Một số vấn đề cơ bản của thuyết tương đối hẹp

Trang 1

CHUGNG I: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI GALILEE

1.1 CÁC BIẾN CỐ VA CAC TOA DO

Biến cố là cơ sở trong việc nghiên cứu thuyết tương đối

Quá trình va chạm giữa hai hạt hay một cú sét đánh vào cây là một biến

Biến cố nĩ xảy ra tại một điểm trong khơng gian và tại một thời điểm đã cho

Muốn xác định một biến cố nào đĩ thì phải gán cho nĩ 4 tọa độ:

+ Ba toạ độ khơng gian (x,y,z) xác định khoảng các từ nơi xẩy ra biến cố tới gốc tọa độ gắn với người quan sát

+ Một tọa độ thời gian (t) thường được đo bằng đồng hồ

Giả sử cĩ 2 quan sát viên O và O' O`chuyển động với vận tốc khơng đổi (v) đối với O dọc theo trục chung x Hai quan sát viên đều cĩ các dụng cụ đo như nhau( là dụng cụ đo độ dài và đồng hồ đo thời gian ) để đo được các tọa độ của biến cố Giả sử tại điểm x =x' = 0 thì các thời gian t = t= 0

Như vậy bất kể biết cố nào đã cho đều được gắn tọa độ gồm : Bốn tọa độ x, y ,z ,t gắn với quan sát viên O và bốn tọa độ xỶ, y, z, t gắn với quan sát

viên O”

1.2 PHÉP BIẾN ĐỔI GALILEE CAC TOA DO

Hệ thức giữa các số đo (x, y, z„ t) của O và (x',y',z,t) của O” cĩ liên quan

tới biến cố nào

Trang 2

Dua vao hinh vé ta thay ngay: x’ = x- OO y=y z=7 OO' là quãng đường đi được của O so với O trong khoảng thời gian (t) do đĩ : OO =v.t Vay >x=x-vt

Thời gian của cùng một biến cố xẩy ra đối với một vật là như nhau đối

với hai quan sát viên O và O' do đĩ t = t

Vậy ta cĩ 4 phương trình : x`= x — v.t x=x+Víf

y=y hay y=y

Z=Z z=z

t=t t=t

Bốn phương trình biểu diễn phép biến đổi Galilée các tọa độ

1.3 PHEP BIEN DOI GALILEE CAC VAN TOC VA GIA TOC

Khi nghiên cứu chuyển động của một hạt, việc xác định các tọa độ là rất quan trong thì việc tìm hiểu vận tốc và gia tốc của hạt cũng rất cần thiết

Để mơ tả vận tốc của hạt các quan sát viên đã gán cho nĩ ba thành phần là

(u,, u,, u,) do được bi O va (u,, uy, u,) đo được bởi O'

Ta cĩ thể cĩ được hệ thức giữa hai nhĩm thành phần vận tốc đĩ bằng cách

Trang 3

Vậy các biểu thức của phép biến đổi Galilée các vận tốc là: My =H,—Y uy= Uy M,=M, Phép biến đối Galilée các gia tốc bằng cách lấy đạo hàm biểu thức biến đổi các vận tốc với t=t' và v là hằng số du, _ d(u,-v) dt _ du Ta cĩ : 4¿=—k*=—————-=—=ú, dt dt dt dt ay=ay a,=a, Vậy các biểu thức của phép biến đổi Galilée các gia tốc là: x= a ay=ay a,=a,

1.4 TÍNH BẤT BIẾN CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH

Trong lý thuyết cổ điển người ta đã phát biểu thành tiên đề là các số đo khơng gian và thời gian được liên hệ với nhau bằng các biểu thức Galilée

Thành thử nếu quan sát viên này thiết lập được một dạng phương trình nào đĩ thì áp dụng các phép biến đổi Galilée cho dạng này sẽ cho phép tìm được dạng mà quan sát viên kia sẽ thu được.Nếu hai dạng đĩ đều như nhau thì ta nĩi rằng phương trình đĩ là bất biến trong các phép biến đổi Galilée

1.5 BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài số 1: Tại một thời điểm t = t = 0 một hành khách ngồi trên tàu hỏa

đang lăn bánh với vận tốc khơng đổi 30m/s đi ngang qua trước mặt một người đứng yên trên sân ga Hai mươi giây sau, quan sát viên đứng yên nhận thấy rằng một con chim bay theo cùng phương và cùng chiều với tàu hỏa đã ở cách nhà ga 800m Xác định các tọa độ của con chim đối với hành khách trên tàu

Trang 4

Giai

Gọi hệ quy chiếu O với các toạ độ (x, y, z, t) gin v6i quan sát viên đứng

yên trên sân ga và hệ quy chiếu O với các tọa độ (x', y, Z, t) gắn với hành khách trên tàu Các tọa độ của con chim đối với quan sát viên trên sân ga là: (x, y, Z, t) = (800, 0, 0, 20) Khoảng cách x' từ tàu hỏa tới con chim, do hành khách trên tau đo là: X =x —v.t = 800 — 30.20 = 200(m) Do đĩ, các tọa độ của con chim trong hệ quy chiếu gắn với hành khách trên tàu là: (x, y, z, t) = (200, 0, 0, 20)

Bài số 2: Một quan sát viên đứng yên trong hệ quy chiếu gắn với mặt đất, quan sát một va chạm sau đây: một khối lượng m, = 3kg chuyển động với vận t6c u, = 4m/s doc theo trục x va chạm với một khối lượng m; = Ikg chuyển

động với vận tốc u;= -3m/scũng dọc theo trục x Sau va chạm m; cĩ vận tốc

uÏ; = 3m/s Tìm vận tốc u”, của m, sau va chạm Giải

Bài tốn này mọi ma sát coi như bỏ qua Do vậy ta áp dụng định luật bảo tào động lượng cho hệ

Ta cĩ : mu, + m¿u¿=m,u”, +m;u);

Thay số ta cĩ: 3.4 + 1.(-3) = 3 u”, + 1.3

9=3.u,+3 = ư,=2(m/s) Vậy vận tốc của m; sau va chạm là 2 m/s

Trang 5

Giai

Để phương trình trên là bất biến thì dạng sẽ khơng thay đổi khi phương

trình được biểu diễn qua các biến số mới x', y', Z:, E

Áp dụng các kết quả của các phép biến đổi Galilée na a” at ert ox _ ox _ oy _ ot g ay az Oak Và quy tắc đạo hàm các hàm số kép Ta cĩ: 26 _ơØ 6x, 60 OH Ơ66_ 66 và S6_ 6ø ox Ox’ Ox Oy Oz Ox Ot Ox ax dy? ax? 2 2 Tương tự ta tính được: ệ é -Ê ý oy oy” ag ag 2z? ơz” Ngồi ra : od _ yb 2 ot ` Ot 2 2 2 2 S9 _ 66 4, 2ø + ớ at? ot” Ox at ax? 2 2 2 2 Ta thay các biểu thức : oo oo oo va = vào phương trình truyền sĩng ta x” Oy” Oz í 2 2 2 2 2 2 được : 26,260,606 lơ 1l, 2ĩ _ 26 )=0

Ox? ơy? ơz” cốt c Ox Ot ox?

Ta thấy dạng của phương trình đã thay đổi như vậy phương trình truyền sĩng điện từ là khơng bất biến đối với các phép biến đổi Galilée

Trang 6

CHƯƠNG 2 : CAC TIÊN DE CUA ANH XTANH

2.1 KHONG GIAN TUYET DOI VA ETE

Từ phép biến đổi Galilée các vận tốc ta thấy rằng: nếu một quan sát viên O thấy một tín hiệu truyền sáng với vận tốc c = 3.10 m/s thì mọi quan sát viên khác chuyển động đối với O sẽ thấy tín hiệu truyền sáng đĩ với vận tốc khác c

Như vậy phải cĩ một vật làm mốc để xác định một hệ quy chiếu đặc biệt mà một quan sát viên đứng yên đối với hệ đĩ sẽ được ưu đãi là thấy mọi tín hiệu sáng lan truyền với vận tốc c Trước Anhxtanh người ta đã thừa nhận rằng đĩ chính là quan sát viên đĩ chính là quan sát viên mà đối với anh ta các phương trình Maxwell cĩ hiệu lực: ( - - |reẽ -_-ÊZ ot | > +, 0D {rotH = J + — | ot LG | divB = 0

Các phương trình Maxwell mơ tả thuyết điện từ và tiên đốn các sĩng điện từ lan truyền với vận tốc : 1 " NÊ#s⁄ Khơng gian đứng yên so với quan sát viên trên gọi là “khơng gian tuyệt =3.10°m/s

đối”” Mọi quan sát viên khác chuyển động đối với khơng gian tuyệt đối phải thấy ánh sáng cĩ vận tốc c Tương tự như âm thanh là chuyển động sĩng của khơng khí, người ta nghĩ rằng ánh sáng là chuyển động sĩng của một mơi trường đàn hồi đặc biệt gọi là ête

Maxwell đã chứng minh được rằng sĩng ánh sáng chỉ là trường hợp rất riêng biệt của trường điện từ

Trang 7

Người ta thấy rõ rằng phải cần thiết tồn tại một mơi trường để ánh sáng truyền qua đĩ Vì vậy đã nêu lên thành tiên đề là ête chốn đầy khơng gian tuyệt đối

2.2 THÍ NGHIỆM MICHELSON VÀ MORLEY

Mơi trường ête tồn tại thì lúc đĩ một quan sát viên trên mặt đất chuyển động trong ête sẽ phải chịu tác động của một loại giĩ ête.Năm 1881

Michelson, rồi năm 1887 cùng với Morley đã hiệu chỉnh một thiết bị cĩ độ nhạy cao cho phép đo được chuyển động của trái đất so với ête đã được giả thiết ở trên

Tuy nhiên kết quả của các phép đo đã khơng phát hiện được bất kỳ một chuyển động nào đối với mơi trường ête

2.3 CÁC PHÉP ĐO THỜI GIAN VÀ ĐỘ DÀI - MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGUYÊN LÍ

Điểm chung duy nhất giữa kết quả phủ định của thí nghiệm Michelson và Morley và việc các phương trình Maxwell chỉ cĩ hiệu lực đối với quan sát viên được ưu đãi - đĩ là việc tồn tại của phép biến đổi Galilée Phép biến đổi hiển nhiên này đã được Anhxtanh xem xét lại theo một quan điểm được gọi là quan điểm sử dụng Xuất phát từ nguyên lí là mọi đại lượng thuộc một lí thuyết vật lí đều phải đo đạc được (ít ra là trên lí thuyết) theo một phương pháp hồn tồn xác định Nếu một phương pháp như vậy khơng được thiết lập thì đại lượng đang xét khơng thể được sử dụng trong vật lí

Anhxtanh đã khơng thể tìm được một chứng minh thoả đáng nào cho

phép biến đổi Galilée 1a t = t, nghĩa là cho việc khẳng định rằng hai quan sát

viên cĩ thể đảm bảo là một biến cố xảy ra tại cùng một thời điểm Trong

những điều kiện đĩ Anhxtanh đã loại bỏ phép biến đổi t = t', và tất cả các

phép biến đổi Galilée nĩi chung

Trang 8

2.4 CAC TIEN DE ANHXTANH

Khác với các nha khoa học trước, Anhxtanh nhìn thấy trong kết quả phủ định của thí nghiệm Michelson khơng phải là một sự khĩ khăn ngẫu nhiên cần được giải thích bằng cách này hay cách khác mà là sự thể hiện của một quy luật thiên nhiên tổng quát nào đĩ, quy luật đĩ là : Khơng thể phát hiên được chuyển động thẳng đều của phịng thí nghiệm đối với ête( đối với khơng gian tuyệt đối ) khơng những bằng phương pháp cơ học mà cả bằng các phương pháp quang học

Bằng cách khái quát hố kết quả đĩ, Anhxtanh đề ra một giả thiết là sự mở rộng nguyên lí tương đối Galilée và mang tên là nguyên lý tương đối

Anhxtanh.Nguyên lí đĩ được thể hiện bởi hai tiên đề sau:

Tiên đề 1: Các định luật vật lí là bất biến (cĩ cùng dạng) đối với tất cả các quan sát viên chuyển động theo quán tính

Tiên đề 2: Đối với mọi quan sát viên chuyển động theo quán tính, vận tốc trong chân khơng bằng

1

© Vets

Khơng phụ thuộc vào chuyển động của nguồn sáng

=3.10°m/s

2.5 BAI TAP AP DUNG

Bài số I: Một chớp đèn điện tử ở cách quan sát viên 30km Đèn phát ra một chớp sáng và được quan sát viên nhìn thấy vào lúc 13h Xác định thời điểm thực của biến cố đĩ

Trang 9

Giai

Khi quan sát viên đĩ nhìn thấy chớp sáng của đèn thì đèn điện tử đã phát ra chớp sáng đĩ một khoảng thời gian là At(bởi vì chớp sáng phải mất thời At để truyền đến mắt người quan sát viên ) Do đĩ : 3 Ate Se 30.10 c 3.10 =1.10() Như vậy đèn phát ra chớp sáng lúc 13h kém 1.10' s

Bài số 2: Một thanh nhỏ chuyển động từ trái sang phải Khi đầu trái của thanh đi qua trước một máy ảnh, một bức ảnh của thanh được chụp đồng thời với ảnh của một thước mét mẫu đứng yên Sau khi rửa ảnh người ta thấy đầu trái của thanh trùng với vạch 0 của thước mẫu cịn đầu phải trùng với vạch 0,9m Biết rằng thanh chuyển động với vận tốc 0.8c đối với máy ảnh Tính độ dài thực của thanh

Giải

Để tín hiệu sáng phát từ đầu phải của thanh đến được máy ảnh nĩ cần phải rời khỏi vạch 0.9m trước đĩ một khoảng At

— Ás — 0,9 c 3.10

At =3.10°s

Mặt khác thanh chuyển động với vận tốc 0,8c đối với máy ảnh nên trong khoảng thời gian At đầu trái của thanh đã dịch chuyển được một đoạn As

Ay =v At=0,8.3.10.3.10 = 0,72 (m) Trong điều kiện đĩ độ dài thực của thanh là:

L=0,9 + 0,72 = 1,62 (m)

Kết quả này chứng tỏ rằng việc chụp ảnh một thanh đang chuyển động khơng cho chúng ta độ dài thực của thanh

Trang 10

CHƯƠNG 3: PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ

Trong tiên để 2 của Anhxtanh kéo theo đĩ là việc cần thiết phải thay thế phép biến đổi Galilée các toạ độ bằng phép biến đổi Lorentz và nĩ cĩ dạng: x-—vt x=———— -(2) c v Z=Z

Với v là vận tốc của hệ quy chiếu gắn với O so với hệ quy chiếu gắn với O: v >0 nếu O dịch chuyển theo chiều (+) của trục x

v >0 nếu O dịch chuyển theo chiều (-) của trục x

Giả thiết rằng đối với x = x` = 0 thì t = t = 0

Chú ý rằng các cơng thức biến đổi khơng cĩ nghĩa khi v > c Điêu này chỉ ra rằng vận tốc ánh sáng trong thuyết tương đối là vận tốc giới hạn đối với mọi hệ quy chiếu

3.1 TÍNH BẤT BIẾN CỦA VẬN TỐC ÁNH SÁNG

Trang 11

Giả sử tại thời điểm khi O và O' trùng nhau (tại t = t = 0) một tín hiệu

ánh sáng được phát ra từ vị trí gốc chung theo chiều (+) của trục x, x’

Nếu O thấyrằng các toạ độ khơng gian và thời gian liên hệ với nhau bởi x = c.t thì lúc đĩ theo biểu thức (3-1) đối với O' là: v et} 1-— x-vt Œ£—Vf Cc x= = = MO) os “Hồ Hì T5 Như vậy đối với O x' = c.t, điều này phù hợp với tiên đề 2 của Anhxtanh 3.2 TÍNH BẤT BIẾN CỦA PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

Ta đã biết đối với các phương trình Maxwell là khơng bất biến đối với phép biến đổi Galilée tuy nhiên Lorentz đã chứng tỏ chúng đều bất biến đối

với phép biến đổi Lorentz

Ví du chứng minh: Hay chứng tỏ rằng phương trình truyền sĩng điện từ 233 arg 22 2

Là bất biến đối với phép biến đổi Lorentz và khơng bất biến đối với phép biến đổi Galilée

Giải

Trang 12

Kết trên cho thấy phương trình truyền sĩng khơng bất biến đối với phép

biến đổi Galilée

Áp dụng các biến đổi Lorentz rồi thay vào phương trình truyền sĩng ta thu được kết quả :

2 2 2 2

9, 28,26 L8, Ox? ơy” 6z” cơi”

Kết quả này hồn tồn giữ nguyên dạng như phương trình truyền sĩng Vậy nĩ bất biến đối với phép biến đổi Lorentz

3.3 TÍNH ĐỒNG THỜI

Hai biến cố xuất hiện đồng thời đối với một quan sát viên nếu quan sát

viên đĩ phát hiện thấy chúng xảy ra tại cùng một thời điểm

Trong vật lí cổ điển nếu một quan sát viên thấy hai biến cố là đơng thời thì lúc đĩ theo phép biến đổi Galilée t = t chúng cũng đồng thời đối với tất cả

các quan sát viên khác Ngược lại trong vật lí tương đối tính hai biến cố là đồng thời đối với quan sát viên này nĩi chung là khơng đồng thời đối với quan sát viên khác Giả sử cĩ hai biến cố A và B xảy ra đồng thời đối với quan sát viên O” nghĩa là Lạ =tp Sự khác nhau về thời gian đối với O sẽ là : M si — #2) ¬"

Nếu hai biến cố xảy ra tại cùng một nơi x,„ = x; thì khi đĩ đối với O

chúng cũng là đồng thời nhưng nếu x”„ # x ; chúng sẽ khơng đồng thời với O 3.4 BÀI TỐN ÁP DỤNG

Trang 13

Bài số I: Tọa độ của một chớp sáng do O đo được là x = 100km,

= 10km, z =lkm ở thời điểm t = 5.10's Hãy xác định các tọa độ khơng gian của biến cố đĩ đối với một quan sát viên O' chuyển động so với O với vận tốc (- 0,8c) doc theo truc chung x- x’ a iai Theo phép biến đổi Lorentz ta cĩ: x-vs 100- (-0,8.3 100= (20.83.10!) 5.107 5.10” =367km Ty = (-0.8) “as _ 5.10% — (0,8)= 100 ———D109— “pc ^-(-0,8) y =y = 10k z=z= lkm

Bài số 2: Cho một hạt chuyển động với vận tốc khơng đổi 5 đối với O' trong mặt phẳng x, y` sao cho quỹ đạo của nĩ tạo với trục x` một gĩc 600 nếu

vận tốc của O đối với O dọc theo trục xx' là 0,6c Hãy thiết lập phương trình

chuyển động của hạt xác định bởi O

Các phương trình chuyển động xác định bởi O là: x'=ư.f = £.(cos60.t

< II =„ s + II 3 (sin60°).t |

Trang 14

Ta lại cĩ: c 0 0,6 <=x-(0,6.c)=—.|cos6ĩ0” || £— x-(0,6.c) 2 ( ( + *] <=x=0,74.cf Ta cĩ: Mã „ e „ e t- x y=y= 5 (sin60)).t = 5 (sin60).-== I1” (7) t—0,6.0,74 ^J-0,6 Vậy phương trình chuyển động của hạt xác định bởi O là: = 2 :(sin60!) =0,30.c/ x=0,74.c.t y = 0,30.c.t

Bài số 3: Một quan sát viên O phát hiện 2 biến cố riêng rẽ xẩy ra cách nhau 600 m và 8.10” s Tìm vận tốc chuyển động của một quan sát viên O' đối với O để O' thấy hai biến cố trên xẩy ra đồng thời

Trang 16

CHƯƠNG 4: TÍNH TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐỘ DÀI THỜI GIAN, KHƠNG - THỜI GIAN

4.1 TÍNH TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐỘ DÀI

Một vật đứng yên đối với một quan sát viên, độ dài của vật được xác định bằng cách đo hiệu các tọa độ khơng gian của các đầu mút của nĩ Do vật đang

xét khơng chuyển động nên việc đo đạc cĩ thể tiến hành vào bất kỳ thời điểm

nào

Độ dài được xác định như thế được gọi là độ dài riêng của vật

Nếu vật chuyển động, việc đo đạc phức tạp hơn do các tọa độ khơng gian của các đầu mút phải được xác định tại cùng một thời điểm

Giả sử cĩ một thước nằm đọc theo trục xx` và đứng yên so với quan sát viên O” Chúng ta muốn xác định mối quan hệ giữa các số đo độ dài thực hiện bởi O và O' khi O` chuyển động với O với vận tốc dọc theo trục chung xx'

Khi đĩ giả sử A, B là các đầu mút của thước, ta cĩ: (x;~x,)+ v(¿ ~1,)

(3) c

Xg—X,=L, : d6 dai riéng cia thudéc do béi O' XypaxXy=

Néu xg, X, dugc do tai cing mot thdi diém thi t,= ty => x,-x, =Lsé 1a do dài của thước do béi O°

Khi đĩ : L=Ly 1-(2) , do 1-(2) <1 nênL< Lụ

Cc Cc

Độ dài của thước chuyển động đo bởi O sẽ co nhắn lại Kết quả này mơ tả hiệu ứng co ngắn Lorentz — Fitzgerald

4.2 TÍNH TƯƠNG ĐỐI CỦA THỜI GIAN

Trang 17

4.2.1 THOI GIAN RIENG

Nếu hai biến cố A và B diễn ra đối với quan sát viên O tại cùng một nơi thì khoảng thời gian phân cách chúng sẽ cĩ thể được O đo bằng đồng hồ duy nhất

Khoảng thời gian A¿, =¿„—¿, đo bởi O bằng đồng hồ duy nhất đĩ gọi là khoảng thời gian riêng

4.2.2 SUDAN NỞ CỦA THỜI GIAN

Xét hai biến cố A và B theo quan điểm của một quan sát viên thứ hai O' chuyển động với vận tốc v đối với O

Với quan sát viên O' hai biến cố đĩ tất yếu xảy ra tại các nơi khác nhau: At, al 7X4 ) (3) Đối với quan sát viên O, hai biến cố A, B xảy ra tại cùng một nơi nên At=iy-t,= A Xp— XẠ = Ú, từ đĩ ta cĩ: At, Do THỊ <Inên A¿ >A¿, : khoảng thời gian đo được bởi O' đã bị giãn Cc

Trong ví dụ trên đồng hồ duy nhất là đứng yên đối với O Chúng ta cũng nhận được cùng một kết quả nếu đồng hồ duy nhất đứng yên đối với O'

Trong điều kiện đĩ hãy tưởng tượng một đồng hồ duy nhất đang chuyển động trong khoảng thời gian A/,

Trang 18

Nếu đồng hồ đĩ chuyển động đối với quan sát viên O với vận tốc v thì O sẽ ghi được một độ dịch chuyển của hai đồng hồ này trong một khoảng thời gian Ar

At,

2

at Cc

Su dan no của thời gian là hiệu ứng hồn tồn cĩ thực

4.3 TÍNH TƯƠNG ĐỐI CỦA KHƠNG - THỜI GIAN

At=

Tính tương đối của khơng gian và thời gian chính là tính tương đối của khơng - thời gian

4.4 BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài số I: Một vật hình lập phương cĩ thể tích 1000cm” Xác định thể tích

của vật đối với một quan sát viên O' chuyển động so với vật với vận tốc 0,§c theo hướng song song với một trong các cạnh của vật

Giải

Giả sử quan sát viên chuyển động theo hướng song song với trục x (trùng với phương của một cạnh của vật)

Trang 19

Bài số 2: Thời gian sống trung bình của một hạt ;- mezơn là 6.10s khi vận tốc của nĩ là 0,95c.Tính thời gian sống trung bình của hạt trong một hệ quy chiếu mà ở đĩ hạt đứng yên

Giải

Hạt đứng yên trong một hệ quy chiếu thì thời gian ta đo được là thời gian

riéng

Do đĩ từ cơng thưcs dãn nở về thời gian ta cĩ thời gian sơng trung bình của hạt ¿ - mezơn khi đĩ đứng yên là:

At, = At 1-(2) = 6.10 /1-(0.95)? =1,87.10°(s)

Cc

Trang 20

CHUONG 5 : PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐỐI TÍNH CÁC VẬN TỐC

5.1 THIẾT LẬP BIỂU THỨC BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐỐI TÍNH

Để thiết lập biểu thức biến đổi tương đối tính về vận tốc ta lập luận tương tự như khi tìm các biểu thức biến đổi Lorentz:

Giả sử quan sát viên O` chuyển động dọc theo trục chung xx' với vận tốc v đối với quan sát viên O

Mỗi quan sát viên đo vận tốc của cùng một hạt duy nhất O đo được (u.„ uy, 0y)

xo Ủy»

uy, u,) con O do duge (u

Trong dé u,, u,, u, 1a céc thành phần của vận tốc đối với hệ quy chiếu gắn với O và u,, u,, u„ là các thành phần của vận tốc đối với hệ quy chiếu gắn với O Sử dụng cơng thức biến đổi tọa độ ta cĩ: H 1 tly 1 x ti > WG rổ ie 1 2 VN x x Cc

(v >0 nếu như O chuyển động theo chiều (+) cia truc x va v< 0 khiO’ chuyển động theo chiều (-) của trục x)

Từ các biểu thức trên bằng phép biến đổi ta cĩ:

Trang 21

= II u =———— 1+ (2) u, c Đĩ chính là biểu thức của phép biến đổi tương đối tính các vận tốc 5.2 PHÉP BIẾN ĐỔI CÁC VẬN TỐC VÀ VẬN TỐC ÁNH SÁNG

Một tín hiệu sáng đựơc phát ra từ vị trí gốc tọa độ chung lúc O và O”

trùng nhau, ở thời điểm t = t = 0 theo chiều (+) của trục x và x'

Đối với O các thành phần của vận tốc ánh sáng là: u¿=c;uy=u,=0 Đối với O` các thành phần của vận tốc ánh sáng là: ' 1 —V CV , , w.=———=———=c ;Uu,=u,=0 Như vậy đối với O vận tốc của ánh sáng cũng là c 5.3 BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài số I: Một hạt nhân phĩng xạ chuyển động với vận tốc 0,5c trong phịng thí nghiệm Hạt nhân bị phân rã phát ra 1 êlectrơn theo hướng vuơng gĩc với hướng chuyển động của hạt nhân trong hệ quy chiếu phịng thí nghiệm Êlêctron này cĩ vận tốc 0,9c trong hệ quy chiếu gắn với hạt nhân Tìm vận tốc của hạt electron này trong hệ quy chiếu quán tính trong phịng thí nghiệm

Trang 22

Giai

Goi O, O, P lần lượt là hệ quy chiếu gắn với phịng thí nghiệm, với hạt nhân phĩng xạ và với êlectrơn được phát ra Ta cĩ: us u,tv —0+0,5¢ _ 9 5 ` : 1+ uy 1+0 ie _ 9,9.ca/1— 0,9.ca/1—(0,5)" =0,779.¢ 1+0 3) [ x

Do đĩ vận tốc của hạt electron trong hệ quy chiếu gắn với phịng thí nghiém 1a: u = fu,’ +u,° = 0.926.c

Trang 23

._ 1 0,990e

tp =-=_— ——=-6,92

gớ u x —0,143¢

Vận tốc tạo với chiều âm của trục x` 1 gĩc ý =81,8° Độ lớn của vận tốc photon đối với quan sát viên O' là:

w=, |(u.) +(w,) =\(-0,143e) +(0.990c)" =e

Đúng theo tiên đề 2 của Anhxtanh

Trang 24

Chia dx' cho dt ta được: ụ _adx dx-vdt _— dt — HM—W dc 2 dr—| — lá " 1-|— |u c? ~)ovde | f(y) dt ae) u,-v = =——*—— Vv 1-| — |u (=

Trang 25

CHUONG 6 : KHOI LUONG, NANG LƯỢNG VÀ ĐỘNG LƯỢNG TƯƠNG

DOI TINH

6.1 SUCAN THIET PHAI DINH NGHIA LẠI ĐỘNG LƯỢNG

Một trong những hệ quả quan trong của thuyết tương đối hẹp là khối lượng của một vật biến đổi theo vận tốc của nĩ

Ta sẽ xét thí nghiệm con lắc thử đạn đơn giản sau: Một quan sát viên O' bắn một viên đạn theo hướng y' vào một vật đứng yên so với người bắn Chúng ta cĩ thể giả thiết một cách hợp lý rằng độ xuyên sâu của viên đạn trong vật tùy thuộc vào thành phần theo trục y` của động lượng của viên đạn

P=m.u,, (với m là khối lượng của viên đạn đo bởi O)

Giả sử cùng thí nghiệm trên được quan sát viên O nghiên cứu Đối với quan sát viên O, người bắn súng O' chuyển động với vận tốc v đọc theo trục chung x- x

Vì rằng vết đạn để lại trong vật nằm theo hướng vuơng gĩc với hướng chuyển động tương đối nên O và O nhìn thấy vết đâm xuyên cĩ cùng chiều sâu và như vậy họ hy vọng sẽ tìm được cùng một giá trị đối với thành phần theo phương y của mơmen động lượng của viên đạn

Trang 26

6.2 SỰ BIẾN ĐỔI KHỐI LƯỢNG THEO VẬN TỐC

Khối lượng của vật m thay đổi với vận tốc u của nĩ theo biểu thức: m==———— (mụ là khối lượng nghỉ của vật)

Đây là khối lượng đo được khi vật đứng yên so với quan sát viên 6.3 ĐỊNH LUẬT II NEWTON TRONG THUYẾT TƯƠNG ĐỐI

Theo vật lý cổ điển thì định luật II Newton được viết : Z = =

Để bao gồm các hiệu ứng tương đối tính chúng ta phải đưa sự kiện khối lượng thay đổi theo vận tốc của vật 1 f= -< tot | 4 (mit) 1-(“} dt c Đây cũng là biểu thức định luật II Newton mở rộng cho cả thuyết tương a|§ đối hẹp

6.4 HỆ THỨC KHỐI LƯỢNG - NĂNG LƯỢNG E =M.C?

Trang 27

Tw biéu thitc : m = = mẺ.c°—=m weaM Cc (3) Cc Lấy vi phân hai vế biểu thức nay ta cĩ: 2.m.c”.đm — 2.m?.u.du — 2.u”.m.dm = 0 —> -m.u.du + u2.dm = c?.dm Do đĩ: K= f (aed + udm) = f c)dm = me” — mụ.c” 0 Vậy K = m.c?— m,.c?

Động năng của vật biểu diễn hiệu giữa năng lượng tồn phần E và năng

lượng nghỉ Eạ của vật : E— Eạ =m.c”— mụ.c?

Nếu lấy năng lượng nghỉ của vật Eạ = mụạ.cˆ

Ta nhận được hệ thức Anhxtanh về mối quan hệ khối lượng — năng

lượng:

E=m.c?

6.5 HỆ THỨC GIỮA ĐỘNG LƯỢNG VÀ NĂNG LƯỢNG

Trang 28

(đơn vị năng lượng người ta thường sử dụng 14 eV ) leV là động năng mà vật cĩ điện tích bằng điện tích của electron nhận được khi vật được gia tốc dưới hiéu dién thé 1V : leV = 1,602.10°'.C.1V = 1,602.10" (J)

Đơn vị của động lượng là Kgm/s hoặc cĩ khi sử dụng đơn vị là MeV/C

: +2 E-E

đơn vị này được suy ra từ biểu thức P= *—*

Cc

6.6 BAI TOAN AP DUNG

Trang 29

1 4=10°°m)

Bài số 3: Một electron được gia tốc đến năng lượng 2Gev trong một máy gia tốc êlectrơn Tính tỉ số giữa khối lượng chuyển động và khối lượng nghỉ của hạt ( với mạ.c? = 0,511 Mev) Giải Ta cĩ: K = mc” - mục” mc? = K+ mục” Ta lập tỉ số: es K+m,c* _ 2000+0,511 ` “im, mục” 0,511 =3915 hay m= 3915 mạ

Bài số 4: Vận tốc của một êlectrơn là 5.10” m/s Tính năng lượng cung cấp để tăng vận tốc của êlectrơn lên 2 lần.( với mạ.c? = 0,511 Mev) Giải Ta cĩ : Năng lượng lúc đầu Eạ = mc? = =0,518Mey „2 THạ.C

Do đĩ năng lượng cần cung cấp để tăng vận tốc của e lên 2 lần sẽ là:

E=E, - E,=0,024 Mev

Bài số 5: Một hạt khối lượng nghỉ mạ chuyển động với vận tốc 0,8c va Năng lượng lúc sau : E, = = 0,542Mev

Trang 31

KET LUAN

Thuyết tương đối hẹp của Anhxtanh đã thu hút nhiều nghiên cứu của các nhà khoa học Hệ quả của thuyết là những sáng tạo kỳ diệu cho khoa học sau này

Việc đi sâu nghiên cứu thuyết tương đối sẽ giúp ích rất nhiều cho sinh viên trong việc học tập bộ mơn vật lí hiện đại một mơn hay và khĩ đối với sinh viên

Qua thời gian thực hiện đề tài nghiêm túc khẩn trương em thấy đã bước đầu hiểu và làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học , tìm hiểu sâu thêm về nội dung của thuyết tương đối, từ đĩ để giải các một số bài tập cơ bản của thuyết Qua đĩ giúp cho em cĩ cách nhìn tổng quát hơn về nghành vật lí hiện đại điều đĩ đã khích lệ tỉnh thần học tập cũng như tìm hiểu sâu vê nghành vật lí hiện đại

Trong đề tài này em đã đề cập tới được nội dung sau: 1, Tìm hiểu nội dung cơ bản của thuyết tương đối hẹp 2, Vận dụng giải một số bài tập cơ bản của thuyết

Trong thời gian thực hiện đề tài em xin được bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến các thầy cơ giáo trong khoa Vật Lý và đặc biệt là cơ giáo T.S Lưu Thị Kim Thanh đã giúp đỡ em hồn thành tốt khĩa luận này

Em xin chân thành cảm ơn !

Trang 32

MUC LUC

Trang

Chương 1 Các phép biến đổi Galilée

1.1 Các biến cố và các toạ độ 1

1.2 Phép biến đổi Galilê các toạ độ 1

1.3 Phép biến đổi Galilê các vận tốc và gia tốc 2

1.4 Tính bất biến của một phương trình 3

1.5 Bài tập áp dụng 4

Chương 2 Các tiên dé Anhxtanh

2.1 Khơng gian tuyệt đối 6

2.2 Thí nghiệm Maikenson và Morley 7

2.3 Các phép đo thời gian và độ dài một vấn đề về nguyên lý 7 2.4 Các tiên đề Anhxtanh 8 2.5 Bài tập áp dụng 8 Chương 3 Phép biến đổi Lorents 3.1 Tính bất biến của vận tốc ánh sáng 10 3.2 Tính bất biến của phương trình Maxwell 11 3.3 Tính đồng thời 12 3.4 Bài tập áp dụng 12

Chương 4 Tính tương đối của độ dài thời gian, khơng — thời gian

4.1 Tính tương đối của độ dài 16

4.2 Tính tương đối của thời gian 16

4.3 Tính tương đối của khơng - thời gian 18

4.4 Bài tập áp dụng 18

Chương 5 Phép biến đổi tương đối tính của vận tốc

5.1 Thiết lập biểu thức tương đối tính 20

5.2 Phép biến đổi các vận tốc và vận tốc ánh sáng 21