Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 16 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
16
Dung lượng
624 KB
Nội dung
ĐIỆN ĐẠI CƯƠNG Bài 1: Một phân bố điện tích tạo ra một điện trường : .(1 ). r r E c e r α − = − r ur ( c, α là các hằng số) . Tìm điện tích tổng cộng trong vòng bán kính : 1 r α = Bài 2: a. Xét hai quả cầu làm bằng chất điện môi bán kính a, đặt cách nhau khoảng R với R > > a. Một quả cầu tích điện q, quả cầu còn lại không tích điện. Tăng khoảng cách giữa hai quả cầu lên gấp đôi. Điện tích trên quả cầu thứ nhất bây giờ là bao nhiêu để lực giữa hai quả cầu là không đổi. b. Bây giờ xét một vòng dây làm bằng dây dẫn mảnh, d là đường kính của dây dẫn và D là đường kính của vòng dây với D >> d. Vòng được tích một điện tích Q vừa đủ để khiến cho vòng dây bị đứt do lực đẩy tĩnh điện.Cũng như câu a), các thông số chiều dài của vòng dây tăng lên gấp đôi. Vòng dây cần tích một điện tích bao nhiêu để bị đứt. Bài 3: Một lưỡng cực điện với moment lưỡng cực là p ur được đặt ở độ cao h phía trên một mặt phẳng dẫn điện và làm một góc θ so với pháp tuyến của mặt phẳng. a) Hãy chỉ ra vị trí và hướng của lưỡng cực ảnh và hướng của lực tác dụng lên nó. b) Tính công cần thiết để di chuyển lưỡng cực ra vô cực. Bài 4: Một quả cầu bán kính a với điện tích mặt tổng cộng là Q được đặt trong một từ trường đều 0 E uur . Tìm điện thế ở bên ngoài quả cầu và mật độ điện tích mặt. Bài 5: Một điểm mang điện tích e được đặt cách tâm một quả cầu kim loại bán kính a khoảng R với R>a. Quả cầu cô lập và trung hoà về điện. a. Tìm thế tĩnh điện trên bề mặt của quả cầu. b. Tìm lực tác dụng lên điện tích e. Bài 6 : Một điện tích e được đặt ở khoảng cách R cách tâm của một quả cầu dẫn điện nối đất bán kính a <R. CMR: lực tác dụng lên điện tích tỉ lệ với 3 1 R khi R >> a và 2 2 1 1 ( )R a δ = − Khi (0 )R a a δ δ = + < << Bài 7: Trục của một mặt trụ dài, thành mỏng, dẫn điện và không tích điện có bán kính a được hướng dọc theo trục z. Một sợi dây mảnh, dài mang điện với mật độ điện tích dài λ chạy dọc theo hình trụ, cách tâm của hình trụ khoảng R. Sử dụng phương pháp ảnh điện để tìm điện thế trong mặt phẳng x-y. a. Phát biểu điều kiện cần có của điện tích ảnh. Tìm điện thế trên bề mặt hình trụ với gốc điện thế ở vô cực. b. Tìm điện thế tại điểm bất kỳ ρ, φ trong mặt phẳng x-y ở bên ngoài hình trụ. Gợi ý: Có thể tìm được điện tích ảnh sao cho điện thế ở vô cực trong mặt phẳng x-y là bằng 0. Bài 8: Giả sử một lỗ trống hình cầu bán kính R được đặt trong một vật liệu đồng chất khác với hằng số điện môi ε. Ở tâm của lỗ trống có một lưỡng cực với moment lưỡng cực p ur . Tìm điện trường tạo bởi lưỡng cực. Bài 9: Một điện tích e nằm tại vị trí x = h > 0, y = z = 0 bên ngoài một chất điện môi đồng nhất lấp đầy vùng x < 0. a. Viết biểu thức điện trường: (0 , , )E y z + ur và . ở ngay bên ngoài và bên trong chất điện môi theo điện tích e và mật độ điện tích mặt b χ của điện tích liên kết trên bề mặt của chất điện môi. b. Biểu diễn b χ theo (0 , , )E y z − ur . Đặt ε là hằng số điện môi của chất điện môi. c. Bằng việc sử dụng phương trình từ câu a) và b), CMR: 2 2 2 3/2 1 1 . .( ) 2 1 b h y z ε χ π ε − = − + + − d. Tính điện trường / E uur do b χ gây ra tại vị trí (h, 0, 0) của điện tích e. CMR có thể dẫn ra biểu thức đó như là điện trường gây ra bởi điện tích ảnh e' nằm tại vị trí (-h, 0, 0) tại vị trí của e. e. Chứng minh rằng e chịu một lực: 2 2 1 . . 1 4 e F x h ε ε − = − + ur r Bài 10: Một hình trụ tròn dài vô hạn bán kính a, hằng số điện môi ε được đặt sao cho trục của nó song song với trục z trong một điện trường đều .E E x= ur r . Tìm điện trường ở bên ngoài và bên trong hình trụ và mật độ điện tích mặt liên kết. Bài 11: Bụi được tạo thành từ những hạt hình cầu (hằng số điện môi ε = 4 và bán kính R=100nm) được phát tán trong chân không với mật độ 12 3 10 ( )n cm hat = . Tìm hằng số điện môi hiệu dụng $\epsilon'$ của môi trường. Giải thích tại sao kết quả: / 1 ( 1)nV ε ε = + − , (Với: 3 4 3 R V π = ) là thể tích của một hạt lại sai. (Gợi ý: Sử dụng dữ kiện là nR 3 << 1 và khai thác tính đối xứng của các hạt hình cầu). Bài 12: Xét hai vỏ cầu kim loại đồng tâm có bề dày hữu hạn trong chân không. Vỏ cầu phía trong có các bán kính a 1 < a 2 và vỏ cầu ở ngoài có các bán kính b 1 < b 2 . a. Vỏ cầu trong được tích điện Q 1 và vỏ cầu ngoài được tích điện Q 2 . Tìm mật độ điện tích mặt trên 4 mặt cầu. Nếu Q 2 = -Q 1. Thì điện dung của hệ là bao nhiêu. b. Nếu không gian giữa hai mặt cầu được lấp đầy với chất cách điện có hằng số điện môi ε 1 , mật độ điện tích mặt và mật độ điện tích phân cực cho Q 1 , Q 2 bất kỳ và tính lại điện dung của hệ khi Q 2 = -Q1. Bài 13 : Một khối cầu kim loại đặt cô lập bán kính a với tổng điện tích q được đặt bên trong một khối cầu rỗng bán kính b được nối đất. Tâm của hai quả cầu đặt cách nhau khoảng δ. a. Sử dụng điều kiện tới hạn để xác định thế giữa hai quả cầu khi mà δ= 0. b. Tìm sự phân bố điện tích của quả cầu trong và lực tác dụng lên nó. . osR b c δ ϕ +; ( Gợi ý: CMR. . osR b c δ ϕ +; . Với R là khoảng cách từ tâm của quả cầu trong đến bề mặt của quả cầu ngoài, và viết biểu thức khai triển cho thế giữa hai quả cầu tới bậc nhất của δ). Bài 14 :Hai tấm kim loại hình vuông với cạnh L đặt cách nhau khoảng d << L. Một tấm điện môi có kích thước L.L.d trượt giữa hai tấm kim loại. Nó được đưa vào 1 khoảng x và giữ ở đó (song song với một mặt của hình vuông). Các tấm kim loại sau đó được tích điện đến hiệu điện thế V và được ngắt khỏi nguồn. a. Tìm lực điện tác dụng lên tấm điện môi. Xác định hướng của nó. b. Tình huống thay đổi như thế nào nếu nguồn vẫn được nối. Bài 15:Một tụ điện phẳng với các bản hình vuông có cạnh L đặt cách nhau khoảng d được tích điện đến điện thế V và ngắt khỏi nguồn. Sau đó nó được nhúng vào trong một bể chứa dung dịch điện môi với hằng số điện môi tương đối là ε và mật độ khối lượng ρ cho đến khi chất lỏng chiếm một nửa không gian của tụ điện. Tìm: a. Điện dung của hệ. b. Cường độ điện trường giữa hai bản tụ. c. Sự phân bố mật độ điện tích trên các bản tụ d. Sự chênh lệch độ cao của cột chất lỏng trong tụ và ngoài tụ. Bài 16 : a. Một tụ điện được tạo thanhg từ hai bản dẫn điện hình chữ nhật có các cạnh là L 1 ,L 2 . Hai bản tụ không song song với nhau, hai đầu cách nhau khoảng d 1 , hai đầu còn lại cách nhau khoảng d 2 > d 1 . Bỏ qua hiệu ứng bờ, khi một điện áp V được đặt vào hai vật dẫn, tìm điện thế giữa hai bản. b. Tìm điện dung của tụ này. Bài 17: Năng lượng trường tĩnh điện U e của một tụ điện có thể biểu diễn theo một hàm với biến x (chẳng hạn như khoảng cách giữa hai bản tụ) và điện tích không đổi của bản tụ (không nối với nguồn) hay là một hàm theo x và suất điên động V b của nguồn mà các bản tụ nối vào. a. Chứng minh rằng lực tổng quát F e (x) theo biến x được cho bởi: ( , ) ( , ) ( ) e e b e dU Q x dU x V F x dx dx = − = + b. Xác định công thức cho trường hợp các bản tụ song song. c. Một tụ điện trụ được hạ xuống một bình chứa chất điện môi với mật độ khối lượng ρ. Nếu một điện áp V được đặt vào hình trụ phái trong(bán kính a)và vỏ ngoài (bán kính b) chất lỏng sẽ dâng lên độ cao h giữa chúng. Chứng minh rằng: 2 2 2 ( 1) .ln( ) 4 ( ) V a h g b a b ε πρ − = − Bài 18: a. Cho hai điện tích điểm mang điện trái dấu và khác độ lớn, chứng minh rằng mặt có điện thế V=V( ∞ ) là một mặt cầu. Tìm tâm và bán kính. Đây là cơ sở của phương pháp ảnh điện để giải quyết các bài toán liên quan đến các quả cầu đẳng thế. b.Mô tả ngắn gọn nhưng đầy đủ một phương pháp lặp để tìm điện dung của hệ hai quả cầu dẫn điện bán kính a với tâm đặt cách nhau khoảng 4a. c. Tính điện dung với sai số 5%. Bài 19: a. Xét hai vật dẫn có hình dạng bất kỳ. Sử dụng chúng với 2 cách khác nhau: tụ điện và điện trở như ở hình (a) và (b). Trong trường hợp (a), khoảng không gian giữa hai vật dẫn được lấp đầy với một chất điện môi đồng chất có hằng số điện môi là ε trong khi ở trường hợp (b) được lấp đầy với chất dẫn điện có suất dẫn điện là δ Bằng cách xét 2 trường hợp, chứng minh rằng mối quan hệ giữa điện dung C trong trường hợp (a) và điện trở R trong trường hợp (b): 4 RC ε πδ = b. Hai quả cầu dẫn điện có tâm cách nhau khoảng c. Bán kính của chúng lần lượt là a và b. Chứng minh là khi c >> a, b, điện dung của hệ này là: 1 1 1 2 C a b c − + −; c. Hai điện cực hình cầu, nhỏ, hoàn toàn dẫn điện với bán kính a và b được gắn vào một môi trường vô hạn với suất dẫn điện σ.Tâm của chúng cách nhau khoảng c >> a,b.Tìm điện trở giữa chúng mà không sử dụng a) và b). Gợi ý: Nếu hai điện cực có các điện thế V 1 , V 2 được nối trong một môi trường với suất dẫn điện hữu hạn, dòng điện I 1 , I 2 xuất phát từ chúng liên hệ với điện thế qua công thức V 1 = R 11 I 1 + R 12 I 1 , V 2 = R 21 I 2 + R 22 I 2 . Xác định hệ số R ij bằng việc xét các trường hợp với I 2 = 0 và I 1 = 0. d. Kiểm tra kết quả ở b) và c) bằng việc sử dụng a). Bài 20 : Một phân bố dòng tĩnh được thiết lập trong một môi trường đẳng hướng nhưng không đồng nhất. Chứng minh rằng: môi trường sẽ có một phân bố thể tích với mật độ điện tích là (trong hệ đơn vị Gauss) 1 ( ) 4 ρ σ ε ε σπ πσ = − ∇ − ∇ . với σvà ε là suất dẫn điện và hằng số điện môi của môi trường và φ là điện thế. Bài 21: a. Chứng minh định lý Green: Nếu φ là điện thế gây nên bởi mật độ điện tích khối ρ trong một thể tích V và mật độ điện tích mặt σ trên một mặt dẫn điện S bao quanh thể tích V, trong khi φ là điện thế do một phân bố điện tích ρ, σ thì : 3 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) V d x S dS V d x S dS ρ ϕ σ ϕ ρ ϕ σ ϕ + = + ∫ ∫ ∫ ∫ b. Một điện tích điểm q được đặt giữa hai bản dẫn điện rộng vô hạn song song nhau và nối đất. Nếu z 0 là khoảng cách giữa q và bản dưới, tìm tổng điện tích cảm ứng ở bản trên theo q, z 0 và l với l là khoảng cách giữa hai bản. Bài 22 : Một cáp rất dài bao gồm hình trụ trong bán kính a và suất dẫn điện σ và một hình trụ đồng trục bán kính b. Vỏ ngoài có suất dẫn điện vô hạn. Không gian giữa hai hình trụ là rỗng. Một mật độ dòng đều, không đổi J ur , hướng dọc theo trục z được duy trì ở hình trụ trong. Một dòng điện chạy đều theo hướng ngược lại ở vỏ ngoài. Tính mật độ điện tích ở hình trụ trong theo hàm của tọa độ z với gốc z = 0 được chọn là mặt phẳng chia đôi cáp. Bài 23 : Một thanh mảnh không dẫn điện có chiều dài L mang một phân bố điện tích đều Q và được hướng như hình vẽ a) Tìm điện thế φ do thanh mang điện dây ra tại điểm trên trục z với z > L/2 b) Tìm ( , , )r φ θ ϕ với mọi / 2r L> r . Trong đó ( , , )r θ ϕ là hệ tọa độ cầu. Gợi ý: Nghiệm tổng quát của phương trình Laplace trong hệ tọa độ cầu là : 1 ( 1) 0 ( , , ) l l l l l m l B r A r r φ θ ϕ ∞ + = =− = + ∑ ∑ Bài 24 : a) Chỉ ra phần thực U(x, y) và ảo V(x, y) của hàm W(z) với z = x + iy tuân theo phương trình Laplace. b) Nếu U(x, y) và V(x, y) ở trên là thế của hai trường hai chiều Fvà G, chứng mình rằng tại các điểm (x, y), hai trường này là trực giao. c) Xét hàm W(z) = A.ln z với A là hằng số thực. Tìm các trường F và G. Bài 25 : Một mặt phẳng dẫn điện rộng vô hạn (trong hình là mặt phẳng x-y) được chia ra bởi đường thẳng z = 0. Với x > 0 thì điện thế là +V 0 trong khi với x < 0 thì điện thế là –V 0 . Xác định điện thế tại mọi nơi trong không gian. Bài 26: Xét một hình trụ dẫn điện dài vô hạn bán kính a với trục của nó trùng với trục z. Một nửa của hình trụ y > 0 được giữ ở điện thế V 0 , trong khi ở một nửa còn lại y < 0 thì lại được giữ ở điện thế -V 0 . Tìm điện thế của tất cả các điểm bên ngoài hình trụ và điện trường E ur dọc theo trục z. Bài 27: Một vòng đệm được làm bằng chất điện môi với điện trở suất ρ. Tiết diện hình vuông ở mặt bên có chiều dài một cạnh là a và bán kính ngoài của vòng đệm là 2a. Một rãnh nhỏ được tạo thành ở mặt bên và một dây dẫn với điện trở không đáng kể được nối vào các mặt ở hai bên rãnh. Nếu sợi dây được nối thành mạch kín, điện trở của vòng đệm là bao nhiêu. Bài 28: AOB là đường kính của vỏ cầu mỏng có bán kính là a và bề dày t. Dòng điện đi vào và đi ra ở hai điện cực hình tròn có bán kính là b tại A và B. Nếu I là cường độ dòng điện và P là điểm mà góc ( )POA θ ∠ = .chứng minh rằng độ lớn của vector mật độ dòng tại P tỉ lệ với:2π.sin -1 θ. Từ đó tìm điện trở của vật dẫn. Có thể tính phân sau hữu ích trong bài làm của bạn: 1 1 cos .ln( ) sinx 2 1 cos dx x x + = − − ∫ Bài 29: Xét một mạch điện trở hình thang, với mỗi điện trở có giá trị r. Tìm điện trở giữa hai điểm A và C. Bài 30: Xét một bản rộng bán vô hạn với bề dày không đáng kể làm bằng chất dẫn điện đẳng hướng. Một hiệu điện thế V 0 = 1 đặt vào hai điểm A và B của bản. Cách hai điểm A, B một khoảng d = 1cm, người ta đo được một hiệu điện thế 0.1(V) giữa hai điểm C, D. Tìm hiệu điện thế giữa hai điểm khác khi cách A,B một khoảng là x bất kỳ. Bài 31: Cường độ dòng điện I chạy dọc theo một mặt của một hình lập phương gây nên một từ trường tại tâm hình lập phương có độ lớn là B 0 . Xét một hình lập phương khác với cường độ dòng điện I chạy theo một đường như hình P.3.31b. Tìm độ lớn của cường độ từ trường tại tâm hình lập phương trong trường hợp này. Bài 32: Một lưỡng cực từ điểm m trong chân không (môi trường 1) hướng về mặt phân cách với môi trường có hằng số từ thẩm µ(môi trường 2). Khoảng cách giữa lưỡng cực và mặt phân cách là d. Tìm : a) Cường độ từ trường B ur trong môi trường. b) Lực tác dụng lên lưỡng cực. Bài 33: Một vỏ cầu với hằng số từ thẩm µ cao được đặt trong một từ trường đều. a) Tính sự giảm của từ trường gây ra bởi vỏ cầu theo µ và bán kính trong a, bán kính ngoài b của vỏ cầu. b) Xét trường hợp giới hạn µ>> 1 và ước lượng giá trị với µ= 10 5 , a = 0.5m, b = 0.55m$. Bài 34:Một mạch điện hình xoắn ốc phẳng với khoảng cách giữa các vòng không đổi là h, và tổng số vòng là N được đặt trong từ trường đều B = B 0 .cos(ωt) vuông góc với mặt phẳng của mạch điện. Xác định suất điện động cảm ứng trong mạch (giữa hai điểm A, C). Giả thiết là N >> 1. Bài 35: Một thanh đồng trượt trên một đường ray không ma sát trong một từ trường đều không đối .B B z= ur r . Ở thời điểm t=0 thanh chuyển động theo hướng trục y với vận tốc v 0 . a) Vận tốc của thanh sau đó là bao nhiêu nếu suất dẫn điện và mật độ khối lượng của thanh lần lượt là σvà ρ m b) Với đồng thì: 17 1 5.10 s σ − = và . Nếu B 0 = 1 , tìm thời gian kể từ lúc t=0 cho đến khi thanh dừng lại. [...]... suất điện động 12V trong vòng Một vôn kế được nối vào vòng như hình vẽ với 2 đầu cách nhau 1/4 vòng Vôn kế sẽ chỉ giá trị là bao nhiêu? Bài 67 : Một tụ điện có điện dung thay đổi được nối với hai cực của một nguồn điện có suất điện động E Tụ điện ban đầu có điện dung C(0) và điện tích q(0) Điện dung của tụ điện được thay đổi sao cho dòng điện I trong mạch là hằng số.Tính công suất cung cấp bởi nguồn điện. .. cân bằng tĩnh điện Bài 49:Một vật dẫn có dạng hai vỏ cầu kim loại cùng bán kính R đính với nhau Vỏ vật dẫn được nối đất với điện thế V Tìm điện tích tổng cộng trên vật dẫn, tính hàm phân bố điện tích trên vật dẫn Bài 50: Hai điện tích điểm như nhau Q nằm cách nhau một khoảng d Hỏi mặt đẳng thế có thể có điện thế bằng bao nhiêu , nếu mặt này bao bọc cả hai điện tích? Bề mặt như thế phải có điện thế bằng... trong tích điện q và vỏ cầu ngoài tích điện -q Tìm moment động lượng góc của trường điện từ của hệ này Bài 44: Một sóng phẳng đơn sắc tần số ω truyền qua một môi trường không thẩm từ µ≈1với hằng số điện môi ε 1 Sóng này lại truyền tới vuông góc với mặt phân cách với một môi trường tương tự có hằng số điện môi là ε 2 a) Dẫn ra điều kiện biên cho điện trường và từ trường tại mặt phân cách b) Tìm phần năng... vector Poynting S cho điện thế một chiều này b) Xác định năng thông trên mỗi đơn vị chiều dài trên bề mặt của sợi dây So sánh giá trị này với nhiệt lượng Joule của sợi dây và nêu ý nghĩa vật lý Bài 41: Hai mặt của một hộp cứng được tích điện đều với mật độ điện tích mặt lần lượt là σvà -σMặt tích điện dương chiếm phần 0 < x < a, 0 < y < b của mặt phẳng z=h, trong khi mặt tích điện âm chiếm vùng 0 . được nối với hai cực của một nguồn điện có suất điện động E. Tụ điện ban đầu có điện dung C(0) và điện tích q(0). Điện dung của tụ điện được thay đổi sao cho dòng điện I trong mạch là hằng số.Tính. Nếu φ là điện thế gây nên bởi mật độ điện tích khối ρ trong một thể tích V và mật độ điện tích mặt σ trên một mặt dẫn điện S bao quanh thể tích V, trong khi φ là điện thế do một phân bố điện tích. Tìm điện thế trên bề mặt hình trụ với gốc điện thế ở vô cực. b. Tìm điện thế tại điểm bất kỳ ρ, φ trong mặt phẳng x-y ở bên ngoài hình trụ. Gợi ý: Có thể tìm được điện tích ảnh sao cho điện