GIÁO TRÌNH SÓNG GIÓ ( VŨ THANH CA ) - CHƯƠNG 3 pot

Chơng 3 lý thuyết tuyến tính về sóng bề mặt trong vùng nớc có độ sâu không đổi 3.1 Các phơng trình cơ bản và điều kiện biên 3.1.1 Các giả thiết trong lý thuyết sóng tuyến tính Trong chơng này và chơng 4, chỉ có những lý thuyết cơ bản nhất về sóng đại dơng đợc trình bày. Nói một cách khác, tất cả những hiệu ứng không quan trọng đối với hiện tợng sóng trọng lực bề mặt sẽ bị bỏ qua. Hơn nữa, để đơn giản hóa, các giả thiết sau đây đợc sử dụng trong lý thuyết sóng tuyến tính: - chất lỏng không nhớt có mật độ không đổi (không nén đợc và đồng nhất) dới ảnh hởng của trọng lực; - không có lực tác động lên bề mặt tự do phía trên của chất lỏng; - có thể bỏ qua sức căng mặt ngoàI; - đáy của chất lỏng là đáy rắn, không thấm nớc và nằm ngang; - sóng tuần hoàn, đỉnh dài và lan truyền mà không thay đổi hình dạng. Các thông số độc lập đủ để mô tả chuyển động sóng tơng ứng với những giả thiết trên là: - khối lợng riêng ( ) - gia tốc trọng trờng (g) - độ sâu trung bình (h) - độ cao sóng (H) - bớc sóng (L) Độ sâu tơng đối h/L là một biến quan trọng để đánh giá ảnh hởng của đáy lên chuyển động sóng, nh đã trình bày trong chơng 1. Tỷ số H/L, đợc gọi là độ dốc sóng, là thớc đo cờng độ chuyển động sóng. Tỷ số này không thể vợt quá một giá trị cho trớc có bậc 10 -1 , bởi vì hiện tợng sóng vỡ. Trong chong này, các phơng trình cơ bản mô tả chuyển động sóng với những giả thiết trên sẽ đợc rút ra. Bởi vì sóng đợc nghiên cứu là sóng tuần hoàn, có đỉnh dài (sóng hai chiều hay sóng đơn) lan truyền mà không thay đổi hình dạng, nếu hớng trục x theo hớng lan truyền của 21 sóng, bài toán biến thành bài toán hai chiều. Nh vậy, hệ tọa độ mà chúng ta chọn sẽ giống nh trên hình 3.1. áp suất p ),( t x Hình 3.1 Hệ tọa độ và các thông số cần thiết Dễ dàng tìm ra rằng với hệ tọa độ này, phơng trình mô tả bề mặt tự do khi có một sóng truyền theo hớng trục x với tốc độ truyền sóng c có thể đợc viết nh sau: ( ) ctxz = (3.1) Mối liên hệ giữa bớc sóng, vận tốc truyền sóng và chu kỳ có thể đợc viết nh sau: cTL = (3.2) Các biến phụ thuộc mô tả trờng dòng chảy khi có sóng là các thành phần vận tốc dòng chảy theo các trục x và z và áp suất. Các biến này lần lợt đợc ký hiệu lần lợt là u, w và p. 3.1.2 Điều kiện không nén đợc Phơng trình liên tục Nh đã chỉ ra, bài toán đợc xem xét có thể coi là bài toán hai chiều. Trong trờng hợp này, nh đã chỉ ra trong chơng 2 (phơng trình 2.34), điều kiện không nén đợc của chất lỏng dẫn đến phơng trình liên tục có dạng sau: 0= + y v x u (3.3) 3.1.3 Các phơng trình động lợng Với các giả thiết trong phần (3.1.1), phơng trình động lợng cho chuyển động hai chiều của chất lỏng (các phơng trình 2.35) khi có sóng có thể đợc viết nh sau: x p z u w x u u t u dt du = + + = 1 (3.4) g z p z w w x w u t w dt dw = + + = 1 (3.5) Các phơng trình (3.4) và (3.5) không đối xứng vì có sự xuất hiện của g trong (3.5). 22 Hai phơng trình này có thể viết dới dạng tơng tự bằng cách thế () ( ) gzzg = / vào (3.5) và cộng thêm một đại lợng bằng không ( ) ( ) gzx / vào (3.4). Việc này cho ta một phơng trình đối xứng: 0= + + + + gz p xz u w x u u t u (3.6) và: 0= + + + + gz p zz w w x w u t w (3.7) Vì sóng là sóng hai chiều, chúng ta chỉ đa ra các điều kiện biên tại mặt thoáng và tại đáy. Điều kiện động học cho chất lỏng không nhớt chỉ ra rằng không có hạt lỏng nào xuyên qua bề mặt bao bọc chất lỏng. Điều này dẫn tới các phơng trình sau: 0 = w tại hz = (3.8) và: dt d w = tại ( ) txz , = (3.9) Phơng trình (3.9) có thể khai triển thành: x u t w + = tại ( ) txz , = (3.10) Điều kiện biên động lực liên quan tới ứng suất. Bởi vì đáy là cứng nên không một điều kiện biên nào cần thiết tại đáy. Điều kiện không có ứng suất tại mặt thoáng cho ta: 0 = p tại ( ) txz , = (3.11) Điều kiện là ứng suất cắt bằng không tại mặt thoáng không cần đa ra ở đây vì chất lỏng đợc giả thiết là không nhớt, và nh vậy ứng suất cắt bằng không tại tất cả mọi nơi. Nh đã chỉ ra trong chơng 2, cờng độ xoáy của một chất lỏng lý tởng bằng hằng số. Nh vậy, chuyển động bắt đầu không có xoáy sẽ mãi mãi không xoáy. Đối với một chất lỏng thực khi có sóng, các xoáy có thể đợc tạo thành trong lớp biên do sóng. Tuy nhiên, ngoại trừ đới sóng vỡ, độ dày của lớp biên khi có sóng là rất nhỏ. Bên ngoài lớp biên mỏng này, dòng chảy do sóng tạo nên có thể coi là không xoáy. Nh đã chỉ ra trong chơng 2, điều kiện không xoáy đảm bảo sự tồn tại của một thế vận tốc thỏa mãn phơng trình Laplace: 0 2 2 2 2 = + z x (3.12) Trong trờng hợp này, ta có thể đa hàm f(t) trong vế phải của phơng trình Bernoulli (2.43) vào trong thế vận tốc mà không đánh mất tính tổng quát của bài toán. Nh vậy, phơng trình Bernoulli (2.43) trở thành: 23 0 2 1 2 =+++ gz p u t (3.13) Với thế vận tốc, các phơng trình điều kiện biên cho dòng chảy khi có sóng ((3.8), (3.10) và (3.13)) trở thành: 0= z tại hz = (3.14) xxtz + = tại ( ) txz , = (3.15) 0 2 1 22 =++ + + gz p zxt tại ( ) txz , = (3.16) Đồng thời, ta tuyến tính hóa các phơng trình (3.15) và (3.16) bằng cách bỏ qua các số hạng bậc hai, tức là và , và các điều kiện biên động lực trên bề mặt (3.15) và (3.16) cho ta các điều kiện biên sau đây: 2 u 2 v = = z zt (3.17) = = z tg 1 (3.18) Để có thể sử dụng các điều kiện biên này, cần phải giả thiết thêm là biên độ của các sóng là đủ nhỏ để các phơng trình (3.17) và (3.18) có thể đợc đơn giản hóa thành các điều kiện biên: 0= = z zt (3.19) 0 1 = = z tg (3.20) Cùng với các điều kiện biên (3.14), (3.19) và (3.20), cần phải chú ý rằng nghiệm vật lý của bài toán truyền sóng phải là điều hòa cả theo biến không gian x và thời gian t. 3.2 Lời giải giải tích của bài toán sóng trọng lực bề mặt Bài toán biên hoàn chỉnh cho sóng trọng lực bề mặt có thể đợc phát biểu lại nh sau. Phơng trình vi phân: 0 2 2 2 2 = + z x (3.21) với các điều kiện biên: 0= z tại hz = (3.22) 24 = zt tại 0 = z (3.23) = tg 1 tại 0 = z (3.24) Để giải bài toán này với các điều kiện biên, ta giả thiết rằng thế vận tốc có thể đợc biểu thị nh sau: ( ) ( ) ( ) ( ) tTzZxXtzx = ,, (3.25) Với X, Z và T lần lợt là các hàm chỉ của các biến số x, z và t. Thế (3.25) vào (3.21), chúng ta có: 2 "" k Z Z X X == (3.26) với dấu phẩy kép biểu thị đạo hàm bậc hai và là một hằng số. Kết quả là ta có hai phơng trình vi phân thờng: 2 k 0" 2 =+ XkX (3.27) 0" 2 = ZkZ (3.28) Nghiệm của (3.27) và (3.28) là kxDkxBX sincos + = và bvới B, D, E và G là các hằng số tích phân. Nh vậy, nghiệm có thể viết dới dạng: kzkz GeEeZ += ()( ) ( ) ( ) tTGeEekxDkxBtzx kzkz ++= sincos,, (3.29) Từ quan điểm vật lý, ta có thể thấy rằng đối với sóng đơn, nghiệm nhất thiết phải là hàm tuần hoàn đơn giản của biến thời gian. Nh vậy, có thể biểu thị T(t) bằng các hàm t cos hay t sin . Có bốn tổ hợp độc lập của các số hạng thỏa mãn điều kiện tuần hoàn cả với x và t và là nghiệm của phơng trình Laplace là: tkxzZA coscos)( 11 = (3.30) tkxzZA sinsin)( 22 = (3.31) tkxzZA cossin)( 33 = (3.32) sincos)( 44 tkxzZA = (3.33) Triển khai nghiệm dới dạng này cho phép ta tìm giá trị của các hằng số tích phân. Bởi vì phong trình Laplace là tuyến tính, một tổ hợp thích hợp của các nghiệm này sẽ thỏa mãn cả phơng trình Laplace và các điều kiện biên. Các điều kiện biên (3.22) và (3.24) bây giờ sẽ đợc áp dụng cho nghiệm (3.30). Từ (3.30), ( ) tkxGeEekAz kzkz coscos/ 11 = . áp dụng điều kiện 0/ 1 = z tại hz = cho ta . Vì vậy: khkh GeEe = 25 kh GeE 2 = (3.34) Từ đó ta có: ( ) ( ) () tkxhzkGeA tkx ee GeA kh hzkhzk kh coscoscosh2 coscos 2 2 1 11 += + = ++ (3.35) áp dụng điều kiện biên tại mặt thoáng ( 0 11 //1 = ) = z tg cho ta ( ) () tkxhzkgGeA kh 1 sincoscosh/2 1 += . Giá trị cực đại của là biên độ a xảy ra khi 1 sincos =tkx . Nh vậy: kh ag GeA kh cosh2 1 = (3.36) Và điều này dẫn tới: tkxa sincos 1 = (3.37) Phơng trình này diễn tả một hệ sóng đứng với bớc sóng là kL /2 = và biên độ a. Thế vận tốc giờ trở thành: 1 ( ) tkx kh hzkaG coscos cosh cosh 1 + = (3.38 Điều kiện cần để cho là hàm tuần hoàn của x với bớc sóng L là k đợc định nghĩa là 1 Lk /2 = . Đại lợng này đợc gọi là số sóng. Có thể tìm các hằng số khác trong các nghiệm cơ bản của bằng phơng pháp trên. Kết quả là ta có: ( ) tkx kh hzkaG coscos cosh cosh 1 + = ( ) tkx kh hzkaG sinsin cosh cosh 2 + = ( ) tkx kh hzkaG cossin cosh cosh 3 + = ( ) tkx kh hzkaG sincos cosh cosh 4 + = Vì tính chất tuyến tính của phơng trình Laplace, một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm trên cũng là nghiệm. Nh vậy: ( ) ( kxt kh hzkaG ) + == - cos cosh cosh 12 (3.39) Nh ta sẽ chỉ ra dới đây, phơng trình (3.39) là thế vận tốc của một sóng tiến theo hớng trục x. Từ (3.24) và (3.39), ta có phơng trình mô tả mặt nớc: ( kxta tg z = = = sin 1 0 ) (3.40) Phơng trình này tuần hoàn cả theo x và t. Nghiệm này thờng đợc coi là nghiệm 26 sóng tiến. Đại lợng: kxttx = ),( (3.41) đợc gọi là pha sóng. Nếu ta chuyển động cùng với sóng sao cho tại tất cả các thời điểm t vị trí tơng đối của chúng ta đối với mặt sóng là cố định. Khi đó pha ( ) ( ) kxttx = , sẽ là hằng số. Tốc độ di chuyển của ta phải thỏa mãn điều kiện: c T L kdt dx === (3.42) c đợc gọi là vận tốc pha của sóng, hay là vận tốc truyền sóng. Nh vậy, phơng trình (3.39) là thế vận tốc của một sóng tiến theo hớng trục x. Ta có thể thấy rằng với phơng trình (3.39) ta có thể mô tả hoàn chỉnh trờng vận tốc bên dới một sóng. Đồng thời, từ phơng trình Bernoulli ta có thể xác định trờng áp suất. Bằng cách tơng tự, ta có thể tìm đợc thế vận tốc cho một sóng tiến theo hớng âm của trục x bằng tổ hợp nh sau: ( 21 + ) ( ) ( tkx kh hzkaG cos cosh cosh 21 + ) + =+= (3.43 Dao động mực nớc trong trờng hợp này là: ( ) tkxa sin + = (3.44) Tơng tự ta có: () ( ) ( tkx kh hzkaG cos cosh cosh 43 ) + =+= (3.45) ( ) tkxa = sin (3.46) và: () ( ) ( tkx kh hzkaG cos cosh cosh 34 + ) + == (3.47) ( ) tkxa + = sin (3.48) Các thế vận tốc (3.45) và (3.47) lần lợt trùng với (3.39) và (3.43), chỉ có điều là chúng bị lệch pha đối với gốc của hệ tọa độ. Từ biểu thức của thế vận tốc, chúng ta có thể tìm ra một loạt các tính chất của sóng. Tính chất quan trọng nhất là sự phân tán sóng. Trớc khi rút ra mối liên hệ phân tán, chúng ta hãy xem xét kỹ thế vận tốc và một số đặc tính vật lý của nó. Chúng ta hãy xem xét một phơng pháp đơn giản để tìm hàm thế vận tốc. Giả thiết rằng ta xem xét một sóng tiến. Nh vậy, thế vận tốc có dạng ( ) tkxi e ~ và có thể đợc viết nh sau 27 ( ) ( ) { } tkxi ezZ Re = (3.49) ở đây Re biểu thị phần thực của lời giải phức. Nh vậy, lời giải thực tế của bài toán có dạng: ( ) ( ) tkxzZ cos = (3.50) Dùng lời giải này thế vào phơng trình Laplace, ta có 0" 2 = ZkZ (3.51) Lời giải của phơng trình này là: kzDkzBZ sinhcosh + = (3.52) Với B và D là các hằng số. Nh vậy: () ( ) t cossinhcosh + = kxkzDkzB (3.53) Điều kiện biên đợc thỏa mãn bởi (3.53) là: 0= z tại hz = (3.54) = tg 1 tại 0 = z (3.55) Dùng (3.54), ta có 0sinhcosh = khDkhB . Nh vậy: khBD tanh = (3.56) Dùng (3.55), ta có: ( tkx g B ) = sin (3.57) Định nghĩa: g B a = (3.58) với a là biên độ sóng. Nh vậy: ( ) tkxa = sin (3.59) Kết quả là: ( ) ( tkx kh hzkag ) + = cos cosh cosh (3.60) áp suất dới sóng đợc xác định nh sau: ( ) () gztkx kh hzk aggz t p + = = sin cosh cosh (3.61) Bằng cách tơng tự, ta có thể có đợc ba dạng lời giải của p bằng cách dùng tích các nghiệm thích hợp. Nếu nh sóng tiến lan truyền từ tới theo một góc với trục x thì dạng 28 của và nhất định phải đợc biến đổi để có: () ( tkykx kh hzkag + + = sincoscos cosh cosh ) (3.62) ( ) tkykxa + = sincossin (3.63) 3.3 Mối liên hệ phân tán của chuyển động sóng Bằng cách phối hợp điều kiện biên động học (phơng trình 3.23) và điều kiện biên động lực (phơng trình 3.24), điều kiện sau có thể đợc rút ra: 0 2 2 = z g t tại 0 = z (3.64) Hãy xem xét một sóng tiến theo hớng x với thế vận tốc đợc cho bởi: ( ) ( tkx kh hzkag ) + = cos cosh cosh (3.65) ta có: ( ) () tkx kh hzk ag t + = cos cosh cosh 2 2 ( ) () tkx kh hzkkag z g + = cos cosh sinh 2 Thế các giá trị này vào (3.64) tại z = 0 cho ta: khgk tanh 2 = (3.66) Mối liên hệ này đợc gọi là mối liên hệ phân tán tuyến tính, bởi vì nó đợc rút ra dựa trên sự tuyến tính hóa các điều kiện biên bề mặt. Thông thờng, để thuận tiện nó đợc gọi một cách đơn giản là mối liên hệ phân tán. Một công thức giống hệt nh (3.66) cũng có thể tìm đợc đối với một sóng lan truyền theo hớng ngợc với hớng của trục x. Bởi vì kc= , phơng trình (3.66) có thể đợc viết thành: kh k g c tanh 2 = (3.67) Phơng trình (3.67) biểu thị tốc độ lan truyền của sóng bề mặt nh là hàm của độ sâu h và bớc sóng L. Để tìm đợc bớc sóng, mối liên hệ phân tán (3.66) có thể đợc viết lại nh sau: = L hgT L 2 tanh 2 2 (3.68) Với một độ sâu h và chu kỳ sóng T cho trớc, bớc sóng L có thể đợc xác định từ (3.68) bằng thuật toán thử và hiệu chỉnh. Phơng trình (3.66), (3.67) và (3.68) đợc gọi là mối liên hệ phân tán của sóng nớc. Bây giờ, chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn về việc phân loại sóng nớc. Sóng nớc 29 đợc phân thành ba loại chính căn cứ vào độ sâu tơng đối của biển, đợc định nghĩa là tỷ số h/L, trong đó h là độ sâu của biển còn L là bớc sóng. Nếu độ sâu tơng đối là nhỏ hơn 1/20 (hay ) thì độ sâu đợc xem là nhỏ so với bớc sóng và sóng đợc gọi là sóng nớc nông (hay sóng dài). Nếu tỷ số lớn hơn 1/2 (hay ), sóng đợc gọi là sóng nớc sâu (hay sóng ngắn). Khi mà 3/1kh 3kh 2/1/20/1 < < Lh (hay 33/1 < < kh ), sóng đợc gọi là sóng tại độ sâu trung gian và nói chung là trong điều kiện này các phơng trình truyền sóng là không đơn giản. Tuy nhiên, trong đa số trờng hợp, sóng có thể xem hoặc là sóng nớc nông hoặc là sóng nớc sâu. Đối với trờng hợp sóng nớc sâu hoặc là sóng nớc nông, ta có thể đơn giản hóa mối liên hệ phân tán (3.66), (3.67) và (3.68). Với sóng nớc nông, ta có thể xấp xỉ tanh kh = kh và nh vậy mối liên hệ phân tán (3.67) trở nên đơn giản hơn: ghc = 2 (3.69) Phơng trình này chính là phơng trình truyền sóng triều hay sóng nớc dâng. Trong trờng hợp này, vận tốc pha của sóng trở nên không phụ thuộc vào bớc sóng (hay nói cách khác là số sóng hay chu kỳ sóng). Đối với sóng nớc sâu, ta có thể xấp xỉ tanh kh = 1, và nh vậy mối liên hệ phân tán (3.67) và (3.68) có thể biểu thị nh sau: 2 2 gL c = or 2 2 gT L = (3.70) Nh vậy, vận tốc pha và bớc sóng không phụ thuộc vào độ sâu. Khi g = 9.81 m/s 2 , thì: 2 56.1 TL = (3.71) ở đây đơn vị của L là m. 3.4 Chuyển động của hạt nớc và áp suất Nh đã thấy, thế vận tốc của sóng có biên độ nhỏ truyền theo hớng trục x là: ( ) () tkx kh hzkag + = cos cosh cosh Dùng định nghĩa của các thành phần vận tốc của hạt lỏng chúng ta có thể tìm ra biểu thức của các thành phần vận tốc theo phơng nằm ngang và thẳng đứng nh sau: ( ) ( tkx kh hzkagk x u dt dx ) + = == sin cosh cosh (3.72) ( ) ( tkx kh hzkagk z w dt dz ) + = == cos cosh sinh (3.73) 30 [...]... đợc biểu thức sau: = a =a cosh k ( z + h ) cos(kx t ) sinh kh sinh k (z + h ) sin (kx t ) sinh kh (3 .7 8) (3 .7 9) Cả hai phơng trình này có thể đợc kết hợp để có: 2 2 + =1 2 2 (3 .8 0) =a cosh k ( z + h ) sinh kh (3 .8 1) =a sinh k ( z + h ) sinh kh (3 .8 2) ở đây: Phơng trình (3 .8 0) diễn tả một ellipse với một nửa trục chính (nằm ngang) là và một nửa trục phụ (thẳng đứng) là Quỹ đạo của hạt lỏng nói... (3 .8 8) Từ biểu thức của áp suất (3 .8 7), có thể tìm đợc một loạt các đại lợng vật lý quan trọng nh lực tác động của sóng và mô men Ký hiệu áp suất do sóng gây ra là p + , ta có: p + = ag cosh k ( z + h ) sin (kx t ) cosh kh Tại nớc sâu, phơng trình (3 .8 8) trở thành: p+ = age kz sin (kx t ) Tại nớc nông, phơng trình này trở thành: p + = ag sin (kx t ) = g (kh >> 1) (kh . = sin (3 .4 6) và: () ( ) ( tkx kh hzkaG cos cosh cosh 34 + ) + == (3 .4 7) ( ) tkxa + = sin (3 .4 8) Các thế vận tốc (3 .4 5) và (3 .4 7) lần lợt trùng với (3 .3 9) và (3 .4 3) , chỉ có điều là. cos cosh cosh 21 + ) + =+= (3 . 43 Dao động mực nớc trong trờng hợp này là: ( ) tkxa sin + = (3 .4 4) Tơng tự ta có: () ( ) ( tkx kh hzkaG cos cosh cosh 43 ) + =+= (3 .4 5) ( ) tkxa = sin (3 .4 6) và:. phơng trình Laplace là: tkxzZA coscos )( 11 = (3 .3 0) tkxzZA sinsin )( 22 = (3 .3 1) tkxzZA cossin )( 33 = (3 .3 2) sincos )( 44 tkxzZA = (3 .3 3) Triển khai nghiệm dới dạng này cho phép