MỆNH ĐỀ ĐẢO CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE ThS. Nguyễn Đình Yên Khoa Toán Abstract. In this paper, we introduce the Lagrange inverse Theorem: Given a group G with degree of n and and a divisor p of n. The problem is that: With which conditions, there exists a subgroup X of G with degree of p. I. ĐẶT VẤN ĐỀ Định lí Lagrange khẳng định rằng: Nếu A là một nhóm con của nhóm hữu hạn G thì cấp của A chia hết cấp của G. Bài viết này xem xét tính đúng đắn của mệnh đề đảo của định lí Lagrange; Nghĩa là nếu G là một nhóm hữu hạn cấp n và m >1 là một ước của n, liệu rằng có một nhóm con A của G với cấp m hay không. Khi m là một ước số đặc biệt của n (m là lũy thừa cao nhất của một số nguyên tố trong phân tích tiêu chuẩn của n) thì định lí Sylow cho câu trả lời khẳng định rằng mệnh đề đảo của định lí Lagrange là đúng. Tuy vậy một vấn đề hết sức tự nhiên được đặt ra là: Trong trường hợp tổng quát mệnh đề đảo của định lí Lagrange còn đúng không? Nếu không, thì nhóm G cần có thêm tính chất đặc biệt gì để mệnh đề đảo đó đúng. II. MỆNH ĐỀ ĐẢO CỦA ĐỊNH LÍ LAGRANGE Trước hết ta nhắc lại một kết quả quan trọng, đó là định lí Sylow, mà phép chứng minh có thể xem trong [1]. Định lí Sylow: Nếu X là một nhóm hữu hạn cấp n >1, và m là lũy thừa cao nhất của số nguyên tố p trong phân tích tiêu chuẩn của n thì có một nhóm con A của X với cấp m. Sau đây là một ví dụ chứng tỏ rằng mệnh đề đảo của định lí Lagrange trong trường hợp tổng quát là không đúng, được thể hiện bằng hai mệnh đề sau: Mệnh đề 1: Mọi nhóm cấp 6 hoặc đẳng cấu với Ζ 6 hoặc đẳng cấu với S 3 . Chứng minh: Giả sử X là nhóm cấp 6, khi đó theo định lí Sylow X chứa một phần tử a cấp 2 và một phần tử b cấp 3. Vậy: +) Nếu ab = ba thì dễ dàng suy ra phần tử ab có cấp 6 và do đó X là nhóm xiclic sinh bởi ab vậy X ≅ Ζ 6 . + Nếu ab ≠ ba thì X = {e, a, a 2 , b, ab, ba}và bảng toán (bảng 1)trên X như sau: . e A a 2 b ab ba . f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 e e A a 2 b ab ba f 1 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 a a a 2 e ab ba b f 2 f 2 f 3 f 1 f 6 f 4 f 5 a 2 a 2 E a ba b ab f 3 f 3 f 1 f 2 f 5 f 6 f 4 b b Ba ab e a 2 a f 4 f 4 f 5 f 6 f 1 f 2 f 3 ab ab B ba a e a 2 f 5 f 5 f 6 f 4 f 3 f 1 f 2 ba ba Ab b a 2 a e f 6 f 6 f 4 f 5 f 2 f 3 f 1 Bảng 1 Bảng 2 So sánh với bảng toán (bảng 2) trên tập các phép thế của nhóm S 3 trong đó các f i xác định như sau: f 1 = (1) = (2) = (3); f 2 = (1 2 3); f 3 = (1 3 2); f 4 = (2 3); f 5 = (1 3); f 6 = (1 2). Ta có X ≅ S 3 cho bởi tương ứng sau: e α f 1 ; a α f 2 ; a 2 α f 3 ; b α f 4 ; ab α f 5 ; ba α f 6 . Vậy một nhóm cấp 6 hoặc là đẳng cấu với Ζ 6 hoặc đẳng cấu với S 3 . Mệnh đề 2: Nhóm thay phiên A 4 có cấp 12 nhưng không chứa nhóm con cấp 6. Chứng minh: Giả sử ngược lại A 4 chứa một nhóm con G cấp 6. Khi đó theo mệnh đề 1 hoặc là G 6 hoặc là G ≅ Ζ ≅ S 3 . Vì mọi phép thế thuộc A 4 đều không có cấp 6 nên G không đẳng cấu với 6 . Từ đó suy ra G Ζ ≅ S 3 . Mặt khác trong S 3 có đúng 3 phần tử cấp 2 là các chuyển trí f 4 = (2 3); f 5 = (1 3); f 6 = (1 2) và trong A 4 cũng có đúng 3 phần tử cấp 2 nhưng không phải chuyển trí là: t 1 = (1 2)(3 4); t 2 = (1 3)(2 4); t 3 = (1 4)(2 3). Điều này mâu thuẫn với G ≅ S 3. Vậy A 4 không chứa nhóm con cấp 6. Mệnh đề 2 đã chứng tỏ rằng trong trường hợp tổng quát, mệnh đề đảo của định lí Lagrange là không đúng. Mệnh đề 3: Giả sử p là số nguyên tố và X là nhóm Aben cấp p n , với n nguyên dương. Khi đó với mọi m thỏa mãn 0mn≤≤ luôn tồn tại nhóm con A của X có cấp p m . Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp theo m. (a) m = 0 thì ta chọn A = <e> nhóm đơn vị có cấp p 0 = 1. Mệnh đề đúng với m = 0. (b) m = 1 ; do p > 1 nên tồn tại phần tử a ≠ e thuộc X. theo định lí Lagrange cấp của a chia hết p n nên tồn tại k : 1 n sao cho cấp a = p k . k ≤ ≤ Nếu k = 1 thì nhóm con xiclic A = <a> có cấp p Nếu k > 1 thì k1 p b a − = có cấp p và do đó nhóm con A = <b> có cấp p. Mệnh đề đúng với m = 1. c) Giả sử mệnh đề đúng với m – 1. Nghĩa là X có nhóm con A cấp p m-1 suy ra X/A là nhóm Aben có cấp là p n-m+1 . Do đó theo (b) thì X/A có nhóm con B/A với cấp p. Từ đó suy ra B là nhóm con của X chứa A và m1 m BBAAp.p p − === . Vậy mệnh đề đúng với mọi m : 0mn ≤ ≤ . Mệnh đề 4: Giả sử A và B là các nhóm con của nhóm Aben X sao cho A ∩ B = {e}thì AB là nhóm con của X và AB ≅ A×B. Chứng minh: (a) { } AB ab a A, b B=∈∈ là nhóm con của X. Thật vậy, e ∈ AB; mặt khác nếu a 1 , a 2 ∈ A và b 1 , b 2 ∈ B thì (a 1 b 1 ) -1 (a 2 b 2 ) -1 = (a 1 -1 a 2 -1 )(b 1 -1 b 2 -1 ) ∈ AB. (b) ánh xạ f : AB → A×B ab α (a, b) là một đẳng cấu nhóm. Thật vậy: +) f là đồng cấu vì f((ab)(cd)) = f(ac. bd) = (ac, bd) = (a, b)(c, d) = f(ab)f(cd). +) f là đơn ánh vì kerf = { } { } { } ab AB f (ab) (e, e) ab AB (a, b) (e, e) e∈==∈== . +) f là toàn ánh: hiển nhiên. Vậy AB là nhóm con của X và AB ≅ A×B. Bằng quy nạp ta dễ dàng suy ra các hệ quả sau: Hệ quả1: Nếu A 1 , A 2 ,…,A n là các nhóm con của nhóm Aben X sao cho A i ∩A j = {e}; với i ≠ j thì A 1 A 2 …A n là nhóm con của X và A 1 A 2 …A n ≅ A 1 ×A 2 ×…×A n . Hệ quả 2: Với giả thiết như ở hệ quả 1 ta có: 12 n 1 2 n A A A A A A .= Từ các kết quả trên ta sẽ chứng tỏ rằng mệnh đề đảo của định lí Lagrange là đúng khi X là một nhóm Aben hữu hạn bất kì. Mệnh đề 5: Nếu X là một nhóm Aben hữu hạn cấp n, thì với mỗi ước nguyên dương m của n tồn tại một nhóm con A của X với cấp m. Chứng mịnh: Giả sử là phân tích tiêu chuẩn của m, và là lũy thừa của p 12 k 12 k m p .p p αα α = i β i trong phân tích tiêu chuẩn của n; i = 1, 2, …, k. Vì m chia hết n nên 0 < . Theo định lí Sylow tồn tại nhóm con B i α≤β i i của X với cấp 1 i p β với mọi i = 1, 2,…, k. Theo mệnh đề 4 thì tồn tại nhóm con A i của B i và do đó của X với cấp i i p α ; i = 1, 2, …, k. Vì p 1 , p 2 ,…, p k là các số nguyên tố phân biệt nên A i ∩ A j = {e} với mọi i ≠ j. Theo hệ quả 1 và 2 ta có : A 1 A 2 …A k là nhóm con của X có cấp m = 12 k 12 k pp p α αα . 3. Kết luận: Mệnh đề đảo của định lí Lagrange trong trường hợp tổng quát là không đúng. Nghĩa là khi G là một nhóm hữu hạn cấp n >1 và m là một ước tùy ý của n ta không biết rằng có nhóm con A của G với cấp m hay không. Tuy nhiên mệnh đề đảo đó đúng khi nhóm hữu hạn cho trước là Aben hoặc là khi m là một ước đặc biệt của n, là lũy thừa cao nhất của một số nguyên tố trong phân tích tiêu chuẩn của n. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXBGD. [2]. Đặng Quang Việt, Nguyễn Đình Yên (2004), Bài tập đại số đại cương, NXBGD. . MỆNH ĐỀ ĐẢO CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE ThS. Nguyễn Đình Yên Khoa Toán Abstract. In this paper, we introduce the Lagrange inverse Theorem: Given a group G with degree of n and and a divisor. problem is that: With which conditions, there exists a subgroup X of G with degree of p. I. ĐẶT VẤN ĐỀ Định lí Lagrange khẳng định rằng: Nếu A là một nhóm con của nhóm hữu hạn G thì cấp của. định rằng mệnh đề đảo của định lí Lagrange là đúng. Tuy vậy một vấn đề hết sức tự nhiên được đặt ra là: Trong trường hợp tổng quát mệnh đề đảo của định lí Lagrange còn đúng không? Nếu không,