213 CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1. Cho các phương trình sau: (I): x 2x3=− + có một nghiệm (II): x 1 2x 1 3 ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎝⎠ có một nghiệm (III): x 3x2=+ có 2 nghiệm (IV): x 4x2=− vô nghiệm Phát biểu nào đúng? a. Chỉ (I) b. Chỉ (II) c. Chỉ (III) và (IV) d. Chỉ (IV) e. Cả (I),(II),(III),(IV) đều đúng. 2. So sánh các số a và b sau đây: (I): 300 200 a2 ,b3 ab==⇒> (II): 0,3 a(0,4) ,b1 ab − ==⇒> (III): 23 a,b ab 25 − ππ ⎛⎞ ⎛⎞ ==⇒< ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ a. Chỉ I b. Chỉ II c. Chỉ III d. Chỉ II,III e. Cả I, II, III. 3. Phương trình: 2x x 28.2120−+= có một nghiệm là: a. l g 3 1 l g 2 + b. lg3 c. lg2 d. l g 3 1 l g 2 − e. 2 2l g 3 + 4. Cho x f(x) 3= thì f(x 1) f(x)+− bằng. a. 2 b. 2 f(x) c. 3 f(x) d. f(x) e. 3 214 5. Xét tính đơn diệu các hàm số sau đây: (I): x y 3 π ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ đồng biến (II): x 2 y e ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ nghòch biến (III): x 3 y 32 ⎛⎞ = ⎜⎟ + ⎝⎠ nghòch biến (IV): x x 1 y3 32 − ⎛⎞ = ⎜⎟ − ⎝⎠ đồng biến. Hàm số nào phát biểu đúng ? a. Chỉ (I),(II) c. Cả (I),(II),(III),(IV) e. Chỉ (IV) b. Chỉ (II),(III) d. Chỉ(III),(IV) 6. Giá trò của biểu thức : 5 lo g 3 542 A log 16.log 5.log 8.5= là: a. 18 b. 16 c. 20 d. 15 e. Một kết quả khác. 7. Cho aa 44 23 − + = . Tính aa 22 − + a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 1 8. Số nghiệm của phương trình: 248 log x log x log x 11 + += a. 3 b. 4 c. 1 d. 2 e. 0 9. Biết 15 Clog3= . Hãy tính 15 log 3 theo C. a. 1 1C − b. 15 2C+ c. 2 1C − d. 1 2(1 C)− e. Một số khác. 10. Cho các phương trình: 55 55 log (x 2) log (x 3) 2log 2 log 3 (1)−+ −= + 555 log (x 2)(x 3) 2log 2 log 3 (2)−−= + Nhận xét về số nghiệm các phương trình trên như sau: (I): Phương trình (1) có 2 nghiệm (II): Phương trình (2) có 1 nghiệm (III): Phương trình (1) có 1 nghiệm 215 (IV): Phương trình (2) có 2 nghiệm . a. Chỉ (I) đúng b. Chỉ (I) và (II) đúng c. Chỉ (III) đúng d. Chỉ (IV) đúng e. Cả (III) và (IV) đúng 11. Rút gọn biểu thức: ab lo g blo g a ab− a. 0 b. 2 c. 1 d. 4 e. cả a, b, c, d đều sai. 12. Cho hệ phương trình: 33 3 logx logy 1 log2 xy5 +=+ ⎧ ⎨ += ⎩ Nếu 00 (x ,y ) là nghiệm của hệ thì 22 00 xy+ bằng: a. 14 b. 13 c. 15 d. 11 e. 10. 13. Số nghiệm nguyên của bất phương trình: 42 log (x 7) log (x 1) + >+ a. 1 b. 4 c. 2 d. 3 e. 0 14. Tập hợp nghiệm của bất phương trình: 2 x lo g (3 2x) 1 − > là: a. ( 3, )−+∞ b. (-2, -1) c. (-1, 4) d. (-3, -1) e. Một tập hợp khác. 15. Cho các bất đẳng thức: (I) 22 1 loga loga 2 > (II) a lg lga 2 < (III) lga lg b a b lg 22 ++ ≤ Bất đẳng thức nào là đúng với mọi a > b, b > 0 a. Chỉ (II) và (II) b. Chỉ (I) c. Chỉ (II) d. Chỉ (III) e. Chỉ (I),(II),(III) 16. Đònh a để phương trình sau đây có nghiệm: xx 42a0 (1)++= a. a < 1 1 b. a < 0 c. a > 0 d. a > 3 e. 0 < a < 1 216 17. Cho hàm số x x 4 f(x) 42 = + Nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) a. 2 b. 4 c. - 1 d. 3 e. 1 18. Tìm các giá trò của m để phương trình: 2x x m.2 (2m 1)2 m 4 0 −− − +++= có 2 nghiệm phân biệt thỏa điều kiện: 12 x1x 2 < << a. -14 < m < 0 b. 20 m 3 <− c. 20 14 m 3 −<<− d. 1 < m < 5 e. 0 < m < 5. 19. Cho hệ phương trình: 2x y y x 2 3277 32 7 ⎧ − = ⎪ ⎨ ⎪ −= ⎩ Gọi 00 (x ,y ) là nghiệm của hệ thì 22 00 xy + bằng: a. 19 b. 25 c. 12 d. 20 e. một số khác. 20. Nghiệm bất phương trình: xxx 25.2 10 5 25 − +> là: a. -1 < x < 1 b. -2 < x < 0 c. 4 < x < 8 d. x > 9 e. 0 < x < 2. 21. Đònh m để bất phương trình: x1 x 4m(21)0 − − +> thỏa x R ∀ ∈ . a. m 0 ≤ b. m > 0 c. 0 < m < -1 d. 0 m 5 ≤ ≤ e. một kết quả khác 22. Số nghiệm của phương trình: xx 2 x 44 2sin 2 − += là: a. 4 b. 0 c. 1 d. 2 e. cả a, b, c, d đều sai. 217 23. Đònh a để bất phương trình sau thỏa tại x = 1 và x = 4. 2a 1 a log (2x 1) log (x 3) 0 (1) + −+ + > a. a < 5 b. 0 < a < 1 c. a > 1 d. a > 4 e. 2 < a < 3. 24. Đònh m để mọi x ( 1,0)∈− đều là nghiệm của bất phương trình: 2 2x (m 2)x 2 3m 0++ +−< a. 1 m 2 ≤ b. 2 m 3 < c. m > 4 d. 2 m 3 ≥ e. một kết quả khác. 25. Giá trò lớn nhất của biểu thức : 22 A 4xy 2x 4y 4x 2=−−++ là: a. 5 b. 4 c. 8 d. 7 e. 6 26. Cho x 0 là nghiệm của phương trình: x 2 + ax + b = 0. Xét các bất đẳng thức: (I): 222 0 x1ab<+ + (II): 222 0 2x 3 a 3b<+ + (III): 222 0 x24ab++ + a. Chỉ (I) b. Chỉ (II) c. Chỉ (II) và (III) d. Chỉ (III) e. Chỉ (I) và (II). 27. Với bất đẳng thức: abab,+≥+ dấu "=" xảy ra khi nào ? a. Khi và chỉ khi ab > 0 c. khi và chỉ khi ab < 0 b. Khi và chỉ khi ab ≥ 0 d. khi và chỉ khi a < 0 và b > 0 e. Khi và chỉ khi a > 0 và b > 0. 28. Giá trò nhỏ nhất của x5 f(x) 1x x =+ − (0 < x < 1) là: a. 525− b. 52 c. 525+ d. 423+ e. 325+ 218 29. Cho x, y, z > 0 thỏa: 111 2 1x 1y 1z + +≥ +++ Tìm giá trò lớn nhất của p = xyz a. 1 6 b. 1 2 c. 1 7 d. 1 8 e. Một số khác. 30. Cho 22 xy2(x0,y0)+=>> Tìm giá trò nhỏ nhất của 11 x y + a. 3 b. 2 c. 4 d. 1 e. cả 4 câu a, b, c, d đều sai. 219 ĐÁP ÁN 1e 2d 3a 4b 5c 6a 7b 8c 9d 10e 11a 12b 13c 14d 15a 16b 17e 18c 19d 20e 21a 22b 23c 24d 25e 26a 27b 28c 29d 30b HƯỚNG DẪN VÀ GIẢI 1e. (I), vế trái là hàm số tăng, vế phải là hàm số giảm ⇒ x = 1 là nghiệm duy nhất ⇒ (1) đúng. (II): vế trái là hàm số giảm, vế phải là hàm số tăng ⇒ x = 0 là nghiệm duy nhất ⇒ (II) đúng. (III): Đồ thò hai hàm số x y3= và y = x + 2 cắt nhau tại 2 điểm ⇒ phương trình x 3x2=+ có 2 nghiệm ⇒ (III) đúng. (IV): Đồ thò hai hàm số x y4= và y = x - 2 không có điểm chung ⇒ phương trình x 4x2=− vô nghiệm ⇒ (IV) đúng. Vậy e đúng. 2d. (I): 300 3 100 100 a2 (2) 8 ,== = 200 2 100 100 b3 (3) 9,89 ab== = <⇒< ⇒ (I) sai. (II): Ta có: 0,3 0 0,3 0 (0,4) (0,4) 1 a b 00,41 − −< ⎫ ⇒>=⇒>⇒ ⎬ << ⎭ (II) đúng. (III): 3 31 3 5 b 55 −− ⎡⎤ ππ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎢⎥ == = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ π ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎢⎥ ⎣⎦ mà 23 5 1 55 2 1, 57, 1, 59 22 23 π ⎧ << ππ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎪ π ==⇒ ⇒< ⎨ ⎜⎟ ⎜⎟ ππ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎪ < ⎩ ab (III)⇔<⇒ đúng ⇒ d đúng. 220 3a. Đặt x t2 = (t > 0). Phương trình thành: 2 t8t120 − += t2t6⇔=∨= . x t2:2 2 x1, = =⇔= . x 2 t6:2 6 xlog6==⇔= 2222 lg3 x log (2.3) log 2 log 3 1 log 3 1 lg2 = =+=+=+ 4b. Ta có: x1 x x x x f(x 1) f(x) 3 3 3.3 3 2.3 2f(x) + +− = − = − = = 5c. Ta có: x (I): y 3 π ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ đồng biến vì cơ số a1 3 π = > x 2 (II): y e ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ nghòch biến vì cơ số 2 a e = thỏa 2 0a 1 e < =< x 3 (III) : y 32 ⎛⎞ = ⎜⎟ + ⎝⎠ nghòch biến vì 3 0a 1 32 < =< + xx x x x 3 132 32 (IV): y 3 32 3 32 3 − ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ ++ === ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ − − ⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ đồng biến vì cơ số 32 a1 3 + => . 6a. Ta có: 32 42 4 A log 16.log 2 .3 log 4 .(3.3) 2.9 18==== 7b. Đặt aa 2a2 a2 aaaa A2 2 A (2) (2) 2(2.2)4 4 225 −−−− = +⇒= + + =++= ⇒ A = 5. 8c. 248 log x log x log x 11 + += Điều kiện: x > 0 Ta có: 23 248 2 22 lo g xlo g xlo g x11 lo g xlo g xlo g x11++=⇔+ + = 221 222 2 6 2 11 11 log x log x log x 11 log x 11 23 6 log x 6 x 2 64 ⇔+ + =⇔ = ⇔=⇔== Vậy phương trình cho có 1 nghiệm x = 64. 9d. Ta có: 25 2 15 15 15 15 111 1 log 15 15 log 25 2log 5 log 5 2log 3 ==== () 15 15 11 2 log 15 log 3 2(1 C) == −− 10e. 55 55 log (x 2) log (x 3) 2log 2 log 3 (1)−+ −= + Điều kiện x20 x3 x30 −> ⎧ ⇔> ⎨ −> ⎩ 55 (1) log (x 2)(x 3) log 4.3 (x 2)(x 3) 12⇔ − −= ⇔− −= 2 1 x5x60x 1,⇔−−=⇔=− 2 x6= chỉ có 2 x6 = thỏa điều kiện x > 3 nên nhận x = 6 ⇒ (1) có 1 nghiệm x = 6. 555 log (x 2)(x 3) 2log 2 log 3 (2)−−= + Điều kiện: (x - 2)(x - 3) > 0 ⇒ x < 2 ∨ x > 3 nên nhận 2 nghiệm x = - 1, x = 6 Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm . 11a. Đặt ab lo g blo g a Da b=− Đặt a tlogb0=> 2 2t a tlogbba=⇔= 2 t bab 22 a 11 1 log a log a log a log a t tt ⇒= = =⇔ = 2 1 tt t Da (a) 0⇒=− = 222 12b. Điều kiện x > 0, y > 0, 3333 1 log 2 log 3 log 2 log 6+=+= Hệ 33 log xy log 6 xy 6 x 2 x 3 xy5 y3 y2 xy5 = = == ⎧ ⎧⎧⎧ ⇔⇔⇔∨ ⎨⎨⎨⎨ + === += ⎩⎩⎩ ⎩ 13c. 42 log (x 7) log (x 1)+> + Điều kiện x70 x1 x10 +> ⎧ ⇔ >− ⎨ +> ⎩ 2 42 2 1 lo g (x 7) lo g (x 7) lo g (x 7) 2 + =+= + Bất phương trình cho 22 1 log (x 7) log (x 1) 2 ⇔ +> + 2 2222 log (x 7) 2log (x 1) log (x 7) log (x 1) (*)⇔+> +⇔+>+ vì cơ số 2 > 1, (*) 22 x7(x1) x 2x1 ⇔ +> + = + + 2 xx60 3x2 ⇔ +−<⇔−<< So với điều kiện x > - 1 ⇒ -1 < x < 2 ⇒ có 2 nghiệm nguyên là: x = 0, x = 1 14d. 2 x lo g (3 2x) 1 (*)−> Điều kiện: x1 x1 (1) 3 32x 0 x 2 ≠ ⎧ ≠ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨⎨ −> < ⎩ ⎪ ⎩ 22 22 2 xx (*) lo g (3 2x) lo g x(x1)(x2x3)0 ⇔ −> ⇔− +−< BBT: ⇒ -3 < x < -1 223 15a. (I): Ta có: 1 2 2222 1 loga loga loga loga 2 >⇔> đúng khi a > 1. Vậy bất đẳng thức không đúng với a0,∀> chỉ đúng khi a > 1 (II): a lg lga lg2 lga 2 =−<luôn đúng a0∀> (III): Vì a, b > 0 ⇔ bất đẳng thức cauchy đối với a, b > 0 là: ab ab 1 1 ab lg lg ab lg(ab) (lga lg b) 2222 ++ ⎛⎞ ≥⇔ ≥ = = + ⎜⎟ ⎝⎠ Vậy bất đẳng thức luôn luôn đúng a,b 0∀> 16b. (1) ⇔ 2x x x2 x (2 ) 2 a 0 (2 ) 2 a 0 (2)++=⇔ ++= Đặt x t2 (t0)=> 2 (2) t t a 0 (3)⇔++= (1) có nghiệm x(3)⇔ có nghiệm 12 t,t sao cho: 12 12 p0 a0 t0t 0 14a0 p0 a0 0t t s0 10 << ⎡⎡ ⎢⎢ << ∆≥ − ≥ ⎡⎧⎧ ⎢⎢ ⇔⇔ ⎪⎪ ⎢ ⎢⎢ >> <≤ ⎨⎨ ⎣ ⎢⎢ ⎪⎪ >−> ⎢⎢ ⎩⎩ ⎣⎣ vô lý. a0⇔< 17e. x x 4 f(x) 42 = + a a 4 f(a) 42 = + b1a a b1a a 4 44 4 ab1 b1a f(b) 4 424 2 2 4 − − +=⇔=−⇒ = = = ++ + aa 42 f(b) 424 24 == ++ 224 aa aaa 4242 f(a) f(b) 1 424242 + ⇒+= + = = + ++ 18c. 2x x m2 (2m 1)2 m 4 0 −− −+ ++= (*) Đặt x t2 0 − = > Từ 12 xx 12 12 1 2 x1x 2 x 1 x 22 2 2 2 −− − − << < ⇔− >−>− >−⇒ > > > 12 11 tt 24 ⇔ >> > (*) 2 f(t) mt (2m 1)t m 4 0 ⇔ =−+++= có 2 nghiệm t 1 , t 2 thỏa: 21 1 mf 0 2 11 20 tt 14m 42 3 1 mf 0 4 ⎧ ⎛⎞ < ⎪ ⎜⎟ ⎪⎝⎠ <<<⇔ ⇔−<<− ⎨ ⎛⎞ ⎪ > ⎜⎟ ⎪ ⎝⎠ ⎩ 19d. Ta có: 2x y x y x y 32(3 2(3 2)−= − + y xx y 2 32 3 2−=− Hệ x xy x2 y4 y xy 39 3211 33 x2 y4 22 24 327 ⎧ ⎧ ⎧ = += = = ⎧ ⎪⎪⎪ ⇔⇔⇔⇔ ⎨⎨⎨⎨ = ⎩ = ⎪ ⎪⎪= −= ⎩ ⎩ ⎩ 22 00 xy41620⇒+=+= 20e. xxx 25.2 10 5 25−+> xxx 25(2 1) 5 (2 1) 0 ⇔ −− −> xx xx xx 210 210 (2 1)(25 5 ) 0 1 x 2 25502550 ⎧⎧ −> −< ⎪⎪ ⇔ −−>⇔ ∨ ⇔<< ⎨⎨ −> −< ⎪⎪ ⎩⎩ 225 21a. x1 x 4m(21)0 − −+> (1) Đặt x t2 0,=> 2 (1) f(t) t 4mt 4m 0⇔=−−> (1) t 0 ∀ > 2 12 '0 (1) ' 4m 4m 0 tt0 ∆> ⎧ ⇔∆ = + ≤ ∨ ⎨ <≤ ⎩ '0 1m0 1.f(0)0 m0 s 2m 0 2 ⎧ ⎪ ∆> ⎪ ⇔− ≤ ≤ ∨ ≥ ⇔ ≤ ⎨ ⎪ ⎪ =< ⎩ 22b. Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2 số dương xx 4,4 − . xx xx 44 24.4 2 −− +≥ = Dấu "=" xỷa ra ⇔ x = 0 mà 2 x 2sin 2 2 ≤ dấu "=" xảy ra khi 2 x sin 1 2 = Phương trình 2 x0 x sin 1 2 = ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ = ⎪ ⎩ vô nghiệm . 23c. Thay x = 1 vào (1): 2a 1 a a log 1 log 4 0 log 4 0 a 1 + +>⇔>⇔> . Thay x = 4 vào (1): 2a 1 a log 7 log 7 0 + +> thỏa khi a > 1 ⇒ a > 1 24d. Đặt 2 f(x) 2x (m 2)x 2 3m=+++− Ta có: f(x) 0, x ( 1,0)<∀∈− 1 m f( 1) 0 2 m 2 2 3m 0 2 2 m f(0) 0 2 3m 0 2 3 m 3 ⎧ ≥ ⎪ −≤ − −+− ≤ ⎧⎧ ⎪ ⇔⇔ ⇔⇔≥ ⎨⎨ ⎨ ≤−≤ ⎩⎩ ⎪ ≥ ⎪ ⎩ 226 25e. 22 A 4xy 2x 4y 4x 2 = −−++ 22 2 222 22 (4xy 4y x ) x 4x 4 6 (x 4xy 4y ) (x 4x 4) 6 (x 2y) (x 2) 6 6 =−−−+−+ = −− + − −++ =− − − − + ≤ x2y0 x2 Max A 6 x20 y1 − == ⎧⎧ ⇒=⇔ ⇔ ⎨⎨ − == ⎩⎩ 26a. 2 xaxb0 + += Gọi x 0 là nghiệm của phương trình: 2 00 0 xaxb(axb) = −−=− + 42222 00 0 x(axb)(ab)(x1) ⇔ =+≤+ + (BCS). 44 2 2 22 2 00 0 0 0 22 2 00 0 xx1(x1)(x1) ab x1 x1x1 x1 −+− ⇒+≥>= =− ++ + 222 0 x1ab ⇔ <+ + 27b. 22 22 ab a b a b 2aba b 2ab+=+ ⇔ + + = + + ab ab ab 0 ⇔ =⇔≥ 28c. x5 f(x) (0 x 1) 1x x = +<< − Ta có: x55x x5(1x) f(x) 5 5 2 . 5 2 5 1x x 1x x −− =+ +≥+ ≥+ −− (cauchy) min f(x) 5 2 5⇒=+ khi x55x 55 x 1x x 4 −− =⇔= − 29d. 111 2(x,y,z 0) 1x 1y 1z + +≥ > +++ 12xyzxyyzzx (1) ⇔ ≥+++ Theo bất đẳng thức cauchy ta có: 333 4 2xyz xy yz zx 4 2x y z+++≥ (2) (1) và (2) ta được: 43 1 4 .2(xyz) 1 8xyz≥⇒≥ 227 1 pxyz , 8 ⇒= ≤ 11 maxp x y z 82 ⇒=⇔=== 30b. Ta coù: 222 3 211 11 xx3 x3 xxx xx +=++≥ = 222 3 211 11 yy3 y3 yyy yy +=++≥ = 22 11 11 x y 26 2 xy xy ⎛⎞ ⇒++ + ≥⇒+≥ ⎜⎟ ⎝⎠ 11 min 2 xy ⎛⎞ ⇒+= ⎜⎟ ⎝⎠ khi x = y = 1 . m 4 0 −− −+ ++= (*) Đặt x t2 0 − = > Từ 12 xx 12 12 1 2 x1x 2 x 1 x 22 2 2 2 −− − − << < ⇔− >−>− >−⇒ > > > 12 11 tt 24 ⇔ >> > (*) 2 f(t) mt (2m. (2)++=⇔ ++= Đặt x t2 (t0)=> 2 (2) t t a 0 (3)⇔++= (1) có nghiệm x(3)⇔ có nghiệm 12 t,t sao cho: 12 12 p0 a0 t0t 0 14a0 p0 a0 0t t s0 10 << ⎡⎡ ⎢⎢ << ∆≥ − ≥ ⎡⎧⎧ ⎢⎢ ⇔⇔ ⎪⎪ ⎢ ⎢⎢ >> <≤ ⎨⎨ ⎣ ⎢⎢ ⎪⎪ >−> ⎢⎢ ⎩⎩ ⎣⎣ . 213 CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1. Cho các phương trình sau: (I): x 2x3=− + có một nghiệm (II): x 1 2x 1 3 ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎝⎠