Số phức theo sơ đồ tư duy

2 Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho A và B là hai ñiểm lần lượt biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình z2+6z+18=0.. Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy biểu diễn số phức z.

1

CHUYÊN ðỀ : SỐ PHỨC

Bài tập mẫu

Bài 1 Hãy viết các biểu thức sau dưới dạng số phức a bi+ ( ,a b∈ )

1 (1 2 )(3 ) 2(2 3 ) 4 2

1

i

i

+

+ 2.

B

3

(1 2 ) (1 )

C

− − 4.

2012 2013 2012 2013

D=i −i − −i + +i

Giải:

1 (1 2 )(3 ) 2(2 3 ) 4 2 (3 2) ( 1 6) 2(2 3 )(1 ) 4 2

5 5 2(52 2) 4 2 5 5 (5 ) 4 2

i

2

2

B

2 7 3 7 3 1 1 1

i

10 10i

3

2

5

4.D=i2012−i2013− −(1 i)2012+ +(1 i)2013=( )i2 1006−( )i2 1006.i−(1−i)21006+(1+i)21006(1+i)

= −( 1)1006− −( 1)1006.i− −( 2 )i1006+(2 )i1006.(1+ = − +i) 1 i (2 )i1006.i= − +1 i 21006.( )i2 503.i= 1006

1 (1 2− + )i

2

Bài 2 Cho số phức 1

1

i z i

+

=

− Tính giá trị của biểu thức:

2013 2

A= +iz

Giải: Ta có:

2

i

−

( ) ( 1)

2013 2

⇒ = + = + = − =1 Vậy A=1

Bài tập áp dụng

1) Tính các giá trị biểu thức sau:

A

i

=

+

( ) (2 )2

B= + i + − i C = + + + +1 i i2 i2011+i2012

D= −(1 i)100

E

   

105 23 2012 34

F =i +i +i −i

2) Cho số phức 1

1

i z i

−

= + Tính giá trị của

2013

z

3) Cho số phức 3 1

z= − i Tính các số phức sau: ( )3

z z z + +z z

DẠNG 2: SỐ PHỨC VÀ CÁC ðẠI LƯỢNG ðẶC TRƯNG

3

Bài tập mẫu

1 (D – 2012) Cho số phức z thỏa mãn (2 ) 2(1 2 ) 7 8

1

i

i

+

+ Tìm môñun của số phức w= + +z 1 i

Phân tích :

+) ðiều kiện (2 ) 2(1 2 ) 7 8

1

i

i

+

+ chỉ chứa z nên ta thực hiện các phép toán ⇒z= +a bi +) Suy ra w= + +z 1 i ⇒ w

Giải: Ta có: (2 ) 2(1 2 ) 7 8

1

i

i

+

+ (2 ) 2(1 2 )(1 ) 7 8

(1 )(1 )

i i

i i

(2 ) 2(3 ) 7 8

2

i

(2 i z) 4 7i

3 2

i

+

2 2

⇒ = + + = + + + = + ⇒ = + =

Vậy w =5

4

2 ( A – 2010-NC): Cho số phức z thỏa mãn:

3 (1 3 ) 1

i z

i

−

=

− Tìm môñun của số phức z+iz

Phân tích :

+) ðiều kiện

3 (1 3 ) 1

i z

i

−

=

− chỉ chứa z nên ta thực hiện các phép toán ⇒z= +a bi⇒z= −a bi +) Suy ra z+iz ⇒ z+iz

Giải:

Ta có:

4 4

Vậy z= − −4 4i⇒z= − +4 4i 2 2

3. (A, A1 – 2012 – NC): Cho số phức z thỏa mãn 5( ) 2

1

z i

i

z + = − + Tính môñun của số phức

2 1

w= + +z z

Phân tích :

+) Trong ñiều kiện 5( ) 2

1

z i

i

z + = − + chứa ñồng thời zvà z nên gọi z= +a bi ( ,a b∈R) +) Từñiều kiện 5( ) 2

1

z i

i

z + = − + biến ñổi về dạng

2

1 2

?

1

?

a

b

=



=



Giải:

+) Gọi z= +a bi ( ,a b∈R), z≠ −1

1

z i

(*) ⇔5a−5(b−1)i=(2a+ + − + −2 b) (a 1 2 )b i 5 2 2 3 2 1

z= +i⇒w= + +z z = + + + +i i = + i⇒ w = + = Vậy w = 13

4 ( D – 2010): Tìm số phức z thỏa mãn: z = 2và z là số thuần ảo 2

Phân tích :

+) Trong ñiều kiện z = 2 chứa z nên gọi z= +a bi ( ,a b∈R)

+) Từ hai ñiều kiện z = 2 và z2là số thuần ảo 1

2

z



Giải:

+) Gọi z= +a bi ( ,a b∈R) 2 2 2 2

+) Ta có: z2 = +(a bi)2 =a2− +b2 2abi là số thuần ảo ⇒a2− =b2 0 ⇔b2=a2 (2)

Thay (2) vào (1): 2 1 1

a

= ⇒ = ±



= ⇔

= − ⇒ = ±

Vậy các số phức cần tìm là: 1+ ; 1− ; − +1 ; − −1 i

5 Tìm số phức z thỏa mãn (z−1)(z+2 )i là số thực và z− =1 5

Phân tích :

+) ðiều kiện (z−1)(z+2 )i chứa ñồng thời zvà z và z− =1 5 có z−1nên gọi z= +a bi ( ,a b∈R)

+) Từ hai ñiều kiện (z−1)(z+2 )i là số thực và z− =1 5 1

2

z



Giải:

+) Gọi z= +a bi ( ,a b∈R)⇒(z−1)(z+2 )i = + −(a bi 1)(a− +bi 2 )i =[(a− +1) bi a][ − −(b 2) ]i

=[ (a a− +1) b b( −2)] [+ ab− −(a 1)(b−2)]i

(z−1)(z+2 )i là số thực ⇔[ab− −(a 1)(b−2)]= ⇔0 2a+ − =b 2 0 (1)

Ta có: z− =1 5⇔ − +a 1 bi = 5⇔ (a−1)2+b2 = 5⇔ −(a 1)2+ =b2 5 (2)

Từ (1) ⇒b= −2 2a thay vào (2) ta ñược: ( 1)2 (2 2)2 5 2 2 0 0 2

= ⇒ =



− + − = ⇔ − = ⇔ = ⇒ = −

Vậy các số phức cần tìm là: 2i ; 2 2i−

6. Trong các số phức thỏa mãn ñiều kiện z− −2 4i = −z 2i Tìm số phức z có môñun nhỏ nhất

Phân tích :

+) ðiều kiện z− −2 4i = −z 2i chứa môñun nên gọi z= +a bi ( ,a b∈R)

+) Từ hai ñiều kiện z− −2 4i = −z 2i và z có môñun nhỏ nhất 1

2

z



Giải:

+) Gọi z= +a bi ( ,a b∈R)⇒ z− −2 4i = −z 2i ⇔ (a− + −2) (b 4)i = + −a (b 2)i

(a 2) (b 4) a (b 2)

⇔ − − +4a 8b 20= − +4b 4

⇔ = −b 4 a

Khi ñó

⇒ zmin =2 2 khi a− = ⇔ =2 0 a 2⇒b=2

Vậy số phức z= +2 2i

Chú ý: Các em có thể tham khảo thêm cách giải thứ 2 của bài toán này ở Dạng 3 – Loại 1

Bài tập áp dụng

1) Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:

a) z= − +( 1 i)3−(2 )i 3 b)

2013 (1 ) 1

i z

i

+

=

− c)

1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

z= + + + +i i + +i + + +i

2) Cho hai số phức z1= +1 2i, z2= −2 3i Xác ñịnh phần thực và phần ảo của số phức z1−2z2 và z z 1 2

3) ( B – 2011-NC): Tìm phần thực và phần ảo của số phức

3

1

i z

i

=  +

4) ( A – 2010): Tìm phần ảo của số phức z, biết: ( )2

5) (Cð – 2009 – A): Cho số phức z thỏa mãn 2

(1+i) (2−i z) = + + +8 i (1 2 )i z Tìm phần thực, phần ảo của z

6) (Cð – 2010): Cho số phức z thỏa mãn (2 3 )− i z+ +(4 i z) = − +(1 3 )i 2 Tìm phần thực, phần ảo của z

7) Tìm phần thực của số phức z= +(1 i)n, biết n∈N thỏa mãn phương trình: log (4 n− +3) log (4 n+ =9) 3

8) Tìm số phức z, biết: a) z− +(2 3 )i z= −1 9i (D – 2011) b) z 5 i 3 1 0

z

+

( B – 2011)

9) (A – 2011): Tìm tất cả các số phức z, biết: z2 = z2+z

10) ( B – 2009): Tìm số phức z thỏa mãn: z− + =(2 i) 10 và z z =25

11) Tìm số phức z thỏa mãn: z z +3(z− = −z) 4 3i

12) Tìm số phức z thỏa mãn: z− + =2 i 2 Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 ñơn vị

13) Tìm số phức z, biết z =2 5và phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó

14) Tìm số phức z thỏa mãn:

a (2 3 )+ i z= −z 1 b z 20 1 3i

z

− = − c z2+ =z 0 d z2+2z z+ z2=8 và z+ =z 2

15) Tìm môñun của số phức: a z= + + −1 4i (1 i)3 b (1 )(2 )

1 2

z

i

= +

16) (A – 2011-NC): Tìm môñun của số phức z, biết: (2z−1)(1+ + +i) (z 1)(1− = −i) 2 2i

17) Cho số phức z thỏa mãn

i z

+

    Tìm môñun của số phức z+iz

18) Cho số phức z thỏa mãn z− +2 2i =1 Tìm giá trị l n nhất, giá trị nhỏ nhất của z

19) Tìm số phức liên hợp của (1 )(3 2 ) 1

3

i

+ .

20) Cho số phức z thỏa mãn

1 2

z i z z





+ =





Tìm số phức liên hợp của z

21) Tìm số nghịch ñảo của số phức

3

2

z

22) Biết số phức z thỏa mãn z+ + =z iz 30 7− i Tìm số ñối của z

Bài tập mẫu

1.Xét các ñiểm A,B,C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số 4 ;(1 )(1 2 );2 6

+

a.Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân

b.Tìm số phức biểu diễn bởi ñiểm D, sao cho ABCD là hình vuông

Giải : Ta có: 4 4 ( 1 ) 2 2

i i

− −

− ⇒ A(2; 2)− ; (1−i)(1 2 )+ i = +3 i⇒B(3;1)

2 6 (2 6 )(3 ) 20 2 (0; 2)

i C i

−

a. Khi ñó :

(1;3)

(3; 1)

AB CB AB

AB CB CB

=



uuur

uuur uuur

b. Gọi D x y( ; )⇒DCuuur= −( x; 2−y)

Vì tam giácABC vuông cân tại B nên ABCD là hình vuông khi : DCuuur=uuurAB 1 1

Vậy số phức biểu diễn bởi ñiểm D( 1; 1)− − là: − −1 i

2. Trong các số phức thỏa mãn ñiều kiện z− −2 4i = −z 2i Tìm số phức z có môñun nhỏ nhất

Giải : Cách 1: (Các em xem lại cách giải bài toán này theo phương pháp ñại số Ví dụ thứ 6 ở DẠNG 2)

Cách 2:

+) Gọi ñiểm M x y biểu diễn số phức z( ; ) = +x yi ( ;x y∈R)

+) Ta có: z− −2 4i = −z 2i ⇔ (x− + −2) (y 4)i = + −x (y 2)i

⇔ (x−2)2+ −(y 4)2 = x2+ −(y 2)2 ⇔ − −4x 8y+20= − + ⇔ + − =4y 4 x y 4 0

Vậy M thuộc ñường thẳng d có phương trình:x+ − =y 4 0 (*)

+) Ta có: z =OM ⇒ zmin ⇔OMmin ⇔OM⊥d

⇔OM uuuuur uur d = ⇔ − =0 x y 0 (2*) (với OMuuuur=( ; ),x y uuurd = −(1; 1))

Từ (*) và (2*) suy ra: 4 0 2

⇔

  ⇒M(2; 2) hay số phức z= +2 2i

Bài tập áp dụng

1) Các ñiểm A, B, C và A’, B’, C’ trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số 1 – i, 2 + 3i, 3 + i

và 3i, 3 – 2i, 3 + 2i Chứng minh rằng tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm

2) Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho A và B là hai ñiểm lần lượt biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình z2+6z+18=0 Chứng minh rằng tam giác OAB vuông cân

3) Tromg mặt phẳng phức, cho ba ñiểm M, A, B lần lượt biểu diễn các số phức z, 3 3

3

i z

i

z

Chứng minh rằng:

a Tam giác OMA vuông tại M

b Tam giác MAB là tam giác vuông

c Tứ giác OMAB là hình chữ nhật

Bài tập mẫu

1. Cho số phức z thỏa mãn z− + = +3 i z 2

a. Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy biểu diễn số phức z

b. Trong các số phức z thỏa mãn ñiều kiện trên, tìm số có môñun bé nhất

Giải:

a) Gọi M x y là ñiểm biểu diễn số phức z( ; ) = +x yi ( ;x y∈R) trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có:

z− + = + ⇔ + − + = − +3 i z 2 x yi 3 i x yi 2

⇔ (x− + +3) (y 1)i = (x+ −2) yi

2 2 2 2

(x 3) (y 1) (x 2) y

⇔ − +6x 2y+10=4x+ ⇔4 5x− − =y 3 0

Vậy tập hợp ñiểm biểu diễn số phức z là ñường thẳng d có phương trình: 5x− − =y 3 0 (*)

b) Cách 1 (Phương pháp ñại số)

Nên:

min

min

b x a

⇔ = − = từ ñó suy ra: 5 3 3

26

y= x− = −

Vậy số phức có môñun nhỏ nhất là: 15 3

26 26

z= − i

Cách 2 (Phương pháp hình học)

ðường thẳng d có phương trình: 5x− − =y 3 0 có véctơ chỉ phương uuurd =(1;5)

Ta có: z =OM ⇒ zmin ⇔OMmin ⇔OM ⊥d ⇔OM uuuuur uur d = ⇔ +0 x 5y=0 (2*) (với OMuuuur=( ; )x y )

Từ (*) và (2*) suy ra:

15

26

x

− − =

⇔

;

  hay số phức

26 26

z= − i

2. Cho số phức z thỏa mãn (1 ) 2 1

1

i z i

−

a. Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy biểu diễn số phức z

b. Trong các số phức z thỏa mãn ñiều kiện trên, tìm số có môñun lớn nhất và số có môñun nhỏ nhất

Giải: a) Gọi M x y( ; ) là ñiểm biểu diễn số phức z= +x yi ( ;x y∈R) trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có:

2

iz i

−

⇔ i x( +yi)+ = ⇔ − + +2 1 ( y 2) xi = ⇔1 (y−2)2+x2 =1

2 2

(y 2) x 1

Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm I(2; 0) có bán kínhR=1

b) Cách 1 (Phương pháp ñại số)

Từ (*)⇒(y−2)2 ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤1 1 y 2 1 1 y 3 (1) Mặt khác từ (*) ta có: x2+y2=4y−3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 1≤x2+y2≤9 hay 1≤ z2≤ ⇔ ≤ ≤9 1 z 3

Do ñó:

min 1

z = khi y=1 và x=0 hay số phức có môñun nhỏ nhất là: z=i

zm ax =3 khi y=3 và x=0 hay số phức có môñun lớn nhất là: z=3i

Cách 2 (Phương pháp hình họ )

3 Cho số phức z thỏa mãn z−22=2(z−z i) −2

a. Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy biểu diễn số phức z

b. Trong các số phức z thỏa mãn ñiều kiện trên, tìm số có môñun lớn nhất và số có môñun nhỏ nhất

Giải:

a) Gọi M x y( ; ) là ñiểm biểu diễn số phức z= +x yi ( ;x y∈R) trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có:

z−22=2(z−z i) −2 2

x yi x yi x yi i

(x 2) yi 4yi 2

⇔ (x−2)2+y2= − −4y 2

(x 2) (y 2) 2

⇔ − + + = (*)

Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm I(2; 2)− có bán kính R= 2

b)

Ta có: z = x2+y2 =OM nên zmin khi OMmin

Có: OIuur=(2; 2)− nên phương trìnhOI :

x y

y x

Ta tìm giao ñiểm của OI vớ ñường tròn (*) bằng cách thay (2*) vào (*):

2

(1; 1)

M

−

1

2

2

3 2

OM OM



⇒ 

=



Mặt khác ñiểm thuộc ñường tròn có khoảng cách tới gốc tọa ñộ O lớn nhất, nhỏ nhất phải thuộc một trong

2 ñiểm M M Do ñó 1, 2 zmin =OM1 hay M ≡M1(1; 1)− nên số phức có môñun nhỏ nhất là: z1= −1 i

2

m ax

z =OM hay M ≡M2(3; 3)− nên số phức có môñun lớn nhất là: z2 = −3 3i

4 (B – 2010 – CB ): Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp ñiểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:

z i− = +(1 i z)

Giải:

Gọi M x y là ñiểm biểu diễn số phức z( ; ) = +x yi ( ;x y∈R) trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có:

z i− = +(1 i z) ⇔ + − = +x yi i (1 i x)( + yi) ⇔ + −x (y 1)i = (x− + +y) (x y i)

⇔x2+ +(y 1)2 =2

Vậy tập hợp ñiểm biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm (0; 1) I − bán kính R= 2

5 (D – 2009 – CB ): Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp ñiểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:

z− −(3 4 )i =2

Giải:

Gọi M x y là ñiểm biểu diễn số phức z( ; ) = +x yi ( ;x y∈R) trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có:

z− −(3 4 )i = ⇔ + − −2 x yi (3 4 )i = ⇔2 (x− + +3) (y 4)i =2

⇔ (x−3)2+ +(y 4)2 = ⇔2 (x−3)2+ +(y 4)2=4

Vậy tập hợp ñiểm biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm (3; 4) I − bán kính R=2

6. Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng số phức w= − −z 1 2i biết số phức z thay ñổi thỏa mãn

z+ + =1 i 1

Giải:

Gọi M x y là ñiểm biểu diễn số phức w( ; ) = +x yi ( ;x y∈R) trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có:

w= − −z 1 2i ⇒ z= + + = + + + = + + +w 1 2i x yi 1 2i (x 1) (y 2)i⇒z = + − +(x 1) (y 2)i

(x 2) (y 1)i 1 (x 2) (y 1) 1

2 2

(x 2) (y 1) 1

Vậy tập hợp ñiểm biểu diễn số phức w là ñường tròn tâm ( 2; 1)I − − bán kínhR=1

Bài tập áp dụng

1)Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z nếu như thỏa mãn một trong các

ñiều kiện :

a z = − +z 3 4i b z− + =1 i 2 c z+ = −2 i z d. z i− + + =z i 4

e. z− + +4i z 4i =10 f 2 z i− = − +z z 2i g 2 ( )2

z = z h z i 1

z− =i

+

2) Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn các số phức z sao cho: z i

z i

+ + là số thực

3) Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn các số phức z sao cho: z2là số ảo

4) Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng số phức z biết (2−z i)( +z) là số thuần ảo

DẠNG 4 : CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC,PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài tập mẫu

1 (A – 2009): Gọi z1và z2là hai nghiệm phức của phương trình z2+2z+10=0

Tính giá trị của biểu thức A= z12+ z22

Giải : Phương trình 2

∆ = − = − = nên phương trình có hai nghiệm :

z1= − +1 3i và z2 = − −1 3i 2 2 2 2

⇒ = + = − + + − − =(12+3 ) (12 + 2+3 )2 =20 Vậy A=20

2. Cho số phức z có phần ảo âm và thỏa mãn 2

z − z+ = Tính môñun của số phức: w z 6

z i

= + +

Giải : Phương trình z2−6z+ =13 0 có biệt thức ∆ = − = − =' 9 13 4 4i2 nên phương trình có hai nghiệm :

3 2

3

3 2

i

5

w    

Vậy w =5

3 (D – 2012 – NC) Giải phương trình z2+3(1+i z) + =5i 0 trên tập hợp các số phức

Giải :

Cách 1 : Phương trình z2+3(1+i z) + =5i 0 có biệt thức ∆ =' 9(1+i)2−20i= − = −2i (1 i)2

nên phương trình có nghiệm :

1

2

3(1 ) (1 )

1 2 2

3(1 ) (1 )

2 2

− + + −







− + − −



Chú ý : Việc viết ñược : − = −2i (1 i)2 ở phần tính ∆ trong bài toán trên có thể hiểu theo 3 hướng

+) Hướng 1 : Vì ta khá quen thuộc với công thức : (1±i)2= ±2i

+) Hướng 2 : Ta chọn ,a b thỏa mãn

2 2

1

ab

= −

1 1

a b

=





= −

 +) Hướng 3 : (ðây là hướng ñi tổng quát – khi không nhìn thấy luôn theo Hướng 1, Hướng 2)

Gọi a bi+ là căn bậc hai của −2i⇒(a bi+ )2 = − ⇔2i a2− +b2 2abi= −2i

  Vậy căn bậc hai của −2i là : 1 i− và − +1 i nên phương trình có nghiệm :

1

2

3(1 ) (1 )

1 2 2

3(1 ) ( 1 )

2 2

− + + −







− + + − +



Cách 2

(mang tính chất tham khảo : Chỉ chứng tỏ một ñiều có một con ñường khác dẫn tới ñáp số - nhưng khá dài )

Gọi z= +a bi ( ,a b∈R)

Khi ñó : 2

z + +i z+ =i trở thành : 2

(a bi+ ) +3(1+i a bi)( + ) 5+ =i 0 ⇔a2− +b2 2abi+3[(a b− + +) (a b i) ] 5+ =i 0

2 2 [a b 3(a b)] (2ab 3a 3b 5)i 0

a b a b



(1)

3

=



⇔

= − −

 +) Với a=b thay vào (2) ñược : 2a2+6a+ =5 0 ( vô nghiệm với a∈R)

+) Với b= − −a 3 thay vào (2) ta ñược : 2 (a − − − =a 3) 4 0

2

a a

= − ⇒ = −



⇔

= − ⇒ = −

 Vậy z= − −1 2i hoặc z= − −2 i