MỆNH ĐỀ ĐẢO CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE

ĐẶT VẤN ĐỀ Định lí Lagrange khẳng định rằng: Nếu A là một nhóm con của nhóm hữu hạn G thì cấp của A chia hết cấp của G.. Bài viết này xem xét tính đúng đắn của mệnh đề đảo của định lí L

MỆNH ĐỀ ĐẢO CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE

ThS Nguyễn Đình Yên Khoa Toán Abstract In this paper, we introduce the Lagrange inverse Theorem: Given a group G with

degree of n and and a divisor p of n The problem is that: With which conditions, there exists

a subgroup X of G with degree of p

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Định lí Lagrange khẳng định rằng: Nếu A là một nhóm con của nhóm hữu hạn G thì

cấp của A chia hết cấp của G Bài viết này xem xét tính đúng đắn của mệnh đề đảo của định lí

Lagrange; Nghĩa là nếu G là một nhóm hữu hạn cấp n và m >1 là một ước của n, liệu rằng có

một nhóm con A của G với cấp m hay không Khi m là một ước số đặc biệt của n (m là lũy

thừa cao nhất của một số nguyên tố trong phân tích tiêu chuẩn của n) thì định lí Sylow cho

câu trả lời khẳng định rằng mệnh đề đảo của định lí Lagrange là đúng Tuy vậy một vấn đề

hết sức tự nhiên được đặt ra là: Trong trường hợp tổng quát mệnh đề đảo của định lí Lagrange

còn đúng không? Nếu không, thì nhóm G cần có thêm tính chất đặc biệt gì để mệnh đề đảo đó

đúng

II MỆNH ĐỀ ĐẢO CỦA ĐỊNH LÍ LAGRANGE

Trước hết ta nhắc lại một kết quả quan trọng, đó là định lí Sylow, mà phép chứng

minh có thể xem trong [1]

Định lí Sylow: Nếu X là một nhóm hữu hạn cấp n >1, và m là lũy thừa cao nhất của số

nguyên tố p trong phân tích tiêu chuẩn của n thì có một nhóm con A của X với cấp m

Sau đây là một ví dụ chứng tỏ rằng mệnh đề đảo của định lí Lagrange trong trường

hợp tổng quát là không đúng, được thể hiện bằng hai mệnh đề sau:

Mệnh đề 1: Mọi nhóm cấp 6 hoặc đẳng cấu với Ζ6 hoặc đẳng cấu với S3

Chứng minh: Giả sử X là nhóm cấp 6, khi đó theo định lí Sylow X chứa một phần tử a cấp 2

và một phần tử b cấp 3 Vậy:

+) Nếu ab = ba thì dễ dàng suy ra phần tử ab có cấp 6 và do đó X là nhóm xiclic sinh bởi ab

vậy X ≅ Ζ6

+ Nếu ab ≠ ba thì X = {e, a, a2, b, ab, ba}và bảng toán (bảng 1)trên X như sau:

e e A a2 b ab ba f1 f1 f2 f3 f4 f5 f6

a a a2 e ab ba b f2 f2 f3 f1 f6 f4 f5

a2 a2 E a ba b ab f3 f3 f1 f2 f5 f6 f4

b b Ba ab e a2 a f4 f4 f5 f6 f1 f2 f3

ab ab B ba a e a2 f5 f5 f6 f4 f3 f1 f2

ba ba Ab b a2 a e f6 f6 f4 f5 f2 f3 f1

So sánh với bảng toán (bảng 2) trên tập các phép thế của nhóm S3 trong đó các fi xác định như sau: f1 = (1) = (2) = (3); f2 = (1 2 3); f3 = (1 3 2); f4 = (2 3); f5 = (1 3); f6 = (1 2)

Ta có X ≅ S3 cho bởi tương ứng sau:

e α f1 ; a α f2 ; a2 α f3 ; b α f4 ; ab α f5 ; ba α f6 Vậy một nhóm cấp 6 hoặc là đẳng cấu với Ζ6 hoặc đẳng cấu với S3

Mệnh đề 2: Nhóm thay phiên A4 có cấp 12 nhưng không chứa nhóm con cấp 6

Chứng minh: Giả sử ngược lại A4 chứa một nhóm con G cấp 6 Khi đó theo mệnh đề 1 hoặc

là G ≅ Ζ6 hoặc là G ≅ S3 Vì mọi phép thế thuộc A4 đều không có cấp 6 nên G không đẳng cấu với Ζ6 Từ đó suy ra G ≅ S3 Mặt khác trong S3 có đúng 3 phần tử cấp 2 là các chuyển trí

f4 = (2 3); f5 = (1 3); f6 = (1 2) và trong A4 cũng có đúng 3 phần tử cấp 2 nhưng không phải chuyển trí là: t1 = (1 2)(3 4); t2 = (1 3)(2 4); t3 = (1 4)(2 3) Điều này mâu thuẫn với G ≅ S3

Vậy A4 không chứa nhóm con cấp 6

Mệnh đề 2 đã chứng tỏ rằng trong trường hợp tổng quát, mệnh đề đảo của định lí Lagrange là không đúng

Mệnh đề 3: Giả sử p là số nguyên tố và X là nhóm Aben cấp pn, với n nguyên dương Khi đó với mọi m thỏa mãn 0 m n≤ ≤ luôn tồn tại nhóm con A của X có cấp pm

Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp theo m

(a) m = 0 thì ta chọn A = <e> nhóm đơn vị có cấp p0 = 1 Mệnh đề đúng với m = 0

(b) m = 1 ; do p > 1 nên tồn tại phần tử a ≠ e thuộc X theo định lí Lagrange cấp của a chia hết pn nên tồn tại k : 1 ≤ ≤ k n sao cho cấp a = pk

Nếu k = 1 thì nhóm con xiclic A = <a> có cấp p

Nếu k > 1 thì b a= pk 1− có cấp p và do đó nhóm con A = <b> có cấp p

Mệnh đề đúng với m = 1

c) Giả sử mệnh đề đúng với m – 1 Nghĩa là X có nhóm con A cấp pm-1 suy ra X/A là nhóm Aben có cấp là pn-m+1 Do đó theo (b) thì X/A có nhóm con B/A với cấp p Từ đó suy ra B là nhóm con của X chứa A và B = B A A =p.pm 1− =pm

Vậy mệnh đề đúng với mọi m : 0 m n≤ ≤

Mệnh đề 4: Giả sử A và B là các nhóm con của nhóm Aben X sao cho A ∩ B = {e}thì AB là

nhóm con của X và AB ≅ A×B

Chứng minh:

(a) AB={ab a A, b B∈ ∈ }là nhóm con của X Thật vậy, e ∈ AB; mặt khác nếu a1, a2 ∈ A và

b1, b2 ∈ B thì (a1b1)-1(a2b2)-1 = (a1-1a2-1)(b1-1b2-1) ∈ AB

(b) ánh xạ f : AB → A×B

ab α (a, b) là một đẳng cấu nhóm Thật vậy:

+) f là đồng cấu vì f((ab)(cd)) = f(ac bd) = (ac, bd) = (a, b)(c, d) = f(ab)f(cd)

+) f là đơn ánh vì kerf = {ab AB f (ab) (e, e)∈ = } {= ab AB (a, b) (e,e)∈ = }={ }e

+) f là toàn ánh: hiển nhiên

Vậy AB là nhóm con của X và AB ≅ A×B

Bằng quy nạp ta dễ dàng suy ra các hệ quả sau:

Hệ quả1: Nếu A1, A2,…,An là các nhóm con của nhóm Aben X sao cho Ai∩Aj = {e};

với i ≠ j thì A1A2…An là nhóm con của X và A1A2…An ≅ A1×A2×…×An

Hệ quả 2: Với giả thiết như ở hệ quả 1 ta có: A A A1 2 n = A A A 1 2 n

Từ các kết quả trên ta sẽ chứng tỏ rằng mệnh đề đảo của định lí Lagrange là đúng khi X là một nhóm Aben hữu hạn bất kì

Mệnh đề 5: Nếu X là một nhóm Aben hữu hạn cấp n, thì với mỗi ước nguyên dương m của n

tồn tại một nhóm con A của X với cấp m

Chứng mịnh: Giả sử 1 2 klà phân tích tiêu chuẩn của m, và là lũy thừa của p

trong phân tích tiêu chuẩn của n; i = 1, 2, …, k Vì m chia hết n nên 0 < Theo định lí

α ≤ βi

i của X với cấp 1

i

pβ với mọi i = 1, 2,…, k Theo mệnh đề 4 thì tồn tại nhóm con Ai của Bi và do đó của X với cấp i

i

pα ; i = 1, 2, …, k Vì p1, p2,…, pk là các số nguyên tố phân biệt nên Ai ∩ Aj = {e} với mọi i ≠ j Theo hệ quả 1 và 2 ta có :

A1A2…Ak là nhóm con của X có cấp m = 1 2 k

p p pα α α

3 Kết luận: Mệnh đề đảo của định lí Lagrange trong trường hợp tổng quát là không đúng

Nghĩa là khi G là một nhóm hữu hạn cấp n >1 và m là một ước tùy ý của n ta không biết rằng

có nhóm con A của G với cấp m hay không Tuy nhiên mệnh đề đảo đó đúng khi nhóm hữu hạn cho trước là Aben hoặc là khi m là một ước đặc biệt của n, là lũy thừa cao nhất của một

số nguyên tố trong phân tích tiêu chuẩn của n

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXBGD

[2] Đặng Quang Việt, Nguyễn Đình Yên (2004), Bài tập đại số đại cương, NXBGD