GIÁO TRÌNH SÓNG GIÓ ( VŨ THANH CA ) - CHƯƠNG 4 docx

Chơng 4 những lý thuyết sóng phi tuyến cho vùng có độ sâu không đổi 4.1 Giới thiệu chung Không có một lời giải chính xác nào cho các phơng trình đầy đủ về sóng đợc trình bày trong chơng 3. Điều này là do các số hạng phi tuyến trong các điều kiện biên trên bề mặt tự do. Trong các xấp xỉ tuyến tính, các số hạng này bị bỏ qua hoàn toàn. Tuy nhiên, trong các lý thuyết phi tuyến thì chúng đợc tính đến bằng cách xấp xỉ. Rất nhiều lý thuyết về sóng phi tuyến với phơng pháp giải quyết và mức độ chính xác của việc xấp xỉ khác nhau đã đợc đa ra. Trong chơng này, ta sẽ trình bày một cách định tính tổng quan về những lý thuyết này. Lý thuyết sóng phi tuyến đầu tiên do Stokes (1847) đa ra. Lý thuyết của ông về mặt nguyên tắc là có thể áp dụng cho tất cả các độ sâu. Tuy nhiên, trong thực tế, đối với nớc nông thì kết quả lý thuyết này chỉ chấp nhận đợc khi mà độ cao sóng rất nhỏ. Một loại lý thuyết thứ hai là chỉ áp dụng cho các điều kiện sóng nớc nông. Những lý thuyết này sẽ đợc trình bày trong mục 4.3. Các lý thuyết vừa nói cho ta các biểu thức giải tích về nhiều hệ số cần thiết cho việc tính toán sóng. Các lý thuyết số trị cho ta thuật toán để xác định giá trị của các hệ số cho một tập hợp cho trớc các điều kiện đầu vào. Một số lý thuyết số trị sẽ đợc trình bày trong mục 4.4. Vấn đề về tính đúng đắn của các lý thuyết sẽ đợc xử lý trong mục 4.5. 4.2 Lý thuyết Stokes Stokes (1847) dùng phơng pháp xấp xỉ liên tiếp, có thể đợc mô tả sơ qua nh sau. Kết quả của lý thuyết tuyến tính đợc dùng để tìm một xấp xỉ thứ nhất cho các số hạng phi tuyến bị bỏ qua. Việc hiệu chỉnh các kết quả của phép xấp xỉ thứ nhất (tuyến tính) của nghiệm đợc tiến hành bằng cách tính đến điều trên. Bằng cách dùng nghiệm đã đợc hiệu chỉnh lần thứ nhất, một xấp xỉ lần thứ hai cho các số hạng phi tuyến đợc tiến hành. Sau đó là xấp xỉ lần thứ ba. Nếu nh quá trình này hội tụ thì nó có thể cứ đợc tiếp tục cho đến khi đại lợng hiệu chỉnh trở nên đủ bé. Thật ra thì một giới hạn thực tế sẽ đạt đợc sớm mà không phải tiến hành nhiều phép xấp xỉ vì các biểu thức toán học trở nên rất dài và rất khó tìm ra các xấp xỉ bậc cao. 41 Nh đã trình bày ở trên, các biểu thức toán học trong những xấp xỉ bậc cao rất dài. Bởi vậy, để dễ dàng hơn trong việc áp dụng những lý thuyết này, ngời ta đã chuẩn bị những đồ thị và bảng nh là những đồ thị và bảng của Skjelbreia (1959) cho xấp xỉ bậc 3, trong đó tất cả những số hạng có bậc 3 hay nhỏ hơn đợc giữ nguyên và những số hạng khác bị bỏ qua. Trong phần tiếp theo, một số kết quả sẽ đợc trình bày chủ yếu dới dạng định tính. Một số phơng trình của lý thuyết bậc hai sẽ đợc trình bày với mục đích diễn giải. 4.2.1 Mặt cắt bề mặt nớc Biểu thức bậc 2 đối với mặt nớc có thể đợc viết nh sau: () SSS sin cos += 21 1 (4.1) trong đó: a= (4.2) ( ) kh khkh ka 2 2 2 sinh 2cosh2cosh 2 1 + = (4.3) Điểm S=0 đợc chọn tại một đỉnh sóng. Hình 4.1 trình bày một phác thảo của (4.1). Một số hạng tuyến tính điển hình là tỷ lệ với hay , trong đó a là biên độ của dao động mực nớc trong phép xấp xỉ tuyến tính, và Sa cos Sa sin ( ) kxtS = là pha. Bởi vì các thành phần phi tuyến bao gồm các tích nh là , xấp xỉ đầu tiên cho các số hạng này bao gồm các số hạng tỷ lệ với 2 u ( ) ( ) SaSa 2cos12/1cos 222 += , và các số hạng tơng tự với . Điều này cũng áp dụng đợc cho hiệu chỉnh thứ nhất của xấp xỉ tuyến tính của nghiệm chính xác. Tiếp tục theo cách này, ta có thể tìm đợc những xấp xỉ liên tiếp của nghiệm chính xác dới dạng những số hạng liên tục của một chuỗi số mũ của a (các số hạng tỷ lệ với a, , , v.v ). Nếu a là đủ nhỏ (đối với L và h), mỗi số hạng bậc cao sẽ nhỏ hơn nhiều những số hạng bậc thấp hơn và nếu nh khi đó chuỗi đợc kết thúc bằng một một vài số hạng thì ta có thể tìm đợc một xấp xỉ tiện lợi. S 2 sin 2 a 3 a Mặt cắt sóng dờng nh có các đỉnh hẹp hơn và nhọn hơn mặt cắt biểu thị bằng hàm cosine, và bụng rộng hơn và phẳng hơn. Hệ quả là mực nớc tại đỉnh sóng trên mực biển trung bình (MWL) cao hơn một nửa chiều cao sóng, với giá trị vợt quá là (tới bậc 2). Điều này quan trọng cho việc tính toán lực sóng tác động lên các công trình ở nớc nông hay là cho việc xác định độ cao cần thiết của khoảng không giữa mặt dới của cầu tàu hay bến mà mực MWL (còn đợc gọi là khoảng không). 2 42 2 MWL 1 21 + Hình 4.1 Mặt cắt bề mặt nớc khi có sóng xấp xỉ bằng lý thuyết bậc 2 của Stokes Tính bất đối xứng nh ở trên thờng đợc quan sát thấy rõ ràng trong các sóng thực. Mặt cắt thực đo dờng nh đợc dự báo rất tốt bằng lý thuyết Stokes bậc 2 và bậc 3 cho sóng nớc sâu, nhng sự phù hợp là kém hơn cho các điều kiện nớc nông. Từ lý thuyết có thể rút ra một chỉ thị cho quá trình này, thí dụ nh tỷ số của biên độ bậc hai và biên độ bậc nhất cần phải nhỏ để phơng pháp tiếp cận Stokes là có giá trị. Tại nớc sâu, tỷ số này là (xem các phơng trình 4.2 và 4.3): L H ka 22 1 1 2 ( ) 1>>kh (4.4) Tỷ số này thờng là nhỏ (lớn nhất là vào khoảng 0.2) vì rằng sóng vỡ giới hạn độ dốc có thể có của sóng. Mặt khác tại nớc sâu hơn tỷ số trên trở thành (xem các phơng trình 4.2 và 4.3): () 3 2 2 3 2 2 3 2 1 10 32 3 4 3 h HL h HL kakh ì ( ) 1 < <kh (4.5) Nếu ta yêu cầu thì bất đẳng thức sau sẽ phải đợc thỏa mãn: 12 2.0 20 3 2 h HL Đây là một yêu cầu rất chặt chẽ về H/L vì rằng L>>h tại nớc nông. Tỷ số 3 2 h HL thờng đợc gọi là số Ursell, ký hiệu bởi U : r 3 2 h HL U r = (4.6) 43 Nếu là quá lớn thì chuỗi Stokes phân kỳ. Một chỉ thị cho điều này là sự xuất hiện của một cực đại thứ hai tại bụng sóng khi mà nh đợc phác thảo trên hình Fig. 4.2. Khi mà cực đại thứ hai tại bụng sóng không đợc quan trắc ở sóng thực tại nớc nông thì sự xuất hiện của nó trong các kết quả tính toán chỉ ra rằng lý thuyết đợc sử dụng trong các điều kiện vợt quá giới hạn áp dụng của nó. r U 4/ > 12 Hình 4.2 Cực đại thứ hai tại bụng sóng do lý thuyết Stokes bậc 2 dự báo tại nớc rất nông. Các đo đạc mực nớc khi có sóng lớn tại nớc nông cho thấy các profile mặt nớc với bụng dài và phẳng cùng với đỉnh hẹp và nhọn, nh chỉ ra trên hình 4.3. Nếu profile này đợc xấp xỉ bằng một tổng các thành phần điều hòa dạng cosin (cos S, cos 2S v.v.) thì cần có một số lợng lớn các thành phần. Điều này có nghĩa là chuỗi cần phải đợc tính tại một bậc rất cao. Đây là một nhiệm vụ rất khó khăn và mất thời gian, và do vậy trong thực tế, không nên áp dụng chuỗi Stokes trong các điều kiện đó, thậm chí cả khi mà nó không phân kỳ. Hình 4.3 Profile mặt nớc khi có sóng đo đợc tại nớc nông. 4.2.2 Vận tốc và quỹ đạo hạt nớc 44 Trong xấp xỉ phi tuyến, vận tốc hạt nớc không còn là đối xứng qua giá trị trung bình (bằng 0 nếu chỉ có sóng). Vận tốc nằm ngang của hạt nớc có dạng bất đối xứng gần giống với mặt nớc. Vì vậy, vận tốc có giá trị tuyệt đối lớn hơn bên dới đỉnh so với bên dới bụng. Điều này ảnh hởng mạnh tới việc tính toán áp lực sóng lên công trình, đặc biệt là trong các điều kiện nớc nông. Các số hạng bậc cao trong các chuỗi vận tốc hạt nớc giảm nhanh hơn theo khoảng cách dới bề mặt so với các số hạng bậc thấp. Vận tốc ở gần đáy đợc dự báo khá tốt bằng lý thuyết tuyến tính. Trong lý thuyết tuyến tính, quỹ đạo hạt nớc là đối xứng cả theo phơng đứng và phơng ngang. Trong các lý thuyết phi tuyến, không thể bỏ qua sự bất đối xứng của vận tốc hạt nớc. Vì vậy quỹ đạo hạt nớc không còn là đối xứng. Sau một chu kỳ sóng thì hạt nớc tiến về phía trớc một chút, nh vẽ trên hình 4.4. Hình 4.4 Quỹ đạo hạt nớc xấp xỉ bằng các lý thuyết sóng phi tuyến Vậy, sóng gây ra vận chuyển khối lợng đối với hệ quy chiếu của ta. Một cách khác là ta có thể chọn một hệ quy chiếu sao cho vận tốc vận chuyển khối lợng tổng cộng d tích phân theo phơng thẳng đứng bằng 0. Trong trờng hợp này các hạt nớc trong phần thấp của profile thẳng đứng sẽ có vận tốc d ngợc lại và chỉ có các hạt nớc ở trên là có vận tốc d theo hớng sóng. Với độ chính xác bậc hai, vận tốc trung bình thời gian của một hạt nớc tại một độ cao trung bình trong các điều kiện sóng nớc sâu đợc cho bởi: 0 z ( ) 0 2 0 kz aekazu = (4.7) 1>>kh Với nớc trung bình và nớc nông, lý thuyết Stokes cho dự đoán không chính xác về vận tốc vận chuyển vật chất. Điều này là do ảnh hởng của độ nhớt (chỉ giới hạn trong lớp biên mỏng gần đáy). Longuet-Higgins (1953) đã phân tích kỹ càng về tốc độ vận chuyển vật chất do sóng gây ra tính theo các lý thuyết sóng khác nhau và có tính đến ảnh hởng của độ nhớt. 4.2.3 Mối liên hệ phân tán và vận tốc pha Trong xấp xỉ Stokes bậc 2, mối liên hệ phân tán giống nh trong lý thuyết tuyến tính. 45 Trong lý thuyết bậc 3, xuất hiện một thành phần hiệu chỉnh phi tuyến tỷ lệ với bình phơng độ dốc sóng. Hiệu ứng của nó là làm tăng vận tốc pha. Do vậy, vận tốc pha tại mọi độ sâu không chỉ phụ thuộc vào tần số mà còn phụ thuộc vào biên độ. Tuy rằng hiệu chỉnh là tơng đối nhỏ nhng nó thể trở nên đáng kể khi mà khác biệt trong vận tốc pha là đáng kể, nh trong trờng hợp nhóm sóng. 4.2.4 Hàm lợng năng lợng và vận chuyển năng lợng Trong xấp xỉ bậc thấp nhất, hàm lợng năng lợng (E) và tốc độ vận chuyển năng lợng là tỷ lệ với . Hiệu chỉnh phi tuyến cho đại lợng này bao gồm các thành phần tỷ lệ với v.v Năng lợng tổng cộng của sóng có độ cao nào đó trở nên nhỏ hơn giá trị tính theo lý thuyết sóng tuyến tính. Có thể thấy đợc điều này mà không cần các tính toán chi tiết về thế năng trung bình, bằng với 2 a 4 a ( ) 2 2/1 g . Với các sóng hình sin, () () 222 8/12/1 Ha == . Tỷ số 22 / H giảm khi mà profile trở nên nhọn hơn. Tại nớc sâu, các hiệu chỉnh phi tuyến cho E và là đáng kể cho các sóng gần vỡ. Chúng là quan trọng trong nớc nông, nhng trong trờng hợp đó chuỗi Stokes là không phù hợp ngoại trừ các giá trị nhỏ của độ cao sóng tơng đối, nh đã thảo luận ở trên. f E 4.3 Lý thuyết Cnoidal Một cách tiếp cận khác cho sóng phi tuyến tại nớc nông đã đợc Boussinesq đa ra. Các phơng trình Boussinesq mô tả sóng tại nớc nông có tính đến một chút ảnh hởng của áp suất phi thuỷ tĩnh xảy ra dới đỉnh sóng khi mà độ cong là khá lớn thậm chí nếu bớc sóng là lớn hơn nhiều so với độ sâu. Vì vậy, lời giải của các phơng trình Boussinesq có một số tính chất của sóng dài và một số tính chất của sóng ngắn. Lời giải của các phơng trình Boussinesq biểu thị các sóng chu kỳ có dạng không đổi đợc diễn tả bằng một hàm có sử dụng ký hiệu "cn". Vì vậy lời giải đã đợc gọi là sóng cnoidal và lý thuyết tơng ứng với nó là lý thuyết cnoidal. Thực ra là hiện nay một tiếp cận khác và một mức độ xấp xỉ khác đã đợc sử dụng nhng do lý do nguyên nhân lịch sử, lý thuyết trên vẫn đợc gọi là lý thuyết cnoidal. Trong phần sau ta sẽ mô tả các kết quả của phép xấp xỉ do Skovgaard và cộng sự (1974) sử dụng. Rất nhiều thông số sóng do các tác giả xác định theo lý thuyết Cnoidal đợc trình bày trong bảng 4.1. 46 Bảng 4.1 Các thông số sóng xác định từ lý thuyết Cnoidal Hớng dẫn tính sóng Cnoidal 1 Tham số địa phơng 2 Nớc nông 1.1 h, H và T Xác định: L, c Cho: H a và T (hoặc L a ) tại độ sâu H Cho: Tính 2 0 2 T g L = Xác định: H b và L b tại độ sâu h b T 2 trong hệ SI), Kiểm tra* Tính L 0 và L a sử dụng 1.1 H/h và (= 1.561 Tính hgT / hoặc T và L 0 sử dụng 1 L/h từ bảng 2 và sau đó tính L, Tính U a và tìm B a tà bảng 1 ịnh c=L/T Tính Tìm ( Xác đ ) 2/1 00 /4 LLBHH aaa = 1.2 h, H và L Xác định: T, c Tính h b /L 0 và H 0 /L 0 Kiểm tra* A từ bảng 1 Xác định H b /H 0 từ bảng 3 và sau đó tính H b ịnh ()() 2/1 /1 hAHghc += và T=L/c Xác định L b sử dụng 1.1 * Nếu h/L 0 > 0.10 (h/L > 0.13) Lý thuyết Cnoidal không áp dụng đợc, sử dụng sóng dạng sin cho vùng nớc sâu này Công thức cơ bản Cho: Kiểm tra* Tìm Xác đ Đại lợng (hệ SI) B ản tóm tắt các phơng trình lý thuyết Cnoidal ( Skovgaard và cộng sự, 1974) Trớc khi đi vào chi tiết, ta hãy đa ra hai nhận xét chung. Thứ nhất là lý thuyết cnoidal về bản chất chỉ giới hạn cho điều kiện nớc nông với tiêu chuẩn 1/ 0 Lh 47 (hay () 8 2 1 ghT ) là thoả mãn. Thứ hai, một thông số quan trọng trong lý thuyết là số Ursell ( , phơng trình 4.6). Các hàm toán học dạng cnoidal mô tả nghiệm cho một giá trị nào đó của đợc giảm xuống cho hai trờng hợp giới hạn: và 32 / hHLU r = r U 0 r U r U . Trờng hợp đầu tiên tơng ứng với (vì rằng L/h>> 1 trong lý thuyết cnoidal). Các kết quả trong trờng hợp này trở thành các kết quả của lý thuyết sóng tuyến tính cho vùng nớc nông. Trờng hợp giới hạn thứ hai tơng ứng với 0/ hH hL / (vì H/h là giới hạn; thực tế là đã giả thiết rằng H/h<< 1). Điều này dẫn tới tên gọi là sóng cô lập. 4.3.1 Profile mặt nớc Profile mặt nớc p dự báo theo lý thuyết cnoidal chỉ phụ thuộc vào (xem hình 4.5). Với , profile mặt nớc có dạng hình sin. Khi giá trị tăng lên, đỉnh sóng trở nên nhọn hơn và bụng sóng trở nên dài hơn và phẳng hơn. Nói chung các profile dự báo phù hợp tốt với các profile đo đạc đợc. r U 0 r U r U H trough L xx crest Hình 4.5 Các profile mặt nớc dự báo theo lý thuyết sóng Cnoidal (Skovgaard và cộng sự, 1974). 4.3.2 Vận tốc và quỹ đạo hạt lỏng Trong lý thuyết sóng cnoidal bậc nhất, vận tốc nằm ngang của hạt lỏng là gần nh tỷ lệ với mực mặt nớc và thay đổi theo khoảng cách từ đáy theo một đờng parabol. Có thể tham khảo Skovgaard và cộng sự (1974) về các công thức với và (Bảng 4.1). max u min u 48 4.3.3 Vận tốc pha Vận tốc pha trong lý thuyết sóng cnoidal có bậc biên độ là () 2 1 gh , hơi giảm hơn một chút vì giá trị giới hạn của tỷ số giữa bớc sóng và độ sâu (hiệu ứng phụ thuộc vào tần số nh trong lý thuyết cho sóng ngắn) và tăng lên một chút do ảnh hởng của tính hữu hạn của biên độ (hiệu ứng phi tuyến). 4.3.4 Hàm lợng năng lợng và tốc độ vận chuyển năng lợng Năng lợng thế trung bình trên một đơn vị diện tích (PE, phơng trình 3.103) là tỷ lệ thuận với 2 . Với một mặt sóng dạng hình sin, 8/ 22 H= . Với mặt sóng cnoidal với dạng mặt nớc phụ thuộc vào , tỷ số r U 22 / HB = là một hàm giảm của . r U Với phép xấp xỉ bậc thấp nhất, tốc độ vận chuyển năng lợng trong sóng cnoidal đợc tính từ (3.111), với cho bởi xấp xỉ tĩnh học + p gp = + , và u bởi biểu thức tuyến tính cho sóng dài hcu / = . Điều đó cho + === 02/ 2/ 22 1 h T T f cgHBgcudzdtp T E (4.8) Thực ra, không phải là thuỷ tĩnh và giá trị tuyệt đối của nó nhỏ hơn + p g tại các điểm thấp hơn MWL. Vì vậy, (4.8) tính quá tốc độ vận chuyển năng lợng. 4.4. Các lý thuyết số Các lý thuyết ở trên cung cấp các biểu thức giải tích cho các hệ số xuất hiện trong các chuỗi số mũ giả thiết với bậc chính xác cho trớc. Sự phức tạp của các biểu thức tăng nhanh với sự gia tăng của bậc chính xác. Vì lý do đó mà các xấp xỉ giải tích bậc cao là không khả thi. Tuy nhiên có thể đa ra các thuật toán để tính các hệ số này bằng phơng pháp số trị. Theo cách này, có thể dùng các xấp xỉ có độ chính xác rất cao (khoảng 100) để mở rộng phạm vi áp dụng của lý thuyết và tăng cờng độ chính xác. Các lý thuyết thuộc dạng này đợc gọi là các lý thuyết số trị. Cần nhận thấy rằng tên này không có nghĩa là lời giải số trị cho các phơng trình vi phân cơ bản, thí dụ nh bằng phơng pháp sai phân hữu hạn hay phần tử hữu hạn. Một lý thuyết đợc biết đến rất rộng rãi là lý thuyết hàm dòng do Dean (1965) xây 49 dựng. Việc sử dụng nó khá dễ dàng nhờ việc xuất bản các bảng (Dean, 1974). Các bảng này đã đợc xây dựng để áp dụng cho kỹ thuật. Ngoài các thông số khác, nó chứa số liệu về vận tốc pha, vận tốc hạt lỏng, gia tốc và áp lực cũng nh moment sóng trên các hình trụ đứng. Các đại lợng này đợc lập bảng cho 10 độ sâu tơng đối 10 ( trong khoảng từ 0.02 tới 2) và 4 độ cao sóng tơng đối ( 0 / Lh 4/3,2/1,4/1/ max = HH và 1, trong đó là độ cao cực đại của sóng có bớc sóng hay chu kỳ cho trớc tại một độ sâu cho trớc). max H Chaplin (1980) đã xây dựng một phiên bản nữa của lý thuyết hàm dòng có độ chính xác cao hơn cho các sóng rất dốc. Ông đã so sánh kết quả của mình và các kết quả của Dean (1974) với kết quả của lý thuyết chính xác của Cokelet (xem dới đây). Các giá trị tính theo các bảng của Dean là chính xác với ba giá trị nhỏ của , nhng với max / HH 1/ max = HH có một sự sai khác lớn (cụ thể là sai số 30% trong vận tốc hạt nớc cực đại ). Rienecker và Fenton (1981) đã đa ra những cải tiến về lý thuyết hàm dòng và một thuật toán để tính tập hợp các hệ số bằng một sơ đồ lặp hiệu quả với tốc độ hội tụ nhanh. Một lý thuyết số trị khác do Cokelet (1977) đề xuất đã sử dụng mối liên hệ giữa các hệ số của các bậc khác nhau để mở rộng lời giải tới các bậc rất cao. Thêm vào đó, Cokelet dùng một kỹ thuật toán đặc biệt để cải tiến cách lấy tổng của các chuỗi đợc tạo thành. Bằng cách đó ông đã có thể tính toán rất nhiều đặc tính của sóng với độ chính xác tới hai chữ số sau dấu phẩy, thậm chí cho sóng cao nhất có thể có nh đã đợc kiểm chứng bằng cách so sánh với các lý thuyết đã đợc xây dựng độc lập cho trờng hợp đặc biệt này. Có vẻ nh từ khía cạnh thực tế, công trình của Cokelet có thể đợc xem là cho một lời giải chính xác về các vấn đề cổ điển nh các sóng trọng lực bề mặt phi tuyến và không xoáy. Kết quả của ông có thể đợc dùng nh tiêu chuẩn để đánh giá các lý thuyết xấp xỉ khác nhau. Cokelet đã trình bày các bảng về các tính chất độc lập về pha và trung bình của sóng mà không phải là các giá trị tức thời nh vận tốc và gia tốc hạt lỏng. Việc sử dụng lý thuyết của ông vào thực tế kỹ thuật yêu cầu phải viết một số chơng trình máy tính khá phức tạp. Cuối cùng là cần phải kể đến công trình của Williams (1985) ngời đã phát triển một công thức thay thế có khả năng hội tụ nhanh ngay cả với những sóng cao nhất. Các kết quả của ông, kể cả áp suất thay đổi theo pha và vận tốc, gia tốc và dịch chuyển nằm ngang và thẳng đứng đã đợc lập thành bảng. 4.5 Giới hạn áp dụng của các lý thuyết khác nhau Trớc khi tìm ra lời giải có độ chính xác cao, một câu hỏi thông thờng nhất là các xấp xỉ bậc thấp (nh Stokes bậc 1, 2 hay 3 hay cnoidal bậc 1 hay 2) là áp dụng đợc cho một phối hợp cho trớc của độ dốc sóng và độ sâu tơng đối. Vì vậy, ngời ta đã cố gắng xác lập 50 [...]... bậc cao không nhất thiết là tốt hơn một xấp xỉ bậc thấp vì rằng chuỗi sử dụng có thể phân kỳ Ví dụ nh với các giá trị của số Ursell lớn, lý thuyết Stokes bậc 1 (lý thuyết tuyến tính) cho kết quả xấp xỉ của vận tốc hạt nớc lớn hơn so với xấp xỉ Stokes bậc 2 và bậc 3 Điều nói trên cũng đúng cho các lý thuyết cnoidal Tính phi tuyến là tơng đối quan trọng với các giá trị địa phơng (nh độ cao đỉnh sóng, ... khi Cokelet và những ngời khác đã tìm đợc lời giải bậc cao hầu nh là chính xác Không có một câu trả lời duy nhất cho câu hỏi là xấp xỉ bậc thấp nào của một tập hợp các xấp xỉ cho trớc là áp dụng phù hợp nhất cho một phối hợp cho trớc của H/L và h/L Câu trả lời phụ thuộc vào các thông số dùng để so sánh (vận tốc pha, độ cao cực đại của đỉnh sóng v.v ) Từ quan điểm thực tế, việc quyết định dùng xấp xỉ này... Điều nói trên cũng đúng cho các lý thuyết cnoidal Tính phi tuyến là tơng đối quan trọng với các giá trị địa phơng (nh độ cao đỉnh sóng, vận tốc hạt nớc cực đại) hơn là đối với các giá trị chung (vận tốc pha, hàm lợng năng lợng trung bình v.v ) Biên độ tơng đối của các thành phần phi tuyến giảm theo độ sâu dới bề mặt tự do 51 . (4 . 1) trong đó: a= (4 . 2) ( ) kh khkh ka 2 2 2 sinh 2cosh2cosh 2 1 + = (4 . 3) Điểm S=0 đợc chọn tại một đỉnh sóng. Hình 4. 1 trình bày một phác thảo của (4 . 1). Một số hạng tuyến tính. ( ) 1>>kh (4 . 4) Tỷ số này thờng là nhỏ (lớn nhất là vào khoảng 0. 2) vì rằng sóng vỡ giới hạn độ dốc có thể có của sóng. Mặt khác tại nớc sâu hơn tỷ số trên trở thành (xem các phơng trình. 10 ( trong khoảng từ 0.02 tới 2) và 4 độ cao sóng tơng đối ( 0 / Lh 4/ 3,2/1 ,4/ 1/ max = HH và 1, trong đó là độ cao cực đại của sóng có bớc sóng hay chu kỳ cho trớc tại một độ sâu cho trớc).