1. Hàm điều hoà dưới
2.8. Hàm điều hoà dưới không nửa liên tục trên
Chúng ta xem lại định nghĩa hàm điều hoà dưới. Cho là tập mở của
d
R và giả sử với d 2, cho u: R là một hàm, về bản chất u là hàm điều hoà dưới nếu và chỉ nếu u 0. Nếu uC2( ) thì điều này hiển nhiên đúng. Tuy nhiên 2
C có quá nhiều hạn chế cho sự áp dụng. Chẳng hạn, trong phương pháp Perron về giải quyết bài toán Dirichlet, nó rất quan trọng là max( , )u v sẽ là hàm điều hoà dưới với u v, bất kì. Và điều này sẽ sai nếu chúng ta giới hạn hàm số trên C2. Một ví dụ khác, sự áp dụng giới hạn của một dãy các hàm điều hoà dưới giảm dần sẽ là hàm điều hoà dưới, và điều này cũng sẽ sai nếu ta xét hàm trên C2. Vì vậy sẽ bắt đầu với hàm số nửa liên tục trên.
Tính chất u 0 có thể hiểu theo nhiều cách, ta có thể hiểu tính chất này đó là với mỗi x, và mỗi hình cầu đóng B tâm x thoả mãn BÌ ,
1 ( ) ( ) B u x udm m B .
Trong đó m là độ đo Lebesgue trên Rd. Tuy nhiên, một ví dụ đơn giản chúng ta có thể lấy supremum của họ các hàm điều hoà dưới như bao điều hoà dưới trong định nghĩa 2.1.2 được không? Điều này ta (xem định lý 1, [13]).
2.8.1 Định lý
Cho u: ¥ ¥, là Borel và bị chặn trên địa phương và cho u là chính quy hoá nửa liên tục trên của u. Khi đó các điều kiện sau là tương đương
Với mỗi xX và mỗi hình cầu đóng B tâm x trên ta có 1 ( ) ( ) B u x udm m B
u là hàm điều hoà dưới trên và u u ngoài một tập độ đo Lebesgue không.
Ta nói rằng chính quy hoá, nửa liên tục trên của u được xác định bởi ( ) limsup ( )
y x u x u y
(x).
Hiển nhiên, u là hàm nửa liên tục trên nhỏ nhất mà u u với u bất kì. Ta có định lý sau
2.8.2 Định lý
Giả sử u: ¥ ¥, là Borel và bị chặn trên địa phương, và giả sử u là chính quy hoá nửa liên tục trên của u. Khi đó các điều kiện sau là tương đương
Với mỗi x và với mỗi độ đo Jensen tại x ta có
( )
u x ud
u là hàm điều hoà dưới trên và u u ngoài một tập dung lượng không.
Chứng minh
(Xem trong định lý 1.1, [3]).
2.8.3 Hệ quả
Cho (u)là họ của các hàm điều hoà dưới trên mà bị chặn trên đều địa phương. Đặt usup u . Khi đó u là hàm điều hoà dưới trên và
u u ngoài một tập dung lượng không. Chứng minh
Theo bổ đề 2.3.4, (xem [7]) của Choquet, ta có thể coi (u) là đếm được. Khi đó, u là Borel và bị chặn trên đều địa phương. Hơn nữa, với x và
( ) x J ta có ( ) sup ( ) sup u x u x u d ud .
Áp dụng định lý 2.8.2 ta có u là hàm điều hoà dưới trên và u u ngoài một tập dung lượng không.
2.8.4 Định lý
Giả sử d 3 hoặc d 2 và R2 là tập không cực. Cho
: ,
¥ ¥ là Borel và bị chặn trên địa phương. Khi đó
S( )x J( )x
(x). Chứng minh
Đặt u J. Có thể chứng minh rằng với mỗi x và Jx( ) thì
( )
u x ud. Theo định lý 2.8.2 thì u là hàm điều hoà dưới và u u ngoài một tập dung lượng không. (Chú ý u có thể không Borel, nhưng u vẫn “đo được đầy đủ” ). Theo định lý đảo của Cartan, tồn tại họ hàm điều hoà dưới
(u), sao cho usup u . Đặc biệt Su u. Vì u, dễ dàng suy ra S u
tức là
S J.
Điều ngược lại, theo mệnh đề 2.1.4 ta có S( )x J( )x với x . Vậy S( )x J( )x
Nhận xét: Nếu R2 là tập cực kết quả trên sẽ không đúng. Ví dụ, cho
2
R và lấy (0) 1, 0 trong trường hợp còn lại khi đó S 1, bởi vì theo định lý Liouville thì mọi hàm điều hoà dưới bị chặn trên trên R2 là
hàm hằng. Mặt khác, nếu x0 thì ( 0 ) 0 với mọi Jx(R2). Vì vậy ( ) 0
J x . Do đó S( )x J( )x với mọi x0.
2.8.5 Định lý
Giả sử là tập con giả lồi bị chặn của Cd. Nếu : ¥ ¥, là Borel và bị chặn trên địa phương khi đó
( ) ( )
PS x PJ x (xE)
Với E là tập đa cực. Hơn nữa, tồn tại sao cho E. Chứng minh
(Xem hệ quả 6.5, [3])
Ta có mở rộng định lý 2.5.2 như sau
2.8.6 Định lý
Cho là tập con mở của Rd, và cho : ¥ ¥, là Borel và bị chặn trên địa phương. Khi đó
J( )x inf d : Hx( ) È x (x)
Chứng minh
(Xem định lý 1.3, [4])
2.8.7 Định lý
Cho là tập mở của Rd, và cho u: ¥ ¥, là Borel và bị chặn trên địa phương. Các điều kiện sau là tương đương
Với mỗi miền DÌ Ì và mỗi hàm h liên tục trên D và là hàm điều hoà dưới trên D, nếu uh trên D thì uh trên D
u là hàm điều hoà dưới trên và u u ngoài một tập dung lượng không.
Chứng minh
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt.
[1]. Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2005), Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
Tiếng Anh.
[2]. S.Bu and W. Schachermayer, Approximation of Jensen measures by
image measures under holomorphic functions and applications, Trans. Amer. Math. Soc. 331 (1992), 585-608.
[3]. B. J. Cole and T. J. Ransford, Subharmonicity without upper
semicontinuity
J. Funct. Anal. 147 (1997), 420-442.
[4]. B. J. Cole and T. J. Ransford, Jensen measures and hamonic measures, J. Reine Angew. Math. (to appear).
[5]. S. Gardiner, Harmonic Approximation, Cambridge University Press,
Cambridge, UX, 1995.
[6]. B. N. Khabibullin, Sets of uniqueness in spaces of entire functions of a single variable Math. USSR Izvestiya 39 (1992), 1063-1084.
[7]. M. Klimek, Pluripotential theory, Oxford University Press, Oxford, 1991.
[8]. P. Koosis, Lecons sur le Théorème de Beurling et Malliavin, Les Publications CRM, Montréal, 1996.
[9]. P. Lelong and L.Gruman, Entire Functions of Several Complex Variables, Springer, Berlin, 1986.
[10]. E. Poletsky, Plurisubharmonic functions as solutions of variational problems, proc. Symp. Pure Math. 52 part 1 (1991), 163-171.
[11]. E.Poletsky, Holomorphic currents, Indiana Univ. Math. J. 42 (1993), 85- 144.
[12]. E.Poletsky, Disk envelopes of functions I, in Complex Analysis in Contemporary Mathematics, ed. E. M. Chirka, Fasis, Moscow, 1997.
[13]. E. Szpilrajn, Remarques sur les fonctions sousharmoniques, Ann. Of Math.
34 (1933). 588-594.
[14]. L. L. Helms, Introduction to potential theory NewYork 1975
[15]. T.Ranford, potential theory in the complex plane, Cambridge University
press 1995.
[16]. T.Ranford, Jensen measures, Universite’ Laval Quebec Canada G1K7P4
(Preprint 2002).
[17]. W.K. Hayman and P. B. Kennedy, Subharmonic functions, vol. 1,
Academic press, London, 1976.
[18]. L.Hormander, An Introduction to complex Analysis in Several