Tuyển tập các bài toán tạp chí Kvant năm 2008-2009

Tạp chí Kvant năm 2000-2009 Tuyển tập tốn Nguyễn Tuấn Minh Minsk, 07-2010 Mục lục Lời giới thiệu Trang 004 Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant số số số số số số 01-2000 02-2000 03-2000 04-2000 05-2000 06-2000 Trang Trang Trang Trang Trang Trang 005 007 009 011 013 016 Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant số số số số số số 01-2001 02-2001 03-2001 04-2001 05-2001 06-2001 Trang Trang Trang Trang Trang Trang 018 020 022 024 025 027 Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant số số số số số số 01-2002 02-2002 03-2002 04-2002 05-2002 06-2002 Trang Trang Trang Trang Trang Trang 028 030 032 034 036 038 Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant số số số số số số 01-2003 02-2003 03-2003 04-2003 05-2003 06-2003 Trang Trang Trang Trang Trang Trang 040 042 044 047 048 051 Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant số số số số số số 01-2004 02-2004 03-2004 04-2004 05-2004 06-2004 Trang Trang Trang Trang Trang Trang 053 055 056 058 059 061 Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant số số số số số số 01-2005 02-2005 03-2005 04-2005 05-2005 06-2005 Trang Trang Trang Trang Trang Trang 062 064 065 067 069 071 Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant số số số số số số 01-2006 02-2006 03-2006 04-2006 05-2006 06-2006 Trang Trang Trang Trang Trang Trang 072 074 075 077 078 080 Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant số số số số số số 01-2007 02-2007 03-2007 04-2007 05-2007 06-2007 Trang Trang Trang Trang Trang Trang 081 083 084 086 088 090 Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant số số số số số số 01-2008 02-2008 03-2008 04-2008 05-2008 06-2008 Trang Trang Trang Trang Trang Trang 092 094 095 098 100 102 Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant số số số số số số 01-2009 02-2009 03-2009 04-2009 05-2009 06-2009 Trang Trang Trang Trang Trang Trang 103 105 107 109 111 113 LỜI GIỚI THIỆU Ý tưởng cho việc đời tạp chí Kvant đề xuất viện sĩ Piotr Leonhidovich Kapisa vào năm 1964 Và bà tìm ủng hộ nhiệt tình với thành viên tích cực bạn trẻ năm học tập nhóm Tốn-Lý khối phổ thơng chuyên trường đại học lớn, từ thi olympic tồn liên bang Xơ Viết, nhóm học hè học sinh phổ thơng Vào năm 1970 ước mơ thành hiên thực Tạp chí Kvant đến tay bạn đọc tồn Liên bang Xô Viết Trưởng ban biên tập viện sĩ Issac Konstantinovich Kikoin, phó trưởng ban biên tập viện sĩ Andrei Nikolaievich Kolmogorov Và Kvant dần trở tạp chí khoa học phổ thơng Tốn-Lý tiếng giới có số lượng bạn đọc đơng đảo có bạn đọc Việt Nam Cho đến đầu năm 1990 tạp chí hàng tháng với khoảng 250-350 nghìn in Ngày tạp chí hai tháng số, số in giảm nhiều Tuy nhiên cộng tác viên ban biên tập nỗ lực nhiều đề không ngừng cải thiện hình thức nội dung Kvant Những tài liệu viết xuất tạp chí suốt 30 năm xem vơ q giá Khơng lần người ta có dịp hỏi nhà khoa học trẻ, người đạt nhiều thành tích khoa học, nhà giáo lớn rằng: "Điều cho phép bạn lựa chọn nghề nghiệp chuyên ngành mình?" Và gần tất câu trả lời giống : "Các thầy giáo phổ thơng, người có niềm say mê đến chun mơn tạp chí Kvant" Mặc dù gặp nhiều khó khăn nhiên Kvant ln tạp chí khoa học phổ thông phổ biến bạn trẻ, thầy cô nhà khoa học, nhà giáo dục học quan tâm Kvant thật nguồn tài liệu bổ ích cho đam mê Toán học Vật Lý Bản dịch bao gồm khoảng 400 tốn Số học, Rời rạc, Hình học, Đại số, Giải tích hấp dẫn mục kì đề tạp chí Kvant suốt 10 năm gần vốn chia sẻ thảo luận diễn đàn Mathvn.org Hi vọng quà mang nhiều ý nghĩa gửi đến đông đảo bạn trẻ u Tốn thầy giáo phổ thơng Việt Nam, mà tiếng Nga khơng cịn phổ biến rộng rãi, nước tiếp cận với số Kvant Tuy có nhiều cố gắng việc dịch thuật soạn thảo có lẽ khơng tránh khỏi thiếu sót mắc phải tài liệu Hi vọng nhận nhận xét, góp ý chân thành bạn đọc thơng qua địa email: mathvn2008@gmail.com truy cập vào website: http://mathvn.org Minsk, ngày 04 tháng 07, 2010 Nguyễn Tuấn Minh Đề kì - Tạp chí Kvant 01-2000 Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org 01 - 2008 M1711 Một bách khoa từ điển gồm 10 quyển, chúng giá vào thứ tự ghi giá sách chỗ bên cạnh Hỏi có cách đặt được? D Kalinin M1712 a Trong mặt phẳng có hình tam giác bốn tam giác có đỉnh chung Chứng minh tất tam giác có đỉnh chung b Trong mặt phẳng có hình ngũ giác ba hình tam giác có đỉnh chung Chứng minh tất ngũ giác có đỉnh chung V Proizvolov M1713 Trên cách cạnh BC, CA, AB tam giác ABC lấy điểm A , B , C cho đường thẳng AA , BB , CC đồng quy Gọi D, E, F, D , E , F trung điểm đoạn AB, BC, CA, A B , B C , C A Chứng minh rằng: a DD , EE , F F đồng quy, điểm giao điểm AA , BB , CC , trọng tâm tam giác ABC nằm đường thẳng b Nếu AA , BB , CC đường cao tam giác ABC giao điểm đường thẳng DD , EE , F F trùng với tâm đường tròn Euler tam giác ABC c Nếu AA , BB , CC đường phân giác tam giác ABC điểm chung chúng điểm chung DD , EE , F F , điểm chung đường thẳng qua đỉnh tam giác ABC chia đơi chu vi nằm đường thẳng d Nếu AA , BB , CC đường chia đôi chu vi tam giác ABC điểm chung DD , EE , F F trùng với trọng tâm tam giác ABC I Vainchtein M1714 Chứng minh phương trình a (x2 + 1)(y + 1) = z ; b (x2 − 1)(y − 1) = z , x = y; c (x2 + 1)(y + 1) = z , x = y, có vơ số nghiệm với nguyên x, y, z nguyên V Senderov M1715 Cho số tự nhiên a1 , a2 , , an nhận giá trị từ đến 20 cho: |a1 − a2 | + |a2 − a3 | + + |a2n−1 − a2n | + |a2n − a1 | = 2n2 Chứng minh rằng: |a1 − a2 | + |a3 − a4 | + + |a2n−1 − a2n | = n2 V Proizvolov M1716 Trên tờ giấy kẻ carơ n × n ơ, ta đánh dấu N ô vuông cho ô vng đánh dấu có kế cận (chung đỉnh) đánh dấu Tìm giá trị nhỏ N đạt E Barabanov, N.Voronovich M1717 Cho hai đường tròn Γ1 Γ2 chứa đường tròn Γ tiếp xúc với Γ M, N Đường tròn Γ1 qua tâm đường tròn Γ2 Đường thẳng qua giao điểm Γ1 Γ2 cắt Γ A, B Các đường thẳng M A, M B cắt Γ1 C, D Chứng minh CD tiếp xúc với Γ2 P Kozhevnikov M1718 Tìm tất hàm số f : R → R thoả mãn f (x − f (y)) = f (f (y)) + xf (y) + f (x) − với x, y ∈ R (Nhật Bản) M1719 Cho dãy số thoả mãn công thức đệ quy: a1 = 1, an+1 = an + n = 1, 2, an a Chứng minh a100 > 14 b Tính [a1000 ] √ c Chứng minh hội tụ tìm giới hạn dãy {an / n}n n → ∞ A.Spivak M1720 Cho N khối lập phương gỗ giống hệt Chúng dán lại cho hai số chúng có mặt tiếp giáp dán lại với (dán hết mặt tiếp giáp phần) Chứng minh giá trị lớn N đạt V Proizvolov Đề kì - Tạp chí Kvant 02-2000 Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org 02 - 2008 M1721 Có tồn hay khơng số tự nhiên x, y thoả mãn x2 − 3y = 2000? V Senberov M1722 Cho a, b hai số tự nhiên qua điểm đường thẳng qua điểm (a, b) cắt góc toạ độ thứ tạo thành tam giác vuông a Chứng minh số điểm với toạ độ nguyên nằm cạnh tam giác lớn 2ab + a + b b Chứng minh qua điểm (a, b) dựng đường thẳng cắt góc toạ độ thứ toạ thành tam giác vuông, cho cạnh tam giác có tất 2ab + a + b + điểm với toạ độ nguyên M Panov M1723 Trên mặt phẳng cho n vector tô đỏ n vector tô xanh có chung điểm gốc Các vector màu đỏ đánh số từ đến n Theo thứ tự đánh số vector đỏ quay theo chiều kim đồng hồ chiếm vị trí vector màu xanh gần chưa bị chiếm chỗ vector mau xanh bị chiếm hết chỗ Chứng minh tổng góc quay khơng phụ thuộc vào đánh số vector màu đỏ V Proizvolov M1724 Trong tam giác ABC cho hai đường cao AD, CE cắt điểm O (như hình vẽ) Đường thẳng DE cắt đường thẳng AC K Chứng minh rằng, trung tuyến BM tam giác ABC vng góc với OK M Volchkevich M1725* Từ tờ giấy kẻ carơ (2n + 1) × (2n + 1) ơ, ta cắt hình F hình vẽ Chứng minh a Hình F khơng thể cắt thành 2n hình lồi b Nếu hình F chia thành 2n + đa giác lồi chúng phải hình chữ nhật V Proizvolov Đề kì - Tạp chí Kvant 03-2000 Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org 05 - 2008 M1726 Trên mặt phẳng kẻ n đường thẳng đường thẳng giao với 1999 đường thẳng khác Tìm tất giá trị n R Jenogarov M1727 Một lần Foma Erema dựng dãy số, Đầu tiên dãy số có số tự nhiên Họ viết vào số hạng khác sau: Foma tới phiên tạo số hạng cách cộng thêm vào số hạng trước số từ chữ số nó; cịn Erema lại trừ chữ số trước số từ chữ số Chứng minh số hạng cho dãy số có giá trị lặp khơng 10 lần A Shapovalov M1728 Các điểm K, L thuộc cạnh AC, CB tam giác ABC nằm đường tròn bàng tiếp tam giác tiếp xúc với hai cạnh Chứng minh đường thẳng qua trung điểm KL AB a chia chu vi tam giác ABC thành hai phần nhau, b song song với đường phân giác góc ACB L Emilianov M1729 Dãy số tự nhiên phân hoạch thành hai dãy vô hạn rời nhau, cho ba thuộc hai dãy tổng chúng thuộc dãy Chứng minh hai dãy số tự nhiên lẻ dãy số tự nhiên chẵn V Proizvolov M1730 Giả sử cạnh đối diện tứ giác lồi ABCD cắt M, K (như hình vẽ) Qua giao điểm O hai đường chéo kẻ đường thẳng song song với M K Chứng tỏ đoạn thẳng thuộc đường thẳng nằm miền đa giác bị chia làm hai phần điểm O M Volchkevich M1731 Có dãy 60 dấu Thay cặp dấu vị trị chữ số, làm liên tiếp nhận dãy có 60 chữ số Hỏi có cách thay cho nhận số chia hết cho 13 hay không N Vacilev, B Ginzburg.) M1732 a Các tập hợp A, B nằm đường thẳng chứa n điểm Nếu đánh số tất ba điểm tập hợp A theo thứ tự (tức ba điểm cho ứng với số, đánh theo dãy số tự nhiên), tất ba điểm tập B đánh số theo thứ tự cho hai ba A B có số giống trùng Chứng minh A, B trùng b Khẳng định có cịn thay ba điểm cặp hai điểm V Proizvolov M1733 Xét hàm liên tục f (x) cho f = f −1 f (0) = Chứng tỏ 1 |x − f (x)|dx = K Kaibkhanov sin x M1734 Chứng tỏ phương trình x nghiệm với β ≤ có nghiệm với β > V Senderov β = cos x khoảng (0, π ) vô M1735* Đa diện lồi có sáu đỉnh nằm trục dương hệ trục tọa độ Oxyz Chứng minh hình chiếu gốc O lên mặt đa diện nằm mặt cầu V Proizvolov Đề kì - Tạp chí Kvant số 05-2008 Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org Tháng 07-2009 M2101 Cho tam thức bậc hai f (x) = x2 + ax + b Biết số thực x tồn số thực y cho f (y) = f (x) + y Tìm giá trị lớn a D Tereshin M2102 Các số tô màu đỏ mà tô màu xanh đặt theo vòng tròn, Mỗi số màu đỏ tổng hai số kề với nó, số màu xanh nửa tổng hai số kề với Chứng minh tổng số màu đỏ Y Bogdanov M2103 Cho bảng vng kích thước n × n, cột đánh số từ đến n Người ta đặt số 1, 2, , n vào ô cột cho dòng cột số khác Ơ gọi tốt số lớn số đánh cho cột chứa Với số tự nhiên n tồn cách đặt cho tất dịng số lượng tốt K Chuvilchin M2104 Nhà ảo thuật tiến hành đoán diện tích hình đa giác lồi A1 A2 A2008 đằng sau rèm Trong lần đối đáp với khán giả ảo thuật gia gọi tên điểm đường chu vi đa giác, người khán giả đánh dấu hai điểm kẻ đường thẳng qua chúng, sau thơng báo cho ảo thuật gia phần với diện tích nhỏ sau chia đa giác cho đường thẳng kẻ Trong số điểm mà ảo thuật gia gọi tên chúng đỉnh điểm nằm cạnh với tỉ lệ nhà ảo thuật định Chứng tỏ sau 2006 lần vấn đáp nhà ảo thuật đốn diện tích đa giác N Agakhanov M2105 Đường trịn ω với tâm O nội tiếp góc BAC tiếp xúc với cạnh điểm B, C Trong góc BAC lấy điểm Q Trên đoạn AQ lấy điểm P cho AQ ⊥ OP Đường thẳng OP cắt đường tròn ω1 , ω2 ngoại tiếp tam giác BP Q CP Q lần thứ hai điểm M N Chứng tỏ OM = ON A Akopian M2016 Với số tự nhiên n > tồn số tự nhiên b1 , b2 , , bn (không bắt buộc tất số khác nhau) cho với số tự nhiên k số (b1 + k)(b2 + k) (bn + k) lũy thừa số tự nhiên (Số mũ lũy thừa phụ thuộc theo k phải thiết lớn 1) V Proizvolov, V Senderov M2107 Cho tam giác không cân ABC, điểm H, M giao điểm đường cao đường trung tuyến Qua đỉnh A, B, C kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng AM, BM, CM Chứng tỏ giao điểm đường trung tuyến của tam giác tạo thành cách dựng đường thẳng nằm đường thẳng M H L Emelianov M2108 Cho P tập hợp hữu hạn số nguyên tố Chứng tỏ tồn số tự nhiên x cho biểu diễn dạng x = ap + bp (a, b số tự nhiên) với p ∈ P không biểu diễn dạng nàu với p ∈ P / V Senderov M2109 Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử điểm P Q giao điểm tia BA CD, BC AD H hình chiếu D P Q Chứng tỏ tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn nội tiếp tam giác ADP CDQ nhìn điểm H hai góc V Shmarov M2110 Có 2n + đấu thủ tham gia giải đấu cờ vua giao hữu, Mỗi người đấu với người lần Giải đấu tổ chức theo kế hoạch để trận tiến hành trận sau trận khác cho đấu thủ sau ván đấu nghỉ khơng n trận Chứng tỏ đấu thủ mà chơi ván giải, để chơi ván đấu cuối A Gribalko Đề kì - Tạp chí Kvant số 06-2008 Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org Tháng 07-2009 M2111 Một ô dải băng dạng kẻ ô vuông (vô hạn) sơn màu Một bị lúc đầu nằm cách n ô so với ô tô ban đầu (theo phương ngang, dọc) Gieo quân xúc sắc, trường hợp k điểm (1 ≤ k ≤ 6) hịn bi dịch chuyển phía tơ ban đầu k Tiếp tục q trình gieo xúc sắc dịch chuyển bi nằm vi trí sơn (chiến thắng), vượt qua ô sơn (thua cuộc) Với số tự nhiên n xác suất thắng lớn nhất, tính xác suất V Lechko M2112 H - giao điểm đường cao tam giác nhọn ABC Đường tròn tâm trung điểm cạnh BC qua H, cắt đường thằng BC A1 , A2 Đường tròn với tâm trung điểm cạnh CA, qua điểm H cắt đường thẳng CA B1 , B2 Đường tròn với tâm trung điểm cạnh AB qua H cắt đường thẳng AB C1 , C2 Chứng minh A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 nằm đường tròn A Gavrilyuk M2113 Đa thức bậc n, n > có nghiệm phân biệt x1 , x2 , , xn đạo hàm có nghiệm y1 , y2 , , yn−1 Chứng minh trung bình cộng bình phương x1 , x2 , , xn lớn trung bình cộng y1 , y2 , , yn−1 M Murashkin M2114 Chứng minh tồn vô hạn số tự nhiên, viết hệ thập phân bình phương khơng tận số 0, chữ số khác lẻ V Senderov M2115 ABCD - tứ giác lồi, BA = BC tồn đường tròn tiếp xúc với đoạn BA kéo dài phía A, đoạn BC kéo dài phía C, đường thẳng AD, CD Chứng minh Đường tròn cắt đường trịn tiếp xúc ngồi chung hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ADC V Shmarov Đề kì - Tạp chí Kvant số 01-2009 Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org 04 - 2009 M2116 Một đầy đủ quân cờ đô-mi-nô xắp ngửa (cứ hai đầu đô-mi-nô kề liên tiếp)thành vịng kín bàn, với cặp đầu đơ-mi-nơ kề nhau, tính độ lớn hiệu số điểm chúng Lấy tổng độ lớn này, kí hiệu S Rõ ràng giá trị bé S 0, điều xảy vịng đơ-mi-nơ xếp theo luật tức hai đầu đô-mi-nô số điểm kề Tính giá trị lớn S A Gribalko M2117 Tồn hay không cấp số cộng lập từ 2008 số tự nhiên khác mà tích chúng lũy thừa bậc 2009 số tự nhiên G Galperin M2118 Chứng minh tam giác ABC với ∠A = 120◦ khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến giao điểm đường cao AB + AC V Protasov M2119 Trong dãy số vô hạn a1 , a2 , a3 , với a1 = số hạng tổng quát xác định theo quy luật: an = an−1 + ước số lẻ lớn n chia dư 1; an = an−1 − ước số lẻ lớn n chia dư Chứng minh số hạng dãy dương số tự nhiên xuất dãy vô hạn lần A Zaslavskji M2120 Đa thức P (x) với hệ số thực cho phương trình P (m) + P (n) = thỏa với vô số cặp (m, n) Chứng tỏ đồ thị hàm số y = P (x) có tâm đối xứng A Shapovalov M2121 Các cạnh đối lục giác lồi ABCDEF song song Xét vector với đầu mút vector nằm hai cạnh đối diện, vng góc với cạnh này, với hướng từ AB tới DE, từ EF đến BC, từ CD đến AF Chứng minh lục giác có ngoại tiếp đường tròn tổng vector A Zaslavskji M2122 a Chứng tỏ với số tự nhiên n lớn 17, phân hoạch thành tổng số tự nhiên đôi nguyên tố nhau, số chúng lớn b Tập hợp số tự nhiên biểu diễn dạng tổng số nguyên tố nhau, hai số chúng không nguyên tố hữu hạn hay vô hạn V Lechko M2123 Một kiểm tra gồm 30 câu hỏi, câu có phương án, sai Trong lần thử làm, Vitia trả lời tất câu hỏi, sau người ta thông báo cho anh số câu trả lời Hỏi liệu có Vitia có tác động cách trả lời để làm tất câu hỏi không muộn sau 24 lần thử V Klechin Đề kì - Tạp chí Kvant số 02-2009 Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org 06 - 2009 M2124 Cho số tự nhiên n ≥ x1 , x2 , , xn số dương thỏa mãn đẳng thức x2 − x1 x2 + x2 = x2 − x2 x3 + x2 = = x2 − xn−1 xn + x2 = x2 − xn x1 + x2 2 n−1 n n Hỏi với giá trị n khẳng định x1 = x2 = = xn V Senderov M2125 Nội tiếp tam giác ABC đường tròn ω tiếp xúc với cạnh CA, AB điểm B1 , C1 Điểm D, khác B1 , C1 , nằm cách A khoảng AC1 Đường thằng DB1 , DC1 cắt lần thứ hai với đường tròn ω B2 , C2 Chứng minh B2 C2 đường kính ω vng góc với DA P Zhenodarov M2126 Tại buổi tiệc, cần xếp 20 người vào bàn Cách xếp chỗ ngồi tốt người ln tìm người bạn ngồi bàn với người Người ta nhận thấy tồn cách xếp tốt, với cách xếp tốt bàn ngồi người Tìm số cặp bạn bè lớn có 20 người P Kozhevnikov M2127 Bên nhánh hyberbola cho phương trình x = y + đặt đường tròn ω1 , ω2 , ω3 cho với n>1, đường tròn ωn đường tròn tiếp xúc với hyperbola hai điểm tiếp xúc với đường tròn ωn−1 , cịn đường trịn ω1 có bán kính 1, tiếp xúc với hyperbol điểm (1, 0) Chứng minh với số tự nhiên n đường trịn ωn ln có bán kính số tự nhiên V Rastorguev M2128 Vasia đánh dấu 10 ô bảng kẻ vng 10 × 10 Phải cậu ta ln cắt từ bảng theo đường kẻ dọc ngang 19 hình, hình thuộc vào dạng hình vẽ, để hình khơng chứa ô đánh dấu Y Bogdanov, O Podlinskij M2129 Tìm tất cặp số tự nhiên n, k cho n > 1n + 2n + + (n − 1)n = nk V Senderov M2130 Cho ABCDEF lục giác phẳng không lồi với AB = DE, BC = EF , CD = F A, ∠F AB = 3∠CDE, ∠BCD = 3∠EF A, ∠DEF = 3∠ABC (có góc tứ giác lớn 180◦ ) Khơng có hai cạnh lục giác song song với Chứng minh đường thẳng AD, BE, CF đồng quy N Belukhov Đề kì - Tạp chí Kvant số 03-2009 Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org 08 - 2009 M2131 Kí hiệu a ∧ b thay ab , ta đặt số cặp dấu ngoặc cần thiết vào biểu thức ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ 7, dễ thấy cần cặp Hỏi phải có hai cách cặp dấu ngoặc khác mà nhận giá trị A Tolbygo M2132 Trên mặt phẳng cho số điểm cho khơng có điểm chúng thẳng hàng Một vài điểm nối với đoạn thẳng Biết đường thẳng không qua điểm đa cho, cắt số chẵn đoạn thẳng nối Chứng tỏ điểm cho đầu mút số chẵn đoạn thẳng Y Bogdanov, G Galperin M2133 Một lâu đài bao quanh tường thành vòng trịn, quanh tịa tháp canh, tháp canh có hiệp sĩ bảo vệ Cứ sau giờ, hiệp sĩ di chuyển sang tháp canh bên cạnh Đến tối họ hồn tất cơng việc canh gác Biết mà tháp canh có hiệp sĩ trực gác, mà có tháp canh, pháp có hiệp sĩ trực gác Chứng minh mà có tháp canh ngoại trừ hồn tồn khơng có hiệp sĩ canh gác M Murashkin M2134 mặt phẳng chia hình bình hộp chữ nhật thành hình sáu mặt (mỗi mặt phẳng cắt cặp mặt biên đối diện) Chứng tỏ có hình sáu mặt ngoại tiếp mặt cầu hình ngoại tiếp mặt cầu V Proizvolov M2135 Một số tự nhiên gọi "tốt" sau viết vào bên trái số số có tận 2009 số thu số phương Với giá trị n tồn số "tốt" có n chữ số khơng phải số phương N Agakhanov M2136 Chứng minh với ≤ k, l < n Sưu tầm n k , n l có ước chung lớn M2137 Một tam giác nhọn không cân ABC Gọi , O, I, H tâm ngoại, nội tiếp trực tâm Chứng tỏ A, O, I, H nằm đường trịn ω đường tròn qua hai điểm B, C P Kozhevnikov M2138 Một nhớ máy tính lưu lưu giá trị ban đầu Máy thực triệu bước tính Sau bước thứ n biến nhớ tăng lên giá trị ước chung lớn giá trị biến lúc với n Chứng minh sau bước biến tăng giá trị số nguyên tố M Frank Đề kì - Tạp chí Kvant số 04-2009 Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org 10 - 2009 M2139 Có thể hay khơng tô màu số tự nhiên 2009 màu khác nhau, cho màu dụng vô hạn lần khơng có số tơ màu khác cho số lớn tích hai số cịn lại N Agakhanov M2140 Tám đường chéo bàn cờ gọi hàng rào Con xe bàn cờ, tới ô với số lần không không tới ô nằm hàng rào Hỏi số lần vượt rào nhiều bao nhiêu? P Zhenodarov M2141 Phân giác góc ∠ABC cắt đoạn AC D, cắt ω đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC E Từ điểm F ∈ ω, đoạn DE nhìn góc vng (DF E = 90◦ ) Chứng minh đường thằng đối xứng với BF qua BD cắt AC trung điểm L Emelianov M2142 Hàm số x x x cos cos 2009 2009π đổi dấu lần đoạn 0, B Trushin f (x) = cos x cos M2143 Một tự đồng cấu cây, nghĩa ánh xạ xác định tập đỉnh vào nó, qua hai đỉnh kề ảnh chúng hai đỉnh kề Chứng minh khơng có đỉnh giữ ngun qua phép đồng cấu có hai đỉnh hoán đổi cho qua phép đồng cấu V Dolnikov M2144 Một 100 hố trú ẩn quanh hào quân Một hố có lính binh trú ẩn Một loạt đạn gồm viên đại bác bắn vào hố trú ẩn kề Nếu hố bị đạn bắn vào hố hố bị đạn bắn vào có người lính binh, trận chiến kết thúc Nếu điều chưa xảy người lính binh chạy từ hố sang hai hố kề cạnh Hỏi phải bắn tối thiểu loạt đạn để chắn tiêu diệt người lính binh B Trushin M2145 Với số tự nhiên x, y nằm khoảng [2, 100] Chứng minh tồn n n số tự nhiên n để x2 + y hợp số S Berlov, A Belov Đề kì - Tạp chí Kvant số 05-2009 Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org 11 - 2009 M2146 Trên mặt phẳng tọa độ vẽ đồ thị 2008 tam thức bậc hai Có thể hay khơng với đồ thị chúng tồn đường thẳng cho có điểm chung với đồ thị cịn lại ngoại trừ đồ thị N Agakhano, Y Bogdanov M2147 Trong bảng kẻ ô vuông vô hạn, viết số thực vào ô cho tất cạnh vô tận nằm ngang nằm dọc chứa dãy số có chu kỳ Chứng minh có nhiều vơ hạn dãy nằm ngang với chu kì sở khác có nhiều vơ hạn dãy số nằm dọc với chu kì sở khác E Znak M2148 Trên đường tròn đặt số 1, 2, , 100 theo thứ tự Petia tính 100 tổng tất ba số liên tiếp đường tròn viết lên bảng số bé số tổng Hỏi số lớn viết lên bảng bao nhiêu? P Kozhevnikov M2149 Trong tam giác ABC cạnh AB, BC Điểm D nằm tam giác cho ∠ADC = 2∠ABC Chứng minh hai lần khoảng cách từ điểm B đến phân giác ngồi góc ADC AD + DC S Berlov M2150 Trong đất nước nọ, tất đường chiều Mỗi đường nối hai thành phố không qua thành phố khác Người ta thống kê với thành phố số liệu tổng dân số thành phố mà từ có đường dẫn tới thành phố xét; số liệu tổng dân số thành phố mà thành phố xét có đường dẫn đến Chứng minh tồn thành phối số liệu thứ khơng số liệu thứ N Gravin M2151 Cho tam giác số 1 1 1 1 10 16 19 16 10 tạo thành theo luật sau: dòng đầu viết số 1, dòng thứ k, k = 2, 3, viết 2k − số cho số dịng tổng số số nằm phía số nằm bên phải bên trái số nằm đó, số khơng có xem Chứng tỏ cột nằm khơng bắt gặp số chia cho dư K Kaibkhanov M2152 Cặp số (p, q) hai số nguyên tố khác gọi "kỳ dị" tồn số a biểu diễn dạng a = xp + y p = z q + tq với số tự nhiên x, y, z, t khơng biểu diễn dạng upq + v pq , với u, v số tự nhiên Chứng tỏ với số nguyên tố p tồn vô số q để cặp (p, q) kỳ dị V Senderov M2153 Tổng góc khối đỉnh hình đa diện lồi π Chứng tỏ tồn đường đóng theo cạnh qua đỉnh lần (Góc khối số đo diện tích hình tạo góc đa diện tương ứng khoét hình cầu đơn vị.) Y Bogdanov Đề kì - Tạp chí Kvant số 06-2009 Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org 01 - 2010 M2154 Mỗi ô vuông bảng chiều 2009 × 2009 tơ hai màu trắng đen cho số ô kề (theo cạnh) với với số màu với số khác màu Giá trị lớn hiệu số màu trắng với ô màu đen bảng lớn A Shapovalov M2155 Tìm số có 2009 chữ số cho thương số với tổng chữ số nhỏ Y Bogdanov M2156 Vacia Petia người vẽ hình tứ giác lồi Hai bạn viết tờ giấy độ dài tất cạnh hai đường chéo tứ giác vẽ Kết tờ giấy có số từ số khác trùng Hỏi liệu hai tứ giác mà hai bạn vẽ có không? N Agakhanov, Y Bogdanov M2157 Trên bảng viết 20 ước số 70! Chứng minh xóa vài số chúng để tích số cịn lại số phương Sưu tầm M2158 Điểm O - tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đặt P, Q điểm đoạn CA, AB tương ứng Các điểm K, L, M trung điểm đoạn BP, CQ, P Q tương ứng Γ đường tròn qua điểm K, LM Biết đường thẳng P Q tiếp xúc với đường tròn Γ Chứng tỏ OP = OQ S Berlov M2159 Tìm tất cặp số tự nhiên (k, c) cho tất số tự nhiên n, ngoại trừ số hữu hạn số chúng, n(n + 1) (n + k − 1) + c lũy thừa số tự nhiên lớn (nghĩa mệnh đề sai với hữu hạn số tự nhiên) V Senderov M2160 Cho trước số tự nhiên a1 , a2 , , an tập hợp M gồm n − số tự nhiên cho không chứa số s = a1 + a2 + + an Một châu chấu cần phải thực n bước nhảy sang bên phải trục số, với điểm khởi đầu gốc tọa độ Với độ dài bước nhảy số a1 , a2 , , an với thứ tự Chứng minh thứ tự độ dài bước nhảy cho châu chấu khơng có lần nhảy số điểm có tọa độ thuộc tập M D Khramstov, K.Peier ... 004 Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant số số số số số số 01-2000 02-2000 03-2000 04-2000 05-2000 06-2000 Trang Trang Trang Trang Trang Trang 005 007 009 011 013 016 Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant. .. 038 Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant số số số số số số 01-2003 02-2003 03-2003 04-2003 05-2003 06-2003 Trang Trang Trang Trang Trang Trang 040 042 044 047 048 051 Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant. .. 071 Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant số số số số số số 01-2006 02-2006 03-2006 04-2006 05-2006 06-2006 Trang Trang Trang Trang Trang Trang 072 074 075 077 078 080 Kvant Kvant Kvant Kvant Kvant