Định lý rolle trên trường phức

MỞ ĐẦU Định lý Rolle trên trường số thực là một trong những định lý về giá trị trung bình, có ý nghĩa và có rất nhiều ứng dụng trong Giải tích, trong giải phương trình và hệ phương trình

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - -

PHAN THỊ DUYÊN

ĐỊNH LÝ ROLLE TRÊN TRƯỜNG PHỨC

(On the Rolle’s Theorem on complex domain.)

Chuyên ngành : Toán ứng dụng

Mã số : 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2013

Mở đầu……… ………….………2

Chương 1 Định lý Rolle cho đa thức trên trường phức……… 4

1.1 Định lý Rolle cho đa thức với hệ số thực……… …… 4

1.2 Định lý Gauss-Lucas ……… …… 8

1.3 Giả thuyết Sendov……… ……….15

1.4 Mở rộng Định lý Rolle trên trường phức ……… 18

1.4.1 Xác định một điểm tới hạn…….……… 19

1.4.2 Tách điểm tới hạn………… ……… ……… 22

1.5 Xác định vị trí một số điểm tới hạn……… 29

1.5.1 Đa thức với hai nghiệm xác định……… 30

1.5.2 Đa thức với m nghiệm đã biết……… 31

Chương 2 Một số mở rộng Định lý Rolle các vấn đề liên quan…… …… 38

2.1 Giả thuyết Sendov về miền Rolle……….38

2.2 Một mở rộng khác của định lý Rolle……… 45

2.2.1 Khái niệm “ở giữa”….……… 45

2.2.2 Một số kết quả đối với trường hợp tổng quát………47

2.2.3 Trường hợp khi P có tối đa ba nghiệm khác nhau………… 48

2.2.4 Trường hợp đa thức có bậc không vượt quá 4……… 51

2.3 Điểm tới hạn của hàm không phải là đa thức……… 52

Kết luận……… 56

Tài liệu tham khảo……… 57

MỞ ĐẦU

Định lý Rolle trên trường số thực là một trong những định lý về giá trị trung bình, có ý nghĩa và có rất nhiều ứng dụng trong Giải tích, trong giải phương trình và hệ phương trình, tìm nghiệm hoặc các điểm dừng của đa thức,… Định lý Rolle về mối quan hệ giữa nghiệm của hàm số và nghiệm của đạo hàm nói chung khá quen thuộc Một điều tự nhiên sau khi số phức và lý

thuyết hàm phức ra đời, là mở rộng Định lý Rolle sang cho các hàm số trên

trường số phức Một trong những Định lý quan trọng mở rộng Định lý Rolle

là Định lý Gauss (1836)-Lucas (1874) nói rằng, tất cả các nghiệm của đa thức đạo hàm nằm trong bao lồi (đa giác lồi) của tất cả các nghiệm của đa thức Từ

đó, Hình học của đa thức nghiên cứu quan hệ hình học giữa tập nghiệm của

đa thức và tập nghiệm của đạo hàm ra đời và phát triển Nhiều kết quả mới được tìm ra, nhiều giả thuyết quan trọng được phát biểu

Luận văn Định lý Rolle trên trường phức có mục đích trình bày tổng quan các kết quả đã biết về Định lý Rolle trên trường phức, chủ yếu cho lớp các hàm đa thức Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm hai chương

Chương 1 trình bày tổng quan về Định lý Rolle cho đa thức trên trường phức

Chương này trình bày định lý Rolle cho đa thức trên trường số thực và một số

ví dụ mà định lý Rolle không còn đúng trên trường phức, từ đó dẫn đến việc xét bài toán mở rộng Định lý Rolle cho đa thức trên trường số phức Bài toán

này đã được giải quyết theo nghĩa toàn cục bởi Định lý Gauss-Lucas Từ đây

nảy sinh Giả thuyết Sendov, một giả thuyết mà 50 năm nay vẫn còn là bài toán mở Chương 1 cũng trình bày nhiều kết quả khác liên quan đến mở rộng

theo nghĩa địa phương của Định lý Rolle

Chương 2 nghiên cứu miền Rolle, một cách mở rộng khác của Định lý Rolle

dựa trên khái niệm nghiệm của đa thức đạo hàm nằm “ở giữa” hai nghiệm của

đa thức Chương 2 cũng đề cập đến một số mở rộng của Định lý Rolle cho các lớp hàm rộng hơn lớp hàm đa thức

Khi sắp xếp các kết quả, chúng tôi cố gắng làm rõ bức tranh Định lý Rolle

trên trường phức, chứng minh các định lý được giải mã và làm sáng tỏ hơn

Nhiều tính toán trong chứng minh được trình bày chi tiết hơn tài liệu gốc Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm túc của PGS TS Tạ Duy Phượng Xin được bày tỏ lòng biết ơn tới người Thày, đã không chỉ hướng dẫn khoa học, mà còn động viên và khích lệ tác giả say mê học tập và nghiên cứu

Xin bày tỏ lòng biết ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã trang bị cho tôi những kiến thức toán học trong thời gian học Cao học

Xin được cám ơn Trường Trung học Phổ thông Xuân Giang – Quang Bình,

Hà Giang, nơi tôi công tác, đã tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập

Xin được cám ơn Gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ, hi sinh và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học Cao học và viết Luận văn

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2013 Tác giả

Phan Thị Duyên

Chương 1

Định lý Rolle cho đa thức trên trường phức

1.1 Định lý Rolle cho đa thức với hệ số thực

Ta đã biết định lý quen thuộc sau đây

Định lý 1.1.1 (Rolle, 1691) Giả sử f : là một hàm khả vi trên đoạn

a b   nhận các giá trị thực và có tính chất ,  , f a  f b . Khi ấy tồn tại

ít nhất một điểm ca b,  sao cho f c 0

Từ định lý Rolle ta có hệ quả sau cho đa thức

Hệ quả 1.1.1 Giả sử đa thức   1

Nhận xét 1.1.2 Đạo hàm P x  có thể có nhiều hơn một nghiệm trong

khoảng hai không điểm của P x Ví dụ, đa thức bậc bốn  

Nhận xét 1.1.3 Khi số nghiệm thực (không tính bội) nhỏ hơn thật sự bậc của

đa thức 2mn thì đa thức đạo hàm P x  có thể có những nghiệm khác

nằm ngoài khoảng hai nghiệm của P x Ví dụ, đa thức bậc bốn  

1,3 (Hình 3)

Hình 3

Trong Định lý Rolle, từ giả thiết f a  f b  ta khẳng định sự tồn tại nghiệm của đạo hàm trong khoảng a b Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: , 

Ta có thể thu hẹp đoạn a b chứa nghiệm của đa thức đạo hàm không?- Hai , 

định lý dưới đây trả lời cho câu hỏi trên

Trước tiên, bằng phép biến đổi tuyến tính t 2 x a b,

Định lý 1.1.2 (Lagguerre-Cesàro, [30]) Giả sử P x là một đa thức bậc   n  2

với các hệ số thực chỉ có các nghiệm thực và a 1, b  là hai nghiệm 1

liên tiếp của P x Khi đó có ít nhất một nghiệm của   P x  nằm trong đoạn

  là đoạn tốt nhất có tính chất này theo

nghĩa với mỗi 0 2,

Định lý 1.1.3 (L Tschakaloff, [30]) Cho  m là nghiệm lớn nhất của đa thức

Legendre bậc m Nếu P x là một đa thức với các hệ số thực có bậc   n2m

và P 1 P 1 , thì có ít nhất một nghiệm của P x  nằm trong khoảng mở

  m; m với n 3 và nằm trong khoảng đóng  2; 2 với n 3. Nếu

2

n  thì P x  có duy nhất một nghiệm đơn 10. Hơn nữa với mỗi

0 m  m, tồn tại một đa thức P x có bậc   n2m mà P x  không có

nghiệm trong đoạn   m; m

Nhận xét 1.1.4 Định lý Rolle chỉ đúng khi f x là hàm số xác định trên tập  

số thực, nhận giá trị thực và không còn đúng trên tập số phức, theo nghĩa sau:

trên các đoạn thẳng nối các điểm là nghiệm của đa thức không nhất thiết có

nghiệm của đạo hàm Ta xét một số ví dụ sau

Ví dụ 1 Xét hàm số   iz 1

f z e  Ta có

f z ie  không có nghiệm nói chung, do đó cũng không có nghiệm trong khoảng 0, 2.

Nghiệm của đạo hàm P z  không nằm trên 0

các cạnh của tam giác cân có ba đỉnh là ba

nghiệm của đa thức P z tức là không nằm  ,

trên một trong ba đoạn thẳng nối các nghiệm

của đa thức đã cho (Hình 4) Tuy nhiên, nghiệm

của đạo hàm nằm trong tam giác có ba đỉnh là

Ví dụ 2 cho thấy, Định lý Rolle theo nghĩa tồn tại nghiệm của đạo hàm nằm trên đoạn nối hai điểm nghiệm của hàm số, không còn đúng trên trường phức

Vì vậy, cần phải phát biểu Định lý Rolle cho đa thức trên trường phức một

cách thích hợp hơn Ví dụ 2 cũng gợi ý: Các điểm nghiệm của đạo hàm phải

nằm trong bao lồi của các điểm nghiệm của đa thức Đây chính là nội dung

Định lý Gauss-Lucas (mở rộng Định lý Rolle) về quan hệ giữa nghiệm của đa

thức và nghiệm của đạo hàm Từ đây ta cũng có Hệ quả: Nếu tất cả các

nghiệm của đa thức nằm trên một đường thẳng L (không nhất thiết là trục

thực) trên mặt phẳng phức, thì mọi nghiệm của đạo hàm cũng nằm trên

đường thẳng ấy

1.2 Định lý Gauss-Lucas

Cho đa thức ( )P z với các hệ số phức và nhận giá trị phức Năm 1836, Gauss

đã nhận xét rằng, mọi nghiệm của đa thức đạo hàm P z , không trùng với

nghiệm bội của đa thức, có thể được coi như là điểm cân bằng của một trường

lực được tạo ra bởi các hạt đồng chất đặt tại mỗi điểm nghiệm z của đa thức i

(m hạt nếu i z là nghiệm bội i m ), nếu mỗi hạt sinh ra một lực hút tỉ lệ nghịch i

với khoảng cách các hạt

Chính vì lẽ đó, nghiệm  j của đa thức đạo hàm P z  thường được gọi là 0

điểm cân bằng, điểm tới hạn hoặc điểm dừng của đa thức P z Từ nay về  

sau, các thuật ngữ nghiệm  của đa thức đạo hàm, điểm dừng, điểm tới hạn,

điểm cân bằng của đa thức được sử dụng theo cùng một nghĩa P  0

Từ nhận xét trên của Gauss, năm 1874, F Lucas, một kĩ sư người Pháp, đã

phát biểu và chứng minh Định lý 1.2.1 dưới đây, sau này được gọi là Định lý

Gauss-Lucas

Định lý 1.2.1 (Gauss-Lucas) Tất cả các điểm tới

hạn của đa thức ( ) P z với hệ số phức nằm trong

bao lồi H của các nghiệm của P z Nếu các ( )

nghiệm của P z không nằm trên một đường ( )

thẳng thì không có điểm tới hạn nào của P z ( )

nằm trên biên của H trừ khi đó là nghiệm bội ,

Định lý Gauss-Lucas có rất nhiều cách chứng minh, thí dụ, ngoài Gauss và F Lucas, trong [18], trang 21, M Marden đã liệt kê 13 tác giả chứng minh Định

lý Gauss-Lucas (trước 1932): G J Legebeke (1881); F De Boer (1884); S Berlothy (1884); M E Cesàro (1885); M Bôcher (1892); J H Grace (1902);

T Hayashi (1914); F Irwin (1915); B Gonggryp (1915); M B Porter (1916);

Y Uchida (1916); M Krawtchouk (1926); J V Sz Nagy (1918, 1932) Có thể xem một số chứng minh Định lý Gauss-Lucas trong [2], [6], [18], [22], [30],… Dưới đây chúng tôi trình bày chứng minh Định lí Gauss-Lucas theo Jerry Shao–Chieh Cheng (2012, [6])

Để chứng minh Định lý Gauss-Lucas, trước tiên ta chứng minh Định lý 1.2.2 (Cheng, 2012, [6]) dưới đây, là tổng quát hóa một kết quả của Marden (1966, [18], trang 1)

re 



  cũng nằm trong góc ấy

Không hạn chế tổng quát, chỉ cần chứng minh

Định lý 1.2.2 đúng với  0 Kết quả trong

trường hợp tổng quát có thể thu được nhờ phép

quay với góc quay là  (cùng chiều kim đồng

Nếu với mọi ,j j 1, 2, , ,p ta có 0 j  , thì tất cả các vectơ  j nằm

trong góc tạo bởi tia Ox trùng với chiều dương trục hoành có vectơ chỉ

   Vì 0  nên Ov tạo với Ox góc nhỏ hơn một

góc bẹt (Hình 6) Hơn nữa, mọi vectơ j

tương ứng với điểm i j

j r e j 

  có thể phân tích theo hai vec tơ v11, 0

và v2cos ,sin 

độc lập tuyến tính như sau:

Giả sử H là bao lồi của tất cả các điểm

nghiệm của P z và   P z( ) có nghiệm zH

Do đó tồn tại các số thực ,  với   sao

cho các vectơ  j: z j  thỏa mãn điều kiện z

m e r

hạn của đa thức P z với hệ số phức nằm trong tập ( ) H là bao lồi của các ,nghiệm của P z Phần 1 của Định lý 1.2.1 được chứng minh  .

Để chứng minh Phần 2 của Định lý 1.2.1, ta giả sử rằng các nghiệm của ( )P z

không nằm trên một đường thẳng Khi đó H phải là một đa giác lồi Gọi tên các đỉnh của H lần lượt là z z1, 2, ,z theo ngược chiều kim đồng hồ Nếu z p

là một điểm nằm giữa hai đỉnh trên một cạnh của H (thí dụ, cạnh z z ), khi 1 p

Định lý Gauss – Lucas được chứng minh hoàn toàn

Hệ quả 1.2.1 Đa giác lồi trong mặt phẳng phức chứa tất cả các nghiệm của

đa thức P z cũng chứa tất cả các nghiệm của   P z 

Thí dụ, nếu đa thức P z có tám nghiệm   r1, ,r được phân bố như trên Hình 8

8 thì đa giác lồi nhỏ nhất chứa tất cả các nghiệm của nó là ngũ giác lồi có các đỉnh là r r r r r 1, , , , 2 3 4 5

Áp dụng Định lí Gauss-Lucas cho nửa mặt

phẳng xác định bởi đường thẳng đi qua r r 1 2,

ta khẳng định các nghiệm của đa thức đạo

hàm phải nằm trong nửa mặt phẳng chứa

r r r r r của tất cả các nghiệm của đa thức

Hệ quả dưới đây yếu hơn Hệ quả 1.2.1, nhưng tiện dùng hơn

Hệ quả 1.2.2 Một hình tròn bán kính r chứa tất cả các nghiệm của đa thức

 

P z cũng chứa tất cả nghiệm của đa thức P z 

Chú ý 1.2.1 Để tiện nghiên cứu, nếu cần thì dùng phép đổi biến, chúng ta có

thể giới hạn lớp các đa thức đã được chuẩn hóa đối với vị trí các nghiệm theo

nghĩa: Tất cả các nghiệm nằm trong đĩa (hình tròn) đơn vị đóng trong mặt phẳng phức D0,1z z: 1  Chúng ta dễ dàng sử dụng Hệ quả 1.2.2 để đưa ra hệ quả dưới đây cho lớp các đa thức này

Hệ quả 1.2.3 Nếu tất cả các nghiệm của đa thức P z nằm trong hình tròn  

đơn vị đóng D0,1z z: 1 thì tất cả các nghiệm của đa thức đạo hàm

 

P z cũng nằm trong hình tròn đơn vị đóng D0,1z z: 1 

Chú ý 1.2.2 Chúng ta chỉ nghiên cứu tập tất cả các đa thức có các nghiệm

nằm trong z  Hệ quả 1 2 3 không còn đúng nếu hàm được xét không 1.phải là đa thức Ví dụ, hàm số   2

có nghiệm z  2 và nghiệm này nằm ngoài hình tròn đơn vị z  1.

1.3 Giả thuyết Sendov

Từ Định lý Rolle ta có nhận xét: Khoảng cách từ điểm nghiệm của đạo hàm

tới hai điểm nghiệm gần nó nhất của đa thức không vượt quá một nửa khoảng cách giữa các điểm ấy Coi khoảng cách lớn nhất giữa hai nghiệm thực liên

tiếp của đa thức với hệ số thực không vượt quá 2, thì giữa hai nghiệm liên tiếp của đa thức luôn tồn tại một nghiệm của đạo hàm có khoảng cách tới một nghiệm của đa thức không vượt quá 1

Xuất hiện bài toán tương tự: Đánh giá khoảng cách giữa nghiệm (phức) của

đa thức và nghiệm (phức) của đa thức đạo hàm

Từ Hệ quả 1.2.2 của Định lí Gauss-Lucas ta có một hệ quả sau đây

Hệ quả 1.3.1 Nếu tất cả các nghiệm của đa thức P z nằm trong hình tròn  

Năm 1958, nhà toán học người Bungaria Blagovest Sendov đã đặt câu hỏi:

Nếu thay 2r trong hệ quả trên bằng r thì khẳng định trên còn đúng không? -

Và Ông đi đến giả thuyết (sau này mang tên Sendov) dưới đây

Giả thuyết 1 (Giả thuyết Sendov) Giả sử mọi nghiệm của đa thức

D  z z  Khi ấy nếu z là một nghiệm của đa thức 1 P z thì  

tồn tại một nghiệm  của đa thức đạo hàm P z  nằm trong đĩa đơn vị đóng tâm z tức là 1, D z 1,1 zz1  1

Giả thuyết Sendov nói rằng: Giao (miền thấu kính) của hình tròn đơn vị đóng

0,1

D tâm ở gốc tọa độ và hình tròn bán kính đơn vị đóng D z 1,1 tâm ở

điểm nghiệm z của đa thức phải chứa ít nhất một điểm là nghiệm của đa thức 1

đạo hàm (z được kí hiệu là 1 r trong Hình 9)

từ một điểm nghiệm bất kì của đa thức đến một

điểm nghiệm bất kì của đạo hàm đều bằng 1

Hình 9

Vì vậy không thể thay bán kính r  bởi số bé hơn 1

Giả thuyết Sendov cũng có thể phát biểu dưới dạng sau

Giả thuyết Sendov 1’ Giả sử mọi nghiệm z1, ,z của đa thức n

thấu kính D0,1D z k,1 , k 1, ,n đều chứa ít nhất một điểm dừng

Hình 10 minh họa trường hợp đa

thức có tám nghiệm z i  i, 1, ,8

nằm trong hình tròn đơn vị Trong

mỗi hình tròn tâm z bán kính 1 i

đều có một trong bảy nghiệm của

đa thức đạo hàm (Hình 10 được

lấy từ trang web:

42

Năm 1969, A Meir và A Sharma đã chứng minh giả thuyết Sendov cho trường hợp n 5 Năm 1971, Gacs đã mở rộng kết quả mạnh hơn của G

Schmeisser cho trường hợp n 5 Trường hợp n  cũng được chứng minh 5bởi S Kumar và B G Shenoy năm 1992 và J Borcea, 1996

Hơn 20 năm sau khi trường hợp n 5 được chứng minh, J Brown mới cho một số tiến bộ đáng kể trong chứng minh trường hợp n 6 vào các năm 1988

và 1991 Năm 1996, Borcea đã cho một chứng minh giả thuyết Sendov cho trường hợp n 6 Cùng năm đó Katsoprinakis cũng đã cho một chứng minh chính xác nhờ sửa lại chứng minh cũ (1992) cho trường hợp n 6

Trường hợp n  đã được J Borcea chứng minh năm 1996 và J Brown 7chứng minh năm 1997

Năm 1999, J Brown và G Xiang, học trò của Ông, đã chứng minh cho trường hợp n 8. Theo Bl Sendov (2002): Chứng minh của J Brown và G

Xiang rất công phu Nó dựa vào đánh giá trên và đánh giá dưới của tích các giá trị tuyệt đối của các điểm nghiệm của đạo hàm Phương pháp của J Brown và G Xiang cho n  có lẽ có thể mở rộng cho 8 n 9, nhưng đây là một công việc gian nan

Mặc dù một số tác giả (thí dụ, G Schmieder, 2003), công bố là đã chứng minh được giả thuyết Sendov nhưng các chứng minh này không được công nhận Do đó, kỉ lục chứng minh giả thuyết Sendov của J Brown và G Xiang cho n  năm 1999 vẫn được giữ cho đến nay (2013) 9

Tổng quan về Giả thuyết Sendov cùng Danh mục 108 Tài liệu viết về Giả thuyết Sendov có thể xem trong [1] và [2]

1.4 Mở rộng Định lý Rolle trên trường phức

Định lý Rolle cho các đa thức với hệ số thực có giả thiết là P a P b .Bằng phép biến đổi tuyến tính, ta luôn có thể giả thiết P 1 P 1

Định lý Rolle cho đa thức trên trường phức có cấu trúc như sau:

Cho một số tự nhiên n 2, K là lớp các hàm đa thức với các hệ số phức có n bậc n với P 1 P 1 ,  là tập hợp con nào đó của mặt phẳng phức n

Nếu PK n thì tồn tại    sao cho n, P  0

Trong các tài liệu, các định lý kiểu này thường được gọi là tương tự (hay tổng

quát hóa) của định lý Rolle cho đa thức trên trường phức

Để chứng minh Định lý Grace – Heawood, ta sử dụng

Định nghĩa 1.4.1 ([18], trang 60) Hai đa thức

Rõ ràng, có vô số đa thức liên hợp với đa thức đã cho

Bổ đề 1.4.1 (Định lý Grace, [1], trang 61) Giả sử P z và   Q z là hai đa  

thức liên hợp và một trong số hai đa thức đó có tất cả các nghiệm nằm trong hình tròn , C khi đó đa thức còn lại cũng có ít nhất một nghiệm nằm trong C

Chứng minh Không làm mất tính tổng quát, có thể coi z   và 1 1 z   2 1(Hình 11, cho trường hợp n 8) Theo giả thiết,

Vì vế phải của phương trình (1.3) là một hệ thức tuyến tính của các hệ số nên

ta có thể23 áp dụng Bổ đề 1.4.1 Như vậy, có ít nhất một nghiệm của đạo hàm

nghĩa là không chỉ có ít nhất một nghiệm của P z  nằm trong hình tròn C

theo Bổ đề 1.4.1, mà cũng có ít nhất một nghiệm của P z  nằm trong mỗi

hình tròn C (Hình 11) đi qua hai điểm z icot

n



 

Hình 11 Nhận xét 1.4.1 Bán kính r của Định lý Grace – Heawood không được thay thế bởi một số nhỏ hơn Thật vậy, đa thức

Cho các điểm z và 1 z thay đổi tùy ý trong hình tròn z2 R và xét các hình

tròn C trong Định lý 1.4.1 (Hình 12) Ta chỉ cần xét các điểm z và 1 z chạy 2

trên đường tròn, tức là z1  z2 R. Bất kỳ điểm nào trên đường tròn C

cũng có thể được biểu diễn bởi số phức

cos sin cot sin csc csc

Như vậy, ta đã chứng minh được định lý sau

Định lý 1.4.2 ([26], Định lý 4.3.4, trang 128) Nếu ( )P z là một đa thức bậc

2

n  và P 1 P 1 Khi đó tồn tại một điểm tới hạn  của P z nằm ( )

trong hợp của hai hình tròn đóng

Ta có nhận xét rằng, hai đường tròn này đi qua hai điểm A1,0 và B  1,0 

Thật vậy, kí hiệu 1 0,cot

1.4.2 Tách các điểm tới hạn

Định lý Gauss-Lucas nói rằng, mọi miền lồi chứa tất cả các nghiệm của đa thức phải chứa tất cả các nghiệm của đạo hàm Thay vì giả thiết tất cả các nghiệm của đa thức nằm trong một hình tròn cụ thể (xác định được tâm và bán kính của hình tròn đó) như trong Định lý Gauss-Lucas, ta có thể “tinh chỉnh” hơn bằng cách “khoanh vùng”, “tách” các điểm nghiệm trong các hình tròn khác nhau Tức là giả sử đa thức bậc n có n nghiệm nằm trong hình 1

tròn đóng D1, n nghiệm nằm trong hình tròn đóng 2 D , 2, n nghiệm nằm p

trong hình tròn đóng D Hãy “tách” các điểm tới hạn, nghĩa là xác định vị trí p.các điểm nghiệm của đạo hàm theo vị trí của các hình tròn D i i, 1, 2, p

Vào những năm 1918-1922, Joseph L Walsh là người đầu tiên nghiên cứu bài toán này với một loạt các phát hiện thú vị Dưới đây là hai trong số các kết quả nghiên cứu của J L Walsh

Định lý 1.4.3 (Định lý về hai hình tròn của Walsh, [18]) Nếu đa thức P z 1 

bậc n có 1 n nghiệm nằm trong hình tròn đóng 1 D với tâm 1 c bán kính 1 r và 1

đa thức P z bậc 2  n có 2 n nghiệm nằm trong hình tròn đóng 2 D với tâm 2 c 2bán kính r thì mọi nghiệm của đa thức đạo hàm của tích 2 P z( )P z P z1   2

không nằm trong các hình tròn D1, D phải nằm trong hình tròn 2 D với tâm 3

tròn D và 1 D (Hình 13) 2

Hình 13

Để chứng minh định lý về hai đường tròn của Walsh chúng ta sử dụng

Bổ đề 1.4.2 ([1], Định lý 15.4, trang 62])Cho  là một dạng n - tuyến tính

đối xứng có tổng của các bậc theo z z1, 2, ,z là , n n và cho C là một miền tròn có chứa n điểm z1 0,z2 0 , ,z n 0. Khi đó trong C sẽ tồn tại ít nhất một điểm  thỏa mãn     0  0  0 

độc lập tương ứng trên các hình tròn C C1, 2, ,C thì tất cả các điểm p,  với

với c và j r lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn j C j

Bổ đề 1.4.4 ([1], Định lý 18.3, trang 84–85) Giả sử nghiệm của đa thức

,

n

n j j

j j



hình tròn đóng C nếu 1 m1n, nằm trong hình tròn đóng C nếu 2 m2 và n

nằm trong p hình tròn đóng j  j, j, trong đó 1 2

1

j j

Đây là phương trình tuyến tính và đối xứng với các nghiệm của P z và các 1 

nghiệm của P z Theo Bổ đề 1.4.2, Z cũng sẽ thỏa mãn phương trình (1.6) 2 

điểm trong hình tròn C (hình tròn C được xác định bằng cách đặt

1 1

1 2

n m

Ngược lại, như trong Bổ đề 1.4.4, ta có thể biểu diễn điểm Z nằm trong hình

tròn C C hoặc 1, 2 C như một nghiệm của đạo hàm của hàm tích

  1   2

P z P z P z với lựa chọn đa thức P z và 1  P z phù hợp có các 2 

nghiệm tương ứng trong C C 1, 2

Định lý 1.4.3 được chứng minh hoàn toàn

Hệ quả 1.4.1 Nếu phần trong của các hình tròn đóng D D và 1, 2 D phát biểu 3trong Định lý 1.4.3 không có điểm chung nào, thì số nghiệm của P z  mà chúng có tương ứng là n11,n2 và 1 1

Một ứng dụng của Định lý 1.4.3 là áp dụng cho đa thức với hệ số thực P x ( )chỉ có các nghiệm thực Ta có

Định lý 1.4.4 Cho P x là một đa thức thực có bậc ( ) n chỉ có nghiệm thực, trong đó m nghiệm nằm trong khoảng 1 I a1: 1xb1, m2 nm1 nghiệm còn lại nằm trong khoảng I2:a2xb2, với a2 b1 Khi ấy mọi điểm tới hạn của

 và đi qua điểm za2 và zb2. Theo Định lý 1.4.3,

các điểm tới hạn của P không nằm trong hình tròn D hoặc hình tròn 1 D thì 2

phải nằm trong hình tròn D có tâm tại 3 3 1 2 2 1  1 2

Định lý 1.4.3 có thể mở rộng ra cho nhiều hình tròn như sau

Xét đa thức P z bậc i  n Các đa thức đó có i n nghiệm nằm trong hình tròn 1

đóng D , 1 n nghiệm nằm trong hình tròn đóng 2 D ,…, và 2 n nghiệm nằm p

trong hình tròn đóng D , với p n1n2 n p n Nếu kí hiệu K là miền lồi

nhỏ nhất chứa tất cả hình tròn D j, j1, 2, ,p, thì theo Định lý Gauss-Lucas, tất cả các điểm tới hạn của đa thức P z sẽ nằm trong   K Ta có

Định lý 1.4.5 (Walsh, xem [20]) Giả sử D D0, 1, ,D là các hình tròn có O là p tâm chung của phép đồng dạng ngoài Nếu P z là một đa thức bậc n có ( ) n k nghiệm trong hình tròn D k k, 0,1, , ,p n1n2 n p  thì mọi điểm tới n hạn của P z( ) mà không nằm trong các hình tròn D phải nằm trong các k,

hình tròn D  ở đó k , D D1, 2, ,D q  cùng nhận O làm tâm đồng dạng ngoài

Hình 14

Định lý 1.4.5 có thể tổng quát hóa cho họ tùy ý của các đường tròn D một k,trong những đường tròn đó không nhất thiết phải có tâm đồng dạng chung ngoài như sau

Định lý 1.4.6 (Marden, [18], trang 96-106) Giả sử P z là các đa thức bậc j 

Để làm sáng tỏ Định lý 1.4.6, ta xét trường hợp đặc biệt p 2 Khi đó chỉ còn

ba đường tròn C j z 0, j0,1 Phương trình (1.7) có dạng đơn giản hơn

Xét một ví dụ không tầm thường sau: Các hình tròn D0, D và 1 D có cùng 2

bán kính r với các tâm tương ứng là c02 ,i c1  3 i c, 2   , là ba đỉnh 3 i

của một tam giác cân Khi đó chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:

Trường hợp 1 r 0 : Khi ấy dạng bậc bốn toàn phương trở thành các điểm

Trường hợp 3 r  3 1: Hai hình ovan tiếp xúc với nhau tại z 0

Trường hợp 4 3 1  r 3 1: Đường bậc bốn là một hình oval

Trường hợp 5 r  3 1: Đường bậc bốn bao gồm một hình oval và điểm 0

z  tách biệt

Trường hợp 6 r  3 1: Đường bậc bốn bao gồm hai hình ovan lồng nhau Trong trường hợp này, bất kỳ điểm tới hạn nào, mà không nằm trong những miền tròn D D và 0, 1 D phải nằm trong hình oval đóng của dạng bậc bốn 2,toàn phương (Hình 15)

Một ví dụ khác là khi đường cong E z  suy biến thành một tập hợp các   0đường tròn C có cùng bán kính r và các tâm của nó là j p  đỉnh của một 1

đa giác P Khi ấy đường cong E z  trở thành một tập các đường tròn   0đồng tâm với tâm là tâm của đa giác P

1.5 Xác định vị trí một số điểm tới hạn

Trong phần trước chúng ta đã phát triển Định lý Rolle theo hướng toàn cục: giả thiết xác định vị trí tất cả các điểm tới hạn của một đa thức P z khi đã  

biết vị trí của tất cả các nghiệm của P z Tuy nhiên, Định lý Rolle còn có  

tính chất địa phương: Chỉ cần biết hai nghiệm của đa thức là biết được một