Giao trình về Số Ngẫu Nhiên

1 Số ngẫu nhiên Bài toán thấm (percolation) • Giả sử ta có một cái hộp trong đó chứa các quả bóng và một nguồn điện. • Nếu những quả bóng này bằng thuỷ tinh hoặc bằng nhựa thì khi ta nối hai thành đối diện của hộp với nguồn ta không thấy có dòng qua. Bài toán thấm (percolation) • Bây giờ, ta thay những quả bóng nhựa này bằng những quả bóng nhỏ bằng thép và đặt ngẫu nhiên vào bình. Bây giờ ta đặt nguồn điện vào hai thành ta thấy hiện tượng sau: - Đầu tiên, với số lượng nhỏ các quả bóng, không có dòng nhưng khi số lượng quả bóng tăng lên, xuất hiện dòng Đây là bài toán thấm 3 chiều (3D) • Trong một ví dụ khác: khi nướng bánh, ta đặt ngẫu nhiên các cái bánh trên khay. • Giả thiết rằng, các cái bánh sẽ nở ra trong quá trình nướng. Nếu hai cái bánh chạm nhau, nó sẽ tạo thành một cái bánh to hơn (h. v.) • Ta thấy rằng, với một số lượng bánh đủ lớn thì chúng sẽ kết dính lại trên khay từ thành này sang thành kia của khay. Ta nói có một quá trình “dẫn” xảy ra Đây là bài toán thấm 2 chiều (2D) Bài toán thấm (percolation) CHAPTER 12. PERCOLATION 468 Figure 12.1: Cookies (circles) placed at random on a large sheet. Note that in this case there is a path of overlapping circles that connects the bottom and top edges of th e cookie sheet. If such a path exists, we say that the cookies percolate, and there is a spanning path. See Problem 12.4e for a discussion of the algorithm used to generate this configuration. We first discuss a simple model of the cookie example to make the concept of percolation more explicit. We represent the cookie sheet by a lattice where each site can be in one of two states, occupied or empty. Each si t e is occupied independently of its neighbors with probability p. This model of percolation is call ed site p er col at i on . The occupied sites form clusters, which are group s of occupied nearest neighbor latt i ce sites (see Figu r e 12.2). An easy way to study site percolation is to generate a uniform random number r in the unit interval 0 <r≤ 1 for each site in the lattice. A site is occupied if its random nu mber satisfies the condition r ≤ p. If p is small, we expect that only small isolated clu st er s wi l l b e present (see Figure 12.3a). If p is near unity, we expect that most of the lattice will be occupied, and the occupied sites will form a large cl u st er that extends f r om one end of the lattice to the other (see Figure 12.3c). Such a cl u st er is said to be a spanning cluster. Because there is no spann i n g cluster for small p and there is a spanning cluster for p near unity, there must be an intermediate value of p at which a spanning cluster fir st exists (see Figure 12.3b). We shall see that in the limit of an infinite lattice, there exists a wel l defin ed th r esh ol d p r ob ab i l i ty p c such that: For p<p c , no spanning cluster exists and all clusters are finite. For p>p c , a spanning cluster exists. For p = p c , a spanning cluster exists with a probability greater than zer o and less than un i ty. We emphasize that the defining characteristic of percolation is connectedness. Because the con- nectedness exhibits a qualitative change at a well defined val u e of a continuous parameter, we shall see that the tran si t i on from a state wit h no spanning clust er to a state wit h a spanning cluster is an example of a phase transition. • Thực tế, khi mô phỏng, chẳng hạn trong bài toán thấm, ta cần tạo ra một cấu hình (vị trí, vận tốc, ) ban đầu cho hệ một cách khách quan nhất có thể. • Hoặc ta cần tạo ra một cấu hình mới. Do đó, ta cần số ngẫu nhiên để khởi tạo các cấu hình Sự cần thiết của số ngẫu nhiên CHAPTER 12. PERCOLATION 468 Figure 12.1: Cookies (circles) placed at random on a large sheet. Note that in th i s case there is a path of over l ap p i n g circles that connects the bottom and top edges of the cookie sheet. If such a path exists, we say that the cook i es percolate, and there is a spanning path. See Problem 12.4e for a discussion of the algorithm used to generat e this configuration. We first discuss a simple model of the cookie example to make the concept of percolation more explicit. We represent the cooki e sheet by a lattice where each site can be in one of two states, occupied or empty. Each site is occupied independently of its neighbors with probability p. This model of percolation is called site per col at i on . The occupied sites form clusters, which are group s of occupied nearest neighbor lattice sites (see Figur e 12.2). An easy way to study site percolation is to generate a uniform random number r in the unit int er val 0 <r≤ 1 for each site in the lattice. A site is occupied if its random number satisfies the condition r ≤ p. If p is small, we expect that only small isolated clusters will be present (see Figure 12.3a). If p is near unity, we expect that most of the lattice will be occupi ed , an d the occupied sites will form a large cluster that extends from one end of the lattice to the other (see Figure 12.3c). Such a cluster is said to be a spanning cluster . Because there is no spanning cluster for small p and there is a span n i n g cluster for p n ear unity, ther e must b e an i ntermediate value of p at which a spanning cluster first exists (see Figure 12.3b). We shall see that in the limit of an infinite lattice, there exists a well defined threshold probability p c such that: For p<p c , no spanning cluster exists and all clusters are fini t e. For p>p c , a spanning cluster exists. For p = p c , a spanning cluster exists with a probability greater than zero and less than unity. We emphasize that the defining characteristic of percolation is connectedness. Because the con- nectedness exhibits a qualitative change at a well defined value of a continuous parameter, we shall see that the transition from a state with no spanning cluster to a state with a spanning cluster is an example of a phase transition. • Số ngẫu nhiên còn được sử dụng trong các phương pháp mô phỏng, ví dụ như pp Monte Carlo (học sau) Sự cần thiết của số ngẫu nhiên CHAPTER 12. PERCOLATION 468 Figure 12.1: Cookies (circles) placed at random on a large sheet. Note that in th i s case there is a path of over l ap p i n g circles that connects the bottom and top edges of the cookie sheet. If such a path exists, we say that the cook i es percolate, and there is a spanning path. See Problem 12.4e for a discussion of the algorithm used to generat e this configuration. We first discuss a simple model of the cookie example to make the concept of percolation more explicit. We represent the cooki e sheet by a lattice where each site can be in one of two states, occupied or empty. Each site is occupied independently of its neighbors with probability p. This model of percolation is called site per col at i on . The occupied sites form clusters, which are group s of occupied nearest neighbor lattice sites (see Figur e 12.2). An easy way to study site percolation is to generate a uniform random number r in the unit int er val 0 <r≤ 1 for each site in the lattice. A site is occupied if its random number satisfies the condition r ≤ p. If p is small, we expect that only small isolated clusters will be present (see Figure 12.3a). If p is near unity, we expect that most of the lattice will be occupi ed , an d the occupied sites will form a large cluster that extends from one end of the lattice to the other (see Figure 12.3c). Such a cluster is said to be a spanning cluster . Because there is no spanning cluster for small p and there is a span n i n g cluster for p n ear unity, ther e must b e an i ntermediate value of p at which a spanning cluster first exists (see Figure 12.3b). We shall see that in the limit of an infinite lattice, there exists a well defined threshold probability p c such that: For p<p c , no spanning cluster exists and all clusters are fini t e. For p>p c , a spanning cluster exists. For p = p c , a spanning cluster exists with a probability greater than zero and less than unity. We emphasize that the defining characteristic of percolation is connectedness. Because the con- nectedness exhibits a qualitative change at a well defined value of a continuous parameter, we shall see that the transition from a state with no spanning cluster to a state with a spanning cluster is an example of a phase transition. • Tuy vậy, không có số ngẫu nhiên thực sự trong các chương trình máy tính. “Số ngẫu nhiên” mà chúng ta sẽ tạo ra sau đây chỉ là số gần đúng ngẫu nhiên (pseudo- random number) • Chúng ta sẽ tìm hiểu về số ngẫu nhiên và các bài toán Vật lý cần dùng số ngẫu nhiên Sự cần thiết của số ngẫu nhiên CHAPTER 12. PERCOLATION 468 Figure 12.1: Cookies (circles) placed at random on a large sheet. Note that in th i s case there is a path of over l ap p i n g circles that connects the bottom and top edges of the cookie sheet. If such a path exists, we say that the cook i es percolate, and there is a spanning path. See Problem 12.4e for a discussion of the algorithm used to generat e this configuration. We first discuss a simple model of the cookie example to make the concept of percolation more explicit. We represent the cooki e sheet by a lattice where each site can be in one of two states, occupied or empty. Each site is occupied independently of its neighbors with probability p. This model of percolation is called site per col at i on . The occupied sites form clusters, which are group s of occupied nearest neighbor lattice sites (see Figur e 12.2). An easy way to study site percolation is to generate a uniform random number r in the unit int er val 0 <r≤ 1 for each site in the lattice. A site is occupied if its random number satisfies the condition r ≤ p. If p is small, we expect that only small isolated clusters will be present (see Figure 12.3a). If p is near unity, we expect that most of the lattice will be occupi ed , an d the occupied sites will form a large cluster that extends from one end of the lattice to the other (see Figure 12.3c). Such a cluster is said to be a spanning cluster . Because there is no spanning cluster for small p and there is a span n i n g cluster for p n ear unity, ther e must b e an i ntermediate value of p at which a spanning cluster first exists (see Figure 12.3b). We shall see that in the limit of an infinite lattice, there exists a well defined threshold probability p c such that: For p<p c , no spanning cluster exists and all clusters are fini t e. For p>p c , a spanning cluster exists. For p = p c , a spanning cluster exists with a probability greater than zero and less than unity. We emphasize that the defining characteristic of percolation is connectedness. Because the con- nectedness exhibits a qualitative change at a well defined value of a continuous parameter, we shall see that the transition from a state with no spanning cluster to a state with a spanning cluster is an example of a phase transition. Vấn đề trong bài toán thấm CHAPTER 12. PERCOLATION 468 Figure 12.1: Cookies (circles) placed at random on a large sheet. Note that in this case there is a path of overlapping circles that connects the bottom and top edges of th e cookie sheet. If such a path exists, we say that the cookies percolate, and there is a spanning path. See Problem 12.4e for a discussion of the algorithm used to generate this configuration. We first discuss a simple model of the cookie example to make the concept of percolation more explicit. We represent the cookie sheet by a lattice where each site can be in one of two states, occupied or empty. Each site is occupied independently of its n ei ghbors with probability p. This model of percolation is call ed site p er col at i on . The occupied sites form clusters, which are group s of occupied nearest neighbor latt i ce sites (see Figu r e 12.2). An easy way to study site percolation is to generate a uniform random number r in the unit interval 0 <r≤ 1 for each site in the lattice. A site is occupied if its random nu mber satisfies the condition r ≤ p. If p is small, we expect that only small isolated clu st er s wi l l b e present (see Figure 12.3a). If p is near unity, we expect that most of the lattice will be occupied, and the occupied sites will form a large cl u st er that extends f r om one end of the lattice to the other (see Figure 12.3c). Such a cl u st er is said to be a spanning cluster. Because there is no spann i n g cluster for small p and there is a spanning cluster for p near unity, there must be an intermediate value of p at which a spanning cluster fir st exists (see Figure 12.3b). We shall see that in the limit of an infinite lattice, there exists a wel l defin ed th r esh ol d p r ob ab i l i ty p c such that: For p<p c , no spanning cluster exists and all clusters are finite. For p>p c , a spanning cluster exists. For p = p c , a spanning cluster exists with a probability greater than zer o and less than un i ty. We emphasize that the defining characteristic of percolation is connectedness. Because the con- nectedness exhibits a qualitative change at a well defined val u e of a continuous parameter, we shall see that the tran si t i on from a state wit h no spanning clust er to a state wit h a spanning cluster is an example of a phase transition. • Trở lại bài toán thấm, ở mức đơn giản là xác định số quả cầu thép (bánh) để quá trình dẫn xảy ra. • Gía trị xác định được trong bài toán này gọi là ngưỡng thấm • Vấn đề quan trọng nhất trong các bài toán trên là làm thế nào tạo ra được cấu hình các quả cầu thép hoặc các bánh nướng sao cho khách quan nhất. Nói cách khác, làm thế nào để tạo ra các vị trí ngẫu nhiên cho các bi thép (bánh) Tại bước này, số ngẫu nhiên sẽ được sử dụng để khởi tạo cấu hình (vị trí) cho hệ Tạo số ngẫu nhiên đồng đều 38 Approximation of a function 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x i+10 x i r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r rr r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r Fig. 2.5 One thousand points of the random-number pairs (x i , x i+10 ) normalized to the range of [0, 1]. where a, b, and c are magic numbers: their values determine the quality of the generator. One common choice, a = 7 5 = 16 807, b = 0, and c = 2 31 − 1 = 2 147 483 647, has been tested and found to be excellent for generating unsigned 32-bit random integers. It has the full period of 2 31 − 1 and is very fast. The correlation function x i 1 x i 2 x i k  is ver y small. In Fig. 2.5, we plot x i and x i+10 (normalized by c) generated using the linear congruent method with the above selection of the magic numbers. Note that the plot is very homogeneous and random. There are no stripes, lattice structures, or any other visible patterns in the plot. Implementation of this random-number generator on a computer is not al- ways trivial, because of the different numerical range of the integers specified by the computer language or hardware. For example, most 32-bit computers have integers in [−2 31 , 2 31 − 1]. If a number runs out of this range by accident, the computer will reset it to zero. If the computer could modulate the integers by 2 31 − 1 automatically, we could implement a random-number generator with the above magic numbers a, b, and c simply by taking consecutive numbers from x i+1 = 16 807x i with any initial choice of 1 < x 0 < 2 31 − 1. The range of this generator would be [0, 2 31 − 1]. However, this automatic modulation would cause some serious problems in other situations. For example, when a quantity is out of range due to a bug in the program, the computer would still wrap it back without producing an error message. This is why, in practice, computers do not modulate numbers automatically, so we have to devise a scheme to modulate the num- bers generated in sequence. The following method is an implementation of the uniform random-number generator (normalized to the range of [0, 1]) discussed above. Phân bố ngẫu nhiên đồng đều [...]... số ngẫu nhiên từ 4 đến 17 int random3 = rand.nextInt(14) + 4; 23 Random và các dạng của random  nextDouble là phương thức trả lại một giá trị double nằm trong khoảng 0.0 - 1.0  Ví dụ: Tạo số ngẫu nhiên của điểm có giá trị từ 1 đến 10 double randomNN = rand.nextDouble() * 9.0 + 1.0;  Bất kỳ giá trị nào của số ngẫu nhiên đều có thể chuyển thể thành các số tự nhiên  code sau đây sẽ chọn ngẫu nhiên Tamgiac-Tron-Vuong:... tạo ra số ngẫu nhiên trong khoảng bất kỳ: nextInt(giá trị của khoảng) + min  Ở đây (giá trị của khoảng) là (max - min + 1)  Ví dụ: Tạo một số ngẫu nhiên trong khoảng từ 4 đến 10 int n = rand.nextInt(7) + 4; 22 Ví dụ  Giả sử ta có khai báo sau Random rand = new Random();  Làm thế nào để có số ngẫu nhiên từ 1 đến 100? int random1 = rand.nextInt(100) + 1;  Làm thế nào để có được số ngẫu nhiên từ 50... ngẫu nhiên nguyên nextInt(max) returns a random integer in the range [0, max) in other words, 0 to max-1 inclusive nextDouble() returns a random real number in the range [0.0, 1.0)  Ví dụ: Random rand = new Random(); int randomNumber = rand.nextInt(10); // 0-9 21 Tạo số ngẫu nhiên  Phương thức thường làm là tạo số ngẫu nhiên có giá trị từ 1 đến N int n = rand.nextInt(20) + 1; // Tạo ra số ngẫu nhiên. .. + sum); tries++; } System.out.println("You won after " + tries + " tries!"); } } 26 Phân bố ngẫu nhiên đồng đều −x p(x)với các phân bố khác =e Tạo số ngẫu nhiên tributions cannhiên với phân bố đồng th • Sau khi đã có số ngẫu be cast into nhất Làm thế nào để tạo ra số For examp nits andlàcoordinates.ngẫu nhiên với phân bố hàm mũ: −x system the probability= e the p(x) for • Ví dụ: một hệ có các mức năng... long h = seed/q; long l = seed%q; long t = a*l-r*h; if (t > 0) seed = t; else seed = c+t; return seed/cd; } Số ngẫu nhiên được chuẩn hoá trong khoảng [[0,1]] 5 63 Note that we have used a = 7 , c = 2 − 1, q = c/a, and r = c m 13 Tạo số ngẫu nhiên đồng đều • Để mỗi lần có thể tạo ra số ngẫu nhiên khác nhau, chúng ta ort the một phương thức in an integer giá trị khởi tạo khác cần current time để thu được... = c/a và r = c int t = a*l-r*h; mod a if (t > 0) seed = t; else seed = c+t; return seed/cd; } Số that nhiên được code, hoá trong khoảng [[0,1]] Notengẫu in the above chuẩn we have used two more magic numbe 12 create a generator with a period of 263 − 1 for 64-bit integers with th method Tạo số ngẫu nhiên đồng đều 64-bit // Method to generate a uniform random number in [0,1] // following x(i+1)=a*x(i)...seful Tạo số ngẫu nhiên đồng đều random-number generators a • Để tạo ra số ngẫu nhiên theo chuỗi, người ta sử dụng phương The egion.thức sau: three most important c xi+1 are the xi + b) mod c, = (a following (Park an nerator their values determin mbers:... closefor 231 c =have − excellent to gen to a 1 = hould nhiện 32-bit nằm trong khoảng • Số ngẫu 31 eratingisunsigned − − 1 andth full period31of231 1] Note 2 ntegers [−2 , 2.5 Random-number Tạo số ngẫu nhiên đồng đều 32-bit // Method to generate a uniform random number in [0,1] // following x(i+1)=a*x(i) mod c with a=pow(7,5) and // c=pow(2,31)-1 Here the seed is a global variable public static double... + 31[t3 + 23(t2 + 59t1 )]} Tính giá trị của số pi? eed, which is roughly in the region of [0, 231 − 14 Ví dụ Tính số π Tính số π Dễ dàng tưởng tượng ra được nếu chúng ta cắm các mũi tên một cách ngẫu nhiên vào hình bên thì tổng số mũi tên trúng vào hình vuông và số mũi tên trúng vào một phần tư đường tròn sẽ tỉ lệ với diện tích của hình vuông và 1/4 đường tròn tương ứng Nói một cách khác, ta có phương... nhiệt độ T cho bởi: its and coordinates For exam −(E i −E 0 )/kB T p(E i , T ) ∝ e , the probability for the syste i 28 ple, if we have areduces to Eq (2.76 uniform distribut e above equation Tạo số ngẫu nhiên với các phân bố−x khác o• an exponential đồng nhất = eta by f the exponential distribution is dx erate(y) dy = dytrên distribution chọn , to Hai phương trình = p(x) d x nếu đơn vị if hợp ample, phùwe . ngẫu nhiên thực sự trong các chương trình máy tính. “Số ngẫu nhiên mà chúng ta sẽ tạo ra sau đây chỉ là số gần đúng ngẫu nhiên (pseudo- random number) • Chúng ta sẽ tìm hiểu về số ngẫu nhiên. thế nào để tạo ra các vị trí ngẫu nhiên cho các bi thép (bánh) Tại bước này, số ngẫu nhiên sẽ được sử dụng để khởi tạo cấu hình (vị trí) cho hệ Tạo số ngẫu nhiên đồng đều 38 Approximation of. (normalized to the range of [0, 1]) discussed above. Phân bố ngẫu nhiên đồng đều Tạo số ngẫu nhiên đồng đều • Để tạo ra số ngẫu nhiên theo chuỗi, người ta sử dụng phương thức sau: 2.5 Random-number