luận văn thạc sĩ độ đo jensen và ứng dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ========== ĐỖ MẠNH HÙNG ĐỘ ĐO JENSEN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS – TSKH NGUYỄN VĂN KHUÊ Thái Nguyên - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 2 Chương 1: CÁC KIẾN THỨC VỀ LÝ THUYẾT THẾ VỊ 3 1.1. Hàm điều hoà dưới 3 1.2. Hàm Green 6 1.3. Tập cực 7 1.4. Dung lượng 8 1.5. Bài toán Dirichlet 16 1.6. Chính quy hoá nửa liên tục trên 18 1.7. Định lý biểu diễn Riesz 20 Chương 2: ĐỘ ĐO JENSEN VÀ ÁP DỤNG 24 2.1. Các định nghĩa 24 2.2. Định lý đối ngẫu trừu tượng 25 2.3. Định lý đối ngẫu của hàm điều hoà dưới và hàm đa điều hoà dưới 28 2.4. Ứng dụng vào hàm nguyên 31 2.5. Độ đo điều hoà 34 2.6. Độ đo đĩa giải tích 36 2.7. Độ đo cực trị và xấp xỉ 38 2.8. Hàm điều hoà dưới không nửa liên tục trên 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 MỞ ĐẦU Độ đo Jensen là độ đo phản ánh một số tính chất cơ bản của hàm điều hoà dưới, đặc biệt của hàm đa điều hoà dưới. Vì vậy, độ đo này đóng vai trò quan trọng trong giải tích phức và lý thuyết đa thế vị. Luận văn gồm hai chương. Chương I trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích phức và lý thuyết đa thế vị. Chương II trình bày chi tiết và có phần nào phát triển công trình “ Jensen measure” gần đây của Thomas J.Ransford (2002) về độ đo Jensen. Để hoàn thành được luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn GS - TSKH Nguyễn Văn Khuê người thầy đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm thuộc Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội và các thầy cô giáo viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học. Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn trường THPT Hiệp Hoà số 4 tỉnh Bắc Giang, gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình tác giả học tập. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2009. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC VỀ LÝ THUYẾT THẾ VỊ 1.1 Hàm điều hoà dưới Trong mục này, ()dx  luôn kí hiệu là diện tích mặt cầu 0 ( , )B x r . Đặt 1 ( , ) 1 ( , , ) ( ) ( ) d B x r d L u a r u z d z cr      ( , ) 1 ( , , ) ( ) ( ) d B x r d A u a r u z d z br   l gọi là các trung bình tích phân của u trên mặt cầu 0 ( , )B x r và trên hình cầu 0 ( , )B x r .Trong đó, ( (0,1)) d CB   là diện tích mặt cầu đơn vị và ( (0,1)) d bBl là thể tích hình cầu đơn vị trong d R . 1.1.1 Định Nghĩa Một hàm u xác định trên tập con mở  của d R vào   ¥ ,¥ được gọi là điều hoà dưới trên  nếu các điều kiện sau thoả mãn: (i) u là hàm nửa liên tục trên. (ii) Nếu x là một điểm tuỳ ý trong  thì với 0r  tuỳ ý, đủ nhỏ ta có ( ) ( , , )u x L u a r . Một ví dụ điển hình trong trường hợp 2d  là hàm log ( )fz với f là hàm chỉnh hình bất kì trong 2 R xem như mặt phẳng phức. Ta xét một ví dụ về hàm điều hoà dưới khác trong trường hợp 2d  là hàm 2 () d K x x   Hàm này điều hoà trong   0 d R và bằng -¥ tại 0. Ta kí hiệu tập tất cả các hàm điều hoà dưới trên  là ()SH . Chú ý rằng, với định nghĩa này, hàm đồng nhất -¥ trên  cũng là hàm điều hoà dưới. Tính chất nổi bật của hàm điều hoà dưới là nguyên lý cực đại, nêu trong định lý dưới đây. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 1.1.2. Định lý (Nguyên lý mođun cực đại) Giả sử  là một miền bị chặn trong d R và ()uSH . Khi đó (i) Nếu u đạt giá trị cực trên  thì u là hàm hằng. (ii) Nếu x lim sup 0    với mọi điểm  trên  thì 0u  trên  . Chứng minh. (i) Giả sử u đạt giá trị cực đại M trong  . Đặt     : ( ) , B= : ( )A x u x M x u x M     Khi đó, , AB là hai tập rời nhau và AB È . Do u là nửa liên tục trên nên A là tập mở. Sử dụng bất đẳng thức dưới trung bình đối với hàm điều hoà dưới ta có B là tập mở. Do  liên thông, B  nên B  . Vậy u là hàm hằng. (ii) Thác triển u tới biên của  bằng cách đặt ( ) limsup ( ) x u u x     với mọi   . Khi đó, u là nửa liên tục trên trên tập  compact nên nó đạt cực đại tại một điểm y . Nếu y thì theo giả thiết ( ) 0uy , suy ra 0u  . Nếu y thì do (i), ta có u là hàm hằng trên  . Khi đó hiển nhiên 0u  . 1.1.3. Định lý (Dán các hàm điều hoà dưới) Cho  là một tập con mở của d R , và  là tập con thực sự, mở trong  . Nếu ()uSH , ()v  SH và limsup ( ) ( ) xy v x u y   với mọi y   Ç , khi đó nếu đặt { } ax ( ), ( ) () ( ) m u y v y y y u y y     nÕu nÕu ì Î ï ï = í ï Î ï î  thì ()  SH . Chứng minh. Bởi điều kiện limsup ( ) ( ) xy v x u y   ta có  là hàm nửa liên tục trên trên  . Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức dưới trung bình địa phương. Tức là Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 với mỗi x tồn tại 0R  sao cho với mọi 0 rR ta có ( ) ( ; , )x L x r   . Điều này là hiển nhiên nếu   x    . Trong trường hợp x   tồn tại R sao cho 0 rR ta có ( ) ( , , )u x L u x r . Khi đó     ( , , ) ( , , )x u x L u x r L x r     với mọi 0 rR . vậy ()SH   . Cho  là tập con mở của d R , bài toán Dirichlet cổ điển trên  là: Cho trước hàm   fC  , tìm hàm điều hoà h trên  , liên tục trên  sao cho hf trên  . Trường hợp  là hình cầu bài toán đã được giải quyết trọn vẹn bởi công thức tích phân poisson. Đặt 22 ( ; ) d xy P x y xy    với mỗi , d xyR sao cho xy . Hàm ( , ) ( , ) ( ) d x y P x y c x / gọi là nhân posson trong d R . Ta có định lý sau đây. 1.1.4 Định lý Cho     ,f C B a r với d aR và 0r  . Khi đó nếu đặt 2 ( ) ( , ) () ( ( , ) ( ); , ) ( , ) d f y y B a r vy r L P x a y a f x a r y B a r          nÕu nÕu thì v là nghiệm duy nhất của bài toán Dirichlet trên ( , )B a r với hàm biên f . Với các kí hiệu như trên thì 2 ( , ( , )) ( ( , ) ( ); , ) d PI f B a r r L P x a y a f x a r     (1.1) Được gọi là tích phân poisson của f trên B . 1.1.5 Định lý (Poisson Modification). Giả sử  là một tập mở trong d R và B là một hình cầu trong  . Cho u là một hàm điều hoà dưới trên  không đồng nhất bằng -¥ . Đặt Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 ( , )( ) () ( ) PI u B y y B uy u y y B       nÕu nÕu  Khi đó u điều hoà dưới trên  và điều hoà trong B . Hơn nữa uu trên  . 1.2. Hàm Green Trong phần này là một số kết quả cơ bản của hàm Green, một đối tượng quan trọng trong lý thuyết thế vị. 1.2.1 Định nghĩa Giả sử  là một tập con mở của d R . Một hàm Green (nếu tồn tại) cho tập mở  là một hàm   :G    - ¥ ,¥ với các tính chất sau: (i) ( , ) xx G x u h     ở đó với mỗi x , x h là hàm điều hoà trong  . (ii) 0G   . (iii) Nếu với x , x v là một hàm điều hòa dưới 0 và là tổng của x u và một hàm điều hoà dưới, thì ( , ) x v G x   . Nói cách khác, với mỗi x , ( , )Gx   là cực đại trong lớp các hàm 0 mà có thể viết dưới dạng xx u   ở đó   x  SH . 1.2.2. Định lý Hàm Green G  của tập mở  nếu tồn tại là duy nhất. Chứng minh. Giả sử G   là một hàm Green thứ hai của  . Bởi điều kiện (iii) trong định nghĩa, 'GG   và 'GG   . Do đó 'GG   . Chúng ta có hai định lý sau nói về sự tồn tại của hàm Green. 1.2.3 Định lý Giả sử d  RÌ là một tập con mở với 3d  . Khi đó  là hàm Green. 1.2.4 Định lý (Myrberg, 1933). Nếu  là một tập con mở của 2 R , khi đó các điều kiện sau là tương đương: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 (i) 2 R không là tập cực. (ii) Tồn tại hàm điều hòa dưới âm xác định trên  . (iii)  có hàm Green. Chứng minh. (Xem định lí 8.33, [14]) 1.3 Tập cực Chúng ta sẽ nghiên cứu tập những điểm mà ở đó một hàm điều hoà dưới lấy giá trị -¥ . Chúng có vai trò như những tập có độ đo không trong lý thuyết độ đo. 1.3.1 Định nghĩa Một tập hợp d Z RÌ được gọi là một tập cực nếu có một tập mở UZÉ và một hàm ()uUSH sao cho u ¥ trên Z và u ¥ trên mọi thành phần liên thông của U . 1.3.2 Định lý Giả sử u là một hàm điều hoà dưới trên tập mở  . Khi đó tập   : ( )E y u y   ¥ là một tập G  . Nếu Z là một tập cực thì nó là tập con của một tập G  cực. Hơn nữa, mọi tập con của một tập cực là một tập cực. Chứng minh Vì u nửa liên tục trên nên với mọi j tập hợp   : ( )x u x j   là tập mở. Mặt khác   : ( ) j E x u x j   Ç . Do đó E là G  - cực. Khẳng định thứ hai của định lý suy ra từ kết luận trên và định nghĩa. Bởi tính khả tích địa phương của hàm điều hoà dưới ta có định lý sau. 1.3.3 Định lý Nếu E là một tập cực thì giao của nó với mỗi mặt cầu có diện tích mặt không. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Định lý dưới đây cho thấy, hàm xác định của một tập cực có thể chọn là hàm điều hoà dưới trên toàn không gian. 1.3.4 Định lý Giả sử d Z RÌ là một tập cực. Khi đó tồn tại hàm điều hoà dưới trên d R sao cho u ¥ trên Z . Chứng minh (Xem định lý 7.3, 7.4, [14]) 1.3.5 Định lý Nếu   j Z dãy các tập cực thì jj ZÈ là tập cực. Chứng minh Giả sử () d j u  RSH sao cho j u ¥ trên j Z . Vì j u hữu hạn hầu khắp nơi nên tồn tại   0,1yB sao cho   j uy¥ với mọi j . Xem j u chỉ là hàm trên   0,Bj . Vì j u là hàm nửa liên tục trên nên   sup j xj ux  là hữu hạn. Vậy ta có thể chọn dãy các số dương j b sao cho chuỗi dưới đây hội tụ. ( ) sup ( ) j j j xj j b u y u x       Đặt ( ) sup ( ) j j j xj j u b u y u x       Xét một hình cầu cố định   0,Bk . Mọi số hạng trong chuỗi trừ ra 1k  số hạng đầu là hàm điều hoà dưới không dương. Do vậy u điều hoà dưới trên mỗi hình cầu   0,Bk và do đó điều hoà dưới trên d R . Rõ ràng u ¥ trên jj ZÈ . 1.4 Dung lượng Phần này nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản của lí thuyết dung lượng. Chi tiết về vấn đề này, (xem [14]). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 1.4.1 Định nghĩa Giả sử  là một không gian tôpô. Một dung lượng là một hàm tập hợp : ( )EE   được xác định trên mọi tập con E Ì với giá trị trong   0,¥ , thoả mãn các tiên đề dưới đây (i) Nếu EFÌÌ , thì ( ) ( )EF   (đơn điệu tăng). (ii) Nếu   j E là một dãy tăng các tập con của  thì ( ) lim ( ) j j j j EE   È (iii) Nếu   j K là dãy giảm các tập compact của  thì ( ) lim ( ) j j j j KK   Ç Dung lượng  được gọi là dưới cộng tính nếu ( ) 0  Æ và  thoả mãn (iv) Nếu 12 , , EE là các tập con của  thì ( ) ( ) j j j j EE    È . 1.4.2 Định nghĩa Một tiền dung lượng là một hàm tập hợp   :c E c E được xác định trên mọi tập con Borel của  với giá trị trong   0,¥ , thoả mãn các tiên đề 1.4.1(i),(ii). Tiền dung lượng c gọi là chính quy trong nếu mọi tập con Borel E của  thoả mãn:   ( ) sup ( ): , c E c K K E K compact Ì (1.2) Tương tự, c gọi là chính quy ngoài nếu mọi tập con Borel E của  thoả mãn:   ( ) inf ( ): , c E c G G E G É më (1.3) Khi c là một tiền dung lượng và E Ì là một tập bất kì, dung lượng trong * ()cE và dung lượng ngoài * ()cE được định nghĩa như sau [...]... bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 Chng 2 O JENSEN V P DNG Mc ớch ca chng ny trỡnh by o Jensen, o m i vi nú bt ng thc di trung bỡnh ỳng cho lp hm iu ho di, cựng mt s ỏp dng ca chỳng Mt cỏch chớnh xỏc ta a ra cỏc nh ngha sau 2.1 Cỏc nh ngha 2.1.1 nh ngha Cho l tp con m ca R d , v cho x o Jensen ti x trờn l mt o xỏc sut Borel , cú giỏ l mt tp con compact ca ,... tp con m ca R d v cho x J x () l tp o Jensen ti x trờn Mc ớch ca chỳng ta trong phn ny l nghiờn cu tớnh cht ca J x () Chỳng ta ó núi trong mc gii thiu l nu B l hỡnh cu úng tõm x trong , thỡ o mt chun hoỏ trờn B l o Jensen ti x Núi chung, cho min D è è cha x , nu l o iu ho i vi D ti x , thỡ mi hm iu ho di u trờn tho món u ( x) D ud vy cng l o Jensen ti x 2.5.1 nh ngha H x () l tp cỏc... ca l S ( x) : supu( x) : u SH (), u ( x ) õy S H () l h ca cỏc hm iu ho di trờn 2.1.3 nh ngha Cho mt hm : Ơ , Ơ bao Jensen ca S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn l http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 d : J () J ( x) : inf x ( x ) J x () l h tt c cỏc o Jensen ti x trờn Chỳ ý rng nu l o c tuyt i tc l o c i vi mi o Borel thỡ d tn ti v ta cú kt qu tip theo l hin nhiờn 2.1.4 Mnh... , (x ) Trong ú S H () l h ca cỏc hm iu ho di trờn v J x () l h ca cỏc o Jensen ti x trờn 2.3.1 nh lý Cho : R l hm s liờn tc Khi ú S ( x) J ( x) (x ) õy l khỏi nim c bn Cho X l tp con compact ca Ta t R u | X : u SH () ầ C () Chng minh Tng t nh lý 2.2 cú thờm kin thc t nh lý ta cn phi liờn h R - o trờn X v o Jensen trờn Ta cú b sau 2.3.2 B Gi s mi thnh phn b chn ca R d giao khụng... li trong Cn l gi li V mi min trong C l gi li 2.3.5 nh ngha Cho è Cn l min m, o cú giỏ compact trong c gi l o a Jensen i vi x D é nu u ( x) ud vi mi u l hm a iu ho di trờn 2.3.6 nh ngha Cho l tp con m ca C d t PSH () l h ca cỏc hm a iu ho di trờn , v PJ x () l h ca cỏc o a Jensen ti x trờn S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 Cho : Ơ , Ơ ta nh... hm iu ho di u trờn bt ng thc u ( x) ud Nu B l hỡnh cu úng trong vi tõm x thỡ o Lebesgue chun hoỏ trờn B l o Jensen ti x Cng nh nh vy i vi o mt chun hoỏ trờn B iu ny xut phỏt t bt ng thc di trung bỡnh i vi cỏc hm iu ho di Mt vớ d n gin khỏc l x , o Dirac ti x , cng l o Jensen ti x Trong ú 0 1 x ( A) nếu x A nếu x A 2.1.2 nh ngha Cho mt hm : Ơ , Ơ bao iu ho di ca l S ( x)... iu ho di l khụng ỳng trong trng hp núi chung Nhng ỳng trong trng hp - l gi li, (xem [18]) 2.4 ng dng vo hm nguyờn Chỳng ta bit rng cu trỳc tp khụng im ca mt hm nguyờn quyt nh tng ca nú Bi s ỏp dng o Jensen ta s nhn c kt qu khỏ ngc nhiờn v vn ny Cho g l mt hm nguyờn vi g 0 Cho M : C R l hm s liờn tc Khi ú tn ti mt hm nguyờn f 0 , cha tp khụng im ca g v tho món log f ( z) M ( z) vi mi z C ?... (Ch thay th f bi Cf ( z)/ z k vi nhng hng s C , k thớch hp) Khi ú hm S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 u log f / g l hm iu ho di trờn C vi u (0) Ơ , vỡ vy mi o Jensen ti 0 ta cú Ơ u(0) ud ( M log g )d c bit inf J0 ( C ) (M log g )d Ơ (2.2) u nhng nm 90, Khabibullin (xem [6]) ó ch rng bt ng thc ny gn nh cho mt iu kin t ú cú mt hm nguyờn nh vy 2.4.1... H qu Gi s l khụng gian tụpụ - compact Khi ú mi tp con Borel ca l gii tớch Chng minh Mi tp m hay úng trong l hp m c ca cỏc tp compact nờn nú l cỏc tp gii tớch Mt khỏc bi mnh trờn thỡ h A E è ; E và là giải tích E l mt - i s v cha mi tp m trong Do ú, A phi cha mi tp Borel 1.4.10 B Gi s E l mt tp con gii tớch, compact tng i ca mt khụng gian tụpụ X Khi ú tn ti mt khụng gian compact T , mt... mi u l hm iu ho trờn Do nhn xột trờn ta cú H x () è J x () S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Hin nhiờn nu l o Lebesgue chớnh tc ca hỡnh cu tõm x thỡ nú l o Jensen ti x nhng khụng phi o iu ho ti x Tuy nhiờn ta cú nh lý sau 2.5.2 nh lý Cho : R l hm s liờn tc Khi ú J ( x) inf d : H () ( x ) x Chng minh õy l trng hp c bit ca nh lý 1.3, (xem [4]) Nh . Chương 2: ĐỘ ĐO JENSEN VÀ ÁP DỤNG 24 2.1. Các định nghĩa 24 2.2. Định lý đối ngẫu trừu tượng 25 2.3. Định lý đối ngẫu của hàm điều hoà dưới và hàm đa điều hoà dưới 28 2.4. Ứng dụng vào hàm. MẠNH HÙNG ĐỘ ĐO JENSEN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS – TSKH NGUYỄN VĂN KHUÊ . MỞ ĐẦU Độ đo Jensen là độ đo phản ánh một số tính chất cơ bản của hàm điều hoà dưới, đặc biệt của hàm đa điều hoà dưới. Vì vậy, độ đo này đóng vai trò quan trọng trong giải tích phức và lý thuyết