đề cương nghiên cứu về hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose Einstein. Đề cương trình bày đầy đủ nội dung, ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu. Giúp thầy cô và các bạn nhanh chong nắm bắt được vấn đề. Đặc biệt đây là một nội dung mới.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ HUẾ HÌNH THỨC LUẬN BOGOLIUBOV TRONG NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN VĂN THỤ HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Thụ, người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng để tôi hoàn thành bài khóa luận này. Thầy cũng là người giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy. Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiện khóa luận, tôi nhận được sự dạy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉ bảo của các thầy cô. Qua đây, cho phép tôi bày tỏ sự biết ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ lý thuyết, khoa vật lý, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện khóa luận này. Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên Trần Thị Huế LỜI CAM ĐOAN Tên tôi là: Trần Thị Huế, sinh viên khóa 2010 – 2014 khoa Vật lý – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tôi xin cam đoan đề tài: “Hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Einstein”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi. Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác. Nếu có gì không trung thực trong khóa luận tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học. Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên Trần Thị Huế MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trên thế giới, vào năm 1995 đã xảy ra một đột biến mới trong công nghệ. Đó là việc tạo ra ngưng tụ Bose - Einstein (BEC) - một hiện tượng lượng tử kì lạ, được quan sát thấy ở pha loãng khí nguyên tử. Đầu thế kỉ 20 (1920) khi từ công thức lý thuyết trong ngưng tụ Bose -Einstein dự đoán sẽ xuất hiện trạng thái BEC và mới chỉ nêu được tính chất cơ bản của nó. Đó là một khối các hạt đồng nhất và có spin nguyên, chúng đều ở trong cùng trạng thái cơ bản như nhau. Dừng lại ở đó cho tới khi chế tạo được BEC trong thực tế, một loạt tính chất quan trọng chưa từng biết đến trước đây đã được phát hiện. Đây là trạng thái của vật chất hoàn toàn mới, không giống với trạng thái vật chất nào mà con người được biết. BEC được chế tạo từ các nguyên tử kiềm và từ các nguyên tử Hidro bằng cách làm lạnh và sau đó giam khối khí loãng nguyên tử trong một bẫy từ mạnh. Đây là một tập thể các nguyên tử đồng nhất, chúng có một trạng thái lượng tử, mô tả bằng cùng một hàm sóng, chúng có tính chất đồng bộ như các photon của một chùm laze. Chính vì thế Gross - Pitaevskii chủ yếu nghiên cứu trạng thái dừng, dựa trên giả thuyết tất cả các nguyên tử nằm ở trạng thái cơ bản. Thực tế vẫn có một số lượng các nguyên tử không nằm ở mức cơ bản mà nằm ở mức kích thích. Nên để tính được ảnh hưởng của các nguyên tử ở mức kích thích người ta phải tính tới các dao động bề mặt. Và Bogoliubov đã nghiên cứu các dao động bề mặt của ngưng tụ Bose - Einstein trên cơ sở phương pháp lượng tử hóa lần 2. Hướng đi này đã chế tạo ra BEC từ các nguyên tử Helli ở trạng thái kích thích và hứa hẹn mang lại nhiều triển vọng ứng dụng trong tương lai. Xuất phát từ việc tìm hiểu triển vọng ứng dụng BEC tôi lựa chọn đề tài “Hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Einstein” 2. Mục đích của đề tài Nghiên cứu hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Einstein nhằm giới thiệu hình thức nghiên cứu của Bogoliubov trong ngưng tụ Bose -Einstein và những ứng dụng quan trọng của BEC. 3. Đối tượng nghiên cứu Các nguyên tử không nằm ở mức cơ bản mà nằm ở mức kích thích, xét các dao động bề mặt của ngưng tụ Bose - Einstein trên cơ sở phương pháp lượng tử hóa lần 2. 4. Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu các nguyên tử ở mức kích thích và xét các dao động bề mặt của ngưng tụ Bose - Einstein 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và các phép tính giải tích toán học khác - Đọc và tra cứu tài liệu 6. Bố cục của khóa luận - Chương 1: Lí thuyết chung về ngưng tụ Bose - Einstein - Chương 2: Hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Eienstein NỘI DUNG CHƯƠNG 1: LÍ THUYẾT CHUNG VỀ NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN Trong chương này sẽ giới thiệu về ngưng tụ Bose - Einstein, điều kiện để xuất hiện ngưng tụ Bose - Einstein, làm lạnh nguyên tử để có được ngưng tụ Bose- Einstein đối với khí boson lí tưởng và quá trình thực nghiệm hình thành một ngưng tụ Bose - Einstein. 1.1 Hệ hạt đồng nhất Ngưng tụ Bose - Einstein là một hiện tượng lượng tử kì lạ đã được quan sát thấy ở pha loãng khí nguyên tử lần đầu tiên vào năm 1995 và bây giờ là đề tài chính trong lí thuyết và thực nghiệm. Einstein đã tổng quát hóa lí thuyết của Bose thành khí lí tưởng của hệ hạt đồng nhất nguyên tử hay phân tử, mà số lượng hạt được bảo toàn. Cùng thời gian đó, dự đoán với nhiệt độ đủ thấp , các hạt sẽ nằm trong cùng trạng thái lượng tử thấp nhất của hệ. Hiện tượng đó gọi là ngưng tụ Bose - Einstein (BEC), xảy ra đối với các hạt bốn có tổng số spin nguyên. Ngưng tụ Bose - Einstein và quá trình ngưng tụ đó được dự đoán có nhiều thuộc tính kì lạ và trong nhiều thí nghiệm đã cố gắng sản xuất ngưng tụ Bose - Einstein ở trong phòng thí nghiệm. Cuối cùng vào năm 1995, nhóm JILA ở một phòng thí nghiệm đã thu được bằng chứng thuyết phục cho ngưng tụ Bose - Einstein trong khí loãng nguyên tử. Ở MIT đã xác minh được tính năng hấp dẫn mà ngưng tụ Bose - Einstein nguyên tử giống như laser, hay lúc này sóng nguyên tử có tính kết hợp. Trong nhiều năm thí nghiệm đã thành công trong việc quan sát sự kết hợp trực tiếp và đã giải thích bước đầu “nguyên tử laser” tạo ra một chùm nguyên tử tử kết hợp, tương tự photon phát ra bởi laser quang học. Các hành vi động lực học của một chất khí ở nhiệt độ phòng không bị ảnh hưởng, bởi thực tế một nguyên tử không thể phân biệt với nguyên tử khác, phù hợp với nguyên lí bất định Heisenberg, vị trí nguyên tử được đánh dấu bởi bước sóng De Broglie 2 2 2 dB B k mT π λ = ÷ h , k B là hằng số Boltzmann, m là khối lượng nguyên tử, T là nhiệt độ của khí. Ở nhiệt độ phòng, bước sóng DeBroglie nhỏ hơn rất nhiều lần so với khoảng cách trung bình giữa các nguyên tử. Sóng vật chất của các nguyên tử riêng lẻ là không tương quan với nhau hoặc là bị rối vào nhau và khí có thể được mô tả bởi thống kê Boltzmann. Vì khi khí được làm lạnh, sự nhòe tăng lên và có nhiều hơn một nguyên tử ở mỗi hình lập phương kích thước dB λ . Các hàm sóng của nguyên tử liền kề sau đó chồng chất , các nguyên tử mất đi sự giống nhau và hành vi của khí được chi phối bởi thống kê lượng tử. Thống kê Bose - Einstein tăng đột ngột tạo cơ hội tìm nhiều hơn một nguyên tử trong cùng trạng thái, và chúng ta có thể nghĩ sóng vật chất trong khí boson như “dao động điều hòa”. Kết quả là ngưng tụ Bose - Einstein là sự chiếm đóng vĩ mô ở trạng thái cơ bản của khí. Quá trình ngưng tụ không có tương tác làmột mô hình quan trọng của thống kê cơ học lượng tử. Sự phân bố mật độ ngưng tụ được miêu tả bởi hàm sóng đơn vi mô với biên độ và pha được xác định rõ, như một lĩnh vực cổ điển. 1.2 Làm lạnh nguyên tử Ngưng tụ Bose - Einstein như một hiện tượng quan trọng trong nhiều lĩnh vực vật lí, nhưng cho đến gần đây chỉ có bằng chứng cho ngưng tụ với Hêli siêu lỏng. Trường hợp của Hêli siêu lỏng, tương tác mạnh tồn tại trong chất lỏng làm thay đổi bản chất của quá trình chuyển đổi, với mục đích là đạt được BEC trong khí nguyên tử loãng, khó khăn là làm mát khí tới nhiệt độ xung quanh hoặc dưới 1µK, đồng thời ngăn chặn nguyên tử ngưng tụ trở thành chất rắn hoặc chất lỏng. Ngưng tụ Bose bắt đầu với Hydro, trong thí nghiệm nguyên tử Hydro đầu tiên được làm lạnh trong tủ lạnh thành pha loãng, sau đó bị giam giữ bởi một từ trường và tiếp tục làm mát bằng bay hơi, cách làm này đã tiến rất gần tới quan sát BEC, nhưng bị giới hạn bởi sự tương tác tái tổ hợp của từng nguyên tử với các phân tử cùng dạng và bị giới hạn bởi tính hiệu quả của việc phát hiện ngưng tụ. Những kĩ thuật làm mát bằng laser, làm mát phân cực gradient và bẫy từ tính quang học đã được phát hiện để làm lạnh và bẫy nguyên tử. Những kĩ thuật này đã làm thay đổi sâu sắc bản chất làm lạnh. Nguyên tử ở nhiệt độ dưới mK hiện nay thường được sử dụng trong một loạt các thí nghiệm, nguyên tử kiềm rất thích hợp với các phương pháp dựa trên laser. Các con đường thành công để có ngưng tụ Bose - Einstein là sự kết hợp hài hòa của sự phát triển kĩ thuật làm lạnh cho Hydro và kiềm, một kim loại kiềm bốc hơi lần đầu tiên làm lạnh và sau đó làm lạnh bằng bay hơi, làm mát bằng bay hơi nguyên tử, năng lượng cao thoát ra khỏi mẫu nguyên tử vì vậy năng lượng trung bình của nguyên tử còn lại giảm. Sự va chạm đàn hồi làm phân bố năng lượng giữa các nguyên tử thay đổi, phân bố vận tốc của các nguyên tử này tuân theo hình thức Maxwell - Boltzmann nhưng ở nhiệt độ thấp hơn, các mẫu nguyên tử được làm lạnh bởi nhiều bậc cường độ và số lượng các nguyên tử bị giam giữ giảm. Với kim loại kiềm, khi làm mát thì làm thế nào mật độ nguyên tử trong khi làm mát không thay đổi hoặc thay đổi không đáng kể, phương pháp quang học làm việc tốt nhất ở mức độ thấp, nơi mà ánh sáng laser không hấp thụ hoàn toàn mẫu nguyên tử. Mặt khác đòi hỏi phải có mật độ nguyên tử cao để đảm bảo làm mát nhanh chóng, yêu cầu tỉ lệ va chạm đàn hồi cao, điều này phải đạt được trong một buồng chân không kéo dài tuổi thọ của các khí bị giam giữ. Cho bay hơi và làm mát thì nguyên tử mất đi phải được cách li nhiệt từ môi trường xung quanh, điều này phải được thực hiện với các lĩnh vực điện, vì ở nhiệt độ cực lạnh nguyên tử dính ở tất cả các bề mặt, phương pháp tốt nhất cho chất kiềm là giam bằng từ trường. Sau khi nguyên tử bị giam giữ và làm lạnh bằng laser, tất cả ánh sáng được tắt và xây dựng xung quanh nguyên tử một điện thế. Điều này hạn chế các nguyên tử chỉ ở trong một khu vực nhỏ của không gian. Nguyên tử chỉ có thể làm mát bằng bay hơi nếu thời gian cần thiết là ngắn hơn nhiều so với thời gian sống của một nguyên tử trong bẫy, đòi hỏi một cái bẫy giam kín chứa mật độ cao. Các thí nghiệm lần đầu tiên quan sát BEC là sử dụng bẫy cực từ tuyến tính. 1.3 Ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí boson lí tưởng Theo công thức của thống kê Bose - Einstein, số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ ε đến d ε ε + là bằng ( ) ( ) exp 1 dN dn ε ε ε µ θ = − − , (1.1) trong đó ( )dN ε là số các mức năng lượng trong khoảng từ ε đến d ε ε + . Ta đi tìm ( )dN ε . Theo quan điểm lượng tử, các hạt boson chứa trong thể tích Vcó thể xem như các hạt sóng dừng De Broglie. Vì vậy có thể xác định ( )dN ε bằng cách áp dụng công thức 2 2 ( ) 2 N k V dN k dk dk k π ∂ = = ∂ , khi đó số các sóng dừng có chiều dài (mô đun) của vecto k r và k đến k dk+ 2 2 ( ) 2 k dk dN k V π = . (1.2) Theo hệ thức De Broglie, ta có biểu thức liên hệ giữa xung lượng p r và vecto sóng k r [...]... phần tỉ kenvil cách 0K Như thế là ta tạo ra được ngưng tụ Bose - Einstein với khối khí đó CHƯƠNG 2: HÌNH THỨC LUẬN BOGOLIUBOV TRONG NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN Trong chương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích của khí khi bị bẫy và ngưng tụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không Các hạt boson tuân theo thống kê Bose - Einstein Đối với mô hình khí lí tưởng (không có tương tác giữa các... chuyển xuống mức “năng lượng không” và hai phần của khí boson phân bố khác nhau theo năng lượng được gọi là sự ngưng tụ Bose Ở nhiệt độ không tuyệt đối (T = 0) tất cả các hạt của khí boson sẽ nằm ở mức không 1.4 Quá trình thực nghiệm hình thành một ngưng tụ Bose - Einstein Quá trình ngưng tụ Bose - Einstein là quá trình chuyển pha: từ một hệ không có dao động nhiệt (chỉ có dao động lượng tử) ở nhiệt độ... chính là ngưng tụ Bose - Einstein Trong trường hợp một hệ khí lí tưởng ba chiều tồn tại nhiệt độ chuyển pha mà hệ khí sẽ ngưng tụ ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ này Đối với hệ khí boson có tương tác (mô hình khí thực), theo lí thuyết có tồn tại nhiệt độ chuyển pha mà khí boson có thể ngưng tụ ngay trong các hệ hai chiều (Bogoliubov Pitaevskii) 15 2.1 Khí boson đồng nhất 2.1.1 Phép biến đổi Bogoliubov. .. (2.22) Trong quá trình dẫn ra biểu thức này, chúng tôi đã sử dụng các hệ thức giao hoán của các toán tử boson Vì vậy, các số hạng toán tử nhận giá trị trung bình bằng không ở trạng thái cơ bản Về mặt ý nghĩa vật lý của biểu 20 thức này ta có thể nói rằng số hạng đầu tiên chính là số nguyên tử trong trạng thái ngưng tụ Số hạng thứ 2 biểu diễn sự thiếu hụt của ngưng tụ do các tương tác khi không có một... toàn bộ số hạt của hệ đều nằm ở 14 mức có năng lượng bằng 0.Quá trình này là quá trình chuyển pha từ pha chuyển động nhiệt về pha không có chuyển động nhiệt Đó chính là quá trình ngưng tụ Bose - Einstein Việc tạo ra ngưng tụ đó được tiến hành cụ thể như sau: Người ta giảm nhiệt độ bằng cách làm lạnh Sử dụng cách làm lạnh cho bay hơi các nguyên tử còn nóng, sau đó cho khối khí loãng nguyên tử này giam... việc loại bỏ một hạt từ ngưng tụ và việc loại bỏ một hạt với xung lượng -p đi bằng cách cho thêm một hạt để 27 ngưng tụ Thực tế là tổng số hạt vẫn không thay đổi Đặc trưng vật lý của độ dài sóng kích thích có thể hiểu được bằng cách sử dụng điều kiện up≈vp ˆ+ dp Vì vậy, đối với N0 lớn, ∑ p′ ˆp ˆ ˆ+ ˆ a + a0 + a0 a− p là tỷ lệ với , đó chính là đóng góp của ˆp ˆ a + + p′ a p′ ngưng tụ vào tạo ra sự thăng... p ( p≠ 2 p dp 2 3 p (2.25) ξ ξ3 là mật độ các hạt không ngưng tụ trong không gian , với là độ dài tổng hợp Sự suy giảm này có thể thu được bằng cách sử dụng kết quả U0 = (2.18) với các 4π h2 a m và tìm thấy 1/2 nex 8 = ( na3 ) n 3 π (2.26) 22 Trong việc tìm ra kết quả này, chúng tôi đã giải thích sự suy giảm của ngưng tụ là nhỏ và biểu thức (2.25) chỉ được tính đến khi khoảng cách giữa các hạt... bị triệt tiêu, trị riêng bị triệt tiêu báo hiệu một sự bất ổn định của ngưng tụ, giống chuyển động của các chất ngưng tụ trong mạng tinh thể quang học Với các mức có tần số thực, chúng ta sẽ chọn điều kiện chuẩn hóa 31 δ ij , N i > 0 dx(uiu * − vi v* ) = j j ∫ −δ ij , N i < 0 (2.46) ε j = −ε i* Các nghiệm của phương trình Bogoliubov có trị riêng thực là u j = vi* , v j = ui* và liên hợp với các... thế, hệ sẽ được biểu hiện như một tập hợp các boson không tương tác ˆ σψ với năng lượng tuân theo phổ Bogoliubov Trong gần đúng bậc 3, bậc 4 của ˆ σψ + và có trong Hamilton, các kích thích được hạ xuống và thay đổi các mức năng lượng có liên quan đến phổ Bogoliubov (2.17) 2.1.3 Sự suy giảm của ngưng tụ Số hạt được cho bởi phương trình ˆ N = N0 + ˆ N = N0 + ∑ p ( p ≠ 0) v2 + p p ( p ≠ 0) ˆp ˆ a+a p ... ˆ ˆ ˆ ˆ K 0 ∫ 2m 28 { } 2 U 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ + V (r ) + 2U 0 ψ (r ) − µ δψ + (r )δψ (r ) + 0 ψ (r ) 2 δψ + (r ) + ψ * ( r ) 2 [ δψ (r ) ] ÷ 2 (2.35) ˆ K Sử dụng toán tử để mô tả ngưng tụ Bose - Einstein Sử dụng kí hiệu ma trận và bỏ qua c - số, chúng ta có thể viết ˆ 1 ˆ ˆ K = Ψ + ΜΨ , 2 (2.36) trong đó ˆ δψ ˆ Ψ = +÷ ˆ δψ , (2.37) và − ( h2 2m ) ∇ 2 + V + 2U 0 ψ 2 − µ M = . 2. Tôi xin cam đoan đề tài: “Hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Einstein”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi. Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực,. hiểu triển vọng ứng dụng BEC tôi lựa chọn đề tài “Hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Einstein” 2. Mục đích của đề tài Nghiên cứu hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Einstein nhằm. HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ HUẾ HÌNH THỨC LUẬN BOGOLIUBOV TRONG NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TS.