HỌ, TÊN CHỮ KÝ Giám thị số 1: Giám thị số 2: SỐ PHÁCH Do chủ tịch hội đồng ghi Chú ý: - Thí sinh phải ghi đủ các mục ở phần trên theo sự hướng dẫn của giám thị; - Thí sinh làm bài
Trang 1KỲ THI GIẢI TOÁN HỘI ĐỒNG THI TỈNH BẠC LIÊU TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY 2011 Ngày thi: 25/12/2011
Số báo danh HỌ VÀ TÊN THÍ SINH MÔN THI: TOÁN Lớp 12 THPT
Ngày sinh:… tháng … năm ……., nam hay nữ: Đơn vị dự thi
HỌ, TÊN CHỮ KÝ
Giám thị số 1:
Giám thị số 2:
SỐ PHÁCH (Do chủ tịch hội đồng ghi)
Chú ý:
- Thí sinh phải ghi đủ các mục ở phần trên theo sự hướng dẫn của giám thị;
- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi có phách đính kèm này;
- Bài thi phải được viết bằng một loại bút, một thứ mực; không viết bằng mực đỏ, bút chì; không được đánh dấu hay làm kí hiệu riêng; phần viết hỏng phải dùng thước gạch chéo; không được tẩy, xóa bằng bất kỳ cách gì (kể cả bút xóa)
- Trái với các điều trên, thí sinh sẽ bị loại
Trang 2SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH
CASIO-VINACAL VÒNG TỈNH NĂM 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Lớp 12 THPT
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Chú ý: - Đề thi này gồm 4 trang, 10 bài, mỗi bài 5 điểm
- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này
ĐIỂM BÀI THI CÁC GIÁM KHẢO (Họ, tên và chữ ký) (Do Chủ tịch Hội đồng thi ghi) SỐ PHÁCH Bằng số Bằng chữ Giám khảo 1:
Giám khảo 1:
Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô
trống liền kề bài toán Các kết quả tính gần đúng, nếu không chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy
Bài 1 Tìm tất cả các nghiệm gần đúng của phương trình:
25 x− + x + log x − 2012 0 = Cách giải Kết quả
Bài 2 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:
2sin x+3sin 2x−4cos x+ −2 2 2 0= Cách giải Kết quả
Trang 3Bài 3. Giải hệ phương trình: ( )
2 2 2
3 6
⎧
Cách giải Kết quả
Bài 4 Cho dãy số ( )u n có u1= và 4 u n+1 =2u n− (3 n∈ N ) *
18 1 3 2 3 18 3
Cách giải Kết quả
Bài 5 Cho hàm số f x( ) 3= x2+3cosx−4sinx+5 Tính gần đúng giá trị của các hệ số a, b nếu
đường thẳng y ax b= + là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )f x tại điểm có hoành độ
5
x= π Cách giải Kết quả
Trang 4Bài 6 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2 (x2 − 1 ) ln(x+ 1 ) + 4e x−x2 − 6x− 1 trên đoạn [ ]0;1
Cách giải Kết quả
Bài 7 Cho tam giác ABC vuông tại B, ba cạnh b, a, c của tam giác theo thứ tự lập thành cấp
số cộng, biết chu vi của tam giác ABC là 58 cm Tính độ dài ba cạnh của tam giác ABC
Cách giải Kết quả
Bài 8 Tìm gần đúng tọa độ các giao điểm của hai đường tròn ( ) ( ) (2 )2
và ( ) ( ) (2 )2
C x− + y+ =
Cách giải Kết quả
Trang 5Bài 9 Cho khối chóp tam giác đều S.ABC, biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là d,
góc tạo bởi đường thẳng AB và mặt phẳng (SBC) bằng α (00 < <α 600) Tính thể tích khối
chóp S.ABC khi d = , 5 α =200
Cách giải Kết quả
Bài 10 Một vận động viên chạy từ A đến D phải bơi qua sông theo đoạn BC (như hình vẽ)
Biết A cách D 1km, chiều rộng con sông 100m, vận tốc chạy bộ gấp đôi vận tốc bơi Tìm gần đúng chiều dài đoạn BC để vận động viên đến được D với thời gian ít nhất
A
D
B
C
Cách giải Kết quả
HẾT
Trang 6SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN 12 Cấp THPT
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô
trống liền kề bài toán Các kết quả tính gần đúng, nếu không chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy
Bài 1 Tìm tất cả các nghiệm gần đúng của trình:
25 x− + x + log x − 2012 0 =
Đặt f x( ) 25= 12x− 2011+x2 +logx−2012, với x> 0
ln10
x
x
−
Giải với phím SOLVE ta thu được x≈44,83690851 (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất
44,8369
2,0 2,0
1,0
Bài 2. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:
2sin x+3sin 2x−4cos x+ −2 2 2 0=
2sin x+3sin 2x−4cos x+ −2 2 2 0=
1 cos 2x 3sin 2x 2 1 cos 2x 2 2 2 0
1 2 2 cos 2 sin 2
3
2 4 cos 2
0,6155 ,
x≈ +kπ k∈Z
1,4009 ,
1,0 1,0
1,0 1,0 1,0
Bài 3 Giải hệ phương trình: ( )( )
2 2 2
3 6
⎧
+ Có y = 0 không thỏa mãn hệ
+ y≠ : Hệ 0
2
2
y
y
+
⎪
⇔ ⎨⎛ + ⎞
1,0
Trang 72
3 4
2
3 2
4
x
y
x y
x
y
x y
+
⎡⎧⎪ =
⎢⎨
⎢⎪ + =⎩
⎢
⇔
+
⎧
⎢⎨
⎢⎪ + =
⎣⎩
= hoặc =
1,0
1,5
1,5
Bài 4 Cho dãy số ( )u n cĩ u1= và 4 u n+1 =2u n− (3 n∈ N ) *
18 1 3 2 3 18 3
- Chứng minh 2n 1 3
n
u = − + bằng phương pháp qui nạp
+ n = 1: u1= (đúng) 4
+ Giả sử 2k 1 3
k
u = − + (k≥ ), chứng minh 1
3
2
+
k
k
Ta cĩ u k+1=2u k − =3 2 2( k− 1+ −3) 3=2k + 3
(đpcm)
- Từ đĩ cĩ 2 ( )2 2 ( )17 2
18 1 2 2 2
* Cách 2: Sử dụng quy trình tính trên máy
+ Chứng minh 2n 1 3
n
+ S18 =22 906 492 245 (kết quả chính xác)
2,5 2,5
Bài 5. Cho hàm số f x( ) 3= x2+3cosx−4sinx+5 Tính gần đúng giá trị của các hệ số a, b nếu
đường thẳng y ax b= + là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )f x tại điểm cĩ hồnh độ
5
x= π
- Tính ( )
5
f π
- Do đường thẳng y ax b= + là tiếp tuyến của
đồ thị hàm số f x( ) tại điểm cĩ hồnh độ
5
x=π nên a= f′( )π5 và ( )
- Ta cĩ
2 3cos 4sin 5
( ) (2 3sin 4cos ).3x x x .ln 3
- Suy ra a và b
( ) 407,5533404 5
( ) (2 3sin 4cos ) ( ).ln 3
1675,8069
a≈ −
1460, 4939
b≈
1,0
1,0
1,0 1,0 1,0
Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2 (x2 − 1 ) ln(x+ 1 ) + 4e x−x2 − 6x− 1
trên đoạn [ ]0;1
Trang 8+ y′ = ⇔ 0 xln(x+ + − = 1) e x 2 0
Trên máy tìm được x≈0,5601187864
1
x x
x
′′ = ⎢⎣ + + + ⎥⎦>
+ (do x>0) Suy ra y′= 0 có nghiệm duy nhất
0,5601187864
+ Tính trên máy y(0); (1); (0,5601187864)y y
+ Kết luận
[ ] 0;1 [ ] 0;1
max , miny y
0 0,5601187864
y′ = ⇔ ≈x
(0) 3
y = , y(1) 2,873127314 ≈ (0,5601187864) 1,718625234
[ ] 0;1 [ ] 0;1
maxy= 3, miny≈ 1,7186
1,0
1,0
1,5 0,5
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại B, ba cạnh b, a, c của tam giác theo thứ tự lập thành cấp
số cộng, biết chu vi của tam giác ABC là 58 cm Tính độ dài ba cạnh của tam giác ABC
Ta có a = b.sinA; c = b.cosA
2
b c+ = a
2
.cos A 2 sin A
2 cos 4.sin cos
A 1
tan A 53 7 '48,37 '' C 36 52'11, 63''
2 2
Theo định lí sin, ta có:
2
sin sin sin sin sin sin
2 sin ; 2 sin ; 2 sin
R
+ +
2
b c+ = a
A 53 7 '48,37 ''≈ ,
C 36 52 '11, 63''≈
2R≈ 24,16666667 19,3333; 24,1667
14,5000
c≈
1,0
1,0
1,5
1,5
Bài 8. Tìm gần đúng tọa độ các giao điểm của hai đường tròn ( ) ( ) (2 )2
và ( ) ( ) (2 )2
C x− + y+ =
Viết lại ( ) 2 2
Từ đó suy ra 3 2
2
x
Thay vào PT của ( )C2 , ta được
2
8x −36x+37 0=
2,911437828
1,588562172
x
x
≈
⎡
⇔ ⎢ ≈
⎣
Kết luận các giao điểm A và B
3 2 2
x
2
8x − 36x+ 37 0 =
1 2,911437828 1 1, 411437828
2 1,588562172 2 0, 088562172
(2,9114; 1, 4114 ,) (1,5886; 0, 0886)
1,0
1,0 1,0 1,0 1,0
Bài 9. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC, biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là d,
góc tạo bởi đường thẳng AB và mặt phẳng (SBC) bằng α (00 < <α 600) Tính thể tích khối chóp S.ABC khi 5 d = , α =200
Trang 9- Gọi I là trung điểm của BC, suy ra
)
(SAI
Kẻ AK ⊥SI (K thuộc SI)
- Xác định d và α
- Xét tam giác vuông ABK , có
α sin
d
AB=
- Diện tích tam giác đều ABC là
4
AB
S =
- Xét hai tam giác vuông đồng dạng AKI và
SHI , ta có SH AI =SI AK (*)
AB
với h=SH
2 2 2 2
9
AI
2 2 2
9
AK AI
SH
− ) sin 4 3
(
3 − 2α
=
1
3 12 3 4sin .sin
d
−
B
S
K
AK
d = , nABK=α
2 2
3 4sin
d S
α
=
55,9611
V ≈
1,0 0,5
0,5
0,5 1,0
0,5
0,5
0,5
Bài 10. Một vận động viên chạy từ A đến D phải bơi qua sông theo đoạn BC (như hình vẽ) Biết A cách D 1km, chiều rộng con sông 100m, vận tốc chạy bộ gấp đôi vận tốc bơi Tìm gần đúng chiều dài đoạn BC để vận động viên đến được D với thời gian ít nhất
A
D
B
C
A
B
F C
Gọi độ dài đoạn BC là x (km) (0,1 < <x 1),
vận tốc bơi là v ( v> ) 0
Trang 10Ta có: 2
1 (0,1)
ED= − , FC= x2−(0,1)2
Thời gian vận động viên xuất phát từ A đến
được D là:
2
1 0, 01 0, 01
2
t
Xét hàm số: f x( ) 2= x− x2−0, 01
Ta có
2
( ) 2
0, 01
x
f x
x
−
0, 04 '( ) 0
3
f x = ⇔ =x
Dựa vào bảng biến thiên của f x( ), ta có
( )
f x đạt giá trị nhỏ nhất khi
0,1154700538
x≈
Suy ra t ít nhất khi x ≈0,1154(km)
Vậy độ dài đoạn BC thỏa yêu cầu đề bài là
0,1154 km
2
1 (0,1)
ED= − , FC= x2 − (0,1) 2
2
1 0, 01 2 0,01
2
t
v
=
2 2
( )
0, 01
f x
x
−
0,1154700538
x≈
1,0
1,0
1,0
0,5
1,0
0,5 - HẾT -