phân phối sác xuất

Chng 3 MT S PHÂN PHI THNG DÙNG 67 Chương 3 Một số phân phối xác suất thường dùng 1. P HÂN PHỐI NHỊ THỨC 1.1. Định nghĩa. Người ta nói rằng biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối nhị thức, với các tham số n và p (n nguyên dương và 0 < p < 1 ), nếu X có Im(X) = {0, 1, 2,…, n}; và với mọi k ∈ {0, 1, 2,…, n}, P( ) = C (1 ) k k n k n X k p p − = − Ký hiệu: X ~ B (n;p). Phân phối B(1,p) còn ñược gọi là Phân phối Bernoulli với tham số p, ký hiệu: B (p). Nếu Z ~ B(p) thì Im(Z) = {0, 1}. P(Z = 0) = 1 − p và P(Z = 1) = p. Do ñó, E(Z) = p và D(Z) = p(1 − p). 1.2. Định lý. Cho hai BNN X và Y ñộc lập. Nếu X ~ B(n;p) và Y ~ B(m;p) thì BNN Z = X + Y tuân theo luật phân phối B(n + m; p). 1.3. Hệ quả. (a) Nếu các biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 , . . . , X n ñộc lập, cùng có phân phối B(p), thì biến ngẫu nhiên X = X 1 + X 2 + + X n có phân phối B(n; p). (b) Giả sử X ~ B(n,p). Chúng ta có thể xem X = X 1 + X 2 + + X n , trong ñó, các biến ngẫu nhiên X k (k = 1, , n) ñộc lập và có phân phối B(p). Vậy, E(X) = np và D(X) = np(1 − −− − p). Chng 3 MT S PHÂN PHI THNG DÙNG 68 Ngoài ra, Mod(X) = [(n + 1)p] (do 1.6.2) Mô hình. Trong quá trình B(n;p), nếu X là biến ngẫu nhiên chỉ số thành công thì X ~ B(n; p) . 1.4. Thí dụ. Một công nhân quản lý 12 máy dệt. Các máy dệt hoạt ñộng ñộc lập nhau, và xác suất ñể mỗi máy, trong ca làm việc, cần sự chăm sóc của công nhân (viết tắt là CCN) là 0,3. (1) Tính xác suất ñể, trong ca làm việc, có (a) 4 máy CCN (b) từ 3 ñến 7 máy CCN (2) Trung bình, trong ca làm việc, có bao nhiêu máy CCN? (3) Trong ca làm việc, tìm số máy CCN nhiều khả năng nhất; tính xác suất tương ứng. Giải. Gọi X là BNN chỉ số máy CCN trong ca làm việc thì X ~ B(12; 0,3) 12 12 P( ) C (0,3) (0,7) k k k X k − = = , k ∈ {0,1,2,…,12} (1.a) Xác su ấ t ph ả i tính: 4 4 8 12 P( 4) C (0,3) (0,7) X = = = 0,2311 (1.b) Xác su ấ t ph ả i tính: 7 = 3 P(3 7) P( ) k X X k ≤ ≤ = = ∑ = 0,2397 + 0,2311 + 0,1585 + 0,0792 + 0,0291 = 0,7376. (2) S ố máy CCN trung bình: E(X) = 12 × 0,3 = 3,6. (3) S ố máy CCN nhi ề u kh ả n ă ng nh ấ t: Mod(X) = [13 × 0,3] = 3. Xác su ấ t t ươ ng ứ ng: P(X = 3) = 0,2397. Chú ý. Gi ả s ử X ~ B (n; p). Khi s ố phép th ử n khá l ớ n, vi ệ c tính các xác su ấ t P(X = k) g ặ p nhi ề u khó kh ă n. Ngoài ra, trong th ự c t ế , chúng ta th ườ ng ph ả i tính xác su ấ t c ủ a bi ế n c ố {α ≤ X ≤ β}: P(α ≤ X ≤ β) = P n (α) + P n (α + 1) + + P n (β) T ổ ng trên g ồ m nhi ề u s ố h ạ ng và vi ệ c tính tr ự c ti ế p t ổ ng ñ ó qu ả là khó th ự c hi ệ n. Do ñ ó, ng ườ i ta ñ ã tìm cách tính g ầ n ñ úng các xác su ấ t trên khi s ố phép th ử n khá l ớ n. Chúng ta tìm hi ể u cách tính g ầ n ñ úng phân ph ố i nh ị th ứ c thông Chng 3 MT S PHÂN PHI THNG DÙNG 69 qua các ñị nh lý mang tên các nhà toán h ọ c Siméon D. Poisson (1781 - 1840), Abraham DeMoivre (1667 - 1745) và Pierre S. Laplace (1749 - 1827): 1.5. Định lý. ( De Moivre − −− − Laplace ñịa phương ). Gi ả s ử X ~ B (n, p). Đặ t q = 1 − p, khi ñ ó: 2 ( ) 1 1 2 2 lim P ( ) .exp 0 k np npq npq n X k − π →∞     = − − =           1.6. Định lý. ( De Moivre − −− − Laplace tích phân ). Gi ả s ử X ~ B(n, p). Đặ t q = 1 − p, khi ñ ó v ớ i m ọ i s ố th ự c a và b (a < b): 2 ( ) 1 1 2 2 lim P( ) . exp 0 b x np npq npq n a a X b dx − π →∞       ≤ ≤ − − =         ∫ Chứng minh. ( Đị nh lý 1.5): Theo công th ứ c Stirling; khi n l ớ n, ( ) 2 . ( ) ~ 2 2 ( ) ( ) n n k n k k k n k n k n n e p q P X k k k e n k n k e − − − − − − π = π π − − = 1 ( ) ( ) ( ) 2 k n k n np nq k n k k n k − − − π Đặ t: k np npq x − = , chúng ta có: 1 ; 1 k q n k p x x np np nq nq − = + = − ; k np npqx = + và n k nq npqx − = − Vì ln(1 + t) ~ t − 2 2 t (t → 0) nên: Khi n l ớ n, ( ) ln .ln 1 k q k np np k x −   = − +     2 2 ~ ( ) q q np np np npq x x x   − + −     ; ( ) ( ) ln ( ).ln 1 n k n k p nq nq n k x − − −   = − − −     Chng 3 MT S PHÂN PHI THNG DÙNG 70 2 2 ~ ( ) p p nq nq nq npq x x x   − − − −     Do ñ ó, ( ) ( ) 2 2 lim ln n kk x np nq k n k n − − →∞ = − và ( ) ( ) 2 2 lim exp k n k x np nq k n k n − − →∞   = −     Ngoài ra: 1 ( ) . lim lim lim n n k n k np nq npq n n n − →∞ →∞ →∞ = = nên cu ố i cùng: 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ~ exp exp 2 2 2 x k np P X k npq npq npq     − = − = −       π π     hay: 2 ( ) 1 1 2 2 lim ( ) .exp 0 k np npq npq n P X k − π →∞     = − − =           Phép ch ứ ng minh Đị nh lý 1.6 ñượ c xem nh ư bài t ậ p. ■ 1.7. Chú ý. Để ý hai hàm xác ñị nh trên  nh ư sau: (i) Hàm Gauss: ( ) 2 2 1 exp 2 x x   = −     ϕ ϕϕ ϕ π ππ π v ớ i m ọ i x ∈  (ii) Hàm Φ ΦΦ Φ : ( ) 2 2 1 exp 2 x t x dt − ∞   = −     ∫ Φ ΦΦ Φ π ππ π v ớ i m ọ i x ∈  T ừ k ế t qu ả c ủ a các ñị nh lý De Moivre - Laplace và s ử d ụ ng hai hàm ϕ và Φ, chúng ta có công thức gần ñúng ñể tính các xác su ấ t trong phân ph ố i nh ị th ứ c: N ế u X ~ B(n, p) , v ớ i n l ớ n và p không quá g ầ n 0 và không quá g ầ n 1 ( n > 30, np ≥ ≥≥ ≥ 5 và n(1 − −− − p) ≥ ≥≥ ≥ 5 ), thì: ( q = 1 – p) ( ) 1 P k np X k npq npq   − = ≈       ϕ ϕϕ ϕ Chng 3 MT S PHÂN PHI THNG DÙNG 71 2 1 1 2 P( ) k np k np k X k npq npq     − − ≤ ≤ ≈ −             Φ Φ Φ ΦΦ Φ Φ Φ Giá tr ị các hàm ϕ và Φ ñ ã ñượ c tính s ẵ n và trình bày, theo th ứ t ự , trên b ả ng 3 và b ả ng 4, ñể ti ệ n vi ệ c tính toán. Hai công th ứ c g ầ n ñ úng trên ñượ c g ọ i là các công thức DeMoivre − −− − Laplace. Chúng cho phép chúng ta tính x ấ p x ỉ xác su ấ t lu ậ t nh ị th ứ c khá chính xác khi n ñủ l ớ n và p không quá g ầ n 0 và không quá g ầ n 1. Các s ố li ệ u sau ñ ây minh ho ạ ñ i ề u trên. Gi ả s ử X ~ B(n; 0,5). Ký hi ệ u P n (k) và G n (k) l ầ n l ượ t là giá tr ị ñ úng và giá tr ị g ầ n ñ úng c ủ a P(X = k), chúng ta có: n k P n (k) G n (k) P n (k) − G n (k) P n (k) / G n (k) 25 100 400 1156 15 55 210 595 0,09742 0,04847 0,024207 0,014236 0,09679 0,04839 0,024194 0,014234 0,00063 0,00008 0,000013 0,000002 1,0065 1,0017 1,0005 1,0001 1.8. Thí dụ. Ng ườ i ta mu ố n l ấ y m ộ t s ố h ạ t lúa t ừ m ộ t kho lúa có t ỉ l ệ h ạ t lép là 0,2 ñể ki ể m tra. Bi ế t r ằ ng kho lúa có r ấ t nhi ề u h ạ t. (a) Ph ả i l ấ y ít nh ấ t bao nhiêu h ạ t lúa ñể xác su ấ t có ít nh ấ t m ộ t h ạ t lép không bé h ơ n 95% ? (b) L ấ y ng ẫ u nhiên 100 h ạ t lúa, tính xác su ấ t ñể trong ñ ó có 25 h ạ t lép; có t ừ 10 ñế n 40 h ạ t lép. Giải. (a) G ọ i n là s ố h ạ t lúa c ầ n l ấ y. Vì s ố h ạ t lúa trong kho r ấ t l ớ n, nên các l ầ n l ấ y xem nh ư ñộ c l ậ p. Xác su ấ t ñể trong n h ạ t lúa l ấ y ra, không có h ạ t lép nào là (0,8) n . Theo gi ả thi ế t: 1 − (0,8) n ≥ 0,95 ⇔ (0,8) n ≤ 0,05 ⇔ ln (0,05) ln (0,8) n≥ V ậ y, ph ả i l ấ y ít nh ấ t 14 h ạ t lúa. (b) G ọ i X là bi ế n ng ẫ u nhiên ch ỉ s ố h ạ t lép trong m ẫ u thì X ~ B(n;p), v ớ i n = 100 và p = 0,2. Vì n > 30, np = 20 > 5 và n(1 − p) = 80 > 5 nên chúng ta có th ể áp d ụ ng các công th ứ c g ầ n ñ úng DeMoivre − Laplace . (i) Xác su ấ t ñể có 25 h ạ t lép: 25 25 75 100 P( 25) C (0,2) (0,8) 0,04388 X = = = Chng 3 MT S PHÂN PHI THNG DÙNG 72 (ii) Xác su ấ t ñể có t ừ 10 ñế n 40 h ạ t lép: P(10 ≤ X ≤ 40) ≈ 40 100 0,2 10 100 0,2 100 0,2 0,8 100 0,2 0,8 − × − × × × × ×     Φ − Φ         = (5) ( 2,5) Φ − Φ − = 1 (1 (2,5)) (2,5) − − Φ = Φ P(10 ≤ X ≤ 40) ≈ 0,9938 1.9. Thí dụ. C ầ n xét nghi ệ m máu cho 5000 ng ườ i ñể tìm d ấ u hi ệ u m ộ t lo ạ i b ệ nh B t ạ i m ộ t ñị a ph ươ ng có t ỉ l ệ ng ườ i m ắ c b ệ nh B theo th ố ng kê là 10%. Có 2 ph ươ ng pháp: 1. Xét nghi ệ m t ừ ng ng ườ i m ộ t. 2. M ỗ i l ầ n l ấ y máu m ộ t nhóm 10 ng ườ i tr ộ n l ẫ n vào nhau r ồ i xét nghi ệ m. N ế u k ế t qu ả âm tính thì thông qua, n ế u d ươ ng tính thì ph ả i làm thêm 10 xét nghi ệ m ñể xét nghi ệ m l ạ i t ừ ng ng ườ i m ộ t trong nhóm. H ỏ i ph ươ ng pháp nào có l ợ i h ơ n, bi ế t r ằ ng m ỗ i xét nghi ệ m ñề u t ố n kém nh ư nhau và kh ả n ă ng m ắ c b ệ nh c ủ a m ỗ i ng ườ i ñộ c l ậ p nhau? Giải. N ế u dùng ph ươ ng pháp (1) thì ph ả i th ự c hi ệ n 5000 xét nghi ệ m. Bây gi ờ chúng ta xem ph ươ ng pháp (2): Đặ t X ch ỉ s ố nhóm có k ế t qu ả d ươ ng tính thì X ~ B (500; 1 − (0,9) 10 ) Đặ t Y ch ỉ s ố xét nghi ệ m theo ph ươ ng pháp (2) thì Y = 500 + 10X. S ố xét nghi ệ m trung bình theo ph ươ ng pháp (2) là: E(Y) = 500 + 10E(X) = 500 + 5000(1 − (0,9) 10 ) ≈ 3757. V ậ y, áp d ụ ng theo ph ươ ng pháp (2) có l ợ i h ơ n. 2. PHÂN PHỐI SIÊU HÌNH HỌC Ng ườ i ta nói r ằ ng bi ế n ng ẫ u nhiên r ờ i r ạ c X có phân phối siêu hình học (hay siêu b ộ i) kích th ướ c N, v ớ i các tham s ố nguyên d ươ ng T và n không l ớ n h ơ n N n ế u X có Im(X) = [max(0, -( - )],. . ., min( , )] n N T T n ∩  , và v ớ i m ọ i k ∈ Im(X), − − = = C . C C P( ) k n k T N T n N X k Ký hi ệ u: X ~ H(N, T, n). K ỳ v ọ ng: E(X) = np ; Chng 3 MT S PHÂN PHI THNG DÙNG 73 Ph ươ ng sai: D(X) = 1 − − N n N npq (v ớ i = T N p và q = 1 − p ) Chú ý: Khi N rất lớn so với n thì t ỷ s ố = T N p ñượ c xem nh ư xác su ấ t cho thành công và t ỷ s ố 1N nN − − ti ế n ñế n 1. Khi ñ ó, E(X) = np, D(X) = npq và chúng ta có th ể xem nh ư X ~ B( ; ) T N n . 3. PHÂN PHỐI POISSON 3.1. Định nghĩa. Ng ườ i ta nói r ằ ng bi ế n ng ẫ u nhiên r ờ i r ạ c X có phân ph ố i Poisson v ớ i tham s ố λ (λ > 0) n ế u Im(X) =  , và v ớ i m ọ i k ∈  , −λ λ = = ! P( ) . k k X k e Ký hi ệ u: X ~ Poisson( λ λλ λ ) K ỳ v ọ ng: 0 1 e e E ( ) ! ( 1)! k k k k X k k k −λ −λ +∞ +∞ = = λ λ = = − ∑ ∑ 1 1 e ( 1)! k k k − +∞ −λ = λ = λ = λ − ∑ Ph ươ ng sai : D( X ) = λ (xem nh ư bài t ậ p) Do ñ ó, chúng ta có th ể vi ế t: X ~ Poisson( µ µµ µ ) . Mô hình: Gi ả s ử chúng ta quan tâm ñế n số lần xảy ra của một sự kiện A trong m ộ t kho ả ng th ờ i gian ho ặ c không gian liên t ụ c có chi ề u dài w ; v ớ i ñ i ề u ki ệ n là s ố l ầ n x ả y ra trong nh ữ ng kho ả ng không giao nhau là ñộ c l ậ p nhau, và xác su ấ t xu ấ t hi ệ n A nhi ề u h ơ n m ộ t l ầ n trong kho ả ng ñ ó là r ấ t bé. H ơ n n ữ a, “c ườ ng ñộ ” xu ấ t hi ệ n A là không thay ñổ i, i.e. s ố l ầ n xu ấ t hi ệ n trung bình c ủ a A trong m ộ t kho ả ng ch ỉ ph ụ thu ộ c vào ñộ dài c ủ a kho ả ng ñ ó. V ớ i các ñ i ề u ki ệ n trên, n ế u g ọ i X là BNN ch ỉ s ố l ầ n xu ấ t hi ệ n A trong m ộ t kho ả ng chi ề u dài w thì ng ườ i ta ch ứ ng minh ñượ c r ằ ng X tuân theo ku ậ t phân ph ố i Poisson v ớ i tham s ố λ = mw , trong ñ ó m là m ộ t h ằ ng s ố d ươ ng ch ỉ “c ườ ng ñộ ” xu ấ t hi ệ n c ủ a A (xem ph ầ n ch ứ ng minh trong giáo trình Xác su ấ t – Th ố ng kê dùng cho các l ớ p chuyên ngành Toán c ủ a cùng tác gi ả ). Thí d ụ , s ố cu ộ c ñ i ệ n tho ạ i g ọ i ñế n trong m ộ t phút t ạ i m ộ t tr ạ m nào ñ ó; s ố l ỗ i trên m ộ t trang gi ấ y trong m ộ t quy ể n sách d ầ y; s ố ñơ n ñặ t hàng g ử i t ớ i m ộ t c ơ s ở trong m ộ t tháng; . . . . Chng 3 MT S PHÂN PHI THNG DÙNG 74 Bi ế n ng ẫ u nhiên ch ỉ s ố l ầ n xu ấ t hi ệ n nêu trên ñ ã ñượ c nhà toán h ọ c Simeon D. Poisson nghiên c ứ u và hình thành phân ph ố i Poisson. Ngoài ra, phân ph ố i Poisson còn ñượ c dùng ñể tính x ấ p x ỉ phân ph ố i nh ị th ứ c B(n;p) khi n l ớ n và p khá g ầ n 0 ho ặ c g ầ n 1, d ự a vào ñị nh lý sau: 3.2. Định lý Poisson. Gi ả s ử trong m ộ t dãy n phép th ử ñộ c l ậ p, m ộ t bi ế n c ố A xu ấ t hi ệ n v ớ i xác su ấ t p n trong m ỗ i phép th ử . N ế u khi n → ∞ mà p n → 0 sao cho n.p n = λ (λ là m ộ t h ằ ng s ố d ươ ng) thì v ớ i m ọ i k ∈ {0,1,2,…,n}, chúng ta có: ! lim C (1 ) λ − −λ → ∞ − = k k k n k n n n k n p p e Chứng minh. ( ) ( ) ( 1)( 2) ( 1) ! C (1 ) 1 k n k n n n n k k k n k n n n k n n p p − − − − + − λ λ − = − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 ! 1 1 1 . 1 k n k k k n n n n − − λ λ = − − − − Do ñ ó, ! lim C (1 ) λ − −λ → ∞ − = k k k n k n n n k n p p e Hệ quả. N ế u X ~ B(n, p), v ớ i n > 30 và (np < 5 hay n(1 − p) < 5)), thì chúng ta có th ể xem nh ư X ~ Poisson  (np). 3.3. Định lý. Cho hai BNN X và Y ñộ c l ậ p. N ế u X ~ Poisson(µ) và Y ~ Poisson (λ) thì BNN X + Y ~ Poisson (µ + λ). Chứng minh. V ớ i m ọ i k ∈  , 0 0 ( ) ( , ) ( ). ( ) k k i i P X Y k P X i Y k i P X i P Y k i = = + = = = = − = = = − ∑ ∑ ( ) ( ) ! ( )! 0 ! 0 ! . ( ) i k i k i k i i k i i k i e k k i k e k e e C − − µ + λ − µ + λ µ −µ −λ λ − = − = = = µ λ = µ + λ ∑ ∑ V ậ y, X + Y ~ Poisson (µ + λ). 3.4. Thí dụ. Chng 3 MT S PHÂN PHI THNG DÙNG 75 3.4.1. M ộ t c ơ s ở s ả n xu ấ t, trung bình trong m ộ t tu ầ n, nh ậ n ñượ c 4 ñơ n ñặ t hàng. Bi ế t r ằ ng s ố ñơ n ñặ t hàng X mà c ơ s ở nh ậ n ñượ c trong m ộ t tu ầ n là m ộ t BNN có phân ph ố i Poisson. Tính xác su ấ t ñể c ơ s ở ñ ó (a) nh ậ n ñượ c h ơ n 5 ñơ n ñặ t hàng trong m ộ t tu ầ n (b) nh ậ n ñượ c 6 ñơ n ñặ t hàng trong hai tu ầ n liên ti ế p Giải. (a) X ~ Poisson  (4). Xác su ấ t ph ả i tính: P(X > 5) = 1 − P(X ≤ 5) = − = − ∑ 5 4 4 ! 0 1 e k k k = 1 − 0,7851 = 0,2149. (b) G ọ i Y là BNN ch ỉ s ố ñơ n ñặ t hàng c ủ a c ơ s ở trong hai tu ầ n liên ti ế p thì Y ~ Poisson  (8). Xác su ấ t ph ả i tính: P(Y = 6) = 6 8 8 6! e − = 0,1221 3.4.2. M ộ t xe t ả i v ậ n chuy ể n 1000 chai r ượ u vào kho. Xác su ấ t ñể m ỗ i chai b ị v ỡ trong khi v ậ n chuy ể n là 0,0035. Tính xác su ấ t ñể sau khi v ậ n chuy ể n, có 6 chai r ượ u b ị v ỡ ; có t ừ 2 ñế n 8 chai r ượ u b ị v ỡ . (gi ả s ử r ằ ng s ự ki ệ n các chai r ượ u b ị v ỡ là ñộ c l ậ p nhau, do ch ấ t l ượ ng riêng c ủ a m ỗ i chai) Giải. G ọ i X là BNN ch ỉ s ố chai r ượ u b ị v ỡ sau khi v ậ n chuy ể n, thì X ~ B(1000; 0,0035). Xác su ấ t ñể có 6 chai r ượ u b ị v ỡ : 6 6 994 1000 P( 6) (0,0035) (0,9965) 0,07709 X C = = = Tính g ầ n ñ úng: Vì n = 1000 và n.p = 3,5 < 5, nên có th ể xem: X ~ Poisson(3,5). Do ñ ó: 6 (3,5) 3,5 6! P( 6) 0,0771 X e − = ≈ = Xác su ấ t ñể có t ừ 2 ñế n 8 chai r ượ u b ị v ỡ 8 (3,5) 3,5 ! 2 P(2 8) k k k X e − = ≤ ≤ ≈ = ∑ 0,8543 Chng 3 MT S PHÂN PHI THNG DÙNG 76 4. PHÂN PHỐI CHUẨN 4.1. Định nghĩa. Ng ườ i ta nói r ằ ng bi ế n ng ẫ u nhiên liên t ụ c X tuân theo lu ậ t phân ph ố i chu ẩ n v ớ i các tham s ố a và b 2 (b > 0) n ế u X có hàm m ậ t ñộ f ñượ c xác ñị nh b ở i: ( ) 2 1 2 1 2 ( ) . x a b b f x e − − π = v ớ i m ọ i x ∈  Ký hi ệ u : X ~ N(a, b 2 ). • K ỳ v ọ ng c ủ a X: µ = 2 2 ( ) 1 2 2 E ( ) . .exp x a b b X x dx + ∞ − π − ∞   = −     ∫ 2 1 2 2 ( ) exp t b t a dt +∞ π −∞   = + −     ∫ 2 2 2 2 2 2 exp exp b t a t t dt dt a +∞ +∞ π π −∞ −∞     = − + − =         ∫ ∫ • Ph ươ ng sai c ủ a X: σ 2 = D(X) = 2 2 ( ) 2 1 2 2 . ( ) . exp x b b x dx +∞ − µ π −∞   − µ −     ∫ = 2 2 2 2 2 . .exp b t t dt + ∞ π − ∞   −     ∫ = b 2 . V ậ y, hai tham s ố a và b 2 trong phân ph ố i N(a, b 2 ), theo th ứ t ự , là k ỳ v ọ ng và ph ươ ng sai c ủ a X. Do ñ ó, h.m. ñ . f c ủ a BNN X ~ N(a, b 2 ) có th ể ñượ c vi ế t d ướ i d ạ ng: −   = −     2 2 ( ) 1 2 2 ( ) .exp x f x µ µµ µ σ π σ πσ π σ π σ σσ σ v ớ i m ọ i x ∈  . và ký hi ệ u: X ~ N( µ µµ µ , σ σσ σ 2 ). • Tr ườ ng h ợ p ñặ c bi ệ t: µ µµ µ = 0 và σ σσ σ = 1 : Chúng ta có phân ph ố i N(0, 1). Hàm Gauss ϕ và Φ xác ñị nh trong chú ý 3.1.7, theo th ứ t ự , là hàm m ậ t ñộ và hàm phân ph ố i c ủ a N(0,1). Đồ th ị hàm m ậ t ñộ f c ủ a phân ph ố i N(µ, σ 2 ): [...]... lu t phân ph i chu n ho c ti m c n chu n Ch ng h n: Ch

ng 3 M TS 79 PHÂN PH I TH
NG DÙNG Các s o v c tính sinh h c như chi u cao, cân n ng, huy t áp, h u như có phân ph i chu n; các sai s trong o lư ng v t lý; l c ch u nén c a m t thanh xà cũng tuân theo lu t phân ph i chu n Trong xã h i, s con trong m t gia ình, s l i t c h ng năm, s n lư ng m t v mùa trên m t ơn v di n tích tuân theo lu t phân. .. i ta nói r ng bi n ng u nhiên liên t c X có phân ph i Student (hay phân ph i t ) v i n b c t do khi X có h.m f ư c xác nh b i: f ( x) =  n +1  Γ   2   n π Γ( n ) 2 x2  1 + n    − n +1 2 Ký hi u: X ~ Student (n) hay X ~ t(n) v im ix∈ Ch

ng 3 Gi s M TS 81 PHÂN PH I TH
NG DÙNG T ~ t(n); n u P(T < c) = α thì c ư c g i là Bách phân v m c α c a phân ph i t(n), ký hi u là t (n) α V y, P(T... thì c ư c g i là m c α c a phân ph i χ2(n), ký hi u: χ2 (n) α Gi s Bách phân v V y, P(X < χ2 (n) ) = α α N u X ~ χ2(n) thì E(X) = n và D(X) = 2n Chúng ta công nh n: 6.2 nh lý Gi s các bi n ng u nhiên X1, X2, , Xn có phân ph i chu n N(0,1) Khi ó, c l p và cùng (a) Các BNN X i2 (i = 1,…, n) tuân theo lu t χ2(1); 2 2 2 (b) BNN Q 2 = X1 + X 2 + + X n tuân theo lu t χ2(n) 7 PHÂN PH I STUDENT 7.1 nh nghĩa... n b = a a+b 2 c ■ 6 PHÂN PH I χ2 6.1 nh nghĩa Ngư i ta nói r ng bi n ng u nhiên liên t c X có phân ph i χ2 v i n b c t do (n ∈ *) n u X có hàm m t f ư c xác nh trên b i: n −1 − x  1 x 2 e 2 , víi  f ( x ) =  2n / 2 Γ ( n / 2 )  0 , víi x≤0  trong ó, ký hi u Γ ch hàm Gamma Ký hi u: X ~ χ2(n) x> 0 , Ch

ng 3 M TS 80 PHÂN PH I TH
NG DÙNG nn = 2 =2 n=4 0.2 n = 10 0 5 10 15 c a phân ph i χ2 v i các... 0.2 0.2 0.2 0 00 th hàm m t c a phân ph i Student v i hai b c t do n khác nhau.( −− : n = 60; - - - : n = 2) Chúng ta công nh n : 7.2 nh lý Cho các bi n ng u nhiên X và Y 2(n) thì bi n ng u nhiên Y~χ T= c l p N u X~ N(0,1) và X Y /n tuân theo lu t phân ph i Student v i n b c t do 8 PHÂN PH I FISHER − SNEDECOR 8.1 nh nghĩa Ngư i ta nói r ng bi n ng u nhiên liên t c X có phân ph i Fisher v i n1 và n2 b... bi n ng u nhiên 2(n ) và Y ~ χ2(n ) thì bi n ng u nhiên χ 1 2 F= X / n1 Y / n2 , víi x > 0 c l p N u X ~ Ch

ng 3 M TS 82 PHÂN PH I TH
NG DÙNG tuân theo lu t phân ph i Fisher v i n1 và n2 b c t do 9 PHÂN PH I CHU N HAI CHI U 9.1 nh nghĩa Ngư i ta nói r ng vectơ ng u nhiên (X,Y) phân ph i theo qui lu t chu n hai chi u v i các tham s µ1, µ2, σ1, σ2 và ρ (σ1 > 0, σ2 > 0, f xác nh trên 2 b i: − 1 < ρ 0 cho tr−íc ) l ch chu n c a X nh hàm phân ph i c a X Ngư i ta ch ng minh ư c r ng: N u s l n xu t hi n c a m t bi n c trong m t kho ng th i gian cho trư c tuân theo lu t phân ph i Poisson v i kỳ v ng λ, thì kho ng th i gian gi a hai l n xu t hi n liên ti p c a bi n c y tuân theo lu t phân ph i mũ v i kỳ v ng 1 λ Nói chung, phân ph i mũ ư c dùng mô t qui lu t c a kho ng th i gian... m t BNN có phân ph i chu n v i trung bình 2,5 gi và l ch chu n 0,6 gi H s tương quan gi a th i gian h c và th i gian gi i trí là − 0,5 Phân ph i xác su t ng th i c a chúng có phân ph i chu n hai chi u Tính xác su t (a) T ng s th i gian h c và th i gian chơi trong m t ngày l n hơn 5 gi (b) Th i gian h c l n hơn th i gian chơi 3.41 Gi s r ng kh i lư ng hành khách i máy bay là m t BNN có phân ph i chu . theo luật phân phối B(n + m; p). 1.3. Hệ quả. (a) Nếu các biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 , . . . , X n ñộc lập, cùng có phân phối B(p), thì biến ngẫu nhiên X = X 1 + X 2 + + X n có phân phối B(n;. S PHÂN PHI THNG DÙNG 67 Chương 3 Một số phân phối xác suất thường dùng 1. P HÂN PHỐI NHỊ THỨC 1.1. Định nghĩa. Người ta nói rằng biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân. luật phân phối chuẩn hoặc tiệm cận chuẩn. Chẳng hạn: Chng 3 MT S PHÂN PHI THNG DÙNG 79 Các số ño về ñặc tính sinh học như chiều cao, cân nặng, huyết áp, hầu như có phân phối