Bồi dưỡng HSG đại số 11

Bộ tài liệu gồm có 5 chương: CHƯƠNG 1:CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG II :TỔ HỢP – XÁC SUẤT CHƯƠNG III : DÃY SỐ – CẤP SỐ CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM Một số phép biến đổi đồ thị: a Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trên trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn vị nếu a < 0. b Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành. c Đồ thị được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Bồi dưỡng HSG Đại số 11 Bộ tài liệu gồm có 5 chương: CHƯƠNG 1:CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG II :TỔ HỢP – XÁC SUẤT CHƯƠNG III : DÃY SỐ – CẤP SỐ CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM ===================== I. HỆ THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác: cos sin tan ' cot OP a OQ a AT a BT a = = = = Nhận xét: • , 1 cos 1; 1 sin 1a a∀ − ≤ ≤ − ≤ ≤ α • tana xác định khi , 2 a k k Z≠ + ∈ π π , • cota xác định khi ,a k k Z≠ ∈ π 2. Dấu của các giá trị lượng giác: Cung phần tư Giá trị lượng giác I II II IV sina + + – – cosa + – – + tana + – + – cota + – + – 3. Hệ thức cơ bản: sin 2 a + cos 2 a = 1; tana.cota = 1 2 2 2 2 1 1 1 tan ; 1 cot cos sin a a a a + = + = 4. Cung liên kết: Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau cos( ) cosa a− = ( ) sinsin a a− = π sin cos 2 a a   − =  ÷   π Trang 1 CHƯƠNG 1 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG 1 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC cosin O cotang sin tang p A M Q B T' α T Đại số 11 Phan Cơng Trứ sin( ) sina a− = − cos( ) cosa a− = − π cos sin 2 a a   − =  ÷   π tan( ) tana a− = − tan( ) tana a− = − π tan cot 2 a a   − =  ÷   π cot( ) cota a− = − cot( ) cota a− = − π cot tan 2 a a   − =  ÷   π 5. Bảng giá trò lượng giác của các góc (cung) đặc biệt II. CƠNG THỨC CỘNG Trang 2 Cung hơn kém π Cung hơn kém 2 π sin( ) sina a+ = − π sin cos 2 a a   + =  ÷   π cos( ) cosa a+ = − π cos sin 2 a a   + = −  ÷   π tan( ) tana a+ = π tan cot 2 a a   + = −  ÷   π cot( ) cota a+ = π cot tan 2 a a   + = −  ÷   π 0 6 π 4 π 3 π 2 π 2 3 π 3 4 π π 3 2 π 2 π 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 180 0 270 0 360 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 –1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 − 2 2 − –1 0 1 tan 0 3 3 1 3 3− –1 0 0 cotg 3 1 3 3 0 3 3 − –1 0 Bi dng HSG i s 11 Cụng thc cng: III. CễNG THC NHN 1. Cụng thc nhõn ụi: sin2a = 2sina.cosa 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a= = = 2 2 2tan cot 1 tan2 ; cot2 2cot 1 tan a a a a a a = = 2. Cụng thc h bc: 3. Cụng thc nhõn ba: 4. Cụng thc biu din sina, cosa, tana theo t = tan 2 a : t: tan ( 2 ) 2 a t a k= + thỡ: 2 2 sin 1 t a t = + ; 2 2 1 cos 1 t a t = + ; 2 2 tan 1 t a t = IV. CễNG THC BIN I 1. Cụng thc bin i tng thnh tớch: sin sin 2sin .cos 2 2 a b a b a b + + = sin sin 2cos .sin 2 2 a b a b a b + = cos cos 2cos .cos 2 2 a b a b a b + + = cos cos 2sin .sin 2 2 a b a b a b + = sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b + + = sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b = sin( ) cot cot sin .sin a b a b a b + + = sin( ) cot cot sin . b a a b a sinb = sin cos 2.sin 2.cos 4 4 a a a a + = + = ữ ữ sin cos 2 sin 2 cos 4 4 a a a a = = + ữ ữ 2. Coõng thửực bieỏn ủoồi tớch thaứnh toồng: Trang 3 3 3 3 2 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos 3tan tan tan3 1 3tan a a a a a a a a a a = = = sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = + sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a = cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b = + tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b + + = tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b = + H qu: 1 tan 1 tan tan , tan 4 1 tan 4 1 tan x x x x x x + + = = ữ ữ + 2 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos 2 1 cos2 tan 1 cos2 a a a a a a a = + = = + Đại số 11 Phan Công Trứ 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b   = − + +     = − − +     = − + +   Vấn đề 1: TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ siny x= : Tập xác định D = R; tập giá trị 1, 1T   = −   ; hàm lẻ, chu kỳ 0 2T = π . * y = sin(ax + b) có chu kỳ 0 2 T a = π * y = sin(f(x)) xác định ( )f x⇔ xác định. cosy x= : Tập xác định D = R; Tập giá trị 1, 1T   = −   ; hàm chẵn, chu kỳ 0 2T = π . * y = cos(ax + b) có chu kỳ 0 2 T a = π * y = cos(f(x)) xác định ( )f x⇔ xác định. tany x = : Tập xác định \ , 2 D R k k Z   = + ∈     π π ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ 0 T = π . * y = tan(ax + b) có chu kỳ 0 T a = π * y = tan(f(x)) xác định ( )f x⇔ ( ) 2 k k Z≠ + ∈ π π coty x = : Tập xác định { } \ ,D R k k Z= ∈ π ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ 0 T = π . * y = cot(ax + b) có chu kỳ 0 T a = π * y = cot(f(x)) xác định ( ) ( )f x k k Z⇔ ≠ ∈ π . Trang 4 I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bồi dưỡng HSG Đại số 11 * y = f 1 (x) có chu kỳ T 1 ; y = f 2 (x) có chu kỳ T 2 Thì hàm số 1 2 ( ) ( )y f x f x= ± có chu kỳ T 0 là bội chung nhỏ nhất của T 1 và T 2 . Baøi 1. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau: a/ 2 sin 1 x y x   =  ÷ −   b/ siny x= c/ 2 siny x= − d/ 2 1 cosy x= − e/ 1 sin 1 y x = + f/ tan 6 y x   = −  ÷   π g/ cot 3 y x   = +  ÷   π h/ sin cos( ) x y x = − π i/ y = 1 tan 1x − Baøi 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a/ y = 2sin 1 4 x   + +  ÷   π b/ 2 cos 1 3y x= + − c/ siny x= d/ 2 4sin 4sin 3y x x= − + e/ 2 cos 2sin 2y x x= + + f/ 4 2 sin 2cos 1y x x= − + g/ y = sinx + cosx h/ y = 3sin2 cos2x x− i/ y = sin 3 cos 3x x+ + Baøi 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số: a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + 3 c/ y = sinx + cosx d/ y = tanx + cotx e/ y = sin 4 x f/ y = sinx.cosx g/ y = sin tan sin cot x x x x − + h/ y = 3 3 cos 1 sin x x + i/ y = tan x Baøi 4. Tìm chu kỳ của hàm số: a/ sin2y x= b/ cos 3 x y = c/ 2 siny x= d/ sin2 cos 2 x y x= + e/ tan cot3y x x= + f/ 3 2 cos sin 5 7 x x y = − g/ 2sin . cos3y x x= h/ 2 cos 4y x= i/ y = tan(−3x + 1) ĐS: a/ . π b/ 6π. c/ . π d/ 4π. e/ π. f/ 70π. g/ π. h/ . 4 π i/ 3 π Vấn đề 2: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1/ Vẽ đồ thị hàm số lượng giác: – Tìm tập xác định D. – Tìm chu kỳ T 0 của hàm số. – Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần). – Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T 0 có thể chọn: 0 0,x T   ∈   hoặc 0 0 , 2 2 T T x   ∈ −     . Trang 5 Đại số 11 Phan Cơng Trứ – Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ. – Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo véc tơ 0 . .v k T i= r r về bên trái và phải song song với trục hồnh Ox (với i r là véc tơ đơn vị trên trục Ox). 2/ Một số phép biến đổi đồ thị: a/ Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trên trục hồnh a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hồnh a đơn vị nếu a < 0. b/ Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hồnh. c/ Đồ thị ( ), nếu f(x) 0 ( ) -f(x), nếu f(x) < 0 f x y f x  ≥ = =   được suy từ đồ thò y = f(x) bằng cách giữ nguyên phần đồ thò y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thò y = f(x) nằm ở phía dưới trục hoành qua trục hoành. Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = sinx. – Tập xác định: D = R. – Tập giá trị: 1, 1 .   −   – Chu kỳ: T = 2π. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2     π – Tịnh tiến theo véctơ 2 .v k i= r r π ta được đồ thị y = sinx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số đồng biến trên khoảng 0, 2    ÷   π và nghịch biến trên , . 2    ÷   π π Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cosx. – Tập xác định: D = R. – Tập giá trị: 1, 1 .   −   – Chu kỳ: T = 2π. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 :     π – Tịnh tiến theo véctơ 2 .v k i= r r π ta được đồ thị y = cosx. Trang 6 1 3 2 π − −π 2 π − 0 2 π 3 2 π π 2π 5 2 π y = sinx –1 y x 1 3 2 π − −π 2 π − 0 2 π 3 2 π π 2π 5 2 π y = cosx –1 y x x0y 1 0 –1 0 0 x0y 0 –1 0 1 1 Bồi dưỡng HSG Đại số 11 Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. – Hàm số nghịch biến trên khoảng 0, 2    ÷   π và nghịch biến trên khoảng 3 , . 2    ÷   π π Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx. – Tập xác định: D = R \ , 2 k k Z   + ∈     π π – Tập giá trị: R. – Giới hạn: 2 lim x y →± = ∞ π : 2 x⇒ = ± π là tiệm cận đứng. – Chu kỳ: T = π. – Bảng biến thiên trên , 2 2   −  ÷   π π : – Tịnh tiến theo véctơ .v k i= r r π ta được đồ thị y = tanx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định D. Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx. – Tập xác định: D = R { } \ ,k k Z∈ π – Tập giá trị: R. – Giới hạn: 0 lim , lim x x x y y → → = + ∞ = − ∞ tiệm cận đứng: x = 0, x = π. – Chu kỳ: T = π. – Bảng biến thiên trên đoạn 0,     π : – Tịnh tiến theo véctơ .v k i= r r π ta được đồ thị y = cotx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số luôn giảm trên tập xác định D. Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx. Trang 7 x0y 0 –∞ +∞ x0y 0 +∞ –∞ x y 3 2 π − π 2 π − O 2 π π 3 2 π 2 π 5 2 π y = tanx x y 2 − π 3 2 π − O 2 π − 2 π π 3 2 π y = cotx − π 2π Đại số 11 Phan Công Trứ – Vẽ đồ thị y = sinx. – Từ đồ thị y = sinx, ta suy ra đồ thị y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox. Ví dụ 6: Vẽ đồ thị y = sinx sin , neáu sin x 0 sin -sin x, neáu sin x < 0. x y x  ≥ = =   Ví dụ 7: Vẽ đồ thị hàm số y = 1 + cosx. – Vẽ đồ thị y = cosx. – Từ đồ thị y = cosx, ta suy ra đồ thị 1 cosy x= + bằng cách tịnh tiến đồ thị cosy x= lên trục hoành 1 đơn vị. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2     π : Ví dụ 8: Vẽ đồ thị y = sin2x. – y = sin2x có chu kỳ T = π. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2     π : Trang 8 y x –2π 3 2 π − 3 2 π 2π 2 π π O −π 2 π − y = –sinx 1 –1 π 2 π − 3 2 π 2π 2 π π O y = /sinx/ y 1 x x0y = cosx1 0 –1 01y = 1 + cosx2 1 0 12 2 π − O y = 1 + cosx y x − π 2 π π 3 2 π y = cosx 2 1 –1 x2x0y = sin2x 0 –1 01 0 Bồi dưỡng HSG Đại số 11 Ví dụ 9: Vẽ đồ thị y = cos2x. – y = cos2x có chu kỳ T = π. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2     π : Ví dụ 10: Vẽ đồ thị sin 4 y x   = +  ÷   π có chu kỳ T = 2π. Trang 9 2 π − O y x π 4 π − 4 π 1 3 2 π 2 π 5 4 π y = sin2x –1 x2x0y = cos2x –1 01 0 –1 O y x 2 π 4 π 1 2 π 4 π y = cos2x   3 4 π x–000 –1 0 1 0 3 2 π O y  − π 3 4 π − 2 π − 4 π − 4 π 2 π 3 4 π π 5 4 π 7 4 π y = sin 1 2 / 2 2 / 2 − –1 Đại số 11 Phan Công Trứ Ví dụ 11: Vẽ đồ thị cos 4 y x   = −  ÷   π có chu kỳ T = 2π. Ví dụ 12: Vẽ đồ thị sin cos 2 sin 4 y x x x   = + = +  ÷   π có chu kỳ T = 2π. Trang 10 x–000 –1 0 1 0 x–00 –1 0 1 0 x–00–1010 –1 –1 0 1 1 0 –1 1 1 0 1 1 0 1 [...]... 24 Bồi dưỡng HSG Đại số 11 Bài 23: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần? ĐS: 3360 Bài 24: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần ĐS: 5880 Bài 25: Xét những số gồm... chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8 b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 Tính tổng của các số này ĐS: a/ 37332960 b/ 96 ; 259980 Bài 25: a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0) (ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1) Trang 28 Bồi dưỡng HSG Đại số 11 b/ Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , 9 Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số. .. nhiêu biển số xe gồm 3 chữ số (trừ số 000)? ĐS: 3 A10 − 1 = 999 Bài 14: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số với: a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau? b) Chữ số đầu và cuối khác nhau? c) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau? ĐS: 4 a) 9 A10 = 9.104 số 6 5 b) Có tất cả: A10 − A10 = 9.105 số gồm 6 chữ số ⇒ Có 9.105 – 9.104 số c) Có 9.10.10.10 = 9000 số Bài 15: Có bao nhiêu số điện... khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học sinh) ĐS: 2 An = 132 ⇔ n = 12 Bài 11: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số: a) Các chữ số khác nhau? b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau? ĐS: 4 a) 9.A9 b) Có 95 số Bài 12: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu: a) Số gồm 5 chữ số khác nhau? b) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau? c) Số gồm 5 chữ số khác nhau... khác nhau có những chữ số khác nhau? ĐS: a/ 18 b/ 15 Bài 7: a/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số? b/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số? c/ Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn? d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống... phải có mặt chữ số 5? ĐS: 4 a) 6 A6 3 3 b) 6 A5 + 3.5 A5 Trang 26 Bồi dưỡng HSG Đại số 11 c) Số gồm 5 chữ số có dạng: abcde 4 • Nếu a = 5 thì có A6 số • Nếu a ≠ 5 thì a có 5 cách chọn Số 5 có thể đặt vào 1 trong các vò trí b, c, d, e ⇒ có 3 4 cách chọn vò trí cho số 5 3 vò trí còn lại có thể chọn từ 5 chữ số còn lại ⇒ có A5 cách chọn 4 3 ⇒ Có A6 + 4.5 A5 = 1560 số Bài 13: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9... các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? Trang 23 Đại số 11 Phan Cơng Trứ 8! 7 − 3! 3! Bài 13: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 9 ĐS: 18 Bài 14: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau Hỏi trong các số đã thiết... 20 Bồi dưỡng HSG Đại số 11 Bài 5: Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trò của nó không thay đổi) ĐS: Số cần tìm có dạng: abcba ⇒ có 9.10.10 = 900 (số) Bài 6: a/ Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng Hỏi có mấy cách chọn lấy 1 bông hoa? b/ Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số. .. số đó có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ? ĐS: a/ 360 b/ 2448 (ĐH Cần Thơ, 2001) Bài 10: a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 0), trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có chữ số 1) b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần ĐS: a/ 33600 b/ 113 40... Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số: a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Không bắt đầu bằng chữ số 1? c) Bắt đầu bằng 23? d) Không bắt đầu bằng 345? ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2! Bài 7: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9 Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số: a/ Bắt đầu bởi chữ số 9? b/ . x k k Z⇔ ≠ ∈ π . Trang 4 I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bồi dưỡng HSG Đại số 11 * y = f 1 (x) có chu kỳ T 1 ; y = f 2 (x) có chu kỳ T 2 Thì hàm số 1 2 ( ) ( )y f x f x= ± có chu. Bồi dưỡng HSG Đại số 11 Bộ tài liệu gồm có 5 chương: CHƯƠNG 1:CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG II :TỔ HỢP – XÁC SUẤT CHƯƠNG III : DÃY SỐ – CẤP SỐ CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN. cosx –1 y x x0y 1 0 –1 0 0 x0y 0 –1 0 1 1 Bồi dưỡng HSG Đại số 11 Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. – Hàm số nghịch biến trên khoảng 0, 2    ÷ 