Tỉ số kép và ứng dụng

[1] Tỉ số kép của hàng ñiểm và áp dụng 1. Một số khái niệm về tỉ số kép của hàng ñiểm, hàng ñường thẳng ðịnh nghĩa 1.1. Cho 4 ñiểm A, B, C, D nắm trên một ñường thẳng. Khi ñó tỉ số kép của A, B, C, D (ta chú ý tới tính thứ tự) ñược ñịnh nghĩa là AC BC : AD BD và ta kí hiệu AC BC (ABCD) : AD BD = (Chú ý: Trong trường hợp AC BC : 1 AD BD = − ta nói A, B, C, D là hàng ñiểm ñiều hòa và kí hiệu (ABCD)=-1) Từ ñịnh nghĩa suy ra i.(ABCD) (CDAB) (BADC) (DCBA) 1 1 ii.(ABCD) (BACD) (ABDC) iii.(ABCD) 1 (ACBD) 1 (DBCA) iv.(ABCD) (A 'BCD) A A ' (ABCD) (AB'CD) B B' v.(ABCD) 1 = = = = = = − = − = ⇔ ≡ = ⇔ ≡ ≠ ðịnh nghĩa 1.2. Phép chiếu xuyên tâm. Cho (d). S ở ngoài (d). Với mỗi ñiểm M, SM cắt (d) tại M’(M không thuộc ñường thẳng qua S song song (d)). Vậy M→M’ là phép chiếu xuyên tâm với tâm chiếu S lên (d) Tiếp theo ta sẽ phát biểu một ñịnh lí quan trọng về phép chiếu xuyên tâm ðịnh lí 1.3. Phép chiếu xuyên tâm bảo toàn tỉ số kép Chứng minh. Trước hết ta cần phát biểu một bổ ñề Bổ ñề 1.3.1. Cho S. A, B, C, D thuộc (d). Từ C kẻ ñường thẳng song song SD cắt SA, SB tại A’, B’. Khi ñó CA ' (ABCD) CB' = [2] Thật vậy theo ñịnh lí Talet ta có: CA DA AC DB CA ' DS CA ' (ABCD) : : : CB DB AD CB DS CB ' CB ' = = = = Trở lại ñịnh lí ta có 1 1 1 1 1 1 C A '' CA ' (ABCD) (A B C D ) CB' C B'' = = = (d.p.c.m) Nhận xét: A, B, C, D là hàng ñiểm ñiều hòa ⇔ C là trung ñiểm A’B’ Từ ñịnh lí 1.3 ta có các hệ quả: Hệ quả 1.3.2. Cho 4 ñường thẳng ñồng quy và ñường thẳng ∆ cắt 4 ñường thẳng này tại A, B, C, D. khi ñó (ABCD) không phụ thuộc vào ∆ Hệ quả 1.3.3. Cho hai ñường thẳng 1 ∆ , 2 ∆ cắt nhau tại O. 1 A, B,C ∈ ∆ , 2 A ',B',C ' ∈ ∆ . Khi ñó: (OABC) (OA 'B 'C ') AA ', BB ',CC ' = ⇔ ñồng quy hoặc ñôi một song song Chứng minh. TH1. AA’, BB’, CC’ song song BO CO B'O C 'O : : BA CA B'A C 'A (OABC) (OA 'B'C') ⇒ = ⇒ = TH2. AA’, BB’,CC’ không ñ ôi m ộ t song ñặ t AA ' BB' S,SC C" ∩ = ∩ ∆ = . Ta có: (OA 'B'C') (OABC) (OA 'B'C") (OA 'B'C') (OA 'B'C") C ' C'' = = ⇒ = ⇒ ≡ V ậ y AA’, BB’, CC’ ñồ ng quy Hệ quả 1.3.4. ðịnh nghĩa 1.4 [3] Cho b ố n ñườ ng th ẳ ng a, b, c, d ñồ ng quy t ạ i S. M ộ t ñườ ng th ẳ ng (l) c ắ t a, b, c, d t ạ i A, B, C, D. Khi ñ ó t ỉ s ố kép c ủ a chùm a, b, c, d b ằ ng t ỉ s ố kép c ủ a hàng A, B, C, D. T ừ ñ ây ta suy ra: sin(OA, OC) sin(OB,OC) (abcd) (ABCD) : sin(OA, OD) sin(OB,OD) = =         Tính ch ấ t trên là m ộ t tính ch ấ t quan tr ọ ng, r ấ t có l ợ i trong vi ệ c gi ả i các bài toán Chú ý: Chùm a, b, c, d là chùm ñ i ề u hòa ⇔A, B, C, D là hàng ñ i ể m ñ i ề u hòa Tính chất 1.5 . Cho chùm ñ i ề u hòa (abcd) N ế u b⊥d ⇔ b, d là phân giác các góc t ạ o b ở i a và c Ch ứ ng minh. - N ế u b, d là phân giác góc t ạ o b ở i a, c suy ra ñ i ề u ph ả i ch ứ ng minh - N ế u b⊥d. T ừ C k ẻ ñườ ng th ẳ ng song song OD. Do (abcd)=-1 nên MC = MN suy ra b, d là phân giác góc COA Tính chất 1.6. Cho O và O’ n ằ m trên d. Các ñườ ng th ẳ ng a, b, c ñồ ng quy t ạ i O, a’, b’, c’ ñồ ng quy t ạ i O’. a ' a A, b b ' B,c c ' C ∩ = ∩ = ∩ = . Ch ứ ng minh r ằ ng A, B, C th ẳ ng hàng ⇔ ( ) ( ) abcd a’b’c’d = Ch ứ ng minh. Xét AC d K ∩ = 2. Một số ví dụ Chú ý : Trong m ộ t s ố bài toán có nh ữ ng tr ườ ng h ợ p ñơ n gi ả n nh ư các ñườ ng th ẳ ng song song v ớ i nhau, ch ứ ng minh các tr ườ ng h ợ p này t ươ ng ñố i ñơ n gi ả n, xin b ỏ qua 2.1. Cho t ứ giác ABCD. E AB CD, F AD BC, G AC BD = ∩ = ∩ = ∩ . EF AD, AB M, N ∩ = . Ch ứ ng minh r ằ ng (EMGN) 1 = − . Chứng minh. [4] Xét phép các phép chi ế u: A: E B,G C, M F, N N → → → → ⇒ ( ) ( ) EGMN BCFN = D: E C,G B, M F, N N (EGMN) (CBFN) → → → → ⇒ = ( ) BCFN (CBFN) 1 (BCFN) (BCFN) ⇒ = ⇔ = (BCFN) 1 ⇔ = − (do (BCFN) 1 ≠ ) V ậ y ( ) EGMN 1 = − (d.p.c.m) Nh ậ n xét: T ừ 2.1 ta suy ra bài toán: Cho tam giác ABC. D, E, F thu ộ c các c ạ nh BC, CA, AB. EF BC M ∩ = . Ta có: AD, BE, CF ñồ ng quy (ABDM) 1 ⇔ = − 2.2. Cho t ứ giác ABCD. AC BD O ∩ = . M ộ t ñườ ng th ẳ ng (d) ñ i qua (O). (d) A, B,C, D M, N, P, Q ∩ = . Ch ứ ng minh r ằ ng: ( ) ( ) MNOP MOQP = Chứng minh. Xét các phép chi ế u: [5] ( ) ( ) A : M J,O C,Q D, P P (MOQP) JCDP B : M J, N C,O D, P P (MNOP) JCDP → → → → ⇒ = → → → → ⇒ = V ậ y ( ) ( ) MNOP MOQP = Nhận xét : T ừ 2.2 ta suy ra bài toán sau: Cho t ứ giác ABCD. AC BD O ∩ = . M ộ t ñườ ng th ẳ ng (d) ñ i qua (O). (d) A, B,C, D M, N, P, Q ∩ = . Ch ứ ng minh r ằ ng: O là trung ñ i ể m QH khi và ch ỉ khi O là trung ñ i ể m MP. Bài toán trên chính là ñị nh lí “con b ướ m” trong t ứ giác. 2.3. Cho t ứ giác ABCD n ộ i ti ế p ñườ ng tròn (O). S∈(O). Khi ñ ó S(ABCD) = const (S(ABCD) là t ỉ s ố kép c ủ a chùm SA, SB, SC, SD Chứng minh. Ta có S(ABCD) sin(SA,SC) sin(SB,SC) sin(BA, BC) sin(AB, AC) : : sin(SA,SD) sin(SB,SD) sin(BA, BD) sin(AB,AD) = =                 AC BC : const AD BD = = (d.p.c.m) 2.4. Cho t ứ giác ABCD n ộ i ti ế p ñườ ng tròn (O), AC BD J ∩ = .M ộ t ñườ ng th ẳ ng (d) qua J , (d) AB,CD, (O) M, N, P, Q ∩ = . Ch ứ ng minh r ằ ng: (QMJP) (QJNP) = Chứng minh. [6] Theo 2.3 ta có: A(QBCP) D(QBCP (QMJP) (QJNP) = ⇔ = Nh ậ n xét. T ừ 2.4 ta có bài toán sau: Cho t ứ giác ABCD n ộ i ti ế p ñườ ng tròn (O), AC BD J ∩ = .M ộ t ñườ ng th ẳ ng (d) qua J , (d) AB,CD, (O) M, N, P, Q ∩ = . Ch ứ ng minh r ằ ng: JM JN JP JQ = ⇔ = Bài toán trên chính là ñị nh lí con b ướ m trong ñườ ng tròn 2.5. Cho tam giác ABC. AD, BE, CF ñồ ng quy, EF AD L ∩ = . T ừ L k ẻ ñườ ng th ẳ ng vuông góc BC t ạ i H. Ch ứ ng minh r ằ ng a. HL là phân giác  FEH b. ðườ ng th ẳ ng qua L c ắ t CA, CF t ạ i X, Y. Ch ứ ng minh r ằ ng LD là phân giác c ủ a  XDY Chứng minh. a. EF BC J ∩ = . Do AD, BE, CF ñồ ng quy nên (BCDJ) 1 = − . Suy ra H(BCDJ)=-1 mà HL HJ ⊥ nên HL là phân giác  FEH b. XY BC K ∩ = . Xét phép chi ế u: C : J K, F X, E Y, I I (YXIK) (EFIJ) 1 H(YXIK) 1 → → → → ⇒ = = − ⇒ = − [7] Mà HI HK ⊥ nên HI là phân giác  XHY ( ñ .p.c.m) 2.6. ( ðị nh lí decas) Cho hai ñườ ng th ẳ ng , ' ∆ ∆ . A, B, C , A ',B ', C ' ' ∈ ∆ ∈ ∆ . BC B 'C ' X, AC A 'C ' Y, ∩ = ∩ = AB A 'B ' Z ∩ = . Ch ứ ng minh r ằ ng X, Y, Z th ẳ ng hàng Chứng minh. G ọ i A 'C AB' M, C'B B 'C N, AB A 'B ' L ∩ = ∩ = ∩ = . Xét các phép chi ế u: A ' : B' L, M C, Z B, A A (B'MZA) (LCBA) C ' : B ' L, C C, X B, N A (B'CXN) (LCBA) (B ' MZA) (B 'CXN) → → → → ⇒ = → → → → ⇒ = ⇒ = ⇒ MC, AN, XZ ñồ ng quy ⇒ X, Y, Z th ẳ ng hàng Nhận xét: bài toán trên cho ta m ộ t ph ươ ng pháp m ạ nh ñể ch ứ ng minh các ñ i ể m th ẳ ng hàng 2.7. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’. R BC B 'C ',Q CA C 'A ', P AB A ' B ' = ∩ = ∩ = ∩ . Ch ứ ng minh r ằ ng P, Q, R AA ',BB ', CC ' ⇔ ñồ ng quy ho ặ c ñ ôi m ộ t song song Chứng minh. [8] ðặ t S BB' CC ',Q AC A 'C ',P AB A ' B ',M, N PQ BB ',CC ' = ∩ = ∩ = ∩ = ∩ . Ta có: AA ', BB',CC ' ñồ ng quy ho ặ c ñ ôi m ộ t song song S, A, A ' P(A ' NAS)=Q(A'MAS) P(B 'MBS) Q(C ' NCS) ⇔ ⇔ ⇔ = BC, B'C', MN ⇔ ñồ ng quy P, Q, R ⇔ 2.8. Trên tr ụ c s ố cho b ố n ñ i ể m A, B, C, D; I là trung ñ i ể m c ủ a AB, K là trung ñ i ể m c ủ a CD. Ch ứ ng minh r ằ ng các ñ i ề u ki ệ n sau t ươ ng ñươ ng: CA DA a. CB DB = − (1) 2 2 1 1 b. AB AC AD c.IA IC.ID d.AC.AD AB.AK = + = = Chứng minh. Ch ọ n m ộ t ñ i ể m O b ấ t kì trên tr ụ c làm g ố c. ðặ t OA 1,OB b, OC c,OD d = = = = . Khi ñ ó: ( ) ( )( ) CA DA a c a d 2 ab cd a b c d b c b d CB DB − − = − ⇔ = ⇔ + = + + − − (2) - Ch ọ n O A(a 0) ≡ = , ta có ( ) 2 1 1 2 1 1 2 2cd bc bd b c d AB AC AD ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = + v ậ y a. ⇔ b. - Ch ọ n O I ≡ , ta có a b = − và do ñ ó [9] 2 2 (2) a cd IA IC.ID ⇔ = ⇔ = V ậ y a. ⇔ c. - L ạ i có 2 1 1 AC AD AC.AD AB. AC.AD AB.AK 2 AB AC AD + = + ⇔ = = = V ậ y b. ⇔ d. 2.9. Cho t ứ giác ABCD n ộ i ti ế p (O). AB CD S,AD BC F, AC BD E. ∩ = ∩ = ∩ = Ti ế p tuy ế n SM, SN v ớ i ñườ ng tròn. Ch ứ ng minh r ằ ng E, F, M, N Chứng minh. SE AD, BC Y, T.MN AB,CD X, Z ∩ = ∩ = . Ta có: (SXAB) 1 (SZCD) = − = ⇒ AD, BC, XZ ñồ ng quy F, X, Z F, M, N ⇒ ⇒ (SXAB) 1 (SEYT) = − = ⇒ AT, BY, EX ñồ ng quy F, X, E ⇒ (SZCD) 1 (SEYT) = − = ⇒ DT, ZE, CY ñồ ng quy F, Z, E ⇒ T ừ trên suy ra E, F, M, N 2.10. Cho l ụ c giác ABCDEF n ộ i ti ế p (O). X AC BD, Y BE CF, Z AE DF = ∩ = ∩ = ∩ . Ch ứ ng minh r ằ ng X, Y, Z Chứng minh. [10] Do A, B,C, D, E, F (O) ∈ nên: B(ACDE) F(ACDE) (ACXM) (ANZE) = ⇒ = ⇒ EM, CN, XZ ñồ ng quy ⇒ X, Y, Z (d.p.c.m) Chú ý. ðị nh lí trên mang tên Pascal, nó có h ơ n 200 h ệ qu ả 2.11. Cho tam giác ABC ngo ạ i ti ế p (I). D, E, F là ti ế p ñ i ể m c ủ a (I) v ớ i BC, CA, AB. AD (I) X, BX (I) Y, CX (I) Z ∩ = ∩ = ∩ = . Ch ứ ng minh r ằ ng BZ, CY, AX ñồ ng quy Chứng minh. K ẻ ti ế p tuy ế n t ạ i X c ủ a (I) c ắ t BC t ạ i K. Trong t ứ giác XEDF ta có ti ế p tuy ế n t ạ i F, E và XD ñồ ng quy t ạ i A nên t ứ giác XEDF là t ứ giác ñ i ề u hòa Mà KX, KD là ti ế p tuy ế n c ủ a (I) t ạ i X, D nên K, E, F M ặ t khác AD, BE, CF ñồ ng quy nên ( ) KCBC 1 = − Suy ra: [...]... t i A D là m t ñi m trên c nh AC E ñ i x ng A qua BD và F là giao ñi m c a CE v i ñư ng vuông góc v i BC t i D Ch ng minh r ng AF, DE, BC ñ ng quy 3.7.(Romani TST 2007) Cho tam giác ABC E F là ti p ñi m c a ñư ng tròn n i ti p Γ(I) v i các c nh AC, AB M là trung ñi m BC N = AM ∩ EF và γ ( M ) là ñư ng tròn ñư ng kính BC BI và CI c t γ ( M ) t i X và Y khác B, C Ch ng minh r ng: NX AC = NY AB 3.8 (Mathlinks... PQ, HE song song BC Ta có : HP = A(PQHD) HQ MB = H(BCEM) MC AQ ⊥ HB, AP ⊥ HC, AH ⊥ HE, AD ⊥ HM ⇒ A(QPHD) = H(BCEM) T (1), (2) và (3) ta có (1) (2) (3) HP MB = (d.p.c.m) HQ MC 2.17 Cho tam giác ABC, tr c tâm H Hai ñư ng th ng (d1 ) ⊥ (d 2 ) ñi qua H (d1 ) ∩ BC, CA, AB = A1, B1, C1 và (d 2 ) ∩ BC, CA, AB = A 2 , B2 , C2 BC1 CB1 = a Ch ng minh r ng BC2 CB2 b A 3 , B3 , C3 l n lư t là trung ñi m B2C2 , C2... (d1 ) ⊥ (d 2 ) ñi qua H ⇔ (d1 ) ∩ BC, CA, AB = A1, B1, C1 và (d 2 ) ∩ BC, CA, AB = A 2 , B2 , C2 A 3 , B3 , C3 l n lư t A A BB C C thu c các ñư ng th ng B2C2 , C2 A 2 , A 2 B2 th a mãn 3 1 = 3 1 = 3 1 Ch ng A3A 2 B3B2 C3C2 minh r ng A3 , B3 ,C3 3 Bài t p 3.1 Cho tam giác ABC n i ti p (O) E là m t ñi m trên ñư ng tròn FA c t các ti p tuy n t i B và C c a (O) t i M, N, CM ∩ BN = F Ch ng minh r ng EF... quy (d.p.c.m) ⇔ 2.12 Cho t giác ABCD n i ti p (O) Ti p tuy n t i B và C c a (O) c t nhau t i P M là trung ñi m BC Ch ng minh r ng BAM = PAC Ch ng minh ð t PM ∩ (O) = E, D Do P là giao ñi m hai ti p tuy n t i B, C c a (O), PM ∩ (O), BC = E, D, M nên (1) (PMED) = −1 ⇒ A(PMED) = −1 M t khác DE là ñư ng kính c a (O) nên AD ⊥ AE (2) T (1) và (2) suy ra AE là phân giác c a MEP Mà AE là phân giác c a BAC... ti p ñi m c a ρ ( I ) v i BC, CA, AB Xác ñ nh M = ρ ( I ) ∩ AD , N là giao ñi m c a ( CDM ) v i DF và G = CN ∩ AB Ch ng minh r ng CD = 3FG 3.9 Cho tam giác ABC cân t i A M là trung ñi m BC Tìm qu tích các ñi m P n m trong tam giác th a mãn BPM + CPA = 1800 3.10.(Senior BMO 2007) Cho ñư ng tròn ρ ( O ) và m t ñi m A n m ngoài ñư ng tròn T A k hai ti p tuy n AB, AC v i ρ ( O ) D thu c ρ ( O ) th a mãn... hình chi u c a B trên CD Y là trung ñi m c a BX Z là giao ñi m c a DY v i ρ ( O ) Ch ng minh r ng ZA ⊥ ZC 3.11 (Virgil Nicula) Cho ñư ng th ng (d) và b n ñi m A, B, C, D n m trên (d) sao cho (ABCD) = −1 M là trung ñi m CD Cho ( ω) là ñư ng tròn ñi qua A và M NP là ñư ng kính c a ( ω) vuông góc AM Các ñư ng th ng NC, ND, PC, PD c t ( ω) t i S1, T1,S2 , T2 theo th t Ch ng minh r ng S = S1T1 ∩ S2T2 3.12... A(PMED) = −1 M t khác DE là ñư ng kính c a (O) nên AD ⊥ AE (2) T (1) và (2) suy ra AE là phân giác c a MEP Mà AE là phân giác c a BAC suy ra BAM = PAC (d.p.c.m) [12] 2.13 Cho các ñư ng th ng a, b, c, d và a’, b’, c’, d’ ñ ng quy th a mãn a ⊥ a ', b ⊥ b ', c ⊥ c ', d ⊥ d ' Ch ng minh r ng (abcd) = (a ' b 'c 'd ') Ch ng minh Do a ⊥ a ', b ⊥ b ', c ⊥ c ', d ⊥ d ' nên ( a, c ) = ( a’, c’) , (a, d) = (a... gi i quy t ñơn gi n nh ñ nh lí Pascal Xét l c giác MQQPPN Ta có: X = NP ∩ MQ, Y = MP ∩ NQ, D = QQ ∩ PP ⇒ X, Y, D Xét l c giác MMNNPQ Ta có B = MM ∩ NN, Y = MP ∩ NQ, X = MQ ∩ NP ⇒ B, X, Y (1) (2) T (1) và (2) suy ra B, D, Y Ch ng minh tương t ta có A, C, Y V y AC, BD, MN, PQ ñ ng quy 2.15 Cho t giác ABCD n i ti p (O) M, N là trung ñi m AB, CD ( ANB) ∩ CD = Q, ( DMC ) ∩ AB = P Ch ng minh r ng AC, BD,... (O) c t BC, CA, AB t i M, N, P, Q, R, S X = MQ ∩ RN, Y = RN ∩ SP, Z = SP ∩ MQ Ch ng minh r ng AX, BY, CZ ñ ng quy 3.4 Cho tam giác ABC D, E, F là ti p ñi m c a ñư ng tròn n i ti p v i các c nh BC, CA và AB X n m trong tam giác ABC th a mãn ñư ng tròn n i ti p tam giác XBC ti p xúc XB, XC, BC t i Z, Y, D th t Ch ng minh r ng t giác EFZY là t giác n i ti p 3.5 (China TST 2002) Cho t giác l i ABCD Cho... ABCD, O = AC ∩ BC M, N, P, Q là hình chi u c a O trên AB, BC, CD, DA Ch ng minh r ng: OM = OP ⇔ ABCD là hình bình hành  ON = OQ 3.13 Cho tam giác ABC ngo i ti p (I) (I) ti p xúc BC t i D AD ∩ (I) = X và BXC = 900 Ch ng minh r ng AX + AE = XD [19] . một song song Chứng minh. TH1. AA’, BB’, CC’ song song BO CO B'O C 'O : : BA CA B'A C 'A (OABC) (OA 'B'C') ⇒ = ⇒ = TH2. AA’, BB’,CC’ không ñ ôi m ộ t song. 3 A , B ,C l ầ n l ượ t là trung ñ i ể m 2 2 2 2 2 2 B C ,C A , A B . Ch ứ ng minh r ằ ng 3 3 3 A ,B ,C Chứng minh. [15] K ẻ HJ song song AB, HI song song AC. Ta có: 1 1 2 2 BC H(C. góc PQ c ắ t BC t ạ i M. Ch ứ ng minh r ằ ng: HP MB HQ MC = Chứng minh. K ẻ AD song song PQ, HE song song BC. Ta có : HP A(PQHD) HQ = (1) MB H(BCEM) MC = (2) AQ HB, AP HC, AH HE, AD