Tổng hợp lý thuyết quan hệ vuông góc

Hai đường thẳng vuông góc với nhau Phương pháp chứng minh: C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.. C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một

Quan hệ vuông góc

I Hai đường thẳng vuông góc với nhau

Phương pháp chứng minh:

C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng

C2 : a⊥ ⇔b góc( ; ) 90a b = o

C3: Dùng hệ quả:

C4: Dùng hệ quả:

C5 : Dùng hệ quả:

C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc

C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một

tam giác thì vuông góc với cạnh còn lại của tam giác

II Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp chứng minh

C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông

góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng

b// c , a⊥ ⇒ ⊥b a c

a c

b

( ) ( )

a b



a

b

P

a

P

b

( ) ( )

a song song P



∆

BC AC



c

a

b

P b , c cắt nhau , , b c⊂ ( )P , a⊥b a, ⊥ ⇒c a⊥ ( )P

C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông

góc với mặt phẳng thì đường thẳng kia cũng vuông góc với mặt phẳng

C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu

đường thẳng a nằm trong mẵt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc với mặt phẳng kia

C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt

phẳng thứ ba thì giao tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó

 Lưu ý:

- Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A cũng là đường cao

- Tam giác đều thì mọi đường trung tuyến đều là đường cao

- Hình thoi, hình vuông có 2 đường chéo vuông góc với nhau

III Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Các định lý:

( )

a b

a b

a

b

α

α

≠



P

a // b, b⊥ ( )P ⇒ ⊥a ( )P

Q

P

b

( ) ( ),



P

(β)

(α)

∆

( ) ( )

( ) ( ) ( ),( )P ( )P P



3 ( ) / /( ) ( ) 4.

/ /

a

β

β

α

β

α

//

⇒









⊥

⊥

≠

a

a

IV Mặt phẳng vuông góc mặ phẳng

A: Kiến thức cần nhớ

1 Vecto pháp tuyến của mặt phẳng là vecto có giá vuông góc với mặt phẳng đó

2 Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mp đó

3 Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900

* Chú ý: Hai mp vuông góc với nhau thì chưa chắc mọi đường thẳng trong mặt này sẽ vuông góc với mặt kia.

Các hệ quả:

1 Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm trong mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc với mặt phẳng kia

Q

P

b a

2 : Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì

giao tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó

3 Nếu 2mp (P) và (Q) vuông góc với nhau, A là một điểm nằm trong (P) thì

đường thẳng a đi qua A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P)

( ) ( )

( ),

⊥







B: Phương pháp chứng minh

C1: Chứng minh tích vô hướng của 2 vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng đó bằng 0

( ) ( )

( ) ( ),



P

(β)

(α)

∆

( ) ( )

( ) ( ) ( ),( )P ( )P P



C2 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông.

C3(Hay dùng nhất): Cho hai mặt phẳng nếu có một đường thẳng nằm

trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia thì 2 mp đó vuông góc

với nhau

V.CÁCH XÁC ĐINH GÓC

A Kiến thức cần nhớ

1 Góc của hai đường thẳng

2 Góc của hai mặt phẳng

3 Góc của đường thẳng và mặt phẳng

và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

x

β α

∆

O

• ( ) ( ) α ∩ β = ∆ , Ox⊂ ( ), α Ox ⊥ ∆ , Oy⊂ ( ), β Oy⊥ ∆

Khi đó:

góc (( );( )) α β = góc ( ;Ox Oy)=xOy· = ϕ : 0≤ ≤ ϕ 90o

• ( )α ⊥( )β ⇔ = ϕ 90o

β

α

a

( )

( ) ( ) ( )

a a

β

α



• Chọn điểm O tuỳ ý.

• Dựng qua O : a’ // a; b’ // b

• Góc (a,b) = góc (a’,b’) = ·AOB

• Thường chọn điểm O ∈ a hoặc O b

b' a'

B

A

O b

a

α =

• Chọn điểm O thuộc giao tuyến của α và β

• Dựng qua O : OA ( )

OA

α

⊂



( )

OB OB

β

⊂





• Góc ( , ) α β = Góc (OA OB = ·AOB, ) = ϕ

Chú ý: * 0≤ ≤ ϕ 90o

* Nếu ϕ > 90o thi chọn góc ·( ; ) 180 α β = o − ϕ

β α

B O

A

ϕ

∆

Tổng quát: B1: Xác định hình chiếu a’ của a trên mp (α )

B2: Xác định gĩc giữa a và a’

B3: Kết luận (a, (α )) = (a,a’)

Xét trường hợp a và (α) cắt nhau tại một điểm O.

>Dùng cơng thức: sin( , )a d A( , )

OA

α α

∧

=

VI.KHOẢNG CÁCH

A Lý thuyết

B

O

A

ϕ

a

α

• Chọn điểm A thuộc đường thẳng a.

• Dựng qua AB ⊥ ( ) α tại B.

• Dựng giao điểm O của a và α nếu chưa cĩ ( OB là hình chiếu của a trên mặt phẳng ( α ))

• Khi đĩ: Gĩc( ;( ))a α = Gĩc(OA OB =, )

·AOB = ϕ

Dùng MH ⊥ ∆ : d(M,∆) = MH

∆

M

H

Dùng: MH ⊥ (α), H thuéc (α) ta cã: d(M,(α)) = MH α

M

H

Chän ®iĨm M trªn ∆1 , dùng MH ⊥ ∆2

( H thuéc ∆2 ) ta cã d(∆1 ,∆2 ) = MH

//

∆1 ∆2

∆2

∆1

M

H

Chän ®iĨm M thuéc ∆, dùng MH ⊥ ∆

( H thuéc (α)), ta cã d(∆,(α)) = MH

∆ // (α)

∆

α

H M

Ta cã: d((α),(β)) = d(∆,(α)) = MH

(M thuéc ∆, MH ⊥ (α), H thuéc α)

(α) // (β), ∆ chøa trong (α)

H

M

∆

α β

Khoảng cách từ một điểm

đến một đường thẳng Khoảng cách từ một điểmđến một mặt phẳng

Khoảng cách giữa hai

đường thẳng song song

Khoảng cách giữa mặt phẳng và đường thẳng //

song song

Khoảng cách giữa hai

mặt phẳng song song

1 Dựng mp chứa đt này và song 2 với đt kia

2 Dựng đoạn vuụng gúc chung của 2 đt

3 Nếu a, b chộo nhau và a vuụng gúc b

- Dựng hoặc tỡm mp(α ) chứa b và vuụng gúc với a tại A.

- Trong (α ), từ A dựng đoạn AB ⊥b tại B

- Đoạn AB là đoạn vuụng gúc chung của a và b

4 Dựng cặp mp song song lần lượt chứa

2 đường thẳng chộo nhau.Từ đú quy về bài toỏn tỡm khoảng cỏc giữa 2

mp song song

HèNH VẼ MỘT SỐ HèNH CHểP ĐẶT BIỆT

A Hỡnh choựp tam giaực ủeàu

>Hỡnh chúp tam giỏc đều:

∗ Đỏy là tam giỏc đều

∗ Cỏc mặt bờn là những tam giỏc cõn

> Đặc biệt: Hỡnh tứ diện đều cú:

∗ Đỏy là tam giỏc đều

∗ Cỏc mặt bờn là những tam giỏc đều

> Cỏch vẽ:

∗ Vẽ đỏy ABC

∗ Vẽ trung tuyến AI

∗ Dựng trọng tõm H

Vẽ SH ⊥ (ABC)

• Ta cú:

∗ SH là chiều cao của hỡnh chúp

∗ Gúc giữa cạnh bờn và mặt đỏy là: ãSAH = α ∗ Gúc mặt bờn và mặt đỏy là: ãSIH = β

B.Hỡnh chúp tứ giỏc đều

>Hỡnh chúp tứ giỏc đều:

•Dựng mặt phẳng (α) chứa b & (α) // a

•Dựng MH ⊥(α), M thuộc a, H thuộc (α)

• Dựng a' trong mặt phẳng (α), a' // a

đ ờng thẳng a' cắt đ ờng thẳng b tại B

• Dựng ∆ qua B và // MH, ∆ cắt a tại A

Khi đó: d(a,b) = d(a,(α))

= d(M,(α)) = MH = AB

• a và b chéo nhau α

B

A

H

M

a' b

a

Khoảng cỏch giữa hai

Đường thẳng chộo nhau

h

β α

I

C A

H S

B

∗ Đáy là hình vuông

∗ Các mặt bên là những tam giác cân

> Cách vẽ:

∗ Vẽ đáy ABCD

∗ Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC & BD

∗ Vẽ SH ⊥ (ABCD)

• Ta có:

∗ SH là chiều cao của hình chóp

∗ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: ·SAH = α

∗ Góc mặt bên và mặt đáy là: ·SIH = β

C Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy

ϕ β

α

D A

S

*** Chú ý:

a/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2,

Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3, Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =

a + +b c , b/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = 3

2

a

β

D A

S

β α

B

S

∗ SA ⊥ (ABC)

∗ Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: ·SBA = α

∗ Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: ·SCA = β

∗ SA ⊥ (ABCD)

∗ Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: ·SBA = α

∗ Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: ·SCA = β

∗ Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: ·SDA = ϕ