GIÁO TRÌNH SÓNG GIÓ ( VŨ THANH CA ) - CHƯƠNG 2 ppt

Chơng 2 các phơng trình cơ bản của cơ học chất lỏng 2.1 Các phơng pháp mô tả dòng chảy của chất lỏng Có hai phơng pháp mô tả dòng chảy của chất lỏng. Phơng pháp thứ nhất là phơng pháp Lagrange. Phơng pháp này khảo sát chuyển động của từng hạt lỏng trong không gian và theo thời gian. Phơng pháp thứ hai là phơng pháp Euler, khảo sát biến trình thời gian của các tính chất vật lý của chất lỏng tại những điểm cố định trong không gian. Trong bài giảng này, chỉ trừ khi nói rõ ràng, ta mặc nhiên thừa nhận là phơng pháp Euler sẽ đợc dùng để mô tả chuyển động của chất lỏng do tính thuận tiện của nó. Trong phơng pháp này, một hệ tọa độ cần đợc thiết lập và chuyển động của chất lỏng đối với hệ tọa độ đó sẽ đợc xem xét. Hệ tọa độ này có thể là hệ tọa độ đợc vẽ trên hình 1.4 hoặc trên hình 2.1. 2.2 Đạo hàm thời gian Giả thiết rằng ta dùng phơng pháp Lagrange để mô tả chuyển động của chất lỏng và khảo sát sự thay đổi của một tính chất vật lý s của một hạt lỏng chuyển động cùng với chất lỏng. Tốc độ thay đổi toàn bộ của tính chất vật lý này có thể đợc chia thành hai phần: một phần biểu thị thay đổi theo thời gian của tính chất vật lý tại vị trí cho trớc và một phần biểu thị sự thay đổi của tính chất vật lý gây ra do sự thay đổi vị trí của hạt lỏng. Nh vậy, có thể viết phơng trình sau: i i x s u t s dt ds + = (2.1) ở đây, quy định Eistein về việc tổng đợc lấy theo chỉ số lặp lại trong một số hạng đơn đã đợc áp dụng. Trong phơng trình (2.1), ký hiệu biểu thị tốc độ thay đổi toàn phầncủa tính chất vật lý s của hạt lỏng và đợc coi là đạo hàm toàn phần hoặc là đạo hàm Lagrange. Ký hiệu dtd / t / biểu thị tốc độ thay đổi theo thời gian của tính chất vật lý tại một điểm cố định và đợc gọi là tốc độ thay đổi địa phơng theo thời gian của tính chất vật lý đó. 2.3 Phơng trình thể tích kiểm tra Hình 2.1 chỉ ra một thể tích kiểm tra cố định trong không gian trong một hệ tọa độ cho trớc. Tại một thời gian cho trớc t nào đó, một khối chất lỏng lấp đầy thể tích kiểm tra này. Một lát sau, tại thời điểm t + t, một phần của khối chất lỏng này đã chảy ra khỏi thể tích kiểm tra và chất lỏng từ ngoài thể tích kiểm tra sẽ chảy vào trong để thay thế. 7 y O z Th ể tích ki ể m tra x Hình 2.1 Thể tích kiểm tra và khối chất lỏng tại các thời điểm t và t + t. Giả thiết là B biểu thị tổng lợng của một tính chất nào đó của chất lỏng (nh khối lợng, động lợng hay nhiệt lợng v.v.) chứa trong thể tích kiểm tra V. Ký hiệu b là lợng của B trên một đơn vị khối lợng (mật độ của B) sao cho = V bdVB (2.2) Định luật bảo toàn của tính chất vật lý yêu cầu rằng tốc độ thay đổi tổng cộng của tính chất vật lý bên trong thể tích kiểm tra bằng tốc độ thay đổi địa phơng của tính chất vật lý cộng với tốc độ của tính chất vật lý ra khỏi thể tích kiểm tra trừ đi tốc độ của tính chất vật lý đi vào trong thể tích kiểm tra. Điều này khi thể hiện bằng phơng trình thì có thể đợc viết nh sau: t BB bdV tdt dB inout t CV + = 0 lim (2.3) ở đây và lần lợt là lợng của tính chất vật lý ra khỏi và đi vào thể tích kiểm tra trong khoảng thời gian . out B in B t Hình 2.2 Một diện tích vô cùng bé trên bề mặt của thể tích kiểm tra Bởi vì tính chất B chuyển động cùng với chất lỏng, tốc độ chảy ra của B từ thể tích 8 kiểm tra chỉ có thể là hàm số của vận tốc dòng chảy trên bề mặt thể tích kiểm tra. Nh chỉ ra trên hình 2.2, khối lợng chất lỏng chảy ra khỏi thể tích kiểm tra trong khoảng thời gian t qua một diện tích rất nhỏ trên bề mặt thể tích kiểm tra là ( ) tAnu r r với n r là vector đơn vị vuông góc với phần tử bề mặt A và hớng ra ngòai. ( ) nu r r ký hiệu tích vô hớng của hai vector. Đại lợng B chảy ra khỏi phần tử bề mặt trong khoảng thời gian vô cùng bé này sẽ là () tAnub r r . Tích phân trên toàn bộ bề mặt cho ta: () dAnub t BB S inout t = rr 0 lim (2.4) Nh vậy, phơng trình (2.3) có thể đợc viết là: () dAnubbdV tdt dB SCV + = rr (2.5) với S là diện tích của bề mặt thể tích kiểm tra. Nếu nh không có điểm nguồn hoặc điểm hút của tính chất vật lý ở bên trong thể tích kiểm tra thì ta sẽ có phơng trình sau: () 0=+ = dAnubbdV tdt dB SCV rr (2.6) Tại điểm này, ta có đợc phơng trình bảo toàn cho thể tích kiểm tra. Tuy nhiên, rất khó đánh giá từng số hạng trong phơng trình (2.6). Để có thể làm đợc điều này, nh đã chỉ ra trên hình 2.3, thể tích kiểm tra đợc chia nhỏ thành một số vô hạn các thể tích kiểm tra vô cùng bé. Sau đó, thay vì khảo sát tốc độ chảy của tính chất vật lý ra khỏi thể tích kiểm tra, ta khảo sát tốc độ chảy của tính chất vật lý ra khỏi mỗi thể tích kiểm tra vô cùng bé. Tốc độ chảy ra khỏi một thể tích nh thế này trừ đi tốc độ chảy vào thể tích này là () () Vuzyx z u y u x u yxuzxuzyu xyz z u uzxy y u uzyx x u u z y x zyx z z y y x x = + + =++ ++ ++ + r r (2.7) ở đây zkyjxi ++= /// r rr r với ji r r , và k r lần lợt là các vector đơn vị theo các hớng x, y và z. Lấy tổng của tất cả tốc độ chảy ra từ mỗi thể tích kiểm tra với giới hạn là thể tích của 9 mỗi phần tử tiến tới zero sẽ cho ta tốc độ chảy ra từ thể tích kiểm tra. Sau đó, dùng định lý phân kỳ để liên hệ giữa các tích phân thể tích và bề mặt, ta có: ( ) ( ) dVubdAnub CVS = r r r r (2.8) Nh vậy, từ các phơng trình (2.5), (2.6) và (2.8), ta có thể rút ra phơng trình sau: () ( ) 0= + dVubb t CV r r (2.9) Hình 2.3 Các thể tích vô cùng bé bên trong thể tích kiểm tra Bởi và thể tích kiểm tra CV là tuỳ ý chọn, rõ ràng là nếu có một điểm trong không gian mà tại đó đại lợng trong ngoặc vuông bên vế trái của phơng trình (2.9) khác zero, ta có thể điều chỉnh thể tích kiểm tra sao cho nó chỉ chứa điểm này. Điều này có nghĩa là tích phân bên vế trái của phơng trình (2.9) khác zero và phơng trình này không đợc thỏa mãn đối với thể tích kiểm tra này. Nh vậy, để đảm bảo là phơng trình (2.9) đợc thỏa mãn cho toàn bộ miền tính, đại lợng trong ngoặc vuông ở vế trái của phơng trình (2.9) phải là zero tại tất cả mọi điểm trong miền nghiên cứu. Hay nói cách khác () ( ) 0=+ ubb t r r (2.10) 2.4 Định luật bảo toàn vật chất và phơng trình liên tục Nếu nh đại lợng vật lý nói ở trên đợc lấy là khối lợng chất lỏng thì b trong phơng trình (2.10) bằng 1, và phơng trình bảo toàn vật chất trở thành () 0=+ u t r r or () 0= + i i u xt (2.11) Phơng trình (2.11) thờng đợc gọi là phơng trình liên tục của dòng chảy lỏng. 10 2.5 Định luật bảo toàn động lợng và phơng trình chuyển động 2.5.1 Phơng trình chuyển động của Cauchy Phơng trình chuyển động đợc rút ra bằng cách liên hệ B với động lợng của toàn hệ thống. Động lợng là một đại lợng vector, là tích của khối lợng và vận tốc. Nh vậy, b là vector vận tốc . Từ định luật chuyển động của Newton, tốc độ thay đổi của động lợng trong một hệ với khối lợng bất biến bằng lực tác dụng: u r F dt Bd r r = (2.12) ở đây F r là lực tác dụng lên hệ. Nh vậy bằng cách sử dụng phơng trình (2.12), phơng trình (2.5) trở thành: () ( ) dAnuudVu t F SCV + = rrrr r (2.13) Trong đó F r là tổng của tất cả các lực tác dụng lên chất lỏng trong thể tích kiểm tra. Ký hiệu lực tác động lên một đơn vị khối lợng lỏng (mật độ lực) là f r , ta có: = CV dVfF r r (2.14) Dùng định lý phân kỳ và phơng trình (2.14), có thể viết phơng trình (2.13) cho mỗi thành phần trên mỗi hớng nh sau: () () 0= CV ji j ii dVuu x u t f (2.15) Bởi vì thể tích kiểm tra là tuỳ ý, từ phơng trình (2.15) ta có thể rút ra phơng trình sau: () ( ) iji j i fuu x u t = + (2.16) Dùng phơng trình liên tục (Eq. 2.11), ta có thể viết lại phơng trình (2.16) nh sau: 11 i j i j i f x u u t u = + (2.17) Hình 2.4 Lực áp suất theo hớng x Phơng trình (2.17) là phơng trình Cauchy của chuyển động của chất lỏng. Số hạng đầu tiên trong vế trái của phơng rình biểu thị tốc độ thay đổi địa phơng của động lợng tại một điểm trong khi số hạng thứ hai biểu thị tốc độ thay đổi của động lợng tại điểm đó gây ra do dòng chảy (ảnh hởng của hiện tợng bình lu). Đối với bài toán sóng trọng lực bề mặt, chỉ có áp suất, ứng suất cắt và trọng lực là cần đợc xem xét. áp suất d tác động lên một đơn vị thể tích của chất lỏng có thể tìm đợc dễ dàng bằng cách xem xét hình lập phơng vô cùng bé nh chỉ ra trên hình 2.4. Trong hình, chỉ có lực áp suất tác động lên các bề mặt vuông góc với trục x là đợc vẽ. Lực áp suất d tác động theo hớng x lên một đơn vị thể tích là: x p zyx x p pzyp V = + 1 (2.18) ứng suất cắt tác động theo hớng x lên một thể tích vô cùng bé đợc chỉ ra trên hình 2.5. Trong hình, chỉ số thứ nhất của chỉ trục tọa độ vuông góc với bề mặt của hình lập phơng và chỉ số thứ hai chỉ ra hớng của thành phần của ứng suất. Thành phần của ứng suất tác động theo hớng vuông góc với bề mặt đợc bao hàm trong áp suất và nh vậy không đợc tính đến. Nh đã chỉ ra trong hình, lực d trên một đơn vị thể tích do ứng suất nhớt gây ra theo hớng i là: () j ji zi yi xi i xzyx f = + + = (2.19) Trọng lực theo hớng i là tích của trọng lợng của phần tử đợc xem xét nhân với cosine của góc giữa phơng thẳng đứng và hớng i. 12 () i g i x h gf = (2.20) ở đây, chiều dơng của h hớng lên phía trên. Tiếp theo, dùng các phơng trình từ (2.18) tới (2.20), phơng trình (2.17) trở thành j ji iij i j i xx h g x p x u u t u = + (2.21) Hình 2.5 ứng suất cắt theo hớng x trên thể tích vô cùng bé Phơng trình (2.21) chứa tensor ứng suất cắt . Để có thể viết đợc phơng trình này dới dạng áp dụng đợc, tensor này nhất định phải đợc biểu thị dới dạng những đại lợng cơ bản nh vận tốc và những đạo hàm của nó. Để có thể làm đợc việc này, ta phải khảo sát kỹ các đặc tính của chất lỏng chuyển động. 2.5.2 Chuyển dịch, quay và vận tốc biến dạng Hãy xem xét một điểm trong một chất lỏng mà tại đó vận tốc là 0 i x 0 u r (xem hình 2.6). Tại một điểm lân cận với tọa độ là , vận tốc là xx i + 0 uu r r + 0 . Giả thiết rằng u r là một hàm liên tục của các biến không gian thì ta có thể khai triển Taylor hàm này tại lân cận điểm nh sau: 0 i x ( ) !2 2 2 2 00 + + +=+ i i i i x x u x x u uuu r r rrr (2.22) Bỏ qua các số hạng bậc hai và nhỏ hơn, từ phơng trình (2.22) ta có thể rút ra phơng trình sau: 13 j j i i x x u u = (2.23) Hay, bằng cách cộng vào và trừ đi những số hạng giống nhau vào vế phải của phơng trình (2.23), ta có: j i j j i j i j j i i x x u x u x x u x u u + + = 2 1 2 1 (2.24) Nh vậy tensor đã đợc chia thành một tensor bất đối xứng ji xu / ij và một tensor đối xứng lần lợt đợc định nghĩa nh sau: ij d = i j j i ij x u x u 2 1 (2.25) + = i j j i ij x u x u d 2 1 (2.26) Hình 2.6 Chuyển động của những điểm lân cận Hình 2.7 Một phần tử lỏng ở vị trí ban đầu 14 Thời điểm t+t Hình 2.8 Chuyển động của phần tử lỏng Hãy xem xét một phần tử lỏng hình chữ nhật với một góc nằm tại gốc tọa độ, nh trên hình 2.7. Chất lỏng chuyển động với vận tốc biến đổi trong không gian và vận tốc chuyển động của chất lỏng tại gốc tọa độ là 0 u r , vận tốc tại điểm a là () yyuuu a += / 0 r r r , và vận tốc tại điểm c là () xxuuu c += / 0 r r r . Hãy xem xét hạt lỏng này sau một khoảng thời gian t, nh thấy trên hình 2.8. Điểm o chuyển động đợc một quãng đờng tu 0 r , điểm a chuyển động đợc một quãng đờng tu a r , v.v. Bởi vì vận tốc chuyển động tại các điểm khác nhau nói chung là khác nhau một chút, phần tử lỏng đã bị biến dạng và không còn là hình chữ nhật nữa. Để có thể thấy rõ tính chất của sự biến dạng này, trớc hết ta hãy xem xét trờng hợp x u y u y x = và 0= = y u x u y x (2.27) Bởi vì không có sự biến đổi vận tốc chuyển động theo hớng x dọc theo trục x, các cạnh a-b và o-c không dài ra và cũng không ngắn đi; tơng tự, các cạnh o-a và b-c cũng giữ nguyên chiều dài. Sau một khoảng thời gian t, hạt lỏng trở thành hình dạng nh trên hình 2.9. Điểm a đã chuyển động đợc một quãng đờng dài hơn một khoảng là theo hớng x so với điểm o, và điểm c đã chuyển động đợc một quãng đờng dài hơn một khoảng là tyyu x / txxu y / theo hớng y so với điểm o. Góc giữa cạnh o-a và phơng thẳng đứng là ; góc giữa cạnh o-c và phơng nằm ngang làtyu x / txu y / . Nh vậy, với những giả thiết nh trên, phần tử lỏng đã trải qua một quá trình dịch chuyển vị trí và quay. Mở rộng lý luận cho ba chiều, ta thấy rằng điều kiện cho chuyển động nh thế này là 0 ij và 0 = ij d . Xem xét tiếp tensor ij ta thấy rằng nó mô tả chuyển động quay của phần tử lỏng. Để định lợng sự biến dạng của phần tử lỏng, một vector xoáy đợc định nghĩa nh 15 sau: u r r r ì= 2 1 (2.28) Với ký hiệu ì biểu thị tích vector của hai vector. Thời điểm t+t Hình 2.9 Sự quay của phần tử lỏng Bởi vì ij đã đợc xác định là vận tốc quay của phần tử lỏng, có thể đợc xem là vận tốc biến dạng của phần tử lỏng. Có nghĩa là ij d ij biểu thị sự quay của phần tử lỏng nh là một vật rắn trong khi đó biểu thị sự chuyển động tơng đối của các điểm khác nhau trên phần tử lỏng. Nh vậy, chuyển động của một chất lỏng bao gồm: ij d 1. một sự di chuyển của chất lỏng nh với vật rắn cộng với 2. một sự quay của chất lỏng nh với vật rắn (tensor bất đối xứng) cộng với 3. một sự biến dạng (tensor đối xứng). Các hiệu ứng trên đợc diễn tả bằng một chuyển động đơn giản với vận tốc biến đổi nh thấy trên hình 2.10. Một phần tử lỏng gần gốc tọa độ bị biến dạng và quay nh trên hình vẽ để tạo ra một dòng chảy nh thế này. Hình 2.10 Dòng chảy với vận tốc biến đổi tạo ra chuyển động quay và 16 [...]... cách giải phơng trình (2 .3 9), phơng trình chuyển động cho phép ta tính đợc áp suất Thế định nghĩa của thế vận tốc, phơng trình (2 .3 7) vào phơng trình (2 .3 5) cho ta: 2 1 p + = + gi t xi x j xi x j xi (2 .4 0) Số hạng thứ hai của phơng trình (2 .4 0) có thể đợc biểu thị là: u u 2 1 = j j = x j xi x j xi 2 x j x j xi 2 (2 .4 1) 2 2 Chú ý rằng u j u j = u 12 + u 2 + u 3 = u 2 và gia tốc trọng... thay đổi thứ tự đạo hàm, phơng trình (2 .4 0) có thể đợc viết lại dới dạng: xi 1 2 p t + 2 u + + gz = 0 (2 .4 2) Phơng trình (2 .4 2) chỉ ra rằng đại lợng trong ngoặc đơn là không thay đổi theo các 19 tọa độ không gian Nh vậy, nếu nh có biến đổi, nó chỉ có thể là hàm của thời gian 1 2 p + u + + gz = f (t ) (2 .4 3) t 2 Nếu chuyển động là dừng, vế phải của phơng trình này trở thành hằng số Ta có... đó phơng trình liên tục biểu thị phân kỳ bằng không: ui =0 (2 .3 8) xi Thế (2 .3 7) vào (2 .3 8) cho ta: 2 = = 0 xi2 (2 .3 9) Phơng trình này đợc gọi là phơng trình Laplace's Bài toán dòng chảy không nhớt đã trở thành bài toán với một phơng trình cho một ẩn là thế vận tốc Hơn nữa, phơng trình này là tuyến tính trong khi hệ phơng trình ban đầu là phi tuyến Nh vậy, các giả thiết (hay phép xấp x ) về tính... toán về sóng gió, mật độ nớc có thể xem là không đổi 2. 5.4 Chất lỏng lý tởng Một chất lỏng có độ nhớt bằng không đợc gọi là chất lỏng lý tởng Đối với loại chất lỏng này, phơng trình liên tục và phơng trình động lợng có thể đợc viết nh sau: (u i ) = 0 + (2 .3 2) t xi u i +uj t u i x j = p + g i xi (2 .3 3) Phơng trình (2 .3 3) đợc gọi là phơng trình Euler của dòng chảy Trong các bài toán về sóng, ... trong phơng trình (2 .2 9) có nghĩa là động lợng đợc vận chuyển từ nơi cao (với vận tốc lớn) tới nơi thấp (với vận tốc nh ) Dùng định luật Newton về tính nhớt, ta có thể rút ra phơng trình chuyển động cơ bản của chất lỏng, phơng trình Navier-Stokes nh sau u u dui p 2u = i + u j i = + 2i + g i t x j dt xi xi (2 .3 0) với g i là thành phần gia tốc trọng trờng theo phơng i Phơng trình Navier-Stokes... phơng trình sau: 1 2 p u + + gz = 0 2 (2 .4 4) Phơng trình này đợc gọi là phơng trình Bernoulli, đợc rút ra với các giả thiết (1 ) chất lỏng không nén đợc, (2 ) dòng chảy không xoáy, và (3 ) dòng chảy dừng Với hầu hết các dòng chảy, điều kiện không xoáy có nghĩa là không có ứng suất cắt và nh vậy không cần điều kiện là dòng chảy không có ma sát Với những giới hạn này, phơng trình (2 .4 4) là một phơng trình. .. Trong các bài toán về sóng, loại trừ sóng vỡ gần bờ, sóng gần công trình và sóng trong nớc rất nông, ảnh hởng của độ nhớt là có thể bỏ qua và nớc đợc coi là chất lỏng lý tởng Đối với những vấn đề thuộc động lực sóng, nớc có thể đợc coi là không nén đợc và nh vậy các phơng trình (2 .3 2) và (2 .3 3) trở thành: u i =0 (2 .3 4) xi u i u 1 p +uj i = + gi x j t xi (2 .3 5) Chuyển động của chất lỏng lý tởng có... + g (2 .3 1) t ở đây = 2 / x 2 + 2 / y 2 + 2 / z 2 là ký hiệu của toán tử Laplace, và g vector gia tốc trọng trờng Phơng trình Navier-Stokes (2 .3 1) biểu thị sự bảo toàn động lợng của chất lỏng Số hạng đầu tiên trong ngoặc đơn ở vế trái của phơng trình này biểu thị tốc độ biến đổi địa phơng của động lợng, số hạng thứ hai biểu thị tốc độ biến đổi của động lợng gây ra do 17 bình lu (hay đối lu); số... dụng theo hớng vào tâm của hạt lỏng và không có lực nào gây ra (hay buộc dừng lại) chuyển động quay Điều kiện không có chuyển động quay đợc biểu thị nh sau: u i u j =0 x j xi 18 (2 .3 6) Khi một chuyển động là không xoáy, có thể biểu thị dòng chảy bằng thế vận tốc , đợc định nghĩa nh sau: ui = xi (2 .3 7) Thay thế phơng trình (2 .3 7) vào (2 .3 6) cho thấy rằng điều kiện không xoáy đợc tự động thỏa mãn Ngợc... Các phơng trình Navier-Stokes cho các thành phần vận tốc dòng chảy theo các hớng (2 .3 0) cùng với phơng trình liên tục (2 .1 1) tạo nên một hệ bốn phơng trình cho bốn ẩn dùng để mô tả dòng chảy: ba thành phần vận tốc dòng chảy theo ba hớng và áp suất Đối với các bài toán cơ học chất lỏng nói chung, mật độ của chất lỏng cũng là những đại lợng cha biết và cần phải đợc xác định dựa trên phơng trình trạng . ta có: ( ) ( ) dVubdAnub CVS = r r r r (2 . 8) Nh vậy, từ các phơng trình (2 . 5), (2 . 6) và (2 . 8), ta có thể rút ra phơng trình sau: () ( ) 0= + dVubb t CV r r (2 . 9) . F dt Bd r r = (2 .1 2) ở đây F r là lực tác dụng lên hệ. Nh vậy bằng cách sử dụng phơng trình (2 .1 2) , phơng trình (2 . 5) trở thành: () ( ) dAnuudVu t F SCV + = rrrr r (2 .1 3) Trong đó. đổi thứ tự đạo hàm, phơng trình (2 .4 0) có thể đợc viết lại dới dạng: 22 3 2 2 2 1 uuuuuu jj =++= 0 2 1 2 = +++ gz p u tx i (2 .4 2) Phơng trình (2 .4 2) chỉ ra rằng đại lợng trong