Giáo trình kỹ thuật số ( Chủ biên Võ Thanh Ân ) - Chương 2 pptx

Tổ Tin Học CHƯƠNG 2: HÀM LOGIC HÀM LOGIC CƠ BẢN CÁC DẠNG CHUẨN CỦA HÀM LOGIC • Dạng tổng chuẩn • Dạng tích chuẩn • Dạng số • Biến đổi qua lại dạng chuẩn RÚT GỌN HÀM LOGIC • Phương pháp đại số • Phương pháp dùng bảng Karnaugh • Phương pháp Quine Mc Cluskey I HÀM LOGIC CƠ BẢN Một số định nghĩa - Trạng thái logic biểu diễn số Biến logic đại lượng biễu diễn ký hiệu (chữ hay dấu) gồm giá trị hay tuỳ theo điều kiện Hàm logic diễn tả nhóm biến logic liên hệ với phép toán logic Cũng biến logic, hàm logic nhận giá trị Biểu diễn biến hàm logic a Giản đồ Venn Còn gọi giản đồ Euler, đặc biệt dùng lĩnh vực tập hợp Mỗi biến logic chia không gian vùng khơng gian con, vùng giá trị biến hay 1, vùng lại vùng phụ giá trị biến sai hay Ví dụ: Phần giao tập hợp A B (màu xám) biểu diễn tập hợp A B (A and B = 1) A B b Bảng thật Nếu hàm có n biến, bảng thật có n + cột 2n + hàng Hàng tên biến hàm, hàng cịn lại trình bày tổ hợp n biến, có thảy 2n tổ hợp có Các cột ghi tên biến, cột cuối ghi tên hàm giá trị hàm tương ứng với tổ hợp biến hàng Ví dụ: Hàm F(A,B) = A OR B có bảng thật sau: A 0 1 B 1 F(A,B) = A OR B 1 Trang Chủ biên Võ Thanh Ân Giáo trình Kỹ Thuật Số c Bảng Karnaugh Đây cách biểu diễn khác bảng thật hàng bảng thật thay mà tọa độ hàng cột có giá trị xác định tổ hợp cho biến Bảng Karnaugh hàm có n biến gồm 2n Bảng Karnaugh thuận tiện để đơn giản hàm logic cách nhóm lại với Ví dụ: Hàm F(A,B) = A OR B có bảng Karnaugh sau: B A 1 1 d Giản đồ thời gian Dùng để diễn tả quan hệ hàm biến theo thời gian Ví dụ: Hàm F(A,B) = A OR B có bảng giản đồ thời gian sau: A T B T F(A,B) T Qui ước Khi nghiên cứu hệ thống logic, cần xác định qui ước logic Qui ước khơng thay đổi suốt q trình nghiên cứu Ví dụ: Trong hệ thống số có giá trị điện áp 0V (thấp) 5V (cao), ta chọn hai qui ước sau: Điện áp 0V 5V Logic dương Các hàm logic a Hàm NOT (đảo, bù) Phép toán (gạch trên):⎯ Bảng thật đây: Y = A A Chủ biên Võ Thanh Ân Y=A Trang 10 Logic âm Tổ Tin Học b Hàm OR (hoặc) Phép toán: + (cộng) Bảng thật A 0 1 B 1 F(A,B) = A + B 1 c Hàm AND (và) Phép tốn: • (nhân – dấu chấm) Bảng thật A 0 1 B 1 F(A,B) = A.B 0 d Hàm EX–OR (OR loại trừ) Phép toán: ⊕ (exor) Bảng thật A 0 1 B 1 F(A,B) = A ⊕ B 1 Tính chất hàm logic - a Tính chất Có phần tử trung tính cho toán tử + (cộng) (nhân) A+0=A ;0 phần tử trung tính hàm OR A = A ;1 phần tử trung tính hàm AND Tính chất giao hốn A+B=B+A A.B=B.A Tính phối hợp (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (A B) C = A (B C) = A B C Tính phân bố Phép nhân: A (B + C) = A B + A C Phép cộng: A + (B C) = (A + B) (A + C) Không có phép tính lũy thừa thừa số Trang 11 Chủ biên Võ Thanh Ân Giáo trình Kỹ Thuật Số - A+A+…+A=A A.A.….A=A Tính bù A= A A + A =1 A A = b Tính song đối (duality) Tất biểu thức logic ta thay phép tốn + (cộng) phép tốn • (nhân), hay ngược lại Ta xét ví dụ sau: A+B=B+A A.B=B.A A + AB = A + B A ( A + B) = A B A+1=1 A.0=0 c Định lý De Morgan Định lý De Morgan phát biểu biểu thức sau: A + B + C = A B C A B C = A + B + C Định lý cho phép biến đổi qua lại phép nhân phép cộng nhờ vào phép đảo d Sự phụ thuộc lẫn hàm logic Định lý De Morgan cho ta thấy hàm logic khơng độc lập với Chúng biến đổi qua lại dùng hàm [AND NOT] [OR NOT] để biểu diễn tất hàm Ví dụ: Chỉ dùng hàm AND NOT biễu diễn hàm: Y = AB + BC + AC Chỉ việc đảo Y hai lần ta kết quả: Y = Y = AB + BC + AC = AB.BC AC II CÁC DẠNG CHUẨN CỦA HÀM LOGIC Giới thiệu Hàm logic biễu diễn tổ hợp tổng tích logic Nếu tổng tích ta có dạng: f ( X , Y , Z ) = XY + XZ + Y Z Nếu tích tổng ta có dạng: f ( X , Y , Z ) = ( X + Y )( X + Z )( Y + Z ) Một hàm logic gọi hàm chuẩn số hạng chứa đầy đủ biến Ta xem hàm sau: f ( X , Y , Z ) = XYZ + X Y Z + X Y Z tổng chuẩn Mỗi số hạng tổng chuẩn gọi minterm Ta xem hàm sau: f ( X , Y , Z ) = ( X + Y + Z )( X + Y + Z )( X + Y + Z ) tích chuẩn Mỗi số hạng tích chuẩn gọi maxterm Chủ biên Võ Thanh Ân Trang 12 Tổ Tin Học Dạng tổng chuẩn Để có hàm logic dạng chuẩn ta áp dụng định lý triển khai Shanon Dạng tổng chuẩn triển khai theo định lý Shanon thứ Tất hàm logic triển khai theo biến dạng tổng tích sau: f (A, B, … , Z) = A f (1, B, … , Z) + A f (0, B, … , Z) Ví dụ: Ta triển khai với hàm biến f(A, B) sau: Khai triển theo biến A: f ( A, B) = A f (1, B) + A f (0, B) Mỗi hàm hàm vừa tìm được, tiếp tục khai triển theo biến B: f (1, B) = B f (1,1) + B f (1,0) f (0, B) = B f (0,1) + B f (0,0) Nhân vào ta được: f ( A, B) = AB f (1,1) + AB f (1,0) + AB f (0,1) + A B f (0,0) Với cặp i, j ta có lượng giá trị f(i, j) biểu diễn giá trị riêng f(A, B) toán phải giải Với hàm biến, khai triển ta được: f ( A, B, C ) = ABC f (1,1,1) + ABC f (1,1,0) + ABC f (1,0,1) + AB C f (1,0,0) + + ABC f (0,1,1) + ABC f (0,1,0) + ABC f (0,0,1) + AB C f (0,0,0) Khai triển hàm n biến, ta 2n số hạng Mỗi số hạng triển khai tích tổ hợp biến trị riêng hàm Có hai trường hợp xảy ra: - Giá trị riêng 1, số hạng thu gọn biến ABC f (0,0,1) = ABC f(0,0,1) = - Giá trị riêng 0, số hạng nhân hàm Số hạng biến biểu thức tổng (theo qui tắc X + = X) ABC f (0,0,1) = f(0,0,1) = (theo qui tắc X.0 = 0) Ví dụ: Cho hàm biến A, B, C xác định bảng thật sau, viết dạng hàm tổng chuẩn cho hàm: Hàng - - A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 C 1 1 Z = f(A, B, C) = f(0,0,1) = f(0,1,0) = f(0,1,1) = f(1,0,1) = f(1,1,1) Hàm Z có trị riêng f(0,0,1) = tương ứng với giá trị tổ hợp biến “Hàng 1” A = 0, B = 0, C = Tổ hợp ABC f (0,0,1) = ABC.1 = A BC số hạng tổng chuẩn Tương tự tổ hợp (2), (3), (5), (7) số hạng tổng chuẩn Cuối ta có: Z = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC Trang 13 Chủ biên Võ Thanh Ân Giáo trình Kỹ Thuật Số Dạng tích chuẩn Để có hàm logic dạng chuẩn ta áp dụng định lý triển khai Shanon Dạng tích chuẩn triển khai theo định lý Shanon thứ hai Tất hàm logic triển khai theo biến dạng tích tổng sau: f (A, B, … , Z) = [A + f (0, B, … , Z)].[ A + f (1, B, … , Z)] Ví dụ: Ta triển khai với hàm biến f(A, B) sau: Khai triển theo biến A: f ( A, B) = [ A + f (0, B)].[ A + f (1, B)] Mỗi hàm hàm vừa tìm được, tiếp tục khai triển theo biến B: f (0, B) = [ B + f (0,0)].[ B + f (0,1)] f (1, B ) = [ B + f (1,0 )].[ B + f (1,1)] Áp dụng tính chất phân bố phép cộng ta được: f ( A, B) = [ A + B + f (0,0)].[ A + B f (0,1)].[ A + B + f (1,0)].[ A + B + f (1,1)] Với cặp i, j ta có lượng giá trị f(i, j) biểu diễn giá trị riêng f(A, B) toán phải giải Với hàm biến, khai triển ta được: f ( A, B, C ) = [ A + B + C + f (0,0,0)].[ A + B + C + f (0,0,1)].[ A + B + C + f (0,1,0)] [ A + B + C + f (0,1,1)].[ A + B + C + f (1,0,0)].[ A + B + C f (1,0,1)] [ A + B + C f (1,1,0)].[ A + B + C + f (1,1,1)] n Khai triển hàm n biến, ta số hạng Mỗi số hạng triển khai tổng tổ hợp biến trị riêng hàm Có hai trường hợp xảy ra: - Giá trị riêng 0, số hạng thu gọn biến [ A + B + C + f (1,1,0)] = A + B + C f(1,1,0) = (theo qui tắc X + = X) - Giá trị riêng 1, số hạng hàm Số hạng biến biểu thức tích (theo qui tắc X.1 = X) [ A + B + C + f (1,1,0)] = f(1,1,0) = (theo qui tắc X+1 = 1) Ví dụ: Cho hàm biến A, B, C xác định bảng thật sau, viết dạng hàm tích chuẩn cho hàm: Hàng - A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 C 1 1 Z = f(A, B, C) 0= f(1,1,1) 1 0= f(0,1,1) 0= f(0,0,1) Hàm Z có trị riêng f(1,1,1) = tương ứng với giá trị tổ hợp biến “Hàng 0” A = 0, B = 0, C = Tổ hợp là: Chủ biên Võ Thanh Ân Trang 14 Tổ Tin Học [ A + B + C + f (1,1,1)] = [ A + B + C + 0] = A + B + C số hạng tích - chuẩn Tương tự tổ hợp (4), (6) số hạng tích chuẩn Cuối ta có: Z = ( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C ) Đổi từ dạng chuẩn sang dạng chuẩn khác Nhờ định lý De Morgan, hai định lý chuyển đổi qua lại Trở lại ví dụ trên, ta thêm cột Z vào bảng thật: Hàng - A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 C 1 1 Z = f(A, B, C) 1 1 Z 0 1 Diễn tả hàm Z theo dạng chuẩn thứ nhất, ta được: Z = ABC + ABC + ABC Lấy bù vế ta dạng tích chuẩn (tổng chuẩn tích chuẩn): Z = Z = ABC + ABC + ABC = ( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C ) - Diễn tả hàm Z theo dạng chuẩn thứ hai, ta được: Z = ( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C ) Lấy bù vế ta dạng tổng chuẩn (tích chuẩn tổng chuẩn): Z = Z = ( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C ) = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC Dạng số Để đơn giản cách viết, người ta diễn tả hàm tổng chuẩn hay tích chuẩn tập hợp số dấu tổng (Σ) hay tích (Π) Mỗi tổ hợp biến thay số thập phân tương đương với giá trị nhị phân chúng Khi sử dụng cách viết qui ước trọng lượng biến phải khơng thay đổi Ví dụ: Cho hàm Z xác định trên, tương ứng với dạng chuẩn thứ nhất, hàm lấy giá trị hàng 1, 2, 3, 5, ta viết Z = Σ(1,2,3,5,7) Tương tự dùng dạng chuẩn thứ ta viết Z = Π(0,4,6) III RÚT GỌN HÀM LOGIC Giới thiệu Để thực hàm logic mạch điện tử, người ta nghĩ đến việc sử dụng linh kiện cách Muốn vậy, hàm logic phải dạng tối giản, nên vấn đề rút gọn hàm logic bước phải thực q trình thiết kế Có ba phương pháp rút gọn hàm logic chủ yếu sau: - Phương pháp đại số Trang 15 Chủ biên Võ Thanh Ân Giáo trình Kỹ Thuật Số - Phương pháp dùng bảng Karnaugh Phương pháp Quine Mc Cluskey Phương pháp đại số Phương pháp bao gồm việc sử dụng tính chất đại số Boole Người ta thường dùng đẳng thức (các qui tắc) để đơn giản hàm logic (1) AB + AB = B ( A + B)( A + B) = B (1’) (2) A + AB = A A(A+B) = A (2’) A( A + B) = AB (3) A + AB = A + B (3’) a Qui tắc Dùng đẳng thức logic để rút gọn hàm Ví dụ: Rút gọn hàm Z = ABC + ABC + ABCD Z = ABC + ABC + ABCD = 14243 + ABCD = ABC + ABC 4 (1) AB + ABCD = A( 1+2CD ) = A( B + CD ) B4 B4 ( 3) b Qui tắc Ta thêm số hạng có biểu thức logic vào biểu thức mà không làm thay đổi biểu thức Ví dụ: Rút gọn hàm Z = ABC + ABC + ABC + ABC Thêm ABC vào ta được: Z = 14243 + 14243 + 14243 = BC + AC + AB ABC + A4 ABC + A4 ABC + ABC BC BC 4 BC AC AB c Qui tắc Có thể bỏ số hạng chứa biến có số hạng khác Ví dụ 1: Rút gọn Z = AB + BC + AC Biểu thức không đổi ta nhân số hạng với (1 = B + B) Z = AB + BC + AC = AB + BC + AC ( B + B) = AB + ABC + BC + ABC = AB(1 + C ) + BC (1 + A) = AB + BC Ví dụ 2: Rút gọn Z = ( A + B )( B + C )( A + C ) Biểu thức không đổi ta cộng số hạng với (0 = B.B) Z = ( A + B)( B + C )( A + C ) = ( A + B)( B + C )( A + C + B.B) = ( A + B)( B + C )( A + B + C )( A + B + C ) = ( A + B)( A + B + C )( B + C )( A + B + C ) = ( A + B)( B + C ) 144 2444 144 2444 4 ( ') ( ') d Qui tắc Có thể đơn giản cách dùng hàm tổng chuẩn tương đương có số hạng Ví dụ: Hàm Z = f(A,B,C) = Σ(2,3,4,5,6,7) với trọng lượng A = 4, B = 2, C = Chủ biên Võ Thanh Ân Trang 16 Tổ Tin Học Hàm đảo Z = f ( A, B, C ) = ∑ (0,1) = ABC + ABC = AB = A + B Vậy Z = Z = f ( A, B, C ) = A + B = A + B Dùng bảng Karnaugh a Nguyên tắc Dùng bảng Karnaugh cho phép rút gọn dễ dàng hàm logic từ đến biến Xét tổ hợp AB AB , hai tổ hợp khác bit gọi hai tổ hợp kề Ta có AB + AB = A , biến B đơn giản Phương pháp Karnaugh dựa vào việc nhóm tổ hợp kề bảng để đơn giản biến có giá trị khác tổ hợp Công việc rút gọn hàm thực theo ba bước - Thiết lập bảng Karnaugh - Chuyển hàm cần đơn giản vào bảng - Nhóm chứa tổ hợp kề sau cho rút gọn hàm tới mức tối giản b Thiết lập bảng Karnaugh Bảng Karnaugh thực chất dạng khác bảng thật, ô bảng tương đương với hàm bảng thật Để thiết lập bảng Karnaugh, người ta chia biến làm đôi, phân dùng để tạo n/2 cột, phân lại tạo 2n/2 dòng (nếu n số lẻ, ta chọn số lượng biến làm cột lớn số lượng biến làm dòng hay ngược lại) Như vậy, hàm có n biến, bảng Karnaugh bảng có 2n ơ, tương ứng với tổ hợp biến Các ô bảng đặt kề khác đơn vị nhị phân (khác bit) Điều thuận tiện dùng mã Gray Chính đặt giúp ta đơn giản cách nhóm lại Ví dụ: Bảng Karnaugh biến với A vị trí MSB C vị trí LSB Dấu mũi tên tăng theo chiều số thứ tự mã Gray BC A 00 01 11 10 C AB 00 01 11 10 1 Do tổ hợp bìa trái bìa phải kề nên coi bảng dạng hình trụ thẳng đứng Tương tự, bìa bìa kề nên coi bảng hình trụ nằm ngang Bốn tổ hợp biến góc kề Bảng Karnaugh cho hàm biến biễu diễn sau – chiều theo mũi tên chiều tăng theo mã Gray: Trang 17 Chủ biên Võ Thanh Ân Giáo trình Kỹ Thuật Số CD AB 00 01 11 10 12 13 15 14 11 10 00 01 11 10 c Biểu diễn hàm logic bảng Karnaugh Trong ô bảng, ta đưa vào giá trị hàm tương ứng với tổ hợp biến, để đơn giản, ta ghi giá trị 1, bỏ qua giá trị hàm Ta có trường hợp - Từ hàm viết dạng tổng chuẩn: Ví dụ: f ( A, B, C ) = ABC + ABC + ABC BC A 00 01 11 10 11 13 17 - Nếu hàm không dạng chuẩn, ta phải đưa dạng chuẩn cách thêm vào số hạng cho hàm không đổi số hạng chứa đầy đủ biến Ví dụ: f ( A, B, C , D) = ABC + AB D + ABC + A BD , hàm biến ta đưa dạng tổng chuẩn sau (loại bỏ số hạng lặp lại): f ( A, B, C , D) = ABC ( D + D) + AB D(C + C ) + ABC ( D + D) + ABD(C + C ) = ABCD + ABC D + ABC D + ABCD + ABC D + A BC D - Từ dạng số Σ (tổng), hàm có giá trị ô số tương ứng Ví dụ: f(A, B, C) = Σ(1,3,7) Hàm lấy giá trị ô 1, 3, BC A 00 01 11 10 11 13 17 - Từ dạng tích chuẩn, ta lấy hàm đảo để có dạng tổng chuẩn ghi giá trị vào ô tương ứng với tổ hợp biến tổng chuẩn Ví dụ: Y = f ( A, B, C ) = ( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C ) Y = f ( A, B, C ) = ( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C ) Y = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC BC A 00 01 11 00 01 04 05 10 06 Từ dạng số Π (tích), ta đưa vào số biểu thức tích, dĩ nhiên khác cịn lại ghi Ví dụ: f(A, B, C) = Π(0,2,3,7) Hàm lấy giá trị ô 0, 2, 3, - Chủ biên Võ Thanh Ân Trang 18 Tổ Tin Học - Từ bảng thật ghi vào ô tương ứng với tổ hợp biến mà hàm cho giá trị riêng Ví dụ: Cho bảng thật sau: Hàng A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 C 1 1 Z = f(A, B, C) = f(0,0,1) = f(0,1,0) = f(0,1,1) = f(1,0,1) = f(1,1,1) Ta ghi vào ô: 1, 2, 3, 5, - Trường hợp số tổ hợp cho giá trị hàm không xác định, nghĩa ứng với tổ hợp hàm có giá trị tuỳ ý Do đó, ta ghi dấu × vào tương ứng với tổ hợp này, lúc gom nhóm, ta cho giá trị × hay tuỳ ý có kết có lợi cho ta (kết đơn giản nhất) d Qui tắc rút gọn Để rút gọn hàm, ta gom số kề thành nhóm cho số nhóm tốt, điều có nghĩa số hạng kết đích Tất số phải gom thành nhóm số nhiều nhóm Số nhóm phải bội 2k Cứ nhóm 2k số 1, tổ hợp biến tương ứng ta đơn giản k số hạng Kết cuối lấy sau: Hàm rút gọn tổng tích Mỗi số hạng tổng tương ứng với nhóm số nói số hạng tích biến, biến A thừa số tích tất số nhóm chứa phân nửa bảng biến A có giá trị Nếu số đồng thời nằm ô A A biến A đơn giản Ví dụ: Ta xem cách chọn nhóm rút gọn bảng CD AB 00 01 Nhóm 01 11 10 00 11 1 Nhóm 10 - Nhóm chứa số (2 = 21, k = 1), nhóm biến Theo hàng, số AB (01) AB (11) nên biến A đơn giản, lại B Theo cột ứng với tổ hợp C D (00) Kết nhóm là: BC D Trang 19 Chủ biên Võ Thanh Ân Giáo trình Kỹ Thuật Số - Nhóm chứa số (4 = 22, k = 2), nhóm biến Theo hàng, số hàng AB (00) AB (01) nên biến B đơn giản, lại A Theo cột cột ứng với tổ hợp CD (11) C D (10) nên biến D đơn giản, cịn lại C Kết nhóm là: AC Ví dụ 1: Đơn giản hàm: Y = f ( A, B, C , D) = ABC D + ABCD + ABC D + ABC D + ABCD + ABC D + ABC D CD AB 00 01 Nhóm 01 11 1 10 00 11 1 10 Nhóm Nhóm Nhóm 1: BC D Nhóm 2: AC Nhóm 3: ABC D Vậy hàm rút gọn Y = f ( A, B, C , D) = BC D + AC + ABC D Ví dụ 2: Đơn giản hàm: Y = f ( A, B, C , D) = A BC D + ABC D + ABC D + ABC D + ABC D + ABC D CD AB 00 00 01 1 11 10 01 Nhóm - số 1, gồm số góc: B D 11 10 Nhóm - số 1, gồm số số dưới: BC 1 Vậy Y = BC + B D Ví dụ 3: Rút gọn hàm f(A, B, C, D, E, F) = Σ(2, 3, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 17, 24, 25, 28, 29, 30, 40, 41, 44, 45, 46, 56, 57, 59, 60, 61, 63) Tương tự trên, ta phải vẽ bảng ứng với tổ hợp AB là: AB cho số từ đến 15 AB cho số từ 16 đến 31 AB cho số từ 32 đến 47 AB cho số từ 48 đến 63 Chủ biên Võ Thanh Ân Trang 20 Tổ Tin Học EF CD 00 01 00 01 11 10 1 1 00 10 1 00 00 01 11 10 01 1 1 AB EF CD 11 1 EF CD 01 11 1 1 11 10 AB EF CD 10 00 01 11 10 00 01 11 10 1 1 1 00 01 11 10 AB AB (1) C E ; (2) ACD F + BCD F ; (3) A BC E ; (4) AB D EF ; (5) ABCF Vậy f ( A, B, C , D, E , F ) = C E + ACD F + BCD F + ABC E + AB D E F + ABCF Phương pháp Quine–Mc Cluskey a Nguyên tắc Phương pháp Quine–Mc Cluskey dựa tính kề tổ hợp biến để đơn giản số biến số hạng biểu thức dạng tổng (minterm) q trình đơn giản xuất số hạng khơng giống mà ta bỏ bớt Phương pháp chia làm hai giai đoạn - Giai đoạn 1: Xác định tích thứ minterm có q trình đơn giản nói - Giai đoạn 2: Tối giản tích thứ b Ví dụ minh họa Rút gọn hàm f ( A, B, C , D) = ∑ (1,2,4,5,6,10,12,13,14) • - Giai đoạn 1: Các minterm nhóm lại theo số số có tổ hợp ghi lại bảng theo thứ tự số tăng dần Trong ví dụ ta có nhóm Nhóm chứa số gồm: 1, 2, – (0010, 0010, 0100) Nhóm chứa số gồm: 5, 6, 10, 12 – (0101, 0110, 1010, 1100) Nhóm chứa số gồm: 13, 14 – (1101, 1110) Trang 21 Chủ biên Võ Thanh Ân Giáo trình Kỹ Thuật Số Thiết lập bảng sau: Chọn Hàng × × × × × × × × × 10 12 13 14 A 0 0 1 1 B 0 1 1 1 C 0 1 0 D 0 0 Mỗi tổ hợp nhóm so sánh với tổ hợp nhóm kế cận Nếu tổ hợp khác biến, ta dùng biểu thức AB + AB = B để đơn giản biến Biến đơn giản thay dấu – (gạch ngang) Đánh × vào tổ hợp xét để tránh sai sót Như tổ hợp thứ nhóm thứ nhất: 0001 so sánh với tổ hợp thứ nhóm 2: 0101, chúng khác biến B, ta đơn giản thành 0–01 Hai số hạng gom lại Thiết lập bảng sau: Chọn Hàng × × × × × × × × × × 1,5 2,6 2,10 4,5 4,6 4,12 5,13 6,14 10,14 12,13 12,14 A 0 – 0 – – – 1 B – – 1 1 – 1 C 1 – 0 1 – D 0 – 0 0 – Tiếp tục thực công việc tương tự với nhóm bảng thứ này, số hạng gom lại chúng khác biến có vị trí dấu – (dấu gạch trùng nhau) Chủ biên Võ Thanh Ân Trang 22 Tổ Tin Học Thiết lập bảng sau: A B C D 2,6; 10,14 – – 2,10; 6,14 – – 4,5; 12,13 – – 4,6; 12,14 – – 4,12; 5,13 – – 4,12; 6,14 – – Quan sát bảng ta thấy rút gọn nữa, đồng thời có tổ hợp giống nhau, ta loại bỏ bớt tổ hợp giữ lại Kết hàm rút gọn gồm tổng số hạng tương ứng với tổ hợp khơng gom thành nhóm bảng trước tổ hợp bảng cuối.Ta có tổ hợp sau: ACD bảng - (1,5) C D bảng cuối - (2,6; 10,14) = (2,10; 6,14) BC bảng cuối - (4,5; 12,13) = (4,12; 5,13) - (4,6; 12,14) = (4,12; 6,14) B D bảng cuối Chọn Hàng Vậy kết thúc bước ta được: f ( A, B, C , D ) = ACD + C D + BC + B D Đến đây, quan sát tổ hợp cho kết trên, ta thấy tổ hợp chứa số hạng giống (số 4,12) Như kết chưa tối giản Ta tiếp tục chuyển sang bước • - Giai đoạn 2: Để rút gọn ta lập bảng với cách thiết lập sau: Cột bên trái ghi tổ hợp chọn giai đoạn 1, cột lại ghi giá trị thập phân hàm ban đầu Trên hàng tổ hợp ta đánh dấu * với ô tương ứng cột Ví dụ hàng chứa tổ hợp (1,5) ta đánh dấu * vào ô tương ứng cột 5, dòng (1,5) Tương tự cho tổ hợp khác Sau đó, ta dị dịng từ xuống, đánh × vào dịng cuối tương ứng với dấu * dòng này, đến tất dịng cuối đánh dấu × ta ngưng, lúc tổ hợp dịng chọn kết hàm Như trên, ta bảng sau: Tổ hợp 1,5 2,6; 10,14 4,5; 12,13 4,6; 12,14 Chọn đủ ← ← ← *↓ *↓ × × *↓ * × 10 *↓ *↓ *↓ * × * × × 12 13 14 *↓ *↓ * × *↓ × * × Kết ta được: f ( A, B, C , D ) = ACD + C D + BC Ta loại giá trị B D Trang 23 Chủ biên Võ Thanh Ân ... cộng số hạng với (0 = B.B) Z = ( A + B )( B + C )( A + C ) = ( A + B )( B + C )( A + C + B.B) = ( A + B )( B + C )( A + B + C )( A + B + C ) = ( A + B )( A + B + C )( B + C )( A + B + C ) = ( A + B )( . .. B: f (1 , B) = B f (1 , 1) + B f (1 , 0) f (0 , B) = B f (0 , 1) + B f (0 , 0) Nhân vào ta được: f ( A, B) = AB f (1 , 1) + AB f (1 , 0) + AB f (0 , 1) + A B f (0 , 0) Với cặp i, j ta có lượng giá trị f(i, j) biểu... Ví dụ: Y = f ( A, B, C ) = ( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C ) Y = f ( A, B, C ) = ( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C ) Y = ABC + ABC