Các định nghĩa

1. Hàm điều hoà dưới

2.1. Các định nghĩa

2.1.1 Định nghĩa

Cho  là tập con mở của Rd, và cho x. Độ đo Jensen tại x trên 

là một độ đo xác suất Borel , có giá là một tập con compact của , thoả mãn với mọi hàm điều hoà dưới u trên  bất đẳng thức

u x( )ud.

Nếu B là hình cầu đóng trong  với tâm x thì độ đo Lebesgue chuẩn hoá trên B là độ đo Jensen tại x. Cũng như như vậy đối với độ đo mặt chuẩn hoá trên B. Điều này xuất phát từ bất đẳng thức dưới trung bình đối với các hàm điều hoà dưới.

Một ví dụ đơn giản khác là   x, độ đo Dirac tại x, cũng là độ đo Jensen tại x. Trong đó

0 ( ) 1 x x A A x A      nÕu nÕu 2.1.2 Định nghĩa

Cho một hàm :   ¥ ¥,  bao điều hoà dưới của  là

 

( ) : sup ( ) : ( ),

S x  u x uSH  u (x).

Ở đây S H ( ) là họ của các hàm điều hoà dưới trên .

2.1.3 Định nghĩa

 

( ) : inf : x( )

J x    d J  . (x)

( )

x

J  là họ tất cả các độ đo Jensen tại x trên .

Chú ý rằng nếu  là đo được tuyệt đối tức là đo được đối với mọi độ đo Borel thì  d tồn tại và ta có kết quả tiếp theo là hiển nhiên.

2.1.4 Mệnh đề

( ) ( ) ( )

S x J x x . Chúng minh

Cố định x. Cho uS H ( ) với u và cho Jx( ) bất kì ta có

( )

u x ud d .

Lấy supremum theo tất cả u và infimum theo mọi  ta có

   

sup u x u( ) : S H ( ) inf   d : Jx( )

hay

S( )x J( )x .