài ”Parabol” Hình học lớp 10 dựa trên cở sở xây đựng tình huống dưới đây)
a) Mục đích yêu cầu:
() Kiên thức:
Học sinh nắm vững định nghĩa của parabol, phương trình chính tắc và các khái niệm: tiêu điểm, đường chuẩn, tham số tiêu của parabol
Biết được lý do hàm số bậc hai trong Đại số là parabol theo định nghĩa
vừa học
(ii) Kỹ năng:
Viết được phương trình chính tắc của parabol khi biết các yếu tố xác
định parabol và xác định được tiêu điểm, đường chuẩn của parabol khi
biết phương trình chính tắc của parabol
Biết áp dụng kiến thức đã học khi gặp 1 bài toán liên quan đến parabol Rèn luyện học sinh các thao tác tư duy: phân tích, so sánh, tổng hợp
b) Phương pháp — Phương tiện dạy học:
Phương pháp: Vấn đáp, gợi mở kết hợp với phương pháp nêu và giải quyết vấn đề
Phương tiện dạy học: êke tam giác vuông, tắm ván, đoạn dây không đàn hồi, bút chì, máy chiếu hoặc bảng phụ
z so * x er en
c) Chuan bị của học sinh va giáo viên:
() Học sinh (HS):
Trước tiết học, giáo viên sẽ chia nhóm, mỗi nhóm từ 5 đến 6 học sinh Mỗi nhóm sẽ chuân bị dụng cụ theo yêu câu của giáo viên:
e 1 tam ván phẳng, mỏng, hình chữ nhật kích thước tối thiéu 30(cm) x 20(cm)
Trang 13Mới quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lóp 10
e 1 êke tam giác vuông
e _ 1 sợi dây không đàn hồi dài tối thiêu 15(cm)
e _ 1 thước dài (bằng gỗ hoặc nhựa không đàn hồi) có chia vạch cm e 1 chiếc búa và 1 cây đỉnh
« _ Giấy, bút để ghi lại kết quả thu được (ii) Gido vién (GV):
Chuan bi may chiếu ( nếu có) hoặc bảng phụ ghi các nội dung:
e _ Các công việc phải làm trong quá tình tiến hành thực nghiệm
e - Gợi ý hướng làm để tìm ra phương trình chính tắc e _ Thiết lập phương trình chính tắc của parabol e_ Đề các bài tập áp dụng
d) Các bước tiến hành thực nghiệm:
() Hoạt động 1: Thực nghiệm — quan sát — dự đoán
GV ghi nội dung công việc phải làm của các nhóm lên bảng phụ hoặc dùng máy chiếu
Thực nghiệm: Các nhóm tiến hành theo hướng dẫn:
1 Vẽ đường thang d chia chiều dài miếng ván thành hai phần bằng nhau 2 Do chiéu rộng dị của cây thước dài (gọi cây thước ^ )
Lấy F thuộc d sao cho khoảng cách từ F dén 4 bang 4+d,(cm) Đóng chiếc đỉnh vào vị trí của điểm E
Đính 1 đầu sợi dây không dãn vào đỉnh C của êke
Dw
Rw
Cột đầu còn lại của sợi đây vào chiếc đỉnh sao cho khoảng cách giữa 2 đầu dây bằng độ dài cạnh CB
7 Đặt cây thước dài lên tắm ván, giữ cô định cây thước
8 Đặt êke lên tắm ván bên trái (phải) của d sao cho cạnh AB của êke tiếp xúc với cạnh của cây thước và sợi đây được kéo căng đến mức có thể,
Trang 14Mới quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lóp 10
9 Do d6 dai cia MF va MB, ghi kết quả ra giấy rồi so sánh 2 kết quả đo
được
10 Dùng đầu bút chì ép sát sợi dây vào cạnh CB rồi cho cạnh AB của êke chạy trên ^ sao cho sợi dây luôn căng Làm tương tự như vậy khi êke ở phía bên phải (trái) của d
% Quan sát: GV yêu cầu HS cho biết tên gọi của hình ảnh mà bút chì vạch ra trên mặt miếng ván?
_ 5 phút cho các nhóm thảo luận
Câu trả lời mong đợi: Đó là parabol
GV nêu vấn đề: “Một parabol là tập hợp những điểm M mà bút chì vạch ra khi dùng đầu bút chì ép sát sợi dây vào cạnh CB, rồi cho cạnh AB của êke chạy trên A phía bên trái ( phải của đ) sao cho sợi dây luôn căng Vậy những điển M có tính chất gì?”
“+ Du đoán:
GV yêu cầu các nhóm lấy các điểm P, Q, R, S, T khác nhau trên đường cong và tính độ đài của các cặp đoạn thắng PF và PB, QF và QB, RF và RB, SF và SB, TF và TB và so sánh độ đài của 2 đoạn thắng trong cùng một cặp với nhau
Trong quá trình đo độ dài các đoạn thẳng, các kết quả có thể có sai lệch nên các nhóm có thể trao đổi với nhau về các kết qua thu được
Kết quả mong đợi:
PF = PB, QF = QB, RF = RB, SF = SB, TF =TB
GV yêu cầu các nhóm rút ra dự đoán về tính chất những điểm M trên parabol Kết quả mong đợi: Điểm M trên parabol có khoảng cách đến điểm F và đường thắng A bằng nhau
=> GV đưa ra định nghĩa hoàn chỉnh
“Cho điểm F có định và 1 đường thẳng A có định không đi qua F Tập hợp các điểm M cách đều F và A_ được gọi là đường parabol( hay parabol)
Điểm F được goi là tiêu diém của parabol
Đường thẳng A được gọi là đường chuẩn của parabol
Khoảng cách từ F đến A được gọi là tham số tiêu của parabol” GV: Chúng ta đã từng học về parabol ở đâu? Ở bài học nào?
14
Trang 15Mới quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lóp 10
Câu trả lời mong đợi: Đã học trong Đại số, trong bài “Hàm số bậc hai”
GV: Đồ thị của hàm số nào trong Đại số là 1 parabol? Câu trả lời mong đợi: y = ax”+bx+c (a z0)
Giáo viên hướng học sinh xem xét hàm số y = ax? (*) (a #0) thay vi lam viéc với hàm số y = ax”+bx+c (a #0) (Vì trong đại số, chúng ta đã biết chỉ cần tịnh tiến (*) qua một vài bước ta có thể đưa về hàm số y = ax”+bx+c (a #0))
GV: Trong Đại số, hàm số bậc hai đã được khẳng định là parabol, vậy chúng
ta thử kiểm tra xem tập hợp những điểm thỏa (*) có thỏa định nghĩa vừa nêu không? GV hướng dẫn giải quyết vẫn dé:
Các em hãy chứng minh bài toán sau: 1 Xét đồ thị hàm số y = ax”(ø # 0), điểm F [oz] và đường thắng A: a yee = 0 Chimg minh ring : M(xy,¥) €(P) <= MF =d(M,A) a & Cac nhém thảo luận đưa ra lời giải Kết quả mong đợi: 2 1 ME =d(M,A)© J|Xo +| Yo——— 4a 1 06Ề26 2279 6a? °° 2a? 16a? 2 1 © *š; = Đg a â ax, = Vo â M ec (P`)
GV: Sau khi giải bài toán này, chúng ta có thể khẳng định hàm số bậc hai (*) thỏa mãn định nghĩa của Parabol vừa nêu chưa? Vì sao?
Trang 16Mới quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lóp 10
(¡Ù Hoạt động 2: Nêu và giải quyết vẫn về phương trình chính tắc của parabol
GV nêu vấn đề : Chúng ta hãy xem xét vấn đề theo chiều ngược lại: Phải chăng phương trình biểu diễn tập hợp những điểm cách đều 1 điểm cố định và 1 đường thắng cố định không đi qua điểm đó là hàm số bậc hai vừa nêu ở trên ?
GV gợi ý học sinh giải quyết vấn đề bằng cách đưa ra bài toán:
“ Trong mặt phẳng tọa độ cho điển F và đường thắng A có định Chứng mình rằng quỹ tích của những điển M(x,y) sao cho khoảng cách từ M đến A bằng độ dài của MF' là đường cong có phương trình xác định ”
GV nêu hướng giải quyết bài toán trên: (GV ghi sẵn các hướng dẫn ra bảng phụ hoặc dùng máy chiếu)
o_ Nên chọn hệ trục toa dé Décac ra sao dé tọa độ của F và phương trình
của A dễ xác định nhất
GV gợi ý chọn F(S.0) va A: x+2=0, (p>0)
o D6 dai MF va d(M, A ) biéu dién qua tọa độ ra sao?
o Nếu biểu diễn đẳng thức ME = d(M,A )(1) dưới dạng tọa độ đơn thuần thì có thê tìm thấy phương trình đường cong không?
Trang 17Mới quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lóp 10 (#) có trục đối xứng là Oy (đã biết trong Đại số)
(**) có dé thị đối xứng qua trục Ox (lấy (xạ „ạ) thuộc (#*) thì (xạ,— yạ ) cũng thuộc (**))
= Giáo viên kết luận:
y?=2px là phương trình chính tắc của parabol Với phương trình chính
tắc này thì tọa độ của tiêu điểm của parabol là FED) va duong chuẩn A là x
+2=9 2
Phương trình (**) cũng là hàm số bậc hai nhưng không phải theo biến x như hàm số y = ax’ (a 40) ma là hàm số bậc hai theo bién y Do do, ta cé thé kết luận (**) là phương trình của parabol có trục đối xứng là Ox
Như vậy, chúng ta có thê khảo sát (**) như trong Đại số với 1 chú ý đây là đồ thị của hàm số đối xứng qua trục Ox
> Bai tap ap dung:
GV dùng bảng phụ hoặc máy chiếu để cho các nhóm xem các bài tập này (các nhóm cùng làm, từng nhóm lên báo cáo kết quả)
Bài 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
2 —
y? =-2x là phương trình chính tắc của parabol y=2x? là phương trình chính tắc của parabol
Parabol (P): y? =4+x có tiêu điểm F(1,0) và có đường chuẩn A : x+1=0 Parabol (P): y°=4px có tiêu điểm F(2p,0) và có đường chuẩn A: x†2p=0
Câu trả lời mong đợi: câu C đúng
Bài 2: Viết phương trình chính tắc của parabol (P) trong mỗi trường hợp sau: a (P) có tiêu điểm F(6,0)
b (P) đi qua điểm M(1,-5) c (P) có tham số tiêu là ps
Trang 18Mới quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lóp 10 2 2 2 4 a.yˆ=24x b.y =25x cy => (iii) Hoạt động 3: Tổng kết lại những kết quả thu được > Tổng kết:
Rút ra định nghĩa sau khi thực hành vẽ parabol
Thiết lập được phương trình chính tắc của parabol (Dùng máy chiếu hoặc bảng phụ cho học sinh xem lại quá trình thiết lập phương trình chính tắc )
Kiểm tra được hàm số bậc hai đã học thỏa mãn định nghĩa parabol
Kiểm tra được tập hợp những điểm thỏa mãn định nghĩa là hàm số bậc hai theo biến x hoặc biến y tùy theo trục đối xứng của parabol là trục nào
=> GV kết luận:
Chúng ta có thể dùng các kết quả của hàm số bậc hai trong Đại số đề áp dụng với phương trình chính tắc, phương trình bất kỳ của parabol; ngược lại, ta có thể dùng
những kiến thức đã học trong Hình học của parabol để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm bậc số bậc hai
> Bai tap ap dung:
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho diém F(2,- 4) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và
y để điểm M cách đều điểm F và trục tung Hệ thức biểu diễn cho đường nào đã học,
hãy vẽ đường đó
Câu trả lời mong đợi:
Trang 19Mới quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lóp 10
Đây là 1 parabol Vì M cách đều điểm cố định F(2,- 4) và đường thang có định không đi qua F (trục tung)
Sau đó vẽ parabol đựa vào tiêu điểm, đường chuẩn, tiêu cự, trục đối xứng
GV: Đây có phải là phương trình chính tắc của parabol không? Câu trả lời mong đợi: Không
GV đặt vẫn đề: Nếu như chỉ cho phương trình x= 7 y?+2y+5 và câu hỏi là phương trình biểu diễn cho đường nào đã học, hãy vẽ đường đó, thì các em sẽ trả lời như thé nao?
& Cho cac nhém 5 phiut thao luan
GV: Phải chăng các em định đi tìm F và A rồi chứng minh những điểm thỏa mãn phương trình đã cho sẽ cách đều F và A ?
Việc làm này có mắt nhiều thời gian không? Câu trả lời mong đợi: Mất khá nhiều thời gian
GV: Có cách nào khác mà vẫn kết luận được đây là parabol không?
Câu trả lời mong đợi: Có, dùng kiến thức về hàm số bậc hai đề kết luận Đây là hàm số bậc hai theo biến y do đó đây là parabol có trục đối xứng là Ox
GV: Chúng ta sẽ vẽ parabol này như thế nào khi chưa biết gì về tiêu điểm và
đường chuẩn?
Câu trả lời mong đợi: dùng kiến thức trong Đại số để khảo sát hàm số theo biến y Công việc hoàn toàn đơn giản nếu ta coi trục Ox như trục Oy và sửa các kết quả đã học trong Đại số theo chiều mà ta đang quan sát
5 1, ^ A ` _^ _b 1
Vì x=1y +2y+5 nên tọa độ đỉnh uf da *) =(1,-4), doa =470
nên hàm số nghịch biến khi y thuộc (+, +00), đồng biến khi y thuộc (-=.-4) trục
đối xứng liy=-> = - 4 và bề lõm hướng qua phải (a “3 >0)
Trang 20Mới quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lóp 10
Bài 2: Hãy cho biết hàm số y= x7+6x+5 là quỹ tích của những điểm M(x,y) thỏa mãn tính chất gì?
GV :Đầu tiên các em có nhận xét đây là đường gì? Câu trả lời mong đợi: Parabol
GV: Vậy quỹ tích này sẽ là những điểm như thế nào?
Câu trả lời mong đợi: Quỹ tích sẽ là những điểm cách đều 1 điểm cố định và 1 đường thẳng cô định không đi qua điểm có định đó
GV: Vậy việc của các em bây giờ là làm gì?
Câu trả lời mong đợi: Tìm điểm cố định và đường thang cố định
GY gợi ý dùng kiến thức tịnh tiến đã được học
ä Các nhóm thảo luận
Kết quả mong đợi:
y=x?+6x+5 ©y=(x+3)”—4
Ta đã biết y = azˆ có tiêu điểm là (sz) và đường chuẩn là y tr 0 do đó
ta suy ra được rằng tiêu điểm của y= x” là (s4) và đường chuẩn là y +0
Trang 21Mới quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lóp 10
TÀI LIỆU THAM KHẢO + Tham khảo các trang veb: http://en.wikipedia.org/wiki/conic_section http://www.2dcurves.com/conicsetion/conicsectionp.html http:// www.Krelinst.org/UCES/archive/resources/conics/node7.html http:// www.Krelinst.org/UCES/archive/resources/conics/node51.html http://xahlee.org/specialplanecurves_ dir/Conicsections_ dir/conicsections.html http://id.mind.net/~zone/mmts/miscellaneousMath/conicsections/parabol.html
+ Tham khảo các tiểu luận liên quan đến chủ đề parabol:
Mối liên hệ giữa đại số và hình học xét riêng giữa hàm số bậc hai và
parabol_ Hoàng Minh Trị
Khái niệm parabol trong thê chế dạy học ở trường THPT_ Nguyễn Thị Thu
Thùy
Khái niệm các đường conic trong thể chế đạy học ở trường THPT _Bùi Thanh Thảo
4# Tham khảo các loại sách liên quan tới parabol: Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bàn, nâng cao Sách giáo khoa Hình học 10 nâng cao