Đồ án Chi tiết máy HGT Phân đôi cấp chậm kèm hướng dẫn làm đồ án đầy đủ 3

Tài liệu hướng dẫn làm Đồ án chi tiết máy đầy đủ. Bạn sẽ có một bản mẫu đồ án chi tiết máy Thiết kế hộp giảm tốc hai cấp Phân đôi cấp chậm, cả thuyết minh và bản vẽ AutoCad . Kèm theo đó là tất cả tài liệu hướng dẫn để làm đồ án chi tiết máy từ A đến Z, cả phần thuyết minh và bản vẽ ( Các tài liệu hướng dẫn này được cung cấp qua 1 link để bạn download trực tiếp từ mediafire) . Ngoài ra bạn cũng có quyền kết nối với tác giả một Giảng viên Đại học chuyên hướng dẫn đồ án chi tiết máy để nhận được những giải thích và hướng dẫn cần thiết. Chúc các bạn thành công

Lời nói đầu

Tính toán thiết kế hệ dẫn động cơ khí là nội dung không thể thiếu trong

chơng trình đào tạo kỹ s cơ khí đặc biệt là đối với kỹ s nghành chế tạo máy

Đồ án môn học Chi Tiết Máy là môn học giúp cho sinh viên có thể hệ thống

hoá lại các kiến thức của các môm học nh: Chi tiết máy, Sức bền vật liệu,

Dung sai, Công Nghệ Chế Tạo, Vẽ kỹ thuật đồng thời giúp sinh viên làm

quen dần với công việc thiết kế và làm đồ án chuẩn bị cho việc thiết kế đồ án

tốt nghiệp sau này

Nhiệm vụ đợc giao là thiết kế hệ dẫn động thùng trộn gồm có hộp giảm

tốc phân đôi cấp chậm và bộ truyền xích Hệ đợc dẫn động bằng động cơ điệnthông qua khớp nối đàn hồi, hộp giảm tốc và bộ truyền xích sẽ truyền chuyển

động tới thùng trộn

Trong quá trình tính toán và thiết kế các chi tiết máy cho hộp giảm tốc

phân đôi cấp chậm em đã sử dụng và tra cứu các tài liệu sau:

Do lần đầu tiên làm quen thiết kế với khối lợng kiến thức tổng hợp còn có những mảng cha nắm vững cho nên dù đã rất cố gắng tham khảo các tài liệu

và bài giảng của các môn có liên quan song bài làm của em không thể tránh

đợc những sai sót Em rất mong đợc sự hớng dẫn và chỉ bảo thêm của các thầytrong bộ môn để em cũng cố và hiểu sâu hơn , nắm vững hơn về những kiến

thức đã học hỏi đợc

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn các thầy trong bộ môn, đặc biệt là

thầy Đoàn Yên Thế đã trợc tiếp hớng dẫn, chỉ bảo cho em hoàn thành tốt

nhiệm vụ đợc giao

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn ! ! !

Trang

Mục lục

I – Chọn động cơ 3 II- Phân phối tỷ số truyền 4

III- Thiết kế các bộ truyền 5

1- Chọn vật liệu 5

2- Xác định ứng xuất cho phép 5

3- Tính toán bộ truyền cấp nhanh 6

4- Tính toán bộ truyền cấp chậm 13

5- Thiết kế bộ truyền xích 20

IV- Tính toán trục của hộp giảm tốc 25

1- Chọn vật liệu 25

2- Sơ đồ động phân tích lực 25

3- Xác định sơ bộ đờng kính trục 26

4- Xác định chiều dài các trục 26

5- Xác định chính xác đờng kính trục 29

6 – Tính kiểm nghiệm trục về độ bền mỏi 33

7- Kiểm nghiệm trục về độ bền tĩnh 36

8- Tính chọn then 37

IV- Tính toán gối đỡ trục 40

V- Tính chọn khớp nối 45

VI- Kết cấu vỏ hộp 46

VII- Tính chọn dầu mỡ bôi trơn 51

VIII- xác định và chọn kiểu lắp 53

IX- Phơng pháp lắp ráp hộp giảm tốc 55

1- Phơng pháp lắp ráp các tiết máy lên trục 55

2- Phơng pháp điều chỉnh ăn khớp bộ truyền 56

Tài liệu tham khảo 57

I -Chọn động cơ:



t ct

p

p 

pct:công suất cần thiết

pt:công suất tính toán

:hiệu suất của hệ thống

 = ol4 Br2 x= 0,9924.0,972.0,96 = 0,87

ol:hiệu suất của ổ lăn

Br:hiệu suất của bộ truyền bánh răng

x:hiệu suất của bộ truyền xích



87 , 0

9 , 4



ct

p = 5,6(KW)KW))

Chọn tỷ số truyền của hộp giảm tốc là:12

chọn tỷ số truyền của bộ truyền xích là:3

tỷ số truyền của hệ thống là:

u=3.12 =36

4A123S4Y3 có: pđc=7,5 KW) nđc=1455 vg/ph

2 , 2

max



dn T

Điều kiện mở máy:

theo đề ra ta có :

dn

k dn

mm

T

T T

II- Phân phối tỷ số truyền cho hệ thống.

1 Tỷ số truyền của toàn bộ hệ thống:

truyền ngoài là bộ truyền xích.

38 , 36 2

1



u u

u t

= 3,02Sai số phần trăm của tỷ số truyền là:

100 38

, 36

02 , 3 97 , 2 05 , 4 38 ,

36 



 =0,15%

3 Xác định : p(kw) , T(Nmm) , n(vg/ph) trên các trục.

Trên trục I :

pI = pct ol=5,6 0,992 = 5,555(KW)kw)

nI =nđc = 1455(KW)vg/ph)

TI =9,55.106.

1455

555 , 5 10 55 ,



I

I n

p

= 364,6.102(KW)Nmm)Trên trục II :

pII = pI.br.ol = 5,555 0,992 0,97 =5,345(KW)kw)

nII =

05 , 4

1455



I

I u

10 55 ,



II

II n

p

= 142.103(KW)Nmm)Trên trục III :

pIII = pII.br .ol=5,345.0,992.0,97 = 5,143(KW)kw)

nIII =

97 , 2

10 55 ,



III

III n

p

=409.103(KW)Nmm)

Trên trục IV :

pIV = pIII.ol.x =5,143.0,992.0,96 =4,9(KW)kw)

nIV =

02 , 3

120



n

III u

n

=39,7(KW)vg/ph)

TIV=

7 , 39

9 , 4 10 55 , 9 10

55 ,



IV

IV n p

=11787.102(KW)Nmm)

Bảng 1 : Các giá trị công suất ,mômen xoắn,tỷ số truyền,số vòng quay trên

các trụcp(KW)kw) - T(KW)Nmm) - n(KW)vg/ph) - u

III-Thết kế các bộ truyền

Do không có yêu cầu gì đặc biệt và theo quan điểm thống nhất hoá trong thiết

kế ,ở đây chọn vật liệu 2 cấp bánh răng nh nhau

Cụ thể theo bảng 6.1 chọn

Bánh nhỏ : thép 45 tôi cải thiện đạt độ rắn HB 241 285 có b1=850MPa ,

ch2=580MPa

Bánh lớn : thép 45 tôi cải thiện đạt độ rắn HB 192 240 có b2=750MPa ,

ch2=450MPa

Theo bảng 6.2 ứng vớ thép 45 , tôi cải thiện đạt độ rắn HB 180 350,

75 , 1

; 8 , 1

; 1 , 1

; 70

NH0:Số chu kì cơ sở khi thử về ứng suất tiếp xúc

Theo công thức (KW)6.6) thì số chu kì thay đổi ứng suất tơng đơng là :

Với cấp nhanh sử dụng bánh răng trụ răng thẳng nên ta có :

[H]'=[H]2 = 481,8MPa

Vớ cấp chậm sử dụng bánh răng trụ răng nghiêng nên ta có :

2

8 , 481 509 2

Với bộ truyền quay một chiều thì KFC= 1

Do đó theo công thức (KW)6.2a) ta có ứng suất cho phép uốn sơ bộ là:

 

F

FC HL

o F F

1 1 441 1. 1

1 lim

F

FC HL

o F F

S

K K



 

75 , 1

1 1 414 2. 2

2 lim

F

FC HL

o F F

S

K K

1

.

.

ba H

H

u

K T

02 , 1 36460

= 135,2 (KW)mm)LÊy aw1= 135 mm

135 2 ) 1 (

2

a w

= 21,38LÊy z1=21

5 , 2 2

)



z z m

=132,5 mmChän aw1 = 135 mm

Theo c«ng thøc (KW)6.22) hÖ sè dÞch chØnh t©m lµ :

y = 0 , 5 ( 21 85 )

5 , 2

135 ) (

5 ,

Do đó theo công thức 6.24 hệ số giảm đỉnh răng là :

y =

1000

106 626 , 0 1000

.



t

x z k

0,066Theo công thức (KW)6.25) tổng hệ số dịch chỉnh là:

1 21 85 066 , 1 5 , 0 ]

1 2

t

z

y z z

= 0,23

và hệ số dịch chỉnh bánh răng 2 : x2 = xt - x1 = 1,066 - 0,23 = 0,836Theo công thức (KW)6.27) góc ăn khớp là :

135 2

20 cos 5 , 2 106 2

cos cos

1

o

w

t rw

a

m z

2

w m w

m H H

M H

d u b

u K T Z Z

Z



 2 sin

cos 2



b: góc nghiêng của răng trên hình trụ cơ sở

74 , 22 2 sin

1 85

1 21

1 2 , 3 88 , 1 cos

1 1 2 , 3 88 , 1

Đờng kính vòng lăn bánh nhỏ

dw1=

05 , 5

135 2 1

v =

60000

1455 47 , 53 60000

. 1 1 

Theo bảng 6.13 chọn cấp chính sác 8 , do đó theo bảng 6.16 , go=56

Theo công thức ta có :

u

a v g

o H H

2

.

135 07 , 4 56 006 , 0

47 , 53 75 , 33 9 , 7 1

2

1

K K T

d b v

 KH= KH.KHv.KH= 1,02.1,19.1 =1,21Thay các giá trị vừa tính đợc vào (KW)6.33) ta đợc :

47 , 53 05 , 4 75 , 33

05 5 21 , 1 36460

2 877 , 0 675 , 1 274



H

(KW)MPa)

Xác định chính xác ứng suất cho phép :Theo (KW)6.1) với v = 4,07 m/s <5 m/s , ta lấy

Zv=1 ; với cấp chính xác động học là 8 , chọn cấp chính xác về mức tiếp xúc là 9 , khi

đó cần gia công đạt độ nhám Rz = 10 40 m , do đó ZR= 0,9 ; với da < 700 mm ,

KXH=1 , do đó theo công thức (KW)6.1) và (KW)6.1a) :

[H] = [H].Zv.ZR.KxH =481,8 1 0,9 1 =433,6 MPa

Nh vậy H < [H] , và ta kiểm tra điều kiện  



H

H H



H

H H

Để đảm bảo độ bền uốn cho răng, ứng suất uốn sinh ra tại chân răng không vợt quá một trị số cho phép:

m d b

Y Y Y K T

w w

F F

II

.

.

2

2 2

Y



[F2]Trong đó :

TII: Momen xoắn trên trục bánh chủ động 3

KF: Hệ số tuổi thọ khi tính về uốn ta có : KF= KF KF KFv

K F: Hệ số kể đến sự phân bố không đều tải trọng trên chiều rộng vành

răng khi tính về uốn tra bảng 6.7 đợc K F = 1,03

KF: Hệ số kể đến sự phân bố không đều tải trọng cho các đôi răng đồng thời ăn khớp khi tính về uốn, vì răng thẳng nên KF = 1

KFv: Hệ số kể đến tải trọng động xuất hiện trong vùng ăn khớp

w w F

K K T

d b V

2

w w F

K K T

d b V

2

.

=1+212.36460.53,47..133,03,75.1= 1,5

KF = KF KF KFv = 1,5.1.1,03 = 1,545 Vậy ứng suất uốn trên bánh 1

F1 =

m d b

Y Y Y K T

w w

F F

II

.

.

2

2 2

1





= 2.3646033,75.1,.54553,47.0,.592,5.1.3,7 = 54,5(KW)Mpa)

• Xác định ứng suất uốn trên bánh 2

F2 = . 54,53,.73,44

1

2 1

F

F F Y

Y



=50,7 (KW)Mpa)

• Xác định ứng suất uốn cho phép khi kể đến các nhân tố khác

[F] = [F]’.YR.Ys.Kxk.Trong đó : YR- Hệ số kể đến ảnh hởng mặt lợn chân răng thông thờng lấy

F2= 50,7 < [F1] =240,3 (KW)Mpa)

e, Kiểm nghiệm quá tải

Khi làm việc bánh răng có thể quá tải khi mở máy vì vậy ta cần phải kiểm nghệm quá tải khi nở máy, với hệ số quá tải là:

Kqt =   1 , 5

T

T T

.Cần kiểm nghiệm răng về ứng suất tiếp xúc và ứng suất uốn cực đại

Để tránh biến dạng d hoặc gẫy dòn lớp bề mặt, ứng suất tiếp xúc cực đại không vợc ứng suất suất cho phép

Hmax= H K qt  [H]max

Hmax= H K qt = 429,8 1 , 5=526,4(KW)Mpa)

Vậy Hmax= 526,4 < [Hmax]=1260 (KW)Mpa)

Để tránh biến dạng d hoặc phá hỏng tĩnh mặt lợn chân răng, ứng suất cực

đại Fmax tại mặt chân răng không đợc vợt quá một trị số cho phép

Fmax = F.Kqt  [F]max

F1max = F1.Kqt = 54,5.1,5 =81,75 (KW)Mpa)

F2max = F2.Kqt = 50,7.1,5 = 76,05 (KW)Mpa)

Vậy F1max = 81,75 < [F1]max = 360 (KW)Mpa)

F2max = 76,05< [F2]max = 464(KW)Mpa)

f, Xác định các thông số bộ truyền

1-Số răng bánh răng

135 2 1

1 1

2

.

1

ba H

H a

w

u

K T u

K a

4 , 0 97 , 2 4 , 495

11 , 1 10 142

=139,07(KW)mm)

886 , 0 140 2 ) 1 (

cos

= 24,43LÊy z1=24

Do đó Cos =    

140 2

71 24 5 , 2

=0,8482suy ra  = 32o

c, Kiểm nghiệm răng về độ bền tiếp xúc :

Theo công thức (KW)6.33) ta có

2 3

1 2

2

w m w

m H H

M H

d u b

u K T Z Z

Z



 2 sin

cos 2

tg

32 cos

20 cos 

78 , 29 cos 2

32 sin 140 4 , 0

1 2 , 3 88 , 1 cos 1 1 2 , 3 88

Dờng kính vòng lăn bánh nhỏ :

1 96 , 2

140 2 1

. 3 2 

o H

140 33 , 1 73 002 , 0

71 , 70 28 34 , 1 1

2

.

K K T

d b v

=1,015Theo công thức (KW)6.39) ta có :

KH=KH.KH.KHv=1,13.1,12.1,015 =1,28Thay các giá trị vừa tính đợc vào (KW)6.33) ta đợc

 2

3

71 , 70 96 , 2 28

96 , 3 28 , 1 10 1042 832

, 0 547 , 1 274



H

(KW)MPa)

- Xác định chính xác ứng suất tiếp xúc cho phép

Theo công thức (KW)6.1) với v = 1,33 < 5 m/s chọn Zv=1 , với cấp chính xác

động học 9 chọn cấp chính xác về mức tiếp xúc là 8 khi đó cần gia công đạt

độ nhám Ra=2,5  1,25 m do đó có Zr= 0,95 , với da < 700 mm  KxH= 1Theo công thức (KW)6.1) và (KW)6.1a) :

% 100

m d b

Y Y Y K T

w w

F F

F

.

2

3

2 3

.

ú

F F F

3 3

8482 , 0

24 cos 

4

8482 , 0

71 cos

K K T

d b v K

o F

140 33 , 1 73 006 , 0

thay các giá trị vào công thức (KW)6.33) ta đợc :

5 , 2 71 , 70 28

78 , 3 77 , 0 69 , 0 75 , 1 142000

6 , 3 83 , 100

e, Kiểm nghiệm răng về quá tải

theo công thức (KW)6.48) với

Kqt= max  1,5

T

T T

dn

Hmax3  H. K qt  464 , 79 1 , 5=569,25(KW)MPa)<[H]max =60MPa theo công thức (KW)6.49) ta có :

F3max = F3.Kqt= 100,83.1,5=151,25 (KW)MPa)<[F3] max =6 MPa

F4max = F4.Kqt = 96,03.1,5=141,1 (KW)MPa) <[F4]max =60 MPa

F2max = 76,05< [F2]max = 464(KW)Mpa)

71 5 , 2 cos

Z2 = Ux.Z1 = 3,02.25 = 75,5.

chọn Z2= 76

Vậy số răng đĩa xích lớn là : Z2= 76 răng

- xác định b ớc xích t

Bớc xích t đợc xác định từ chỉ tiêu về độ bền mòn của bản lề, điều kiện

đảm bảo độ bền mòn đợc viết dới dạng

Với đĩa xích tiêu chuẩn của bộ truyền xích có số răng

đĩa xích nhỏ Z01 = 25, và chọn số vòng quay đĩa nhỏ

theo dãy tiêu chuẩn n01 = 50 [v/ph]

K- Đợc tính từ các hệ số thành phần

K= k0.ka kđc k1t Kđ kc

K0- Hệ số kể đến ảnh hởng của vị trí bộ truyền, giả sử đờng nối hai tâm

đĩa xích so với phơng nằm ngang nhỏ hơn 600 tra bảng 5.6 đợc k0 = 1

Ka- Hệ số kể đến khoảng cách trục và chiều dài xích, giả sửkhoảng cách trục a =30p, tra bảng 5.6 đợc ka = 1

Kđc- Hệ số kể đến ảnh hởng của việc điều chỉnh lực căng xích, ở đây chọn

vị trí trục đợc điều chỉnh bằng một trong các đĩa xích trabảng 5.6 đợc kđc = 1

Kbt- Hệ số kể đến ảnh hởng của bôi trơn, ở đây môi trờng làm việc có bụi ,chất lợng bôi trơn II, tra bảng 5.6 đợc K1t= 1,3

Kđ- hệ số tải trọng động, kể đến tính chất tải trọng, ở đây cho tải trọng không đổi - va đập vừa 5.6 đợc kđ= 1,2

Kc- Hệ số kể đến chế độ làm việc của bộ truyền, ở đây chọn bộ truyền làmviệc một ca, tra bảng 5.6 đợc kc = 1

Đồng thời theo bảng 5.8 có p < pmax, cũng theo bảng 5.5 với

P = 31,5 mm ta tra đựơc đờng kính chốt dc = 9,55 mm và chiều dài ống

Số mắt xích đợc xác định theo công thức sau.

X =

945 14 , 3 4

5 , 31 ) 25 76 ( 2

76 25 5 , 31

945 2

4

) (

2

2

2

2 2

2 1 2 2

a

=112,7 (KW)mm).Chọn số mắt xích chẵn X = 112 mm

Tính lại khoảng cách trục a

2 1 1

2 ) 0 , 5 ( ) 2 (

5 ,

14 , 3

25 76 2 ) 76 25 ( 5 , 0 112 )

25 76 ( 5 , 0

120 25

c Tính kiểm nghiệm xích về độ bền uốn

Với các bộ truyền xích bị quá tải lớn khi mở máy hoặc thờng xuyên chịu tải va đập trong quá trình làm việc, cần tiến hành kiểm nghiệm về quá tải theo

hệ số an toàn s, ở đây ta kiểm nghiệm về quá tải khi mở máy

.F F0 F s k

Q

v t

d





Trong đó :

V=

60000

120 5 , 31 25 60000

.

1



III n t z

=10001,58.5,143 = 3265,4 (KW)N)

Fv – Lực căng do lực ly tâm sinh ra,

Fv= q.v2 = 2,6.(KW)1,58)2 = 9,4 (KW)N)

q- Khối lợng 1 mét xích, tra bảng 5.2 đợc q = 3,8 (KW)kg/m).

F0- Lực căng do trọng lợng nhánh xích bị động sinh ra

F0 = 9,81.kf.q.a= 9,81.6.3,8.0,9308=208,2 (KW)N) Với bộ truyền nằm ngang ta lấy kf = 4

Theo bảng 5.10với n =200 vg/ph tra đợc [s] = 8,5

Vậy S > [S] , bộ truyền xích đảm bảo đủ bền.

5 , 31 sin

5 , 31 sin

e, Kiểm nghiệm răng đĩa xích về độ bền tiếp xúc.

ứng suất tiếp xúc trên bề mặt răng đĩa xích phải thoả mãn điều kiện

sau:

H = 0,47

d

vd d t r

K A

E F K F k

A-Diện tích chiếu của bản lề, tra bảng 5.12 đợc A=262 mm

E- Mô đun đàn hồi của vật liêu, E= 2,1.105 [Mpa]

=>H1= 0,47

d

vd d t r

K A

E F K F k

.

).

(

1 262

10 1 , 2 ).

88 , 4 2 , 1 4 , 3265 (

42 ,

H2= 0,47

d

vd d t r

K A

E F K F k

.

).

(

=0,47

1 262

10 1 , 2 ).

6 , 1 2 , 1 4 , 3265 ( 22 ,

Để đảm bảo tính thống nhất trong thiết kế ta chọn vật liệu hai đĩa xích là

nh nhau.Theo bảng 5.11 ta dùng thép 45 tôi cải thiện đạt độ rắn HB = 210, sẽ

đạt đợc ứng suất tiếp xúc cho phép [H1]= 600 (KW)Mpa) để chế tạo đĩa xích

f, Xác định lực tác dụng lên trục

Fr= Kx.FTrong đó: Ft- Lực vòng, Ft= 3265,4 N (KW) Xác định ở trên)

Kx- hệ số kể đến trọng lợng xích,với bộ truyền nằm ngang lấy

Kx= 1,15

Fr= 1,15.3265,4 = 3755,2 (KW)N).

III- tính toán trục của hộp giảm tốc.

1 chọn vật liệu chế tạo trục

vì ở đây tải trọng trung bình nên ta dùng thép 45 thờng hoá, có 1= 600 Mpa , ứng suất xoắn cho phép  = (KW)12…30) Mpa.30) Mpa

3 Xác định sơ bộ đờng kính trục

dK= 3

] [

2 ,

k

T

.Trong đó: dk- Đờng kính trục thứ k

[]- Mômen xoắn cho phép chọn [] = 17 Mpa

Tk- Mômen xoắn trên trục thứ k

2 ,

36460

= 22,05(KW)mm) Vì trục I nối với động cơ qua nối trục đàn hồi nên theo điều kiện d không nhỏ hơn 0,8dđc , theo bảng p1.7 với động cơ đã chọn ứng với dđc=38 mm nên chọn ds11 = 35 (KW)mm)

ds12 = 3

] [

2 ,

142000

= 34,69 (KW)mm), chọn ds12= 35 (KW)mm)

ds13 = 3

] [

2 ,

102250

= 39,18(KW)mm), chọn ds13= 40(KW)mm)

Từ ds11= 35mm, ds1 =35 mm, ds13= 40 mm tra bảng 10.2 ta đợc chiều rộng các ổ: bo1= 21 mm, bo2= 21mm, bo3 = 23mm

a, Chiều dài các may ơ

+ Chiều rộng may ơ nửa khớp nối, ở đây chọn nối trục vòng đàn hồi nên ta có:

lm12= (KW)1,4 2,5).dsb1= (KW)1,4 2,5).35 = 42…30) Mpa.87,5 (KW)mm)

Chọn lm12 = 50 (KW)mm)+chiều rộng may ơ bánh răng nhỏ cấp nhanh :

lm13= (KW)1,2 1,8).dsb2 = (KW)1,2 1,5).35 = 42…30) Mpa.52,2 (KW)mm)

Chọn lm13 = 45 (KW)mm)

+chiều rộng may ơ bánh răng lớn cấp nhanh:

lm32 = (KW)1,2 1,5)dsb3 = (KW)1,2 1,5).40 = 48 60 (KW)mm).

Chọn lm32 = 48 (KW)mm), và lm33 = 48 (KW)mm)

b, Xac định khoảng cách giữa các ổ

Sơ đồ tính khoảng cách ổ đối với trục I , II và III

l23 = 0,5(KW)lm23 + b02) +k1 + k2

l22 = l23 + 0,5.(KW)lm22 + lm23) +k1

l24 =2l22 - l23 , l21 = 2l22

l12 = - lc12 =- 66,5 (KW)mm).

l33=l31+ lc33 = 236 +68,5 =304,5(KW)mm).Qua sơ đồ trên ta lấy

t1 ya1

xa1

f

f

f f

f

f

b

a

a

x

y

z