MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG TÂM TỶ CỰ 1.. Cho hình vuông ABCD.. Gọi G là tâm của hình vuông ABCD.. Cho tam giác ABC và các số thực α , β, γ không ñồng thời bằng không.. Suy ra MN ñi qua I là
Trang 1MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG TÂM TỶ CỰ
1 Các bài toán mở ñầu
Bài toán 1
Cho hình vuông ABCD Tìm ñiểm M thoả mãn :
MA+ 4MB+MC+ 4MD= 5.AD
Giải
Cách 1 Gọi G là tâm của hình vuông ABCD
MA+ MB+MC+ MD= AD
2
Cách 2 Gọi G là ñiểm sao cho GA+ 4GB GC+ + 4GD= 0
(1) Khi ñó MA+ 4MB+MC+ 4MD= 5.AD
⇔ (GA GM− ) (+ 4 GB GM− ) (+ GC−GM) (+ 4 GD GM− )= 5.AD
⇔ − 10.GM = 5.AD
2
GM = − AD
Cần phải xác ñịnh G từ (1): GA+ 4GB GC+ + 4GD= 0
Với mỗi O ta có:
(OA OG− ) (+ 4 OB OG− ) (+ OC−OG) (+ 4 OD OG− )= 0
OG= OA+ OB+ OC+ OD
AG= AB+ AC+ AD
Mặt khác AB+AD=AC
Suy ra 1
2
AG= AC
Bình luận: M ột lời giải ngắn gọn như cách 1 là nhờ vào các hệ số ñặc biệt ñể có thể
", nh ưng rất khó
Bài toán 2
Cho hình vuông ABCD Tìm ñiểm M thoả mãn :
MA+ 2MB+ 3MC+ 4MD= 5.AD
Giải
Gọi G là ñiểm thoả mãn: GA+ 2GB+ 3GC+ 4GD= 0
(1) Khi ñó:
MA+ 2MB+ 3MC+ 4MD= 5.AD
⇔ (GA GM− ) (+ 2 GB GM− ) (+ 3 GC−GM) (+ 4 GD GM− )= 5.AD
⇔ 10 − GM = 5.AD
2
A
M
G
B
Trang 2Với mỗi O, ta có:
(1)⇔(OA OG− ) (+ 2 OA OG− ) (+ 3 OA OG− ) (+ 4 OA OG− )= 0
O ≡ A:
Mặt khác AB+AD= AC
Bình luận: ðiểm G ñược xác ñịnh như thế là tâm tỷ
2 Tâm tỷ cự là gì ?
Cho hệ ñiểm { }A i i 1,n
= cùng với bộ số thực { }k i i 1,n
= sao cho
1
0
n i i
k
=
≠
∑ , bao giờ
cũng tồn tại và duy nhất ñiểm G sao cho
1
0
n
i i i
k GA
=
=
∑
(1)
Thật vậy, với một ñiểm O tuỳ ý:
1
0
n
i i
i
k GA
=
=
∑
1
0
n
i i i
=
⇔∑ − =
1
1
n
i i
i
i i
k OA
k
=
=
∑
∑
(2)
Nếu còn có G' sao cho
1
' 0
n
i i i
k G A
=
=
∑
(3), trừ từng vế (1) và (3) ta có
( ) ( )
1 1 1 ' 0 ' 0 ' 0 ' 0 n n n i i i i i i i i i i k GA G A k GA A G k GG GG = = = − = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ∑ ∑ ∑ ; hoặc là, tương tự G, ta có 1 1 ' n i i i n i i k OA OG k = = = ∑ ∑ (4), khi ñó từ (2) và (4) suy ra ' OG=OG Cả hai cách ñều dẫn ñến G' ≡ G ðiểm G ñược gọi là tâm tỷ cự của hệ ñiểm { }A i i 1,n = cùng với bộ số thực { }k i i 1,n = , viết tắt {A k i( )i }i 1,n = Khi k1 = k2 = kn ≠ 0 thì G ñược gọi là trọng tâm của hệ ñiểm { }A i i 1,n = •Sau ñây là một số kết quả ñặc biệt D C
G
M
A B
Trang 3KQUẢ1 Cho hai ñiểm A, B phân biệt và các số thực α , β không ñồng thời bằng không
Vì αMA+ βMB= ( α + β )MA+ βAB
nên:
1) Nếu α +β= 0 thì không tồn tại M sao cho αMA+ βMB= 0
2) Nếu α +β ≠ 0 thì tồn tại duy nhất M sao cho αMA+ βMB= 0
Khi ñó, với mỗi ñiểm O, ta có: OM αOA βOB
α β
+
=
+
, chẳng hạn AM β AB
α β
= +
KQUẢ2 Cho tam giác ABC và các số thực α , β, γ không ñồng thời bằng không Vì αMA+ βMB+ γMC = ( α + β γ + )MA+ βAB+ γACnên:
1) Nếu α +β + γ = 0 thì không tồn tại M sao cho
αMA+ βMB+ γMC= 0
2) Nếu α +β +γ ≠ 0 thì tồn tại duy nhất M sao cho
αMA+ βMB+ γMC = 0
Khi ñó, với mỗi ñiểm O, ta có:
OM αOA βOB γOC
α β γ
=
α β γ α β γ
3 Các ví dụ áp dụng
VD1 Cho tam giác ABC Tìm ñiểm M sao cho
a) MA+ 2MB+ 3MC= 0
b) MA+ 2MB− 3MC= 0
HD a) Theo KQUẢ2. với α = 1, β = 2, γ = 3,
suy ra với mỗi O:
MA+ MB+ MC=
Cách 1: Chọn O ≡ A, ta có 2 3 1 1
Khi ñó ñiểm M là dỉnh của hình bình hành APMN, tromg ñó:
1 , 1
Theo KQU Ả 1
Khi ñ ó MA+ 2MB+ 3MC= 0
⇔ 3ME+ 3MC= ⇔ 0 ME= −MC
N
P
E
B
A
J
I
Trang 4Khi ñó MA+ 2MB+ 3MC= 0
2
Cách 6 T ồ n t ạ i J sao cho 2JB+ 3JC= 0
Khi ñ ó MA+ 2MB+ 3MC= 0
2
MJ = −MA⇔MJ = − MA
b) Theo KQU Ả 2. với α = 1, β = 2, γ = − ⇒ 3 α + β γ + = 0 suy ra không có ñiểm M nào như hế
VD2 Cho tam giác ABC và ñường thẳng d Tìm ñiểm M trên d sao cho
MA MB+ + 3.MC
nhỏ nhất
HD Với G là ñiểm sao cho GA GB+ + 3.GC= 0
(1)
Khi ñó: MA MB+ + 3.MC
=6.MG = 6MG
MA MB+ + 3.MC
nhỏ nhất ⇔MG nhỏ nhất
⇔M là hình chiếu của G trên d
Theo KQU Ả 2. với α = 1, β = 1, γ = 3:
(1) ⇔ CG=15CA+15CB=15(CA CB+ )= 25CE
(E là trung ñiểm của cạnh AB)
VD3 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những ñiểm M sao cho
2 MA MB+ +MC
= MA+ 2.MB+ 3.MC
HD Với G là trọng tâm tam giác ABC,
ta có: MA MB+ +MC= 3.MG
Gọi I là ñiểm sao cho IA+ 2.IB+ 3.IC= 0
(I ñược xác ñịnh như M trong VD1.a)
Khi ñó: 2 MA MB+ +MC
=23.MG
= 6MG,
2 3.
MA+ MB+ MC
=6.MI
= 6MI
Từ giả thiết, suy ra: MG = MI ⇔M thuộc trung trực d của ñoạn GI
VD4 Cho tam giác ABC, hai ñiểm M, N thay ñổi sao cho:
MN = 4.MA MB+ − 2.MC
Chứng minh rằng ñường thẳng MN luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh
HD Gọi I là ñiểm sao cho 4.IA+IB− 2.IC= 0
(1)
MN = MA MB+ − MC
⇔ IM = − 2.IN
Suy ra (MN) ñi qua I là ñiểm cố ñịnh, hoàn toàn ñược xác ñịnh bởi (1)
Thật vậy, Theo KQU Ả 2. với α = 4, β = 1, γ = − 2,
AI = AB− AC
Cách 2 Theo Theo KQU Ả 1 t ồ n t ạ i F sao cho 4.FA+FB= 0
d
E
C
B
A
G
M
M
d
A
•
I
G
C
B
A
A
•
•
•
•
•
I
E
A
F
•
Trang 5(1) ⇔ 5 2. 2
3
FI IC FI FC
Cách 3.
Ta có th ể có cách tìm I theo cách sau:
4.IA+IB− 2.IC= 0 ⇔ 2.IA− 2.IC+ 2.IA+IB= 0
⇔ 2.CA+ 3.IE+ 2.EA+EB= 0
Ch ọ n E sao cho 2.EA+EB= 0
Khi ñ ó 2
3
EI = CA
VD5 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong
ñường tròn (O) Tìm ñiểm M thuộc (O) sao cho
MA MB+ −MC
nhỏ nhất, lớn nhất
HD Gọi I là ñiểm sao cho IA+IB−IC= 0
(1) Khi ñó MA MB+ −MC
= IM
= IM (1) ⇔ IA=BC
Tam giác ABC nhọn nên I ở ngoài (O)
Như thế IM lớn nhất, nhỏ nhất khi ñường thẳng IM ñi qua tâm (O)
Cụ thể là:
MA MB+ −MC
lớn nhất ⇔M ≡ F, MA MB+ −MC
nhỏ nhất ⇔M ≡ E
VD6 Cho tứ giác ABCD Tìm tập hợp những ñiểm M sao cho
MA MB+ +MC+MD =
2
MA MB+ − MC
HD Gọi G là ñiểm sao cho GA GB GC+ + +GD= 0
(G là trọng tâm của tứ giác)
MA MB+ +MC+MD =
2
MA MB+ − MC
⇔ 4.GM =
CA CB+
⇔M thuộc ñường tròn tâm G bán kính R = 1
4 CA CB+
VD7 Cho hình vuông ABCD cạnh a
Một ñiểm M di ñộng thoả mãn:
T = 4MA MB− −MC−MD
Tìm tập hợp M sao cho T = a
HD Gọi I là ñiểm sao cho 4IA IB− −IC−ID= 0
Khi ñó T = - IM
⇒ a = T = IM
Suy ra M thuộc ñường tròn (I, a)
Ta chỉ cần xác ñịnh I:
Theo Theo KQUẢ2 với α = 4, β = − 1, γ = − 1, δ = − 1
suy ra: AI = −(AB+AC+AD)= − 2AC = −AE
4 Các bài toán tương tự
4.1 Cho tam giác ABC Tìm ñiểm M thoả:
•
•
O
F
E
C
B
I
M
E
C
B
D
A
Trang 6a) MA+ 2.MB+ 3.MC= 4.AC
b) MA− 4.MB+ 5.MC= AC
c) 2.MA MB− + 3.MC= 0
4.2 Cho tứ giác ABCD Tìm ñiểm M thoả:
a) MA− 2.MB+ 3.MC− 4MD = AB
b) 2.MA+ 3.MB−MD = − 2.AC
4.3 Cho tam giác ABC Tìm ñiểm M ñể 3.MA+ 2.MB−MC
ñạt giá trị bé nhất
4.4 Cho tam giác ABC và số thực k ≠ 1 E, F thay ñổi sao cho:
EF = 2.EA− 3.EB+k EC.
Chứng minh rằng ñường thẳng EF luôn luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh
4.5 Cho tam ABC và số thực k≠ − 5 E, F thay ñổi sao cho:
EF = 2.EA+ 3.EB+k EC.
Chứng minh rằng ñường thẳng EF luôn luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh
4.6 Cho tam ABC và số thực k Tìm tập hợp các ñiểm M thoả:
MA+ 2.MB+k MC = 0
4.7 Cho tứ giác ABCD và số thực k Tìm tập hợp các ñiểm M thoả:
MA+ 3.MB−MC =k MD