bài tập lý thuyết xác suất

bài tập lý thuyết xác suất tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực k...

http://www.ebook.edu.vn Lí thuyết xác suất 1 Các khái niệm cơ bản về biến cố ngẫu nhiên 1. Không gian xác suất Trớc hết chúng ta đa vào khái niệm một họ A các tập con nào đó của không gian các biến cố ngẫu nhiên cơ bản đợc gọi là -đại số nếu: 1. A 2. A A suy ra \A A 3. Nếu A 1 , A 2 , là dy các tập hợp thuộc A, khi đó i A i cũng thuộc A. Trong lí thuyết xác xuất, tập các biến cố ngẫu nhiên là một -đại số A. Một ánh xạ P từ A vào tập các số thực R P : A R thoả mn các tiên đề sau: 1. Với mọi A A 0 P (A) 1 2. P () = 1 3. Nếu A 1 , A 2 , , A i , là các biến cố ngẫu nhiên đôi một xung khắc nhau thuộc A, khi đó P i A i = i P (A i ) P (A) đợc gọi là xác suất của biến cố ngẫu nhiên A. Trong lí thuyết xác suất (, A, P ) đợc gọi là không gian xác suất. Tính chất của xác suất (A) P () = 0. (B) A B P(A) P (B). (C) P (A) = 1 P (A). (D) P (A + B) = P(A) + P(B) P(AB). (E) P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P(C) P(BC) P (AB) P(AC) + P(ABC). (F) P (A 1 + A 2 + + A n ) P(A 1 ) + P(A 2 ) + ããã + P (A n ). (G) Với dy các biến cố giảm dần A 1 A 2 A 3 (hoặc tăng dần A 1 A 2 ), khi đó lim n P (A n ) = P( lim n A n ). 2. ứng dụng để tính xác suất các biến cố ngẫu nhiên Không gian các biến cố ngẫu nhiên cơ bản gồm n biến cố đồng khả năng = { 1 , 2 , , n }, P ( 1 ) = P( 2 ) = = P ( n ) Khi đó do P () = 1, suy ra P ( i ) = 1 n với mọi i và nếu A = { n 1 , n 2 , , n m } P(A) = m n . 1 http://www.ebook.edu.vn Ta còn nói P (A) = Số trờng hợp thuận lợi cho biến cố A Số trờng hợp đồng khả năng . Trờng hợp không gian các biến cố ngẫu nhiên cơ bản là một miền hình học, giả thiết rằng xác suất để biến cố ngẫu nhiên cơ bản thuộc miền A tỉ lệ với độ đo của A, khi đó P (A) = độ đo của A độ đo của . (Độ đo ở đây đợc hiểu nh là độ dài, diện tích hoặc thể tích tùy theo đợc nhắc đến là miền hình học nào). Bài tập 1 1. Gieo liên tiếp một xúc xắc, kí hiệu A k là biến cố: lần gieo thứ k là lần đầu tiên mặt 6 chấm xuất hiện. a. Hy tính P (A k ). b. Tìm xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện ở một lần gieo nào đó. c. Hy tìm xác suất để sau một số lẻ lần gieo, mặt 6 chấm xuất hiện. 2. Một tập 10 vé trong đó có 3 vé có thởng. Chọn ngẫu nhiên 5 vé, tìm xác suất để trong đó có đúng 2 vé có thởng. 3. Một hộp đựng 3 bi đỏ, 3 bi trắng, 3 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên ra 6 viên bi, tìm xác suất để có đủ 3 màu trong số 6 viên bi đợc chọn ra. 4. Chứng minh rằng C n N = Nn+1 k=1 C n1 Nk (n N) 5. Một chất điểm xuất phát từ 0, lang thang ngẫu nhiên trên trục số, nó dịch chuyển sang phải hoặc sang trái 1 đơn vị với xác suất bằng 1 2 . Tìm xác suất để sau n bớc, chất điểm tới vị trí k trên trục số. 6. Bài toán gặp gỡ và bài toán gieo kim của Buffon. 3. Xác suất có điều kiện và sự độc lập của các biến cố ngẫu nhiên Xác suất của A với điều kiện B xảy ra, kí hiệu P (A/B) = P (AB) P (B) Từ định nghĩa xác suất có điều kiện, suy ra công thức nhân xác suất P (AB) = P (A/B)P (B) P (A 1 A 2 ãããA n ) = P(A n /A 1 A 2 ãããA n1 )P (A n1 /A 1 A 2 ãããA n2 ) ãããP (A 2 /A 1 )P (A 1 ) Nhận xét rằng với kí hiệu P (A) = P (A/B) là xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện B (B cố định), khi đó (, A, P ) cũng là không gian xác suất. Hai biến cố A và B độc lập nhau nếu P (A/B) = P(A) P(AB) = P (A)P(B). Các biến cố A 1 , A 2 , , A n độc lập, nếu với bất kì k biến cố đôi một khác nhau A i 1 , A i 2 , , A i k k = 2, 3, n trong dy các biến cố trên P (A i 1 A i 2 ãããA i k ) = P(A i 1 )P (A i 2 ) ãããP (A i k ) Trong ứng dụng thực tế hệ các biến cố mà mỗi biến cố liên quan tới một phép thử ngẫu nhiên trong dy các phép thử đợc tiến hành độc lập nhau tạo thành hệ các biến cố độc lập. Định lí 1 (định lí xác suất đầy đủ) Nếu A 1 , A 2 , , A n , là hệ đầy đủ các biến cố ngẫu nhiên, A là biến cố ngẫu nhiên bất kì, khi đó P (A) = i=1 P (A/A i )P (A i ). 2 http://www.ebook.edu.vn Bài tập 2 1. Một chất điểm xuất phát từ x = k, lang thang ngẫu nhiên trên trục số, nó dịch chuyển sang phải hoặc sang trái 1 đơn vị với xác suất bằng 1 2 . Chất điểm dừng lại nếu nó đạt tới các vị trí hút x = 0 hoặc x = n. Tìm xác suất để một lúc nào đó nó dịch chuyển tới trạng thái hút x = 0. (Xích Markov). 2. Rải ngẫu nhiên N viên bi vào n hộp. Với điều kiện một hộp xác định từ trớc (ví dụ hộp thứ nhất) không rỗng, tìm xác suất để hộp đó có đúng K viên bi (K 1). 3. Một xạ thủ bắn bia, xác suất trúng bia của xạ thủ bằng p. Tìm xác suất để sau n lần bắn liên tục, lần bắn thứ n là lần đầu tiên xạ thủ bắn trúng bia. 4. A và B chơi một trò chơi nh sau: A gieo xúc xắc, kết quả giả sử mặt k chấm xuất hiện. A gieo tiếp đồng thời 2 đồng xu k lần. Nếu ít nhất có một lần xảy ra biến cố cả hai đồng xu cùng xuất hiện mặt ngửa, khi đó A thắng cuộc, ngợc lại A bị thua. Hỏi trò chơi đó có lợi cho A hay B? 5. A và B chơi một trò chơi nh sau: A gieo đồng thời 2 xúc xắc. Nếu tổng bằng 7 hoặc 11, A thắng cuộc, nếu tổng bằng 2,3 hoặc 12, A thua cuộc. Các trờng hợp còn lại, A lặp lại trò chơi cho đến khi có ngời thắng ngời thua. Tìm xác suất để A thắng. (ĐS: 2 3 ) 6. Cho n hộp, mỗi hộp chứa đúng a bi trắng và b bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất và bỏ sang hộp thứ hai, sau đó lấy tiếp 1 viên bi từ hộp thứ hai và bỏ sang hộp thứ ba, Cuối cùng lấy 1 viên bi từ hộp thứ n. Gọi A là biến cố viên bi lấy từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai là viên bi trắng, B là biến cố viên bi lấy từ hộp thứ n là viên bi trắng. Kí hiệu p n = P (B/A). Chứng minh rằng p n = a a + b + b a + b (a + b + 1) 1n . 7. Các hộp đợc đánh số 0, 1, 2, , N và hộp mang số k chứa k bi đỏ, N k bi trắng (k = 0, 1, 2, , N). Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ hộp này chọn lần lợt có hoàn lại từng viên bi. Gọi A n là là biến cố lần chọn thứ n lấy đợc viên bi đỏ. a. Tính P(A 3 /A 1 A 2 ) b. Giả sử từ hộp đ chọn ngẫu nhiên chọn lần lợt hai viên bi không hoàn lại. Tìm xác suất để cả hai bi đ chọn là bi đỏ. 4. Công thức Bernoulli Giả sử xác suất xảy ra biến cố A là p. Khi đó xác suất để trong n lần tiến hành phép thử ngẫu nhiên độc lập nhau có đúng k lần xảy ra A bằng P k;n = C k n p k q nk (trong đó p + q = 1). Bài tập 3 1. Tìm xác suất để một gia đình 5 ngời con có đúng 3 trai, 2 gái. 2. Biết xác suất để đấu thủ bóng bàn A thắng B ở mỗi séc là p. Hai đấu thủ đấu với nhau tối đa 5 séc, ngời nào thắng trớc 3 séc là ngời thắng chung cuộc. Tìm xác suất để đấu thủ A thắng chung cuộc. ĐS: p Xác suất cần tìm: P (A) = p 3 (1 + 3q + 6q 2 ) 0,3 0,16308 0,4 0,31744 0,5 0,5 0,6 0,68256 0,7 0,83692 2 Đại lợng ngẫu nhiên và phân bố xác suất 1. Khái niệm cơ bản Một ánh xạ X : R trên không gian xác suất (, A, P ) thỏa mn { : X() < x} A với mọi x R 3 http://www.ebook.edu.vn đợc gọi là đại lợng ngẫu nhiên X. Hàm F (x) = P (X < x) với mọi x R đợc gọi là hàm phân bố xác suất của đại lợng ngẫu nhiên X. Hiển nhiên P (a X < b) = F (b) F(a) Nếu tồn tại một hàm không âm f : R [0, +) sao cho hàm phân bố F(x) của đại lợng ngẫu nhiên X thoả mn F (b) F(a) = P (a X < b) = b a f(x) dx với mọi a < b R, khi đó hàm f đợc gọi là mật độ xác suất của đại lợng ngẫu nhiên X. Đại lợng ngẫu nhiên có hàm mật độ đợc gọi là đại lợng ngẫu nhiên liên tục. Đặc biệt F (x) = x f(x) dx với mọi x R. Tại các điểm hàm mật độ liên tục F (x) = f(x). Chú ý rằng đại lợng ngẫu nhiên rời rạc (đại lợng ngẫu nhiên mà miền giá trị là tập không quá đếm đợc) không có hàm mật độ, phân bố của nó thờng đợc cho dới dạng p n = P (X = x n ), n = 0, 1, 2, trong đó n p n = 1 hoặc dới dạng bảng X x 1 x 2 x n P p 1 p 2 p n trong đó n p n = 1. Tính chất hàm phân bố, hàm mật độ 1. F () = lim x F (x) = 0, F (+) = lim x+ F (x) = 1. 2. Hàm phâm bố đơn điệu tăng và liên tục trái trên R. 3. + f(x) dx = F(+) F() = 1. 4. Với đại lợng ngẫu nhiên liên tục, xác suất để X nhận các giá trị trong một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm đợc luôn bằng 0. Suy ra P (a X < b) = P (a < b) = P(a X b) = F (b) F (a). Bài tập 4 1. X là số lỗi in sai trong một trang sách giáo khoa NXB Giáo dục. Ngời ta biết rằng P (X = 0) = 0.85, P (X = 1) = 0.1, P (X = 2) = 0.05 Nh vậy X là đại lợng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 0, 1, 2 và bảng phân bố của X thờng đợc viết dới dạng sau X 0 1 2 P 0.85 0.1 0.05 Hàm phân bố của X khi đó bằng F (x) = 0 nếu x 0 0.85 nếu 0 < x 1 0.95 nếu 1 < x 2 1 nếu 2 < x 2. Gọi X là số lần bắn liên tục vào bia cho đến khi trúng bia, p là xác suất trúng bia của mỗi lần bắn. Giả thiết các lần bắn độc lập nhau, khi đó bảng phân bố của X X 1 2 n P p qp pq n1 (p + q = 1) 4 http://www.ebook.edu.vn 3. X là điểm chọn ngẫu nhiên trên đoạn [a, b] (giả thiết rằng xác suất để X thuộc khoảng (u, v) [a, b] tỉ lệ với độ dài đoạn [u, v]). Khi đó X là đại lợng ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ f(x) = 1 ba nếu a < x b 0 nếu x a hoặc x > b (X đợc gọi là đại lợng ngẫu nhiên có phân bố đều trên đoạn [a, b].) 4. Nếu f(x) là hàm mật độ của X, khi đó hàm mật độ của Y = aX + b bằng g(y) = 1 |a| f y b a 5. Tìm hàm mật độ của 2 , biết phân bố đều trên đoạn [1, 1]. 2. Kì vọng, phơng sai của đại lợng ngẫu nhiên Với các đại lợng ngẫu nhiên rời rạc có phân bố X x 1 x 2 x n P p 1 p 2 p n Kì vọng của X, kí hiệu E(X) bằng E(X) = i=1 x i p i nếu chuỗi hội tụ tuyệt đối. Trờng hợp X là đại lợng ngẫu nhiên liên tục có f (x) là hàm mật độ E(X) = + xf(x)dx nếu tích phân hội tụ tuyệt đối. Chú ý rằng kì vọng là toán tử tuyến tính và E((X)) = + (x)f(x)dx trong đó f (x) là hàm mật độ của X. Phơng sai D(X) và độ lệch tiêu chuẩn X của X D(X) = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2 , X = D(X). Hiển nhiên phơng sai của hằng số bằng 0 và D(X) = 2 D(X). Bài tập 5 1. X là số trẻ sơ sinh trong một ngày ở một bệnh viện nhỏ. Biết phân bố của X X 0 1 2 3 P 0.3 0.4 0.2 0.1 Khi đó trung bình số trẻ em mới sinh trong một ngày bằng EX = 0 ì 0.3 + 1 ì0.4 + 2 ì0.2 + 3 ì0.1 = 1.1 2. Gọi X là số lần gieo xúc xắc liên tục cho đến khi mặt 6 chấm xuất hiện. Hy tính số lần gieo trung bình. 3. Một công việc trong xây dựng dự tính sẽ đợc hoàn thành trong khoảng thời gian từ 10 đến 14 ngày. Giả sử X là số ngày công để hoàn thành công việc đó, phân bố của X đợc dự tính nh sau X 10 11 12 13 14 P 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1 E(X) = 11.9 ngày, D(X) = 1.29 5 http://www.ebook.edu.vn Nhà thầu ớc lợng chi phí toàn bộ cho công trình gồm 85 triệu tiền vật liệu xây dựng và tiền nhân công là 1.6 triệu đồng một ngày công. Khi đó chi phí toàn bộ cho công trình bằng Y = 85 + 1.5X (triệu đồng) Vậy kì vọng hay giá trị trung bình của toàn bộ chi phí là E(Y ) = 85 + 1.5E(X) = 85 + 1.5 ì11.9 = 102.85 (triệu đồng) D(Y ) = 1.5 2 ì D(X) = 1.5 2 ì 1.29 = 2.9025 Y = 2.9025 = 1.7037 4. Kì vọng và phơng sai của phân bố đều trên [a, b] EX = a + b 2 , DX = (a b) 2 12 3. Các phân bố thờng gặp 1. Phân bố nhị thức X 0 1 k n P p 0 p 1 p k p n trong đó p k = P (X = k) = C k n p k q nk , p + q = 1, k = 0, 1, , n Nhận xét rằng đại lợng ngẫu nhiên có phân bố nhị thức có thể biểu diễn dới dạng X = n i=1 X i trong đó X i ghi lại kết quả của việc xuất hiện hay không xuất hiện biến cố A trong dy các phép thử ngẫu nhiên độc lập (P (A) = p) X i = 1 nếu A xảy ra trong phép thử thứ i 0 nếu A không xảy ra trong phép thử thứ i 2. Phân bố Poisson X 0 1 2 k P p 0 p 1 p 2 p k trong đó p k = P (X = k) = e k k! , > 0, k = 0, 1, 2, 3. Phân bố hình học X 1 2 n P p qp q n1 p trong đó p + q = 1. 4. Phân bố mũ X là đại lợng ngẫu nhiên có phân bố mũ, nếu hàm mật độ của X bằng f(x) = e x nếu x > 0 0 nếu x 0 với > 0 5. Phân bố chuẩn X là đại lợng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn, kí hiệu X N(m, 2 ) nếu hàm mật độ của X bằng f(x) = 1 2 e (xm) 2 2 2 trong đó > 0, m R. 6 http://www.ebook.edu.vn Sử dụng I = 0 e x 2 dx = 2 ta dễ dàng chứng minh hàm f(x) nói trên là hàm mật độ và EX = m, DX = 2 . Nhận xét rằng X N(m, 2 ) khi và chỉ khi Z = Xm N(0, 1). Ngời ta thờng kí hiệu hàm phân bố của X N (0, 1) (x) = 1 2 x e u 2 2 du. Tra bảng phân bố chuẩn, ta có Quy tắc 3 Nếu X N (m, 2 ), khi đó P (m 3 X m + 3) = P ( X m 3) = 1 2 3 3 e x 2 2 dx = 2(3) 1 = 0, 9973 3 Đại lợng ngẫu nhiên nhiều chiều 1. Hàm phân bố và hàm mật độ chung Xét một cặp hai đại lợng ngẫu nhiên (, ). Nếu chúng ta đồng thời khảo sát hai đại lợng ngẫu nhiên và , chúng ta sẽ coi chúng nh các toạ độ của một véc tơ ngẫu nhiên (hay một điểm ngẫu nhiên) (, ). Các giá trị có thể có của nó là các điểm (x, y) trong mặt phẳng toạ độ xOy. Gọi tập E là một miền phẳng bất kì E R 2 và P , (E) = P ((, ) E) là xác suất để điểm ngẫu nhiên (, ) ri vào tập E. Ngời ta gọi P , (E), với mọi E R 2 là độ đo xác suất của các tập hợp trên mặt phẳng sinh bởi véc tơ ngẫu nhiên (, ). Định nghĩa 1 Hàm H(x, y) = P ( < x, < y) = P ({ (, x)} ã { (, y)}) với mọi x, y R là hàm phân bố chung của hai đại lợng ngẫu nhiên và (hay còn gọi là hàm phân bố đồng thời của véc tơ ngẫu nhiên (, )). Nếu tồn tại một hàm không âm h(x, y) 0 sao cho P ((, ) E) = E h(x, y) dxdy với mọi miền E của mặt phẳng. Khi đó ta nói h(x, y) là hàm mật độ của véc tơ ngẫu nhiên (, ) (hay còn gọi là hàm mật độ chung của và ). Đối với các đại lợng ngẫu nhiên rời rạc, thay cho hàm phân bố đồng thời H(x, y) là các xác suất P (x i , y j ) = P ( = x i = y j ) (hoặc viết gọn hơn P ( = x i , = y j ).) Chúng thờng đợc viết dới dạng bảng. Để minh hoạ, ta xét ví dụ sau. Ví dụ Đại lợng ngẫu nhiên X đo mức độ hài lòng của ngời dân sống trong một khu chung c mới xây dựng và Y biểu thị số năm ngời dân sống trong khu chung c đó. Giả sử mức độ hài lòng của ngời ở biểu thị qua các giá trị X = 1, X = 2, X = 3 hoặc X = 4 (giá trị X càng lớn tơng ứng với mức hài lòng càng cao). Đại lợng ngẫu nhiên Y nhận các giá trị 1 nếu ngời dân sống không quá 1 năm trong khu chung c đó và nhận giá trị 2 trong trờng hợp ngợc lại. X 1 2 3 4 Tổng Y 1 0.04 0.17 0.18 0.1 0.49 2 0.06 0.15 0.2 0.1 0.51 Tổng 0.1 0.32 0.38 0.2 1 7 http://www.ebook.edu.vn Bảng phân bố trên cho biết, chẳng hạn P (3, 2) = P(X = 3, Y = 2) = 0.2 là xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một ngời sống ở khu chung c, ngời đó có mức hài lòng 3 và sống trên 1 năm trong khu chung c đó. Cột tổng cho phân bố của Y P (Y = 1) = 0.49, P (Y = 2) = 0.51 Hàng tổng xác định phân bố của X P (X = 1) = 0.1, P (X = 2) = 0.32, P(X = 3) = 0.38, P(X = 4) = 0.2 Trờng hợp tồn tại hàm mật độ chung, hiển nhiên P ((X, Y ) E) = E h(x, y) dxdy với mọi tập E R 2 . H(x, y) = P (X < x, Y < y) = x y h(u, v) dudv, 2 H xy = h(x, y) F (x) = H(x, +) = x + h(u, v) dv du là hàm phân bố của X. G(y) = H(+, y) = y + h(u, v) du dv là hàm phân bố của Y. Hàm mật độ của X, Y tơng ứng là f(x) = h(x, y) dy, g(y) = h(x, y) dx Định nghĩa 2 Các đại lợng ngẫu nhiên và đợc gọi là độc lập nhau nếu với mọi x, y R H(x, y) = P ( < x, < y) = P ( < x)P( < y) = F (x)G(y) h(x, y) = f(x)g(y) Định lí 2 Giả sử X, Y có hàm mật độ chung h(x, y), khi đó E ((X, Y )) = (x, y)h(x, y) dxdy. Đặc biệt nếu X, Y là các đại lợng ngẫu nhiên độc lập nhau, khi đó E(XY ) = EX ã EY, D(X + Y ) = DX + DY. Ví dụ 1. Giả sử hàm mật độ chung của X và Y h(x, y) = 6 5 (x + y 2 ) nếu 0 < x < 1, 0 < y < 1 0 trong trờng hợp ngợc lại Sử dụng f(x) = h(x, y) dy, hàm mật độ của X f(x) = 6 5 1 0 (x + y 2 ) dy = 6 5 (x + 1 3 ) nếu 0 < x < 1 0 nếu x / (0, 1) hàm mật độ của Y g(y) = 6 5 1 0 (x + y 2 ) dx = 6 5 ( 1 2 + y 2 ) nếu 0 < y < 1 0 nếu y / (0, 1) 8 http://www.ebook.edu.vn Ví dụ 2. (X, Y ) phân bố đều trên hình tròn tâm (0, 1) bán kính bằng 1. Hàm mật độ chung của X và Y h(x, y) = 1 nếu x 2 + (y 1) 2 < 1 0 trong trờng hợp ngợc lại Hàm mật độ Y bằng g(y) = h(x, y) dx = 2 2yy 2 nếu 0 < y < 2 0 nếu y / (0, 2) E(Y ) = 1, D(Y ) = 1 4 Bài tập 1. Giả sử X và Y là hai đại lợng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố chuẩn N(0, 1). Hy tìm hàm mật độ của Z = |X|signY . 2. Chọn ngẫu nhiên 2 điểm M và N trên đoạn [0, 1], 2 điểm M, N đó chia đoạn [0, 1] thành 3 phần, gọi các độ dài của 3 đoạn thẳng đó tơng ứng là các đại lợng ngẫu nhiên X 1 , X 2 và X 3 . a) Hy tìm các hàm mật độ của X 1 , X 2 và X 3 . b) Hy tính các kì vọng E(X 1 ), E(X 2 ) và E(X 3 ). 2. Phân bố có điều kiện Giả sử A là biến cố có xác suất P (A) > 0 và X là đại lợng ngẫu nhiên tùy ý. Ta có định nghĩa sau Định nghĩa 3 Ngời ta gọi hàm F (x/A) = P (X < x/A) với x là hàm phân bố có điều kiện của X với điều kiện biến cố A xảy ra. Nếu F (x/A) khả vi, kí hiệu f(x/A) = F (x/A) và F (x/A) = P (X < x/A) = x f(t/A) dt với x khi đó f(x/A) đợc gọi là hàm mật độ có điều kiện của X với điều kiện biến cố A xảy ra (hoặc nói tắt là hàm mật độ của X với điều kiện A). Ta có nhận xét rằng nếu A i , i = 1, 2, là một hệ đầy đủ các biến cố. Khi đó theo công thức xác suất đầy đủ, hàm phân bố của X có thể biểu diễn theo các hàm phân bố có điều kiện: F (x) = P (X < x) = i P (X < x/A i )P (A i ) = i F (x/A i )P (A i ) đạo hàm cả hai vế theo x, ta cũng có kết quả tơng tự cho hàm mật độ có điều kiện f(x) = i f(x/A i )P (A i ). Bài tập Mỗi ngày số ca cấp cứu tới một bệnh viện là đại lợng ngẫu nhiên N tuân theo luật Poisson với tham số . Ngời ta phân ra hai loại cấp cứu: cấp cứu do tai nạn giao thông (loại A) và cấp cứu vì các lí do khác (loại B). Giả thiết rằng p là xác suất để một ca cấp cứu thuộc loại A, cấp cứu do tai nạn giao thông. Kí hiệu X A là đại lợng ngẫu nhiên biểu thị số ca cấp cứu thuộc loại A, X B là số ca cấp cứu thuộc loại B trong ngày. 1. Với k, n là hai số nguyên, hy tính P (X A = k/N = n). 2. Xác định luật phân bố đồng thời của (N, X A ). 9 http://www.ebook.edu.vn 3. Xác định luật phân bố, kì vọng và phơng sai của X A . 4. Xác định luật phân bố của X B . 5. X A và X B có độc lập với nhau không? Giải bài tập: N có phân bố Poisson với tham số . P (N = n) = e n n! 1. Với k, n là hai số nguyên, P (X A = k/N = n) = C k n p k q nk . 2. Xác định luật phân bố đồng thời của (N, X A ) P (N = n, X A = k) = P (X A = k/N = n)P (N = n) = C k n p k q nk ã e n n! = = 1 k!(n k)! e n p k q nk = e (p) k (q) nk 1 k!(n k)! với n k. 3. Xác định luật phân bố, kì vọng và phơng sai của X A . P (X A = k) = n=k P (X A = k, N = n) = n=k e (p) k (q) nk 1 k!(n k)! = = e (p) k k! n=k (q) nk (n k)! = e (p) k k! i=0 (q) i i! = e (p) k k! ã e q = e p (p) k k! 4. Tơng tự luật phân bố của X B P (X B = i) = e q (q) i i! 5. X A và X B độc lập với nhau. Thật vậy xét P(X A = k, X B = i), kí hiệu n = k + i, khi đó P (X A = k, X B = i) = P (X A = k, N = n) = e (p) k (q) nk 1 k!(n k)! = = e p (p) k k! ãe q (q) i i! = P (X A = k)P (X B = i), với mọi k, i 0. Giả thiết (X, Y ) là véc tơ ngẫu nhiên có h(x, y) là hàm mật độ chung. Khi đó Y là đại lợng ngẫu nhiên liên tục, hàm mật độ của Y là g(y) = h(x, y) dx. Ta định nghĩa xác suất có điều kiện của biến cố {X < x} với điều kiện Y = y nh là giới hạn của P (X < x/y Y < y + y) khi y dần tới 0. Hàm F (x/y) = lim y0 P (X < x/y Y < y + y) đợc gọi là hàm phân bố có điều kiện của X với điều kiện Y = y, tất nhiên với giả thiết tồn tại giới hạn trên. Do định nghĩa xác suất có điều kiện và tính chất của hàm phân bố chung P (X < x/y Y < y + y) = P (X < x, y Y < y + y) P (y Y < y + y) = H(x, y + y) H(x, y) G(y + y) G(y) (H(x, y) là hàm phân bố chung của X và Y , G(y) là hàm phân bố của Y ). Chia cả tử và mẫu cho y, chuyển qua giới hạn khi y 0 ta đợc F (x/y) = y H(x, y) g(y) f(x/y) = x F (x/y) = 2 xy H(x, y) g(y) = h(x, y) g(y) . f(x/y) đợc gọi là hàm mật độ có điều kiện của X với điều kiện Y = y. 10 [...]... m < X + u , n n trong đó u đợc xác định từ hệ thức P (|u| u ) = , u N(0, 1) 4 Khoảng tin cậy cho xác suất k Cho biến cố ngẫu nhiên với xác suất p cấn phải ớc lợng Giả thiết p = n l tần suất xuất hiện của biến cố đó (Kích thớc mẫu đủ lớn - thông thờng n 40) Khi đó với độ tin cậy 1 , khoảng tin cậy cho xác suất u p n u p(1 p) < p < p + n p(1 p), trong đó u đợc xác định từ hệ thức P (|u| u )... trờng phổ thông bằng 25% 1 Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 100 em, số học sinh giỏi dao động từ 10 đến 20 2 H y tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 500 em, số học sinh giỏi không ít hơn 120 em Giải: 1 Gọi X l số học sinh giỏi trong số 100 em chọn ra, X có phân bố nhị thức với p =0,25 n = 100 k k P (X = k) = Cn pk q nk = C100 (0, 25)k (0, 75)100k trong đó 0 k 100 Suy ra xác suất cần tìm 20 P (10 X k... do.) trong đó F/2 đợc xác định từ hệ thức P (F F/2 ) = (F (b) B i toán 2 2 2 (H) : X = Y hoặc 2 (H) : X 2 Y với đối thiết 2 2 (K) : X > Y Quy tắc: Bác bỏ (H) nếu SX 2 > F , SY 2 trong đó F đợc xác định từ hệ thức P (F F ) = (F l đại lợng ngẫu nhiên phân bố F với m 1, n 1 bậc tự do.) 11 Kiểm định giả thiết về xác suất của biến cố ngẫu nhiên Giả sửA l biến cố ngẫu nhiên có xác suất P (A) = p cha... về luật số lớn Sự ổn định dần của tần suất tới xác suất của biến cố A chính l dạng đơn giản nhất của luật số lớn Ngời ta gọi chung các quy luật khẳng định sự hội tụ tới hằng số C của trung bình cộng của d y n đại lợng ngẫu nhiên Y1 + Y2 + ã ã ã + Yn C n khi n l luật số lớn Định nghĩa 8 Cho d y Yn , n = 1, 2, các đại lợng ngẫu nhiên Ta nói Yn hội tụ theo xác suất tới đại P lợng ngẫu nhiên Y , kí... khi giả thiết (H): p = p0 đúng 35 http://www.ebook.edu.vn Kiểm định giả thiết về xác suất của biến cố ngẫu nhiên Giả thiết kích thớc mẫu n đủ lớn (n 40) Kiểm định giả thiết về xác suất, mức ý nghĩa (a) B i toán 1 (H) : p = p0 với đối thiết (K) : p = p0 n Quy tắc: Bác bỏ (H) nếu p p0 > u , p0 (1 p0 ) trong đó u đợc xác định từ hệ thức P (|u| u ) = (u có phân bố chuẩn u N (0, 1).) (b) B i toán... y)(= X + y) H(z/y) = P (X + y < z) = F (z y) đạo h m hai vế theo z để xác định h m mật độ, ta đợc mật độ có điều kiện của Z với điều kiện Y = y (kí hiệu h(z/y)) h(z/y) = f (z y) áp dụng công thức xác suất đầy đủ mở rộng để tính h m mật độ của Z (kí hiệu r(z)), ta đợc r(z) = h(z/y)g(y) dy = f (z y)g(y) dy Đây chính l công thức xác định h m mật độ của tổng hai đại lợng ngẫu nhiên độc lập Ho n to... 25)k (0, 75)100k 20) = k=10 Để tính gần đúng xác suất trên, áp dụng công thức Moivre-Laplace P (10 X 20) (b) (a) trong đó 10 100 ã 0, 25 1 2 a= = 3, 58 100 ã 0, 25 ã 0, 75 Vậy v 20 100 ã 0, 25 + 1 2 b= = 1, 04 v 100 ã 0, 25 ã 0, 75 P (10 X (a) = (3, 58) = 0, 000172 (b) = (1, 04) = 0, 14917 20) 0, 14917 0, 000172 = 0, 148998 2 Tơng tự nh phần 1, xác suất cần tìm xấp xỉ 120 500 ã 0, 25 + 1 2... n 2 2 E(Xi ) E(X ) = = n1 2 n n i=1 (Xi X)2 n n1 2 ã = 2 n1 n E(X) = m = E(X), E(S 2 ) = 2 = D(X), Nhận xét 4 1 X không những hội tụ theo xác suất m hội tụ hầu chắc chắn tới m = E(X) 2 S 2 , S 2 hội tụ hầu chắc chắn (suy ra cũng hội tụ theo xác suất) tới 2 khi n 23 http://www.ebook.edu.vn 2 Các h m phân bố thờng gặp trong thống kê H m Gamma, Beta v tính chất h m Gamma, Beta A Tích phân... trong đó u đợc xác định từ hệ thức P (u u ) = (u có phân bố chuẩn u N (0, 1).) (c) B i toán 3 (H) : p = p0 hoặc (H) : p p0 với đối thiết (K) : p < p0 Quy tắc: Bác bỏ (H) nếu n p p0 p0 (1 p0 ) < u , trong đó u đợc xác định từ hệ thức P (u u ) = (u có phân bố chuẩn u N (0, 1).) Trong b i toán 2, b i toán 3, u đợc xác định từ hệ thức P (u > u ) = trong khi đó ở b i toán 1, u đợc xác định từ hệ... đó t đợc xác định từ hệ thức P (|t| t ) = (t có phân bố Student với n 1 bậc tự do.) (b) B i toán 2 (H) : m = m0 hoặc (H) : m m0 với đối thiết (K) : m > m0 X m0 n > t , S đợc xác định từ hệ thức P (t t ) = Quy tắc: Bác bỏ (H) nếu tqs = trong đó t (t có phân bố Student với n 1 bậc tự do.) (c) B i toán 3 (H) : m = m0 hoặc (H) : m m0 với đối thiết (K) : m < m0 X m0 n < t , S đợc xác định từ . đó P i A i = i P (A i ) P (A) đợc gọi là xác suất của biến cố ngẫu nhiên A. Trong lí thuyết xác suất (, A, P ) đợc gọi là không gian xác suất. Tính chất của xác suất (A) P () = 0. (B) A B P(A) P. hoặc sang trái 1 đơn vị với xác suất bằng 1 2 . Tìm xác suất để sau n bớc, chất điểm tới vị trí k trên trục số. 6. Bài toán gặp gỡ và bài toán gieo kim của Buffon. 3. Xác suất có điều kiện và sự. kiện một hộp xác định từ trớc (ví dụ hộp thứ nhất) không rỗng, tìm xác suất để hộp đó có đúng K viên bi (K 1). 3. Một xạ thủ bắn bia, xác suất trúng bia của xạ thủ bằng p. Tìm xác suất để sau