VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương, ta thường sử dụng: – Qui tắc ba điểm đ
Trang 11 Các định nghĩa
• Vectơ là một đoạn thẳng cĩ hướng Kí hiệu vectơ cĩ điểm đầu A, điểm cuối B là ABuuur
• Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đĩ.
• Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu uuurAB
• Vectơ – khơng là vectơ cĩ điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0r
• Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
• Hai vectơ cùng phương cĩ thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
• Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cĩ cùng độ dài.
Chú ý: + Ta cịn sử dụng kí hiệu a br, , r để biểu diễn vectơ.
+ Qui ước: Vectơ 0r cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ
+ Điều kiện cần và đủ để 3 điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là hai véctơ ABuuur, uuurAC cùng phương.
2 Các phép tốn trên vectơ
a) Tổng của hai vectơ
• Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta cĩ: uuur uuur uuurAB BC AC+ =
• Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta cĩ: uuur uuur uuurAB AD AC+ =
• Tính chất: a b b ar+ = +r r r ; (a br+ + = + +r) c ar r (b cr r); ar+ =0r ar
b) Hiệu của hai vectơ
• Vectơ đối của ar là vectơ br sao cho a b 0r+ =r r Kí hiệu vectơ đối của ar là −ar
• Vectơ đối của 0r là 0r
• a b ar− = + −r r ( )br
• Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta cĩ: OB OA ABuuur uuur uuur− =
c) Tích của một vectơ với một số
• Cho vectơ ar và số k ∈ R kar là một vectơ được xác định như sau:
+ kar cùng hướng với ar nếu k ≥ 0, kar ngược hướng với ar nếu k < 0.
+ kar = k a r
• Tính chất: k a b(r+r) =ka kbr+ r; (k l a ka la+ )r= r+ r; k la( )r =( )kl ar
ka 0r=r ⇔ k = 0 hoặc a 0r=r
• Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a và b ar r(r≠0r)cùng phương⇔ ∃ ∈k R b ka:r= r
• Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng ⇔∃k ≠ 0: uuurAB k AC= uuur
• Biểu thị một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương: Cho hai vectơ khơng cùng
phương a br,r và xr tuỳ ý Khi đĩ ∃! m, n ∈ R: x ma nbr= r+ r
Chú ý:
• Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:
M là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ MA MB 0uuur uuur r+ = ⇔ OA OBuuur uuur+ =2OMuuur (O tuỳ ý)
• Hệ thức trọng tâm tam giác:
G là trọng tâm ∆ABC ⇔ GA GB GC 0uuur uuur uuur r+ + = ⇔ OA OB OCuuur uuur uuur+ + =3OGuuur (O tuỳ ý)
CHƯƠNG I VECTƠ
CHƯƠNG I VECTƠ
I VECTƠ
Trang 2VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ
Bài 1. Cho tứ giác ABCD Cĩ thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0r) cĩ điểm đầu và
điểm cuối là các điểm A, B, C, D ?
Bài 2. Cho ∆ABC cĩ A′, B′, C′ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB
a) Chứng minh: BC C A A Buuuur uuur uuuur′ = ′ = ′ ′
b) Tìm các vectơ bằng B C C Auuuur uuuur′ ′ ′ ′,
Bài 3. Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD,
BC Chứng minh: MP QN MQ PNuuur uuur uuur uuur= ; =
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD cĩ O là giao điểm của hai đường chéo Chứng minh:
a) uuur uur uuurAC BA AD− = ; uuur uuurAB AD AC+ =
b) Nếu uuur uuurAB AD+ = CB CDuuur uuur− thì ABCD là hình chữ nhật
Bài 5. Cho hai véc tơ a br, r Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng: a br+ = −r a br r
Bài 6. Cho ∆ABC đều cạnh a Tính uuur uuurAB AC+ ; uuur uuurAB AC−
Bài 7. Cho hình vuơng ABCD cạnh a Tính uuur uuur uuurAB AC AD+ +
Bài 8. Cho ∆ABC đều cạnh a, trực tâm H Tính độ dài của các vectơ HA HB HCuuur uuur uuur, ,
Bài 9. Cho hình vuơng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài của các vectơ uuur uuurAB AD+ , uuur uuurAB AC+
, AB ADuuur uuur−
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ
Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương, ta thường sử dụng:
– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.
– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất của các hình.
Bài 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh:
a) uuur uuur uuur uuurAB DC AC DB+ = + b) AD BE CF AE BF CDuuur uuur uuur uuur uuur uuur+ + = + +
Bài 2. Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh: a) Nếu uuur uuurAB CD= thì uuur uuurAC BD= b) AC BD AD BCuuur uuur uuur uuur+ = + =2IJuur
c) Gọi G là trung điểm của IJ Chứng minh: GA GB GC GD 0uuur uuur uuur uuur r+ + + =
d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và
BC Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN cĩ chung trung điểm
Bài 3. Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD Chứng minh:
2(uuur uur uur uuur+ + + ) 3= uuur
Bài 4. Cho ∆ABC Bên ngồi tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng
minh: RJ IQ PS 0uur uur uur r+ + =
Bài 5. Cho tam giác ABC, cĩ AM là trung tuyến I là trung điểm của AM
a) Chứng minh: 2IA IB ICuur uur uur r+ + =0
b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA OB OCuuur uuur uuur+ + =4OIuur
Bài 6. Cho ∆ABC cĩ M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường
Trang 3trịn ngoại tiếp Chứng minh:
a) uuurAH =2OMuuur b) HA HB HCuuur uuur uuur+ + =2HOuuur c) OA OB OC OHuuur uuur uuur uuur+ + =
Bài 7. Cho hai tam giác ABC và A′B′C′ lần lượt cĩ các trọng tâm là G và G′
a) Chứng minh AA BB CCuuur uuur uuuur′+ ′+ ′ =3GGuuuur′.
b) Từ đĩ suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác cĩ cùng trọng tâm
Bài 8. Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC Chứng minh:
AM 1AB 2AC
Bài 9. Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm
thuộc AC sao cho CNuuur=2uuurNA K là trung điểm của MN Chứng minh:
Bài 10.Cho hình thang OABC M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC Chứng minh rằng: a) AM 1OB OA
2
uuur uuur uuur
b) BN 1OC OB
2
uuur uuur uuur
c) MN 1(OC OB)
2
uuuur uuur uuur
Bài 11.Cho ∆ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Chứng minh rằng:
uuuur uuur uuur
Bài 12.Cho ∆ABC cĩ trọng tâm G Gọi H là điểm đối xứng của B qua G
a) Chứng minh: AH 2AC 1AB
và CH 1(AB AC)
3
b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh: MH 1AC 5AB
uuuur uuur uuur
Bài 13.Cho hình bình hành ABCD, đặt uuurAB a AD b= r,uuur= r Gọi I là trung điểm của CD, G là
trọng tâm của tam giác BCI Phân tích các vectơ BI AGuur uuur, theo a br, r
Bài 14.Cho lục giác đều ABCDEF Phân tích các vectơ BC và BDuuur uuur theo các vectơ uuurAB và AFuuur
Bài 15.Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC Hãy phân tích vectơ
AM
uuur
theo các vectơ OA OB OCuuur uuur uuur, ,
Bài 16.Cho ∆ABC Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
MB=3MC NA, =3CN PA PB, + =0
uuur uuur uuur uuur uur uuur r
a) Tính PM PNuuur uuur, theo uuur uuurAB AC, b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng
Bài 17.Cho ∆ABC Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
a) Chứng minh: AAuuur uuur uuuur r1+BB CC1+ 1=0
b) Đặt BBuuur1=u CCr,uuuur1=vr Tính BC CA ABuuur uur uuur, , theo u và vr r
Bài 18.Cho ∆ABC Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI Gọi F là điểm trên cạnh
BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC
a) Tính uur uuurAI AF theo AB và AC, uuur uuur
b) Gọi G là trọng tâm ∆ABC Tính uuurAG theo AI và AFuur uuur
Bài 19.Cho ∆ABC cĩ trọng tâm G Gọi H là điểm đối xứng của G qua B
a) Chứng minh: HAuuur−5HB HCuuur uuur r+ =0
b) Đặt uuurAG a AH b= r,uuur= r Tính uuur uuurAB AC, theo a và br r
VẤN ĐỀ 3: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Trang 4Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đĩ đối với hình vẽ Thơng thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OM auuur=r, trong đĩ O và ar đã được xác định Ta thường sử dụng các tính chất về:
– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k.
– Hình bình hành.
– Trung điểm của đoạn thẳng.
– Trọng tâm tam giác, …
Bài 1. Cho ∆ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: uuur uuur uuur rMA MB MC 0− + =
Bài 2. Cho đoạn thẳng AB cĩ trung điểm I M là điểm tuỳ ý khơng nằm trên đường thẳng
AB Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI
a) Chứng minh: BN BA MBuuur uur uuur− =
b) Tìm các điểm D, C sao cho: NA NI NDuuur uur uuur+ = ; uuur uuur uuurNM BN NC− =
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD
a) Chứng minh rằng: uuur uuur uuurAB AC AD+ + =2uuurAC
b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3uuur uuur uuur uuurAM AB AC AD= + +
Bài 4. Cho tứ giác ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC
a) Chứng minh: MN 1 (AB DC)
2
uuuur uuur uuur
b) Xác định điểm O sao cho: OA OB OC OD 0uuur uuur uuur uuur r+ + + =
Bài 5. Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung
điểm của MN Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta cĩ: SA SB SC SDuur uur uur uuur+ + + =4SOuuur
Bài 6. Cho ∆ABC Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
a) 2IBuur+3ICuur r=0 b) 2JA JC JB CAuur uur uur uur+ − =
c) KA KB KCuuur uuur uuur+ + =2BCuuur d) 3LA LBuur uur− +2LCuuur r=0
Bài 7. Cho ∆ABC Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
a) 2IAuur−3IBuur=3BCuuur b) JA JBuur uur+ +2JCuur r=0
c) KA KB KC BCuuur uuur uuur uuur+ − = d) LAuur−2LC ABuuur uuur= −2uuurAC
Bài 8. Cho ∆ABC Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau:
a) IA IB IC BCuur+ −uur uuur= b) FA FB FC AB ACuur uuur uuur uuur uuur+ + = +
c) 3KA KB KCuuur uuur uuur r+ + =0 d) 3uuuurLA−2LB LCuur uuur r+ =0
Bài 9. Cho hình bình hành ABCD cĩ tâm O Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các đẳng
thức sau:
a) IA IB ICuur uur uur+ + =4IDuur b) 2FAuur+2FBuuur=3FC FDuuur uuur−
c) 4KAuuur+3KBuuur+2KC KDuuur uuur r+ =0
Bài 10. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý
a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD MC ABuuuur uuur uuur= + , uuur uuur uuurME MA BC= + ,
MF MB CA= +
uuur uuur uur
Chứng minh D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M
b) So sánh 2 véc tơ MA MB MC và MD ME MFuuur uuur uuur+ + uuuur uuur uuur+ +
Bài 11. Cho tứ giác ABCD
a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho: GA GB GC GD 0uuur uuur uuur uuur r+ + + = (G đgl trọng tâm của
tứ giác ABCD).
b) Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta cĩ: OG 1(OA OB OC OD)
4
uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 12. Cho G là trọng tâm của tứ giác ABCD A′, B′, C′, D′ lần lượt là trọng tâm của các tam
Trang 5giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh:
a) G là điểm chung của các đoạn thẳng AA′, BB′, CC′, DD′
b) G cũng là trọng tâm của của tứ giác A′B′C′D′
Bài 13. Cho tứ giác ABCD Trong mỗi trường hợp sau đây hãy xác định điểm I và số k sao
cho các vectơ vr đều bằng k MI.uuur với mọi điểm M:
a) v MA MBr=uuur uuur+ +2MCuuur b) v MA MBr=uuur uuur− −2uuurMC
c) v MA MB MC MDr=uuur uuur uuur uuuur+ + + d) vr=2MAuuur+2MB MCuuur uuur+ +3MDuuuur
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau
• Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đĩ thoả mãn đẳng thức uuurAB k AC= uuur, với k ≠ 0.
• Để chứng minh hai điểm M, N trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức
OM ONuuur uuur= , với O là một điểm nào đĩ hoặc MN 0uuuur r= .
Bài 1. Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : OAuuur+2OBuuur−3OCuuur r=0 Chứng tỏ rằng A, B, C
thẳng hàng
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho:
BH 1BC BK, 1BD
uuur uuur uuur uuur
Chứng minh: A, K, H thẳng hàng
HD: BH AH AB BK AK ABuuur uuur uuur uuur uuur uuur= − ; = −
Bài 3. Cho ∆ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: IBuur=2ICuur, JC 1JA
2
= −
,
KA= −KB
uuur uuur
a) Tính IJ IK theo AB và ACuur uur, uuur uuur (HD: IJ AB 4AC
3
uur uuur uuur
)
b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm ∆AIB)
Bài 4. Cho tam giác ABC Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P
sao cho MBuuur=3MCuuur, uuurNA=3CNuuur, PA PB 0uur uuur r+ =
a) Tính PM PNuuur uuur, theo uuur uuurAB AC,
b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho
AD = 1
2AF, AB =
1
2AE Chứng minh:
a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng
b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành
Bài 6. Cho ∆ABC Hai điểm I, J được xác định bởi: IAuur+3ICuur r=0, JAuur+2JBuur+3JCuur r=0
Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng
Bài 7. Cho ∆ABC Hai điểm M, N được xác định bởi: 3MAuuur+4uuur rMB=0, NBuuur−3NCuuur r=0
Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của ∆ABC
Bài 8. Cho ∆ABC Lấy các điểm M N, P: MBuuur−2MC NAuuur uuur= +2NC PA PBuuur uur uuur r= + =0
a) Tính PM PN theo AB và ACuuur uuur, uuur uuur b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng
Bài 9. Cho ∆ABC Về phía ngồi tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS
Trang 6Chứng minh các tam giác RIP và JQS cĩ cùng trọng tâm.
Bài 10.Cho tam giác ABC, A′ là điểm đối xứng của A qua B, B′ là điểm đối xứng của B qua
C, C′ là điểm đối xứng của C qua A Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ cĩ chung trọng tâm
Bài 11.Cho ∆ABC Gọi A′, B′, C′ là các điểm định bởi: 2uuurA B′ +3uuur rA C′ =0, 2B Cuuur′ +3B Auuur r′ =0,
C A C B
2uuur′ +3uuur r′ =0 Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ cĩ cùng trọng tâm
Bài 12.Trên các cạnh AB, BC, CA của ∆ABC lấy các điểm A′, B′, C′ sao cho:
Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ cĩ chung trọng tâm
Bài 13.Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý Gọi A′, B′, C′ lần lượt là điểm đối xứng của
M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
a) Chứng minh ba đường thẳng AA′, BB′, CC′ đồng qui tại một điểm N
b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luơn đi qua trọng tâm G của ∆ABC
Bài 14.Cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G Các điểm M, N thoả mãn: 3MAuuur+4MBuuur r=0,
CN 1BC
2
=
uuur uuur
Chứng minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của ∆ABC
Bài 15.Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho
BD DE EC= =
uuur uuur uuur
a) Chứng minh AB AC AD AEuuur uuur uuur uuur+ = +
b) Tính uur uuur uuur uuur uuurAS AB AD AC AE theo AI= + + + uur Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng
Bài 16.Cho tam giác ABC Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức BM BCuuur uuur= −2uuurAB,
CN x AC BCuuur= uuur uuur−
a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng.
b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC Tính IM
IN .
Bài 17.Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho a b c 0+ + ≠
a) Chứng minh rằng cĩ một và chỉ một điểm G thoả mãn aGA bGB cGC 0uuur+ uuur+ uuur r=
b) Gọi M, P là hai điểm di động sao cho MP aMA bMB cMCuuur= uuur+ uuur+ uuur Chứng minh ba điểm
G, M, P thẳng hàng
Bài 18.Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MNuuuur=2uuurMA+3uuur uuurMB MC−
a) Tìm điểm I thoả mãn 2IAuur+3IB ICuur uur r− =0
b) Chứng minh đường thẳng MN luơn đi qua một điểm cố định
Bài 19.Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MNuuuur=2uuur uuur uuurMA MB MC− +
a) Tìm điểm I sao cho 2IA IB ICuur uur uur r− + =0
b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luơn đi qua một điểm cố định
c) Gọi P là trung điểm của BN Chứng minh đường thẳng MP luơn đi qua một điểm cố định
VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Trang 7Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đĩ để đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết Chẳng hạn:
– Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đĩ.
– Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng khơng đổi đường trịn cĩ tâm là điểm cố định và bán kính là khoảng khơng đổi.
–
Bài 1. Cho 2 điểm cố định A, B Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a) MA MBuuur uuur+ = MA MBuuur uuur− b) MA MB2uuur uuur+ = MAuuur+2MBuuur
HD: a) Đường trịn đường kính AB b) Trung trực của AB.
Bài 2. Cho ∆ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a) MA MB MC 3 MB MC
2
b) MA BCuuur uuur+ = MA MBuuur uuur− c) 2MA MBuuur uuur+ = 4MB MCuuur uuur− d) 4MA MB MCuuur uuur uuur+ + = 2MA MB MCuuur uuur uuur− −
HD: a) Trung trực của IG (I là trung điểm của BC, G là trọng tâm ∆ABC).
b) Dựng hình bình hành ABCD Tập hợp là đường trịn tâm D, bán kính BA.
Bài 3. Cho ∆ABC
a) Xác định điểm I sao cho: 3IAuur−2IB ICuur uur r+ =0
b) Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ thức:
MN =2MA−2MB MC+ uuuur uuur uuur uuur luơn đi qua một điểm cố định
c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: 3HAuuur−2HB HCuuur uuur+ = HA HBuuur uuur−
d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 2 KA KB KCuuur uuur uuur+ + =3KB KCuuur uuur+
Bài 4. Cho ∆ABC
a) Xác định điểm I sao cho: IAuur+3IBuur−2ICuur r=0
b) Xác định điểm D sao cho: 3DBuuur−2DCuuur r=0
c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng
d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MAuuur+3MBuuur−2MCuuur = 2MA MB MCuuur uuur uuur− −
Trang 81 Trục toạ độ
• Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đĩ đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị er Kí hiệu (O e; r )
• Toạ độ của vectơ trên trục: ur=( )a ⇔ =u a er r.
• Toạ độ của điểm trên trục: M k( )⇔OM k euuur= r
• Độ dài đại số của vectơ trên trục: AB a= ⇔uuurAB a e= r
Chú ý: + Nếu uuurAB cùng hướng với e r thì AB AB= .
Nếu uuurAB ngược hướng với e r thì AB AB= − + Nếu A(a), B(b) thì AB b a= − .
+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta cĩ: AB BC AC+ = .
2 Hệ trục toạ độ
• Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuơng gĩc với nhau Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt
là i jr r, O là gốc toạ độ, Ox là trục hồnh, Oy là trục tung.
• Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: ur=( ; )x y ⇔ =u x i y jr r+ r
• Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: M x y( ; )⇔OM x i y juuur= r+ r
• Tính chất: Cho ar=( ; ),x y br=( ; ),x y k R′ ′ ∈ , A x y( ; ), ( ; ), ( ; ) :A A B x y B B C x y C C
y y
=
= ⇔ ′
=
r r
+ a br± = ±r (x x y y′; ± ′) + kar=( ; )kx ky
+ br cùng phương với a 0r≠r ⇔∃k ∈ R: x′ =kx và y′=ky
⇔ x y
′ ′
= (nếu x ≠ 0, y ≠ 0).
+ uuurAB=(x B−x y A; B−y A)
+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: I x A x B I y A y B
+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: G x A x B x C G y A y B y C
( M chia đoạn AB theo tỉ số k ⇔ MA kMBuuur= uuur)
II TOẠ ĐỘ
Trang 9VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trên trục
Bài 1. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B cĩ tọa độ lần lượt là −2 và 5
a) Tìm tọa độ của ABuuur
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho MA2uuur+5MBuuur r=0
d) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA+3NB= −1
Bài 2. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B cĩ tọa độ lần lượt là −3 và 1
a) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA3 −2MB=1
b) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA+3NB AB=
Bài 3. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(−2), B(4), C(1), D(6)
a) Chứng minh rằng:
AC AD AB
b) Gọi I là trung điểm của AB Chứng minh: IC ID IA = 2
c) Gọi J là trung điểm của CD Chứng minh: AC AD AB AJ =
Bài 4. Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C cĩ tọa độ lần lượt là a, b, c.
a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB
b) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA MB MC 0uuur uuur uuur r+ − =
c) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2uuurNA−3NB NCuuur uuur=
Bài 5. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D tuỳ ý
a) Chứng minh: AB CD AC DB DA BC + + =0
b) Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AB, CD Chứng minh rằng các đoạn IJ và KL cĩ chung trung điểm
VẤN ĐỀ 2: Toạ độ trên hệ trục
Bài 1. Viết tọa độ của các vectơ sau:
a) a 2i 3 ;j b 1i 5 ;j c 3 ;i d 2j
3
= r+ r r= r− r = r r= − r
b) a i 3 ;j b 1i j c; i 3 j d; 4 ;j e 3i
= −r r r= r r+ = − +r r r= − r = r
Bài 2. Viết dưới dạng u xir= r+yjr khi biết toạ độ của vectơ ur là:
a) ur=(2; 3);− ur= −( 1;4);ur=(2;0);ur=(0; 1)−
b) ur=(1;3);ur=(4; 1);− ur=(1;0);ur=(0;0)
Bài 3. Cho ar= −(1; 2), br=(0;3) Tìm toạ độ của các vectơ sau:
a) x a b y a b zr r= +r; r= −r r; r=2ar−3br b) u 3a 2 ;b v 2 b w; 4a 1b
2
= − r = +r = − r
Bài 4. Cho a (2;0), b 1;1 ,c (4; 6)
2
r
Trang 10
a) Tìm toạ độ của vectơ dr=2ar−3br+5cr
b) Tìm 2 số m, n sao cho: ma b nc 0r+ −r r=r
c) Biểu diễn vectơ cr theo ,a br r
Bài 5. Cho hai điểm A(3; 5), (1;0)− B .
a) Tìm toạ độ điểm C sao cho: OCuuur= −3ABuuur
b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C
c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.
Bài 6. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0)
a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng
b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB
Bài 7. Cho ba điểm A(1; −2), B(0; 4), C(3; 2)
a) Tìm toạ độ các vectơ uuur uuur uuurAB AC BC, ,
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB
c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: CMuuur=2uuurAB−3uuurAC
d) Tìm tọa độ điểm N sao cho: uuurAN+2BNuuur−4CNuuur r=0
Bài 8. Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2)
a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C
b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành cĩ 3 đỉnh là A, B, C
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC
BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG I
Bài 1. Cho tam giác ABC với trực tâm H, B′ là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường
trịn ngoại tiếp tam giác Hãy xét quan hệ giữa các vectơ AH và B C AB và HCuuur uuur uuur′ ; ′ uuur
Bài 2. Cho bốn điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD
a) Chứng minh: AC BD AD BCuuur uuur uuur uuur+ = + =2IJuur
b) Gọi G là trung điểm của IJ Chứng minh: GA GB GC GD 0uuur uuur uuur uuur r+ + + =
c) Gọi P, Q là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD; M, N là trung điểm của các đoạn thẳng AD và BC Chứng minh rằng ba đoạn thẳng IJ, PQ và MN cĩ chung trung điểm
Bài 3. Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý
a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD MC ABuuuur uuur uuur= + , uuur uuur uuurME MA BC= + ,
MF MB CA= +
uuur uuur uur
Chứng minh các điểm D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M b) So sánh hai tổng vectơ: MA MB MCuuur uuur uuur+ + và MD ME MFuuuur uuur uuur+ +
Bài 4. Cho ∆ABC với trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM
a) Chứng minh: 2IA IB ICuur uur uur r+ + =0
b) Với điểm O bất kì, chứng minh: 2OA OB OCuuur uuur uuur+ + =4OIuur
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ∆ABC
Chứng minh:
a) 2uurAI =2uuur uuurAO AB+ b) 3DG DA DB DCuuur uuur uuur uuur= + +
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I và J là trung điểm của BC, CD
a) Chứng minh: AI 1 D 2(A AB)
2
b) Chứng minh: OA OI OJ 0uuur uur uur r+ + =