tuyển tập các đề thi học sinh giỏi, đề thi môn toán vào lớp 10 môn toán (14)

a Tính các góc ADE và ADF, từ đó chứng minh E, D, F thẳng hàng.b Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của các đờng thẳng AM và EF.. c Trên các nửa đờng tròn đờng kính ABE và ACF kh

Hà Nam

đề thi vào lớp 10

1994 - 1995 Bài 1: (1,5)

a) Tính giá trị của biểu thức:

3 2

1 3 2

b

b a







với a > bRút gọn rồi tính giá trị của biểu thức với b = 3  1

a) Chứng minh AMHC là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh tam giác ICM cân

c) Chứng minh AM, EB, CH luôn cắt nhau tại một điểm

Bài 4: (1)

Cho P =

2

3 2

2 2

Với giá trị nào của x thì P đạt GTNN, hãy tìm GTNN đó

1995 - 1996 1) (3đ) Rút gọn

Hà Nam

a) A =

2

15 120 4

1 ) 5 6 ( 2

2 2 3

3 2 3

1 6 9 4

x

x x x

b) Với m nào thì y = 2x + m cắt (P) tại 2 điểm A, B Tìm tọa độ 2 giao điểm

đó

3) (3đ)

Cho (O), đờng kính AB Trên OC lấy B Vẽ (O’) đờng kính BC M là trung

điểm của AB, qua M kẻ dây DE vuông góc với AB, DC cắt (O’) tại I

a) ADBE là hình gì? Tại sao?

b) Chứng minh I, B, E thẳng hàng

c) Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O’) và MI2 = MB.MC

4) (1đ) Cho 2 số x, y thỏa mãn x > y, x.y = 1 Tìm GTNN của

y x

y x



 2

2

1996 - 1997 Câu 1: (3đ)

Cho hàm số y = x

a) Tìm tập xác định của hàm số

b) Tính y biết: 1) x = 9, 2) x = (  1 2 ) 2

Hà Nam

c) Các điểm: A(16; 1) và B(16; -1) điểm nào thuộc đồ thị của hàm số,

điểm nào không thuộc đồ thị của hàm số? Tại sao?

d) Không vẽ đồ thị, hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đãcho và đồ thị hàm số y = x – 6

Câu 2: (1đ)

Xét phơng trình x2 – 12x + m = 0 (x là ẩn số)

Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x2 = x1

Câu 3: (5đ)

Cho đờng tròn tâm B bán kính R và đờng tròn tâm C bán kính R’ cắt nhau tại

A và D Kẻ các đờng kính ABE và ACF

a) Tính các góc ADE và ADF, từ đó chứng minh E, D, F thẳng hàng.b) Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của các đờng thẳng AM

và EF Chứng minh ABNC là hình bình hành

c) Trên các nửa đờng tròn đờng kính ABE và ACF không chứa điểm D,lần lợt lấy các điểm I và K sao cho góc ABI bằng góc ACK (điểm I khôngthuộc đờng thẳng NB, K không thuộc đờng thẳng NC) Chứng minh tam giácBNI bằng tam giác CKNvà tam giác NIK là tam giác cân

d) Giả sử R < R’ Chứng minh AI < AK, MI < MK

Câu 4: (1đ)

Cho a, b, c là số đo của các góc nhọn thỏa mãn cos2a + cos2b + cos2c > 2.Chứng minh: (tga.tgb.tgc)2 <

8 1

1997- 1998 Câu 1: (3đ)

Cho parabol y = x2 và điểm A(1; 4)

a) Điểm A(1; 4) có thuộc parabol y = x2 không? tại sao?

b) (d) là đờng thẳng đi qua A và có hệ số góc k Lập phơng trình của ờng thẳng (d)

đ Với k = 2, hãy tìm tọa độ giao điểm của (d) với parabol y = x2

- Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của k, đờng thẳng (d) luôn cắt parabol y

= x2

Câu 2: (2đ)

a) M, G, D, H cùng nằm trên một đờng tròn Xác định tâm của đờng tròn

1998 -1999 Bài 1: (2đ): Rút gọn các biểu thức sau:

1) A =

1 2

2 2 3 1 2

3 2

Hà Nam

Bài 4 (4đ): Cho đờng tròn (O) và đờng tròn (O’) cắt nhau tại A và B Kẻ cát tuyến

CAD (Ctrên đờng tròn O, D trên đờng tròn O’)

1) Chứng minh các góc của tam giác BCD không đổi khi cát tuyến quayquanh điểm A

2) Kẻ các đờng kính COC’, DO’D’ Chứng minh A, C’, D’ thẳng hàng.3) Xác định vị trí của cát tuyến CAD sao cho đoạn thẳng CD là lớn nhất ở

vị trí CD lớn nhất hãy chứng minh diện tích tam giác BCD bằng 4 lầndiện tích tam giác OAO’

4) Biết bán kính đờng tròn (O), (O’) lần lợt là r, r’ và góc OAO’ = 900

' '

r CDB







1999 - 2000 Bài 1 (3,5đ).

x x

1

1 1

1

2) Cho biểu thức: B = x x



 1 1

3) Cho m = 5 Tìm n nguyên nhỏ nhất để phơng trình có nghiệm dơng

Bài 3 (4đ): Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O, 3 đờng cao

AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau ở H Kéo dài AH cắt đ ờng tròn tại K, kéodài AO cắt đờng tròn tại M Chứng minh rằng:

BE HD

AD

y x y

x

y x

3 3 2

2

2) N = x 4 x 4  x 4 x 4

Bài 2 (2đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) có phơng trình y = x2 và

điểm A(-1;1) thuộc (P)

1) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A với hệ số góc bằng 1

2) Tìm tọa độ giao điểm thứ 2 của (d) và (P) (gọi giao điểm thứ 2 là B).Chứng minh tam giác OAB là tam giác vuông và tìm diện tích của tamgiác này

Bài 3 (2đ).

1) Giải và biện luận bất phơng trình: 1 + x  mx +m ; m là tham số

2) Giải phơng trình: 2x4 – x3 – 2x2 – x + 2 = 0

Bài 4 (4đ): Cho góc xAy = 600, vẽ đờng tròn tâm J tiếp xúc với 2 cạnh của góc ở D

và E Từ điểm M thuộc cung nhỏ DE (M khác D, M khác E) vẽ tiếp tuyến với đ ờngtròn (J), tiếp tuyến cắt 2 cạnh của góc xAy tại B và C (B ở giữa AD)

1) Tính góc DJE

2) Chứng minh BJM = BJD và tính góc BJC

3) Gọi P, Q lần lợt là giao điểm của JB, JC với DE Chứng minh tứ giácCEJP nội tiếp và 3 đờng thẳng BQ, JM, CP đồng quy

4) Biết bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 6cm, tính bán kính

đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ

Hà Nam

2000 - 2001 (đề 2) Bài 1 (2đ).

1) CMR: H =

ab

b a b

1) Tìm k để (d) tiếp xúc (P) Chỉ rõ tọa độ tiếp điểm

2) Tìm k để (d) cắt (P) tại 2 điểm A, B và cắt Oy tại M sao cho MA = 3MB

5

24 2

7 7

xy y x

xy y

x

Bài 4 (4đ) Cho tam giác ABC có AH là đờng cao, AD là phân giác trong Gọi E, F

lần lợt là hình chiếu của B và C trên AD

Hà Nam

2000 -2001 (đề 3) Bài 1 (2đ).

1) Tính: A =  

2

3 24 4

1 3 2 2

1 4 4

x

x x x

3 2

y x y x

, Từ đó suy ra nghiệm của hệ:

3

1

3 1

1) Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua M với hệ số góc k (kR)

2) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệtvới mọi k

3) Xác định k để đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm A, B sao cho MA = 2MB(A là điểm có hoành độ âm)

Bài 4 (4đ) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O,R), trên cung BC nhỏ lấy

M, trên tia MA lấy D sao cho MD = MC

a

a 1 1 : 1 ; với a > 0, a  1

Bài 2 (2đ): trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng thẳng (D) có phơng trình:

y=mx+1 (m  R)

Hà Nam

1) Tìm những giá trị của m để đờng thẳng (D):

a) Đi qua điểm M(5;8)

b) Vuông góc với đờng thẳng y = 2x – 1

2) Tìm những giá trị của m để (D) tiếp xúc với (P) có phơng trình y =

-2

2

x

vàtìm tọa độ tiếp điểm

a (a > 0)a) Giải phơng trình khi a = 1/4

b) Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x1, x2 Chứng minh: x1 +x2 2+ 2

2) Tìm GTNN của biểu thức: P = m 2001  m 1890 ; với m  R

Bài 4 (4đ): Cho nửa đờng tròn tâm O bán kính R, đờng kính AB Tiếp tuyến tại M

bất kì trên nửa đờng tròn đã cho (M khác A, B) cắt các tiếp tuyến của đờng tròntâm O tại A và B lần lợt ở C và D

1) Chứng minh: góc MDO = góc MBO

2001 - 2002 (đề 2)

Bài 1 (1,5đ): Rút gọn biểu thức M =

a

a a

a a

2 2

xy y x

Bài 3 (2đ): Hai ngời cùng làm chung một công việc sẽ hoàn thành trong 4 giờ Nếu

mỗi ngời làm riêng để hoàn thành công việc thì thời gian ngời thứ nhất làm ít hơnngời thứ hai là 6 giờ Hỏi nếu làm riêng thì mỗi ngời phải làm trong bao lâu sẽ hoànthành công việc

Bài 4 (2đ): Cho các hàm số y = x2 (P) và y = 3x +m2 (d)

Bài 5 (3,5đ) Cho tam giác ABC vuông ở đỉnh A Trên cạnh AC lấy điểm M (khác

với A, C) Vẽ đờng tròn (O) đờng kính MC Gọi T là giao điểm thứ 2 của BC với ờng tròn (O) nối BM và kéo dài cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ 2 là D, đờng thẳng

đ-AD cắt (O) tại điểm thứ 2 là S Chứng minh:

1) ABTM là tứ giác nội tiếp

2) Khi M chuyển động trên AC thì góc ADM có số đo không đổi

3) AB // ST

2002 - 2003

Bài 1 (1đ): Rút gọn biểu thức:

y x xy

x y y x

1) Tìm giá trị của k để đờng thẳng (d) đi qua A(1; 3)

2) Tìm giá trị của k để đờng thẳng (d) và Parabol (P) không có điểm chung

0 1 )

1 (

y x

y x m

1) Giải hệ phơng trình với m = 1

2) Tìm giá trị của m để hệ phơng trình vô nghiệm

Bài 4 (1,5đ) Cho biểu thức P(x) = 3x2 - 2 1



x

1) Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa

2) Giải phơng trình P(x) = 5

Hà Nam

Bài 5 (4đ) Cho (O; R) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC không cân, đờng thẳng đi

qua A và trực tâm H của tam giác cắt đờng tròn tai P, vẽ đờng kính AQ

1) Chứng minh: BCQP là hình thang

2) Chứng minh: góc BAP = góc CAQ

3) Gọi I là trung điểm của BC, chứng minh 3 điểm H, I, Q thẳng hàng

4) Gọi số đo góc PAQ =  Tính diện tích tam giác APQ theo R và 

2003 - 2004

Bài 1 (1,5đ) Cho biểu thức A = x x y y

xy

x y y x

2) Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện: 

2 2 2

c b a

c b a

, Tính giá trị biểu thứcP=a4 + b4 + c4 + 24

Bài 4 (4đ) Cho tam giác vuông ABC (góc A bằng 1v) đờng cao AH (H thuộc BC),

vẽ đờng tròn đờng kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại I, K Gọi M, N theo thứ

tự là trung điểm của BH, HC Chứng minh:

Hà Nam

1) AIHK là hình chữ nhật

2) Góc IKH bằng góc KCH

3) Diện tích tứ giác MNKI bằng một nửa diện tích tam giác ABC

4) Biết các tia HI, HK cắt đờng thẳng bất kì qua A theo thứ tự ở E, F Chứngminh BE // CF

2004 - 2005

Bài 1 (2đ) Cho biểu thức A =

x x

1

; 1 1

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa

b) Với x là số dơng khác 1, hãy rút gọn biểu thức C = A B

c) Tìm x để biểu thức C có giá trị là một số nguyên

a) Chứng minh 4 điểm O, H, C, I cùng nằm trên một đờng tròn

b) Chứng minh MA là tia phân giác của góc CMD

c) Qua M vẽ đờng thẳng (c) vuông góc với AC Chứng minh đờng thẳng (c) làtiếp tuyến của đờng tròn (O)

d) Đặt góc CBA = , chứng minh KC = KB.sin Trong trờng hợp  = 300, hãytính độ dài của đoạn thẳng KC theo R

Hà Nam

2005 - 2006 Bài 1 (3,5đ).

x x

2) Rút gọn các biểu thức:

a) P =

2

6 2 2 3

2





b) Q = x 1  2 x  x 1  2 x ; với x  0

Bài 2 (2,5đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 điểm: A (-5; -1), B(-1; 4), C(3; 2).

1) Vẽ tam giác ABC

2) Viết phơng trình đờng thẳng BC

3) Không dùng đồ thị, hãy xác định tọa độ của điểm D với D là giao điểm của

đờng thẳng qua A song song với BC và đờng thẳng qua B song song với Oy

Bài 3 (3đ) Cho điểm A nằm ngoài đờng tròn (O; R) Từ A kẻ đờng thẳng (d)

không đi qua tâm O, cắt (O; R) tại B, C (B nằm giữa A và C) Các tiếp tuyến với(O; R) tại B, C cắt nhau tại D Từ D kẻ DH vuông góc với AO (H nằm trên AO) cắtcung nhỏ BC tại M Gọi E là giao điểm của DO và BC Chứng minh:

1) DHOC là tứ giác nội tiếp

2) OH.OA = OE OD

3) AM là tiếp tuyến với (O; R)

Bài 4 (1đ) Với x thỏa mãn 2 ( 1 ) 2 ( 2 1 )

9 2

1 19 13

2

2 3 4

2 3

x x

x x

x

2006 – 2007 Bài 1 (3đ)

Hà Nam

1) Rút gọn biểu thức sau: A =

8

1 2 1

1 2 1

3

3 2

6

y x

y x

Bài 2 (2,5đ): Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol: y = -2x2

1) Tìm điểm trên (P) có: a) Tung độ bằng

8

1



b) Hoành độ và tung độ bằng nhau

2) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m thì đờng thẳng y=-2x+m23m+3 không có điểm chung với (P)

-Bài 3 (1đ): Tìm m để phơng trình (x – 7)(x – 6)(x + 2)(x + 3) = m có 4 nghiệm

phân biệt x1, x2, x3, x4 và 1 1 1 1 4

4 3 2 1

Bài 4 (3,5đ): Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, điểm B nằm giữa điểm A và điểm

C, đờng tròn tâm O1 đờng kính AB, đờng tròn tâm O2 đờng kính BC Hai điểm phânbiệt M, N lần lợt trên đờng tròn (O1) và đờng tròn (O2) thỏa mãn góc MBN bằng

900 Gọi P là giao điểm của AM và CN

x x x x

x x

a) Rút gọn biểu thức M

b) Tìm số chính phơng x để biểu thức M nhận giá trị nguyên

Hà Nam

Bài 2: (2đ)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 điểm A(3; 5), B(-1; 3), C(1; 1)

a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua A, B Điểm C có thuộc đờng thẳng (d)không?

b) Tìm tọa độ của điểm M trên (d) sao cho đoạn MC ngắn nhất

Bài 3: (2đ): Cho 2 phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + bx + a = 0 (2), (với ac

< 0) Gọi ,  tơng ứng là nghiệm lớn nhất của (1) và (2) CMR:  +   2

Bài 4 (4đ)

Từ một điểm A nằm ngoài đờng tròn (O), kẻ 1 cát tuyến ABC không qua tâm

O (B, C nằm trên đờng tròn) và tiếp tuyến AT với đờng tròn (T là tiếp điểm), cáttuyến và tiếp tuyến khác phía nhau đối với O Từ điểm chính giữa D của cung BClớn vẽ đờng kính DE, DE cắt cát tuyến tại K, ET cắt BC tại I

a) Chứng minh AT2 = AB.AC

b) Chứng minh DT là đờng phân giác góc ngoài của đỉnh T của tam giác BCTc) Giả sử A, B, C cố định, đờng tròn tâm O thay đổi nhng luôn đi qua BC CM:

TE luôn đi qua một điểm cố định

d) Trên tia AC lấy điểm J sao cho AJ = AB + AC, giả sử đờng tròn (O) cố định,cát tuyến ABC thay đổi nhng vẫn qua A cố định Hỏi điểm J chuyển độngtrên đờng nào?

2000 - 2001

x

x x

8 ) 2 ( 12

) 3

2

2 2 2

b) Tìm những giá trị nguyên của x để A nguyên

Bài 2 (2đ) Cho phơng trình bậc hai ẩn x: mx2 – 2(m+1)x +m + 3 = 0 (m là thamsố)

a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Trong trờng hợp phơng trình có 2 nghiệm phân biệt, hãy tính: B=

2 1

2 1

Hà Nam

Bài 3 (2đ)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 điểm A(0; -3), B(4; 2) và đờng thẳng (D)

có phơng trình y = 2x - 1

a) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua B và vuông góc với (D)

b) Xác định tọa độ điểm B’ đối xứng với B qua (D)

c) Tìm trên (D) điểm M sao cho MA + MB ngắn nhất

Bài 4 (4đ) Cho 2 đờng tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc trong tại M(R’ > R) Kẻ 2

cát tuyến MEB, MDA sao cho D, E thuộc (O), B, A thuộc (O’), góc BMA = 1200

Vẽ tiếp tuyến chung Mx (x, B cùng thuộc nửa mf bờ OM) Chứng minh:

1 : 1 4

1



Câu 2: (1,5đ): Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là

A(1;2); B(-1; 0), C(2; 0)

a) Tính diện tích tam giác

b) Tính độ dài đờng cao của tam giác hạ từ đỉnh B

c) Tìm phơng trình đờng trung tuyến qua đỉnh C của tam giác

Xét phơng trình x2 – 12x + m = 0 (x là ẩn số)

Câu 3: (2,5đ) : Cho phơng trình ẩn x: x2 – mx – 2 = 0 (1), m  R

a) Chứng minh rằng phơng trinh luôn có 2 nghiệm phân biệt Tìm giá trị của m

để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 – x2 = 4

b) Gọi M là trung điểm của BC, P là điểm đối xứng của H qua M Chứng minh

tứ giác HBPC là hình bình hành và P thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giácABC

c) Kéo dài AA’ cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ 2 là D.Chứng minh DP // BC

d) Từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với đờng phân giác góc A của tam giác ABC,

đờng vuông góc này cắt AB, AC lần lợt tại I, J Chứng minh BI=CJ

2002 - 2003 Câu 1: (2đ)

a) Tính : A = 3  5  3  5

b) Rút gọn: M =

ab

b a a ab

b b ab

a) Chứng tỏ rằng (d) và (P) luôn có điểm chung với mọi m

b) Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác AOB vuông

ở O

Câu 3: (1,5đ): Hai ngời cùng làm chung một công việc trong 3 giờ thì hoàn thành.

Nếu ngời thứ nhất làm trong 20’, ngời thứ 2 làm trong 1 giờ thì cả 2 ngời làm đợc1/5 công việc Hỏi nếu làm một mình thì môĩ ngời hết bao nhiêu thời gian để hoànthành công việc

Câu 4: (4đ): Cho đờng tròn (O; R), I là 1 điểm nằm trong đờng tròn, kẻ 2 dây bất

kì MIN, EIF, gọi M’, N’, E’, F’ lần lợt là trung điểm của IM, IN, IE, IF

a) Chứng minh: IM.IN = IE.IF

b) Chứng minh: M’N’E’F’ là tứ giác nội tiếp

c) Xác định tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác M’N’E’F’

1) Rút gọn:

y x y

x

xy y

, với x, y > 0 và x khác y2) Cho 2 biểu thức: A = 2 2

2) Biết a, b, c dơng và a + b + c = 4 Chứng minh rằng: a+ b  abc

Bài 4 (4đ): Cho hình thang cân ABCD (AD = BC, AB // CD, đáy nhỏ AB), hai

đ-ờng chéo AC, BD cắt nhau tại O và góc AOB = 600, gọi M, N, P, Q lần lợt là trung

điểm của OA, OD, BC, DC Chứng minh rằng:

1) BC = 2MP

1) Rút gọn biểu thức: A =

y x

xy y

x x

y

y x y x

y x

1) Viết phơng trình đờng thẳng (D) đi qua 2 điểm M, I

2) Chứng minh đờng thẳng (D) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B vớimọi m  0

3) Gọi H, K thứ tự là hình chiếu của A, B lên trục hoành Chứng minh tamgiác IHK là tam giác vuông

4) Chứng minh độ dài đoạn AB lớn hơn 4 đơn vị dài

Bài 4 (4đ) Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh 2R Gọi O là tâm của hình

vuông, E là trung điểm của AB Trên cạnh BC, CD thứ tự lấy 2 điểm F, G sao cho

x x x

Bài 4 (4đ): Cho tam giác ABC đều nội tiếp đờng tròn tâm O bán kính R, M là điểm

thuộc cung BC không chứa điểm A Trên tia MA ta đặt đoạn thẳng MD = MB

1) Chứng minh tam giác BDA = tam giác BMC

1 1 1

2 3 1 : 1 9

8 1 3

1 1 3

1

a

a a

a a

a

a

; với a  0, a 

9 1

1) Rút gọn biểu thức P

2) Tính giá trị của P khi a = 4  2 3