PHẦN I: XÁC SUẤT 1. Biến cố ngẫu nhiên & xác suất của biến cố: 1.1. Công thức cộng xác suất: 1.1.1. p(A+B)=p(A)+p(B) (2 biến cố xung khắc) 1.1.2. p(A+B)=p(A)+p(B)-p(A.B) p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)-[p(AB)+p(AC)+p(BC)] +p(ABC) 1.2. Công thức nhân xác suất: 1.2.1. p(A.B)=p(A).p(B) (2 biến cố độc lập) 1.2.2. p(A.B)=p(A).p(B/A) 1 2 1 2 1 1 2 1 ( ) ( ). ( / ) ( / ) n n n p A A A p A p A A p A A A A − = 1.3. Công thức Bernoulli: cho 2 biến cố A và A 1.3.1. ( ) x x n x n n p x C p q − = , p=p(A), q=1-p 1.4. Công thức xác suất đầy đủ: 1 1 2 2 ( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) n n p F p A p F A p A p F A p A p F A= + + + 1.5. Công thức Bayes: ( . ) ( ). ( / ) ( / ) ( ) ( ) i i i i p A F p A p F A p A F p F p F = = 2. Biến ngẫu nhiên: 2.1. Bảng phân phối xác suất (biến ngẫu nhiên rời rạc) 2.2. Hàm mật độ xác suất ( ( )f x ) (biễn ngẫu nhiên liên tục) 2.2.1. ( )f x ≥ 0 2.2.2. ( ) 1f x dx +∞ −∞ = ∫ 2.2.3. ( ) ( ) b a p a x b f x dx≤ ≤ = ∫ 2.3. Hàm phân phối xác suất ( ( )F x ) (dùng cho cả 2 loại biến-thường là biến ngẫu nhiên liên tục) 2.3.1. ( )F x =p( F <x) 2.3.2. '( ) ( )F x f x= 2.3.3. ( ) ( ) x F x f t dt −∞ = ∫ 2.4. Kỳ vọng 2.4.1. 1 1 2 2 ( ) n n E x x p x p x p= + + + (từ bảng phân phối xác suất) 2.4.2. ( ) ( )E x xf x dx +∞ −∞ = ∫ 2.5. Phương sai: 2.5.1. 2 2 ( ) ( ) [ ( )]V x E x E x= − 2.5.2. 2 2 ( ) ( ) [ ( ) ]V x x f x dx xf x dx +∞ +∞ −∞ −∞ = − ∫ ∫ 3. Một số phân phối xác suất thông dụng: 3.1. Phân phối chuẩn tổng quát: 2 ~ ( ; )X N µ σ 3.1.1. 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 x f x e µ σ σ π − − = 3.1.2. ( ) 1f x dx +∞ −∞ = ∫ 3.1.3. ModX MedX µ = = ; 2 ( ) , ( )E x V x µ σ = = 3.1.4. ( ) ( ) ( ) b a p a x b µ ϕ ϕ ϕ σ σ − − ≤ ≤ = − 3.1.5. Phân phối chuẩn tắc 2 0, 1 µ σ = = 3.1.5.1. ~ (0,1)T N 3.1.5.2. 2 2 1 ( ) 2 t f t e π − = 3.1.5.3. Đổi biến X T µ σ − = 3.1.5.4. ( ) ( ) ( )p a x b b a ϕ ϕ ≤ ≤ = − 3.2. Phân phối Poisson: ~ ( )X P λ , λ >0 3.2.1. ( ) ! k p k e k λ λ λ − = = 3.2.2. ( ) ( )E x V x λ = = 3.3. Phân phối nhị thức: ~ ( , )X B n p 3.3.1. ( ) ( ) , 1 k k n k n n p X k p k C p q p q − = = = + = 3.3.2. 0 ( ) 1 n k p X k = = = ∑ 3.3.3. ( )E x np= , 0 0 ,ModX x np q x np q= − ≤ ≤ + 3.3.4. Khi n=1: ~ (1, )X B p :phân phối không-một 3.3.4.1. 2 ( ) , ( ) , ( )E x p E x p V x pq= = = 3.3.5. Xấp xỉ phân phối nhị thức: 3.3.5.1. Bằng phân phối Poisson: n >50, p <0.1; ~ ( , ) ~ ( )X B n p X P λ ≈ , np λ = . ( ) ! k k k n k n p x k C p q e k λ λ − − = = = 3.3.5.2. Bằng phân phối chuẩn: 0.5, 0.5, ,np nq np npq µ σ ≥ ≥ = = . ~ ( , ) ~ ( , )X B n p X N np npq≈ 1 ( ) ( ) k p x k f µ σ σ − = = ; p( 1 k <X< 2 1 2 ) ( ) ( ) k k k µ µ ϕ ϕ σ σ − − = − 3.4. Phân phối siêu bội: ~ ( , , ) A X H N N n [N:tổng số phần tử, A N :Số phần tử có tính chất A trong N, n: số phần tử lấy ngẫu nhiên].Gọi X là số phần tử có tính chất A trong n. . ( ) A A k n k N N N n N C C p X k C − − = = 3.4.1. ( ) , A N E X np p N = = ; ( ) . , 1 1 N n V X npq q p N − = = − − 3.4.2. Xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân phối nhị thức: 0.05 ~ ( , )n N X B n p≤ ⇒ ; ( ) , k k n k A n N p X k C p q p N − = = = 3.5. Biến ngẫu nhiên 2 chiều: X và Y độc lập ( ). ( ) ij i j P p x q y⇔ = với mọi i,j 3.6.Hiệp phương sai và hệ số tương quan: 3.6.1. Hiệp phương sai(cov): cov( , ) ( ) ( ) ( )X Y E XY E X E Y= − 3.6.2. Hệ số tương quan ,X Y ρ : , cov( , ) ( ) ( ) X Y X Y X Y ρ σ σ = PHẦN 2: THỐNG KÊ 1. Tổng thể và mẫu 1.1. Thực hành tính toán trên mẫu: 1.1.1. Tính trung bình ( n X ): 1 1 n n i i X x n = = ∑ 1.1.2. Tính tỷ lệ mẫu: ( n f ); A n m f n = ( A m :số phần tử mang tính chất A; n: kích thước mẫu) 1.1.3. Tính phương sai mẫu: 2 2 2 1 1 [ ( ) ] 1 k i i S n x n X n = − − ∑ 1.2. Ước lượng tham số của tổng thể: 1.2.1. Ước lượng điểm: 2 2 ( ) , ( ) , ( ) n n E X E f p E S µ σ = = = 1.2.2. Ước lượng khoảng: 1.2.2.1. Ước lượng khoảng cho trung bình: Với độ tin cậy 1- α cho trước, 1 mẫu kích thước n. 30n ≥ , 2 σ biết 30n ≥ , 2 σ chưa biết X , σ 1 2 ,X X µ ε µ ε = − = + 2 .u n α σ ε = ( 1 α − 0.5- 2 α 2 u α ) X ,s 1 2 ,X X µ ε µ ε = − = + 2 . s u n α ε = ( 1 α − 0.5- 2 α 2 u α ) n <30, 2 σ biết n <30, 2 σ chưa biết Như TH1 X ,s 1 2 ,X X µ ε µ ε = − = + ( 1, ) 2 . n s t n α ε − = 1.2.2.2. Ước lượng khoảng cho tỷ lệ: tổng thể có tỷ lệ p chưa biết, với độ tin cậy 1 α − cho trước, với 1 mẫu kích thước n, tỷ lệ mẫu n f . Tìm 2 số 1 2 ,p p thoả: 1 2 ( ) 1p p p p α ≤ ≤ = − , 1,2 n p f ε = m Công thức: 2 (1 )f f u n α ε − = 1.2.2.3. Ước lượng khoảng cho phương sai:Giả sử tổng thể có 2 σ chưa biết. Dựa vào 1 mẫu kích thước n, với độ tin cậy 1- α cho trước. TH1: µ chưa biết, biết 2 S . Khi đó ta có 2 2 2 2 2 1 2 ( 1) ( 1) [ , ] n S n S σ χ χ − − ∈ trong đó 2 2 1 ( 1, ) 2 n α χ χ = − , 2 2 2 ( 1,1 ) 2 n α χ χ = − − TH2: µ biết. Khi đó 2 2 2 1 2 ( ) ( ) [ , ] i i i i n x n x µ µ σ χ χ − − ∈ ∑ ∑ , trong đó 2 2 1 ( , ) 2 n α χ χ = , 2 2 2 ( ,1 ) 2 n α χ χ = − 1.2.3. Kiểm định giả thuyết thống kê: 1.2.3.1. Kiểm định giả thuyết thống kê cho µ 1.2.3.1.1. TH1: 2 σ biết Giả thuyết thống kê W α : 2 σ biết (miền bác bỏ 0 H ) 0 0 :H µ µ = 1 :H µ ≠ 0 µ 0 { , X W u n u α µ σ − = = > 2 u α } 0 0 :H µ µ = 1 :H µ < 0 µ 0 { X W u n α µ σ − = = ,u<- u α } 0 0 :H µ µ = 1 :H µ > 0 µ 0 { X W u n α µ σ − = = ,u> u α } 1.2.3.1.2. TH2: 30n ≥ , 2 σ không biết Giả thuyết thống kê W α (miền bác bỏ 0 H ) 0 0 :H µ µ = 1 :H µ ≠ 0 µ 0 { , X W u n u s α µ − = = > 2 u α } 0 0 :H µ µ = 1 :H µ < 0 µ 0 { X W u n s α µ − = = ,u<- u α } 0 0 :H µ µ = 1 :H µ > 0 µ 0 { X W u n s α µ − = = ,u> u α } 1.2.3.1.3. TH3: n <30, 2 σ không biết Giả thuyết thống kê W α (miền bác bỏ 0 H ) 0 0 :H µ µ = 1 :H µ ≠ 0 µ 0 { , X W t n t s α µ − = = > ( 1, ) 2 n t α − } 0 0 :H µ µ = 1 :H µ < 0 µ 0 { X W t n s α µ − = = , t <- ( 1, ) 2 n t α − } 0 0 :H µ µ = 1 :H µ > 0 µ 0 { , X W t n s α µ − = = t > ( 1, ) 2 n t α − } 1.2.3.2. Kiểm định giả thuyết thống kê cho tỷ lệ: Giả thuyết thống kê W α (miền bác bỏ 0 H ) 0: 0 H p p= 1: H p ≠ 0 p 0 0 0 { , (1 ) f p W u u p p n α − = = − > 2 u α } 0: 0 H p p= 1: H p < 0 p 0 0 0 { (1 ) f p W u p p n α − = = − , u <- u α } 0: 0 H p p= 1: H p > 0 p 0 0 0 { (1 ) f p W u p p n α − = = − , u > u α } 1.2.3.3. Kiểm định giả thuyết thống kê cho phương sai: 1.2.3.3.1. TH1: µ chưa biết Giả thuyết thống kê W α (miền bác bỏ 0 H ) 2 2 0 0 :H σ σ = 2 1 :H σ ≠ 2 0 σ 2 2 2 0 ( 1) { n s W α χ σ − = = , 2 χ < 2 1 χ hoặc 2 χ > 2 2 χ 2 2 2 2 1 2 ( 1,1 ) ( 1, ) 2 2 , n n α α χ χ χ χ − − − = = 2 2 0 0 :H σ σ = 2 1 :H σ < 2 0 σ 2 2 2 0 ( 1) { n s W α χ σ − = = , 2 χ < 2 ( 1,1 )n α χ − − 2 2 0 0 :H σ σ = 2 1 :H σ > 2 0 σ 2 2 2 0 ( 1) { n s W α χ σ − = = , 2 χ > 2 ( 1, )n α χ − 1.2.3.3.2. TH2: µ biết. Giả thuyết thống kê W α (miền bác bỏ 0 H ) 2 2 0 0 :H σ σ = 2 1 :H σ ≠ 2 0 σ 2 2 2 0 ( ) { i i n x W α µ χ σ − = = ∑ , 2 χ < 2 1 χ hoặc 2 χ > 2 2 χ 2 2 2 2 1 2 ( ,1 ) ( , ) 2 2 , n n α α χ χ χ χ − = = 2 2 0 0 :H σ σ = 2 1 :H σ < 2 0 σ 2 2 2 0 ( ) { i i n x W α µ χ σ − = = ∑ , 2 χ < 2 ( ,1 )n α χ − 2 2 0 0 :H σ σ = 2 1 :H σ > 2 0 σ 2 2 2 0 ( ) { i i n x W α µ χ σ − = = ∑ , 2 χ > 2 ( , )n α χ 1.2.4. So snh 2 tham số của tổng thể: 1.2.4.1. So snh 2 số trung bình: 1.2.4.1.1. TH1: 2 2 1 2 30, 30, ,m n σ σ ≥ ≥ biết GTTK W α 0 1 2 :H µ µ = 1 1 2 :H µ µ ≠ 2 2 2 1 2 ; X Y W u u u m n α α σ σ − = = > + 0 1 2 :H µ µ = 1 1 :H µ < 2 µ 2 2 1 2 ; X Y W u u u m n α α σ σ − = = < − + 0 1 2 :H µ µ = 1 1 :H µ > 2 µ 2 2 1 2 ; X Y W u u u m n α α σ σ − = = > + 1.2.4.1.2. TH2: m <30, n <30, 2 2 1 2 , σ σ biết, X,Y cĩ phn phối chuẩn GTTK W α 0 1 2 :H µ µ = 1 1 2 :H µ µ ≠ 2 2 2 1 2 ; X Y W u u u m n α α σ σ − = = > + 0 1 2 :H µ µ = 1 1 :H µ < 2 µ 2 2 1 2 ; X Y W u u u m n α α σ σ − = = < − + 0 1 2 :H µ µ = 1 1 :H µ > 2 µ 2 2 1 2 ; X Y W u u u m n α α σ σ − = = > + 1.2.4.1.3. TH3: 2 2 1 2 30, 30, ,m n σ σ ≥ ≥ khơng biết GTTK W α 0 1 2 :H µ µ = 1 1 2 :H µ µ ≠ 2 2 2 1 2 ; X Y W u u u s s m n α α − = = > + 0 1 2 :H µ µ = 1 1 :H µ < 2 µ 2 2 1 2 ; X Y W u u u s s m n α α − = = < − + 0 1 2 :H µ µ = 1 1 :H µ > 2 µ 2 2 1 2 ; X Y W u u u s s m n α α − = = > + 1.2.4.1.4. TH4: m <30, n <30, X,Y cĩ phn phối chuẩn, 2 2 1 2 σ σ = khơng biết GTTK W α 0 1 2 :H µ µ = 1 1 2 :H µ µ ≠ 2, 2 2 ; 1 1 m n X Y W t t t s m n α α + − ÷ − = = > + ÷ ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 1 2 m s n s s m n − + − = + − 0 1 2 :H µ µ = 1 1 :H µ < 2 µ ( ) 2, 2 ; 1 1 m n X Y W t t t s m n α α + − − = = < − + ÷ 0 1 2 :H µ µ = 1 1 :H µ > 2 µ ( ) 2, 2 ; 1 1 m n X Y W t t t s m n α α + − − = = > + ÷ 1.2.4.1.5. TH5: m <30, n <30, X,Y cĩ phn phối chuẩn, 2 2 1 2 σ σ ≠ chưa biết GTTK W α 0 1 2 :H µ µ = 1 1 2 :H µ µ ≠ 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1, 1, 1 2 2 2 1 2 ; ; , ; , ; m n s s t v t vX Y W g g t t t t t v v t m n v v s s m n α α α − − ÷ ÷ +− = = > = = = = = + + 0 1 2 :H µ µ = 1 1 :H µ < 2 µ ( ) 1 2 ( 1, ) 1, 2 2 1 2 ; ; , n m X Y W g g t t t t t s s m n α α α − − − = = < − = = + 0 1 2 :H µ µ = 1 1 :H µ > 2 µ 2 2 1 2 ; X Y W g g t s s m n α − = = > + 1.2.4.2. So snh 2 tỷ lệ: GTTK W α 0 1 2 :H µ µ = 1 1 2 :H µ µ ≠ ( ) 1 2 1 2 1 2 2 ; ; , 1 1 1 f f k k W u u u f f m n f f m n α α − = = > = = − + ÷ 0 1 2 :H µ µ = 1 1 :H µ < 2 µ ( ) 1 2 ; 1 1 1 f f W u u u f f m n α α − = = < − − + ÷ 0 1 2 :H µ µ = 1 1 :H µ > 2 µ ( ) 1 2 ; 1 1 1 f f W u u u f f m n α α − = = > − + ÷ 1.2.4.3. So sánh 2 phương sai: GTTK W α 2 2 0 1 2 :H σ σ = 2 2 1 1 2 :H σ σ ≠ ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 1 , ; 1, 1 , 1, 1 s W g g f hayg f f f m n f s f n m α α α = = < > = − − = − − 2 2 0 1 2 :H σ σ = 2 2 1 1 2 :H σ σ > 2 1 2 2 , ( 1, 1) s W g g f m n s α α = = > − − . Phân phối siêu bội: ~ ( , , ) A X H N N n [N:tổng số phần tử, A N :Số phần tử có tính chất A trong N, n: số phần tử lấy ngẫu nhiên].Gọi X là số phần tử có tính chất A trong n. . ( ) A A k n k N. 0 H ) 0: 0 H p p= 1: H p ≠ 0 p 0 0 0 { , (1 ) f p W u u p p n α − = = − > 2 u α } 0: 0 H p p= 1: H p < 0 p 0 0 0 { (1 ) f p W u p p n α − = = − , u <- u α } 0: 0 H p p= 1: H p > 0 p 0 0. σ = PHẦN 2: THỐNG KÊ 1. Tổng thể và mẫu 1.1. Thực hành tính toán trên mẫu: 1.1.1. Tính trung bình ( n X ): 1 1 n n i i X x n = = ∑ 1.1.2. Tính tỷ lệ mẫu: ( n f ); A n m f n = ( A m :số phần