Hàm số nhiều biến pot

ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, August 06, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 1 TO TO Á Á N CAO C N CAO C Ấ Ấ P A3 P A3 Đ Đ Ạ Ạ I H I H Ọ Ọ C C PHÂN PH PHÂN PH Ố Ố I CHƯƠNG TRÌNH I CHƯƠNG TRÌNH S S ố ố ti ti ế ế t t : 45 : 45 Chương 1. Hàm số nhiều biến số Chương 2. Tích phân bội Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt Chương 4. Phương trình vi phân Tài liệu tham khảo 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A3 – ĐHCN TP. HCM. 2. Đỗ Công Khanh – Giải tích hàm nhiều biến (tập 3, 4) – NXB ĐHQG TP. HCM. Biên Biên so so ạ ạ n n : : ThS ThS . . Đo Đo à à n n Vương Vương Nguyên Nguyên Download Slide Download Slide b b à à i i gi gi ả ả ng ng To To á á n n A3 A3 t t ạ ạ i i dvntailieu.wordpress.com dvntailieu.wordpress.com 3. Nguyễn Đình Trí – Phép tính Giải tích hàm nhiều biến – NXB Giáo dục . 4. Phan Quốc Khánh – Phép tính Vi tích phân (tập 2) – NXB Giáo dục. 5. Đặng Văn Vinh – Slide bài giảng Toán A 3 – ĐH Bách khoa Tp.HCM . 6. Nguyễn Thừa Hợp – Giải tích (tập 1, 2) – NXB ĐHQG Hà Nội. 7. Nguyễn Thủy Thanh – Bài tập Giải tích (tập 2) – NX B Giáo dục. 8. James Stewart – Calculus Early Transcendentals, sixth edition – USA 2008 .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố §1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Các định nghĩa a) Miền phẳng • Trong mặt phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn bởi các đường cong kín được gọi là miền phẳng . Tập hợp các đường cong kín giới hạn D được gọi là biên của D , ký hiệu D ∂ hay Γ . Đặc biệt, mặt phẳng Oxy được xem là miền phẳng với biên ở vô cùng . ………………………………………………………… §1. Khái niệm cơ bản §2. Đạo hàm riêng – Vi phân §3. Cực trị của hàm hai biến số   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố • Miền phẳng D kể cả biên D ∂ được gọi là miền đóng , miền phẳng D không kể biên D ∂ là miền mở. • Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu có 1 đường cong nằm trong D nối 2 điểm bất kỳ thuộc D . Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi là miền đơn liên (hình a) ; có biên là nhiều đường cong kín rời nhau là miền đa liên (hình b).   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố b) Lân cận của một điểm • Khoảng cách giữa 2 điểm 1 1 1 ( , ) M x y , 2 2 2 ( , ) M x y là: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , d M M M M x x y y = = − + − . • Hình tròn ( , ) S M ε mở có tâm ( , ) M x y , bán kính 0 ε > được gọi là một lân cận của điểm M . Nghĩa là: 2 2 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( ) ( )M x y S M x x y y ∈ ε ⇔ − + − < ε . M ε •   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố Chú ý • Trong trường hợp xét hàm số ( , ) f x y mà không nói gì thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm 2 ( , )M x y ∈ ℝ sao cho ( , ) f x y có nghĩa. c) Hàm số hai biến số • Trong mặt phẳng Oxy cho tập 2 D ⊂ ℝ . Tương ứng : f D → ℝ cho tương ứng mỗi ( , ) x y D ∈ với một giá trị ( , ) z f x y = ∈ ℝ duy nhất được gọi là hàm số hai biến số , x y . • Tập 2 D ⊂ ℝ được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm số ( , ) f x y , ký hiệu là f D . Miền giá trị của hàm ( , ) f x y là: { } ( , ) ( , ) f G z f x y x y D = = ∈ ∈ℝ . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, August 06, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 2   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố • Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự. VD 1. • Hàm số 2 ( , ) 3 cos f x y x y xy = − có 2 f D = ℝ . • Hàm số 2 2 4 z x y = − − có MXĐ là hình tròn đ óng tâm (0; 0) O , bán kính 2 R = . • Hàm số 2 2 ln(4 ) z x y = − − có MXĐ là hình tròn mở tâm (0; 0) O , bán kính 2 R = . • Hàm số ( , ) ln(2 3) z f x y x y = = + − có MXĐ là nửa mp mở có biên : 2 3 0 d x y + − = , không chứa O .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến số a) Điểm tụ • Trong mp Oxy cho dãy điểm ( , ), 1,2, n n n M x y n = Điểm 0 0 0 ( , ) M x y được gọi là điểm tụ của dãy trên nếu mọi lân cận của 0 M đều chứa vô số phần tử của dãy. • Điểm 0 0 0 ( , ) M x y được gọi là điểm tụ của tập 2 D ⊂ ℝ nếu mọi lân cận của điểm 0 M đều chứa vô số điểm thuộc D . b) Định nghĩa giới hạn (giới hạn bội) • Điểm 0 0 0 ( , ) M x y được gọi là giới hạn của dãy điểm ( , ), 1, 2, n n n M x y n = nếu 0 0 0 ( , ) M x y là điểm tụ duy nhất của dãy.   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố • Hàm số ( , ) f x y có giới hạn là { } L ∈ ±∞ ℝ ∪ khi n M dần đến 0 M nếu lim ( , ) n n n f x y L →∞ = . Ký hiệu: 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) lim ( , ) lim ( ) . x x x y x y M M y y f x y f x y f M L → → → → = = = VD 2. 2 2 ( , ) (1, 1) 2 3 1 3 lim 2 3 x y x y x xy → − − − = − + . VD 3. Tìm ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y → , với 2 2 ( , ) xy f x y x y = + . Ký hiệu là: 0 lim n n M M →∞ = hay 0 n n M M →∞ → .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố Vậy ( , ) (0,0) lim ( , ) 0 x y f x y → = . Nhận xét • Nếu đặt 0 0 cos , sin x x r y y r = + ϕ = + ϕ thì: 0 0 ( , ) ( , ) 0 x y x y r → ⇔ → . VD 4. Tìm 2 2 2 2 ( , ) (0,0) sin( ) lim x y x y x y → + + . Giải. 0 0 2 2 2 0 ( , ) 0 x y xy xy f x y x x y y → → ≤ = ≤ = → + . Giải. Đặt cos , sin x r y r = ϕ = ϕ , ta có:   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố VD 5. Cho hàm số 2 2 2 ( , ) xy f x y x y = + . Chứng tỏ rằng ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y → không tồn tại. Giải. Đặt cos , sin x r y r = ϕ = ϕ , ta có: 2 2 ( , ) (0,0) 0 sin 2 lim ( , ) lim sin 2 . x y r r f x y r → → ϕ = = ϕ Do giới hạn phụ thuộc vào ϕ nên không duy nhất. Vậy ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y → không tồn tại. 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 0 sin( ) sin lim lim 1 x y r x y r x y r → → + = = + .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố c) Giới hạn lặp • Giới hạn theo từng biến khi n M dần đến 0 M của hàm số ( , ) f x y được gọi là giới hạn lặp. Khi 0 x x → trước, 0 y y → sau thì ta viết: 0 0 lim lim ( , ) y y x x f x y → → . Khi 0 y y → trước, 0 x x → sau thì ta viết: 0 0 lim lim ( , ) x x y y f x y → → . VD 6. Xét hàm số 2 2 2 2 sin sin ( , ) x y f x y x y − = + . Ta có: 2 2 0 0 0 sin lim lim ( , ) lim 1 y x y y f x y y → → → − = = − , ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, August 06, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 3   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố • Định lý Trong 2 ℝ cho hình vuông H có 1 đỉnh là 0 0 0 ( , ) M x y và hàm số ( , ) f x y xác định trong H . Nếu tồn tại 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y f x y L → = ∈ ℝ và mỗi y Y ∈ tồn tại 0 ( ) lim ( , ) x x y f x y → ϕ = ∈ ℝ thì: 0 0 0 lim lim ( , ) lim ( ) y y x x y y f x y y L → → → = ϕ = . 2 2 0 0 0 sin lim lim ( , ) lim 1 x y x x f x y x → → → = = . Vậy 0 0 0 0 lim lim ( , ) lim lim ( , ) y x x y f x y f x y → → → → ≠ .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố Nhận xét • Nếu 0 0 0 0 lim lim ( , ) lim lim ( , ) y y x x x x y y f x y f x y → → → → ≠ thì không tồn tại 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y f x y → . • Sự tồn tại giới hạn lặp không kéo theo sự tồn tại giới hạn bội và ngược lại. 1.3. Hàm số liên tục • Hàm số ( , ) f x y liên tục tại 2 0 0 0 ( , )M x y D∈ ⊂ ℝ nếu 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ). x y x y f x y f x y → = • Hàm số ( , ) f x y liên tục trên tập 2 D ⊂ ℝ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố VD 7. Xét sự liên tục của 2 2 2 2 sin sin ( , ) x y f x y x y − = + . Giải. Với ( , ) (0, 0) x y ≠ thì hàm số ( , ) f x y xác định nên liên tục. Tại (0, 0) thì ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y → không tồn tại (VD 6). Vậy hàm số ( , ) f x y liên tục trên 2 \ {(0, 0)} ℝ . Chú ý Hàm số ( , ) f x y liên tục trên miền đóng giới nội D thì nó đạt giá trị lớn nhất ( max ) và nhỏ nhất ( min ) tr ên D . ……………………………………………………………   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố §2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN 2.1. Đạo hàm riêng a) Đạo hàm riêng cấp 1 • Cho hàm số ( , ) f x y xác định trên miền mở 2 D ⊂ ℝ chứa điểm 0 0 0 ( , ) M x y . Cố định 0 y , nếu hàm số 0 ( , ) f x y có đạo hàm tại 0 x thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng theo biến x của hàm số ( , ) f x y tại 0 0 ( , ) x y . Ký hiệu: 0 0 ( , ) x f x y hay / 0 0 ( , ) x f x y hay 0 0 ( , ). f x y x ∂ ∂ Vậy 0 / 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim . x x x f x y f x y f x y x x → − = −   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố • Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại 0 0 ( , ) x y là: 0 / 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim . y y y f x y f x y f x y y y → − = − Chú ý • Nếu ( ) f x là hàm số một biến x thì / x f df f x dx ∂ = = ∂ . • Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa t ương tự . VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số: 4 3 2 3 ( , ) 3 2 3 f x y x x y y xy = − + − tại ( 1; 2) − .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố VD 3. Tính các đạo hàm riêng của cos x z y = tại ( ; 4) π . VD 4. Tính các đạo hàm riêng của 2 ( , , ) sin x y f x y z e z = . b) Đạo hàm riêng cấp cao • Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số / ( , ) x f x y , / ( , ) y f x y được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của ( , ) f x y . VD 2. Tính các đạo hàm riêng của 2 2 2 1 ln 1 x z x y + = + + . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, August 06, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 4   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố Ký hiệu: ( ) 2 2 // 2 xx x xx f f f f f x x x   ∂ ∂ ∂   = = = =      ∂ ∂   ∂ , ( ) 2 2 // 2 yy y y y f f f f f y y y   ∂ ∂ ∂   = = = =      ∂ ∂   ∂ , ( ) 2 // xy xy x y f f f f f y x y x   ∂ ∂ ∂   = = = =      ∂ ∂ ∂ ∂   , ( ) 2 // yx yx y x f f f f f x y x y   ∂ ∂ ∂   = = = =      ∂ ∂ ∂ ∂   . • Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn 2 có định nghĩa t ương tự .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố VD 6. Cho hàm số 5 4 4 5 ( , ) f x y x y x y = + − . Giá trị của đạo hàm riêng cấp năm 3 2 (5) (1; 1) x y f − là: A. 3 2 (5) (1; 1) 480 x y f − = ; B. 3 2 (5) (1; 1) 480 x y f − = − ; C. 3 2 (5) (1; 1) 120 x y f − = ; D. 3 2 (5) (1; 1) 120 x y f − = − . VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số: 3 2 3 4 ( , ) y f x y x e x y y = + − tại ( 1; 1) − . • Định lý Schwarz Nếu hàm số ( , ) f x y có các đạo hàm riêng // // , xy yx f f liên tục trong miền mở 2 D ⊂ ℝ thì // // . xy yx f f =   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố VD 7. Đạo hàm riêng 2 2 ( ) ( 2) m n m n x y x z m − + ≥ của 2 x y z e − = là: A. 2 ( 1) 2 n m n x y e + − − ; B. 2 ( 1) 2 m m n x y e + − − ; C. 2 ( 1) 2 m m x y e − − ; D. 2 ( 1) 2 n m x y e − − . 2.2. Vi phân 2.2.1. Vi phân cấp 1 a) Số gia của hàm số • Cho hàm số ( , ) f x y xác định trong lân cận 0 ( , ) S M ε của điểm 0 0 0 ( , ) M x y . Cho x một số gia x ∆ và y một số gia y ∆ , khi đó hàm ( , ) f x y có tương ứng số gia: 0 0 0 0 ( , ) ( , ). f f x x y y f x y ∆ = + ∆ + ∆ −   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố b) Định nghĩa • Nếu trong lân cận 0 ( , ) S M ε với số gia x ∆ , y ∆ mà số gia f ∆ tương ứng có thể viết được dưới dạng: ( ) 2 2 . . , ( ) ( ) f A x B y O r r x y ∆ = ∆ + ∆ + = ∆ + ∆ , trong đó , A B là những số chỉ phụ thuộc vào điểm 0 0 0 ( , ) M x y và hàm ( , ) f x y , không phụ thuộc , x y ∆ ∆ thì đại lượng . . A x B y ∆ + ∆ được gọi là vi phân của hàm số ( , ) f x y tại điểm 0 0 0 ( , ) M x y . • Khi đó, ( , ) f x y được gọi là khả vi tại điểm 0 0 0 ( , ) M x y . Ký hiệu là: 0 0 ( , ) . . . df x y A x B y = ∆ + ∆   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố Nhận xét • Xét những điểm 0 0 ( , ) M x x y y + ∆ + ∆ dịch chuyển trên đường đi qua 0 M song song Ox . Khi đó 0 y ∆ = : 0 0 0 0 ( , ) ( , ) . ( ) f f x x y f x y A x O x ∆ = + ∆ − = ∆ + ∆ / 0 0 0 lim ( , ) x x f A A f x y x ∆ → ∆ ⇒ = ⇒ = ∆ . Tương tự, / 0 0 0 lim ( , ) y y f B B f x y y ∆ → ∆ = ⇒ = ∆ . Suy ra / / ( , ) ( , ). ( , ). x y df x y f x y x f x y y = ∆ + ∆ . • Xét ( , ) ( , ) f x y x df x y x dx x = ⇒ = ∆ ⇒ = ∆ . Tương tự, dy y = ∆ . Vậy: / / ( , ) ( , ) ( , ) . x y df x y f x y dx f x y dy = +   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố c) Định lý • Nếu hàm số ( , ) f x y có các đạo hàm riêng trong lân cận nào đó của 0 0 ( , ) x y và các đạo hàm riêng này liên tục tại 0 0 ( , ) x y thì ( , ) f x y khả vi tại 0 0 ( , ) x y . VD 8. Cho hàm 2 5 ( , ) x y f x y x e y − = − . Tính (1; 1) df − . VD 9. Tính vi phân cấp 1 của hàm 2 2 sin( ) x y z e xy − = . 2.2.2. VI PHÂN CẤP CAO a) Vi phân cấp 2 • Giả sử ( , ) f x y là hàm khả vi với , x y là các biến độc lập. Các số gia , dx x dy y = ∆ = ∆ tùy ý độc lập với , x y nên được xem là hằng số đối với , x y . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, August 06, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 5   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố Chú ý • Nếu , x y là các biến không độc lập (biến trung gian) ( , ) x x = ϕ ψ , ( , ) y y = ϕ ψ thì công thức trên không còn đúng nữa. Sau đây ta chỉ xét trường hợp , x y độc lập. • Vi phân của ( , ) df x y được gọi là vi phân cấp 2 của ( , ) f x y . Ký hiệu và công thức: ( ) 2 2 2 2 2 2 . xy x y d f d df f dx f dxdy f dy ′′ ′′ ′′ = = + + VD 10. Cho hàm số 2 3 2 3 5 ( , ) 3 f x y x y xy x y = + − . Tính vi phân cấp hai 2 (2; 1) df − . VD 11. Tính vi phân cấp 2 của hàm 2 ( , ) ln( ) f x y xy = .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố b) Vi phân cấp n ( ) ( ) 1 0 . k n k n n n n k k n k n x y k d f d d f C f dx dy − − − = = = ∑ Trong đó 0 ( ) ( ) n n n n x y x f f = , 0 ( ) ( ) n n n n x y y f f = , 0 n n dx dy dx = , 0 n n dx dy dy = . VD 12. Tính vi phân cấp 3 của hàm số 3 2 ( , ) f x y x y = . VD 13. Tính vi phân 3 d z của hàm số 2 cos 3 x z e y = .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố 2.3. Đạo hàm của hàm số hợp a) Hàm hợp với một biến độc lập • Cho ( , ) f x y là hàm khả vi đối với , x y và , x y là những hàm khả vi đối với biến độc lập t . Khi đó, hàm hợp của biến t là ( ) ( ( ), ( )) t f x t y t ω = khả vi. Ta có: / / ( ) . x y dx dy t f f dt dt ′ ω = + VD 14. Tính ( ) t ′ ω với hàm số 2 ( , ) f x y x y = và 2 3 , sin x t t y t = − = . Giải. / / ( ) . . x y dx dy t f f dt dt ′ ω = + 2 / 2 / 2 2 (3 ) (sin ) 2 (6 1) cos t t xy t t x t xy t x t = − + = − + .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố Tính trực tiếp như sau: 2 2 ( ) (3 ) sin t t t t ω = − 2 2 2 ( ) 2(3 )(6 1)sin (3 ) cos t t t t t t t t ′ ⇒ ω = − − + − 2 2 (6 1) cos xy t x t = − + . VD 15. Cho 2 2 2 ( , ) ln( ), sin f x y x y y x = + = . Tính df dx . Gi ả i / / 2 2 2 2 2 / ln( ) ln( ) (sin ) x x y df x y x y x dx     = + + +         2 2 2 2 2 2 2 2 sin 2 2 2 sin 2 x y x x y x x y x y x y + = + = + + + .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố b) Hàm hợp với hai biến độc lập • Cho ( , ) f x y là hàm khả vi đối với , x y và , x y là những hàm khả vi đối với hai biến độc lập , ϕ ψ . Khi đó, hàm hợp của 2 biến , ϕ ψ là ( , ) ( ( , ), ( , )) f x y ω ϕ ψ = ϕ ψ ϕ ψ khả vi. Ta có: / / / / / / / / / / . . , . . . x y x y f x f y f x f y ϕ ϕ ϕ ψ ψ ψ ω = + ω = + 2.4. Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến) • Hàm ( , ) z x y xác định trên 2 z D ⊂ ℝ thỏa phương trình ( , , ( , )) 0, ( , ) z F x y z x y x y D D = ∀ ∈ ⊂ (*) được gọi là hàm số ẩn hai biến xác định bởi (*) .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố Giả sử các hàm trên đều khả vi, đạo hàm 2 vế (*) ta được: / / / / / / . 0, . 0 x z x y z y F F z F F z + = + = . Vậy ( ) / / / / / / / , 0 . y x x y z z z F F z z F F F = − = − ≠ VD 16. Cho hàm ẩn ( , ) z x y thỏa phương trình: cos( ) xyz x y z = + + . Tính / / , x y z z . VD 17. Cho hàm ẩn ( , ) z x y thỏa phương trình mặt cầu: 2 2 2 2 4 6 2 0 x y z x y z + + − + − − = . Tính / y z . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, August 06, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 6   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố 2.5. Đạo hàm theo hướng – Vector gradient 2.5.1. Hàm vector • Ánh xạ 3 : r T ⊂ →  ℝ ℝ ( ) ( ). ( ). ( ). t r t x t i y t j z t k = + +     ֏ được gọi là một hàm vector. Vậy ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) r t x t y t z t =  • Giới hạn 0 0 lim ( ) lim ( ) 0 t t t t r t v r t v → → = ⇔ − =     • Đạo hàm ( ) ( ). ( ). ( ). r t x t i y t j z t k ′ ′ ′ ′ = + +       Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố • Trong không gian Oxyz , đặt ( ) r t OM =   . Khi t thay đổi thì điểm M thay đổi và vạch ra 1 đường cong. Đường cong này được gọi là tốc đồ của ( ) r t  . Phương trình tham số của tốc đồ: ( ); ( ); ( ) x x t y y t z z t = = = Tại điểm 0 M thuộc tốc đồ của ( ) r t  , ta có 0 0 ( ) r t OM =   . Chú ý • Nếu 0 ( ) 0 r t ′ ≠   thì 0 ( ) r t ′  là vector chỉ phương tiếp tuyến tại điểm 0 M của tốc đồ. • Nếu 0 ( ) 0 r t ′ =   thì điểm 0 M được gọi là điểm kỳ dị của tốc đồ.   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố 2.5.2. Đạo hàm theo hướng a) Định nghĩa Giả sử hàm ( , , ) f x y z xác định trong một lân cận của điểm 0 0 0 0 ( , , ) M x y z . Xét ( , , ) 0 x y z v v v v = ≠   , gọi ∆ là nửa đường thẳng gốc 0 M theo hướng v  . Trên ∆ lấy điểm M sao cho đoạn 0 M M thuộc lân cận nói trên và đặt 0 r M M = . Đạo hàm tại điểm 0 M theo hướng v  của hàm f , ký hiệu 0 ( ) v f M ′  , là giới hạn (nếu có) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim v r f M f M f M r + → − ′ =    Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố b) Cosin chỉ phương Gọi , , α β γ lần lượt là góc tạo bởi ( , , ) 0 x y z v v v v = ≠   với , , i j k    . Khi đó cos , cos , cos α β γ được gọi là các cosin chỉ phương của v  và: cos , cos , cos | | | | | | y x z v v v v v v α = β = γ =    c) Định lý Nếu ( , , ) f x y z khả vi tại điểm 0 M thì tồn tại đạo hàm tại điểm 0 M theo hướng 0 v ≠   bất kỳ và 0 0 0 0 ( ) ( )cos ( )cos ( )cos v x y z f M f M f M f M ′ ′ ′ ′ = α + β + γ    Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố d) Tính chất 1) ( . ) . ( ) v v k f k f k ′ ′ = ∈   ℝ ; 2) ( ) v v v f g f g ′ ′ ′ + = +    3) ( . ) . . v v v f g f g f g ′ ′ ′ = +    ; 4) 2 . . ( 0) v v v f g f g f g g g ′   ′ ′ −   = ≠           . 2.5.3. Vector gradient a) Định nghĩa Giả sử hàm ( , , ) f x y z có các đạo hàm riêng tại điểm 0 M . Vector gradient tại 0 M của hàm f , ký hiệu 0 ( ) f M ∇ hay 0 grad ( ) f M  , là vector 0 0 0 0 ( ) ( ). ( ). ( ). x y z f M f M i f M j f M k ′ ′ ′ ∇ = + +      Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố Vậy ( ) 0 0 0 0 0 ( ) grad ( ) ( ), ( ), ( ) x y z f M f M f M f M f M ′ ′ ′ ∇ = =  b) Ý nghĩa Ta có: 0 0 0 0 ( ) ( )cos ( )cos ( )cos v x y z f M f M f M f M ′ ′ ′ ′ = α + β + γ  0 0 ( ).(cos , cos ,cos ) ( ). | | v f M f M v = ∇ α β γ = ∇   . Gọi ϕ là góc giữa 0 ( ) f M ∇ và v  , ta được 0 0 ( ) ( ) .cos v f M f M ′ = ∇ ϕ  ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, August 06, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 7   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố Từ công thức trên, ta có: • 0 0 max ( ) ( ) v f M f M ′ = ∇  khi 0 ϕ = . • 0 0 min ( ) ( ) v f M f M ′ = − ∇  khi ϕ = π . Vậy ý nghĩa của vector gradient là: hướng của 0 ( ) f M ∇ là hướng tăng nhanh nhất của hàm f và, hàm f sẽ giảm nhanh nhất theo hướng ngược lại. VD 18. Cho 2 2 2 ( , , ) f x y z x y z = + + , (1; 2; 2) v = − −  . Tính ( ), ( ) v f M f M ′ ∇  tại (0; 1; 3) M − . …………………………………………………   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố VD 1. Hàm số 2 2 2 2 3 ( , ) 2 4 y y f x y x y xy x     = + − = − +        2 ( , ) 0, ( , )f x y x y⇒ ≥ ∀ ∈ ℝ nên đạt cực tiểu tại (0; 0) O . • Hàm s ố ( , ) z f x y = đạ t c ự c tr ị đị a ph ươ ng ( g ọ i t ắ t là c ự c tr ị ) t ạ i 0 0 0 ( , ) M x y n ế u v ớ i m ọ i đ i ể m ( , ) M x y khá g ầ n nh ư ng khác 0 M thì hi ệ u 0 0 ( , ) ( , ) f f x y f x y ∆ = − có d ấ u không đổ i. • Nếu 0 f ∆ > thì 0 0 ( , ) f x y được gọi là giá trị cực tiểu và 0 M là điểm cực tiểu của ( , ) z f x y = . • Nếu 0 f ∆ < thì 0 0 ( , ) f x y được gọi là giá trị cực đại và 0 M là điểm cực đại của ( , ) z f x y = . §3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ 3.1. Định nghĩa (cực trị địa phương)   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố b) Điều kiện đủ Giả sử ( , ) z f x y = có điểm dừng là 0 M và có đạo hàm riêng cấp hai tại lân cận của điểm 0 M . Đặt 2 2 // // // 0 0 0 ( ), ( ), ( ) xy x y A f M B f M C f M = = = . 3.2. ĐỊNH LÝ a) Điều kiện cần • Nếu hàm số ( , ) z f x y = đạt cực trị tại 0 0 0 ( , ) M x y và tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì: 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0. x y f x y f x y ′ ′ = = • Điểm 0 0 0 ( , ) M x y thỏa 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 x y f x y f x y ′ ′ = = được gọi là điểm dừng, 0 M có thể không là điểm cực trị.   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố Khi đó: • Nếu 2 0 ( , ) 0 AC B f x y A   − >  ⇒   >   đạt cực tiểu tại 0 M . • Nếu 2 0 ( , ) 0 AC B f x y A   − >  ⇒   <   đạt cực đại tại 0 M . • Nếu 2 0 ( , ) AC B f x y − < ⇒ không đạt cực trị tại 0 M . • Nếu 2 0 AC B − = thì ta không thể kết luận. 3.3. Phân loại cực trị • Trong không gian Oxyz , xét mặt cong S chứa đường cong ( ) C . Chiếu S lên mp Oxy ta được miền 2 D ⊂ ℝ và đường cong phẳng ( ) : ( , ) 0 x y γ ϕ = (xem hình vẽ).   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố Khi đó, điểm 1 P S ∈ là điểm cao nhất (hay thấp nhất) so với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu 1 M D ∈ là được gọi là điểm cực trị tự do của hàm ( , ) f x y xác định trên D (vì không phụ thuộc vào ( ) γ ). Tương tự, điểm 2 ( ) P C ∈ là điểm cao nhất (hay thấp nhất) so với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu 2 ( ) M ∈ γ là điểm cực trị có điều kiện ràng buộc bởi ( ) : ( , ) 0 x y γ ϕ = của hàm ( , ) f x y .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố • Bước 1. Tìm điểm dừng 0 0 0 ( , ) M x y bằng cách giải hệ: / 0 0 / 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0. x y f x y f x y   =     =    • Bước 2. Tính 2 // // 0 0 0 0 ( , ), ( , ) xy x A f x y B f x y = = , 2 // 2 0 0 ( , ) y C f x y AC B = ⇒ ∆ = − . • Bước 3. Dựa vào điều kiện đủ để kết luận. 3.4. Cực trị tự do Cho hàm số ( , ) f x y xác định trên D . Để tìm cực trị của ( , ) f x y , ta thực hiện các bước sau: ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, August 06, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 8   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố VD 2. Tìm điểm dừng của hàm số (1 ) z xy x y = − − . VD 3. Tìm cực trị của hàm 2 2 4 2 8 z x y x y = + + − + . VD 4. Tìm cực trị của hàm số 3 3 3 2 z x y xy = + − − . VD 5. Tìm cực trị của 2 3 2 2 3 3 3 2 z x y y x y = + − − + . VD 6. Cho hàm số 50 20 ( 0, 0) z xy x y x y = + + > > . Khẳng định đúng là: A. z đạt cực tiểu tại (2; 5) M và giá trị cực tiểu 39 z = . B. z đạt cực tiểu tại (5; 2) M và giá trị cực tiểu 30 z = . C. z đạt cực đại tại (2; 5) M và giá trị cực đại 39 z = . D. z đạt cực đại tại (5; 2) M và giá trị cực đại 30 z = .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố a) Phương pháp khử • Từ phương trình ( , ) 0 x y ϕ = ta rút x hoặc y thế vào ( , ) f x y , sau đó tìm cực trị của hàm một biến. 3.5. Cực trị có điều kiện (cực trị vướng) • Cho hàm số ( , ) f x y xác định trên lân cận của điểm 0 0 0 ( , ) M x y thuộc đường cong ( ) : ( , ) 0 x y γ ϕ = . Nếu tại điểm 0 M , hàm ( , ) f x y đạt cực trị thì ta nói 0 M là điểm cực trị có điều kiện của ( , ) f x y với điều kiện ( , ) 0 x y ϕ = . • Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số ( , ) f x y ta dùng phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố VD 7. Tìm điểm cực trị của hàm 2 z x y = thỏa điều kiện: 3 0 x y − + = . b) Phương pháp nhân tử Lagrange Tại điểm cực trị ( , ) x y của f , gọi / / / / y x x y f f λ = − = − ϕ ϕ là nhân tử Lagrange . Đ ể t ìm c ự c t r ị t a t h ự c h i ệ n c ác b ư ớ c : • Bước 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange): ( , , ) ( , ) ( , ). L x y f x y x y λ = + λϕ • Bước 2. Giải hệ: 0, 0, 0 x y L L L λ ′ ′ ′ = = = Suy ra điểm dừng 0 0 0 ( , ) M x y ứng với 0 λ .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố • Bước 4. Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có:  Nếu 2 0 ( ) 0 d L M > thì ( , ) f x y đạt cực tiểu tại 0 M .  Nếu 2 0 ( ) 0 d L M < thì ( , ) f x y đạt cực đại tại 0 M .  Nếu 2 0 ( ) 0 d L M = thì 0 M không là điểm cực trị. • Bước 3. Tính vi phân cấp 2 tại 0 0 0 ( , ) M x y ứng với 0 λ : 2 2 2 2 2 0 ( ) 2 . xy x y d L M L dx L dxdy L dy ′′ ′′ ′′ = + + Các vi phân , dx dy phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc: 0 0 0 0 0 0 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0 (1) ( ) ( ) 0 (2). x y d x y x y dx x y dy dx dy  ′ ′  ϕ = ϕ + ϕ =     + >      Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố VD 11. Tìm cực trị của hàm số ( , ) 10 40 f x y x y = + thỏa điều kiện 20 xy = và , 0 x y > . VD 8. Tìm điểm cực trị của hàm số ( , ) 2 f x y x y = + với điều kiện 2 2 5 x y + = . VD 9. Tìm giá trị cực trị của hàm số 2 2 z x y = + thỏa điều kiện 2 2 3 4 x y x y + = + . VD 10. Tìm điểm cực trị của hàm z xy = thỏa điều kiện: 2 2 1 8 2 x y + = .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố • Bước 1. Tìm các điểm cực trị tự do 1 , , n N N trong D (chỉ cần tìm điểm dừng). • Bước 2. Tìm các điểm cực trị 1 , , p P P trên biên D ∂ thỏa điều kiện ( , ) 0 x y ϕ = (chỉ cần tìm điểm dừng). 3.6. Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm hai biến trên miền đóng, bị chặn (cực trị toàn cục) Cho miền 2 D ⊂ ℝ đóng có biên : ( , ) 0 D x y ∂ ϕ = và ( , ) f x y là hàm liên tục trên D , khả vi trong D mở (có thể không khả vi tại m điểm 1 , , m M M ). Giả sử biên D ∂ trơn, nghĩa là hàm ϕ khả vi. Để t ìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của f trên D , ta thực hiện các bước sau: ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, August 06, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 9   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố VD 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 2 ( , ) f x y x y = + trong miền 2 2 3 : 4 D x x y − + ≤ . • Bước 3. Giá trị max ( , ), min ( , ) D D f x y f x y tương ứng là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong tất cả các giá trị sau: 1 ( ), , ( ) m f M f M , 1 ( ), , ( ) n f N f N , 1 ( ), , ( ) p f P f P . VD 13. Cho hàm số 2 2 ( , ) f x y x y xy x y = + − + + . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của ( , ) f x y trong miền : 0, 0, 3 D x y x y ≤ ≤ + ≥ − . VD 14. Tìm max, min của = sin + sin + sin( + ) z x y x y trong miền : 0 , 0 2 2 D x y π π ≤ ≤ ≤ ≤ . ………………………………………………………   Chương Chương 2. 2. T T í í ch ch phân phân b b ộ ộ i i §1. Tích phân bội hai (tích phân kép) §2. Tích phân bội ba §3. Ứng dụng của tích phân bội ………………………… §1. TÍCH PHÂN BỘI HAI 1.1. Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong) • Xét hàm số ( , ) z f x y = liên tục, không âm và một mặt trụ có các đường sinh song song với Oz , đáy là miền phẳng đóng D trong mp Oxy .   Chương Chương 2. 2. T T í í ch ch phân phân b b ộ ộ i i • Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần không dẫm lên nhau i S ∆ , 1; i n = . D iện tích mỗi phần cũng ký hiệu là i S ∆ . Khi đó, khối trụ cong được chia thành n khối trụ nhỏ. Trong mỗi phần i S ∆ ta lấy điểm ( ; ) i i i M x y tùy ý và thể tích V của khối trụ là: 1 ( ; ) n i i i i V f x y S = ≈ ∆ ∑ . • Gọi { } max ( , ) , i i d d A B A B S = ∈ ∆ là đường kính của i S ∆ . Ta có: max 0 1 lim ( ; ) . i n i i i d i V f x y S → = = ∆ ∑   Chương Chương 2. 2. T T í í ch ch phân phân b b ộ ộ i i 1.2. Tích phân bội hai a) Định nghĩa • Cho hàm số ( , ) f x y xác định trên miền D đóng và bị chặn trong mặt phẳng Oxy . Chia miền D một cách tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần là i S ∆ , 1; i n = . Lấy n điểm tùy ý ( ; ) i i i i M x y S ∈ ∆ , 1; i n = . Khi đó, 1 ( ; ) n n i i i i I f x y S = = ∆ ∑ được gọi là tổng tích phân của ( , ) f x y trên D (ứng với phân hoạch i S ∆ và các điểm chọn i M ).   Chương Chương 2. 2. T T í í ch ch phân phân b b ộ ộ i i • Nếu giới hạn max 0 1 lim ( , ) i n i i i d i I f x y S → = = ∆ ∑ tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc vào phân hoạch i S ∆ và cách chọn điểm i M thì số thực I được gọi là tích phân bội hai của hàm số ( , ) f x y trên miền D . Ký hiệu là: ( , ) D I f x y dS = ∫∫ . • Chia miền D bởi các đường thẳng song song với Ox , Oy ta được . i i i S x y ∆ = ∆ ∆ hay dS dxdy = . Vậy ( , ) ( , ) . D D I f x y dS f x y dxdy = = ∫∫ ∫∫   Chương Chương 2. 2. T T í í ch ch phân phân b b ộ ộ i i • Nếu tồn tại tích phân ( , ) D f x y dxdy ∫∫ , ta nói hàm số ( , ) f x y khả tích trên miền D ; ( , ) f x y là hàm dưới dấu tích phân; x và y là các biến tích phân. Nhận xét  ( ) D S D dxdy = ∫∫ (diện tích của miền D ).  Nếu ( , ) 0 f x y > , liên tục trên D thì thể tích hình trụ có các đường sinh song song với Oz , hai đáy giới hạn bởi các mặt 0 z = , ( , ) z f x y = là ( , ) D V f x y dxdy = ∫∫ . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Saturday, August 06, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 10   Chương Chương 2. 2. T T í í ch ch phân phân b b ộ ộ i i b) Định lý Hàm ( , ) f x y liên tục trong miền D đóng và bị chặn thì khả tích trong D . 1.3. Tính chất của tích phân bội hai Giả thiết rằng các tích phân dưới đây đều tồn tại. • Tính chất 1. ( , ) ( , ) D D f x y dxdy f u v dudv = ∫∫ ∫∫ . • Tính chất 2 [ ( , ) ( , )] D D D f x y g x y dxdy fdxdy gdxdy ± = ± ∫∫ ∫∫ ∫∫ ; ( , ) ( , ) , D D kf x y dxdy k f x y dxdy k = ∈ ∫∫ ∫∫ ℝ .   Chương Chương 2. 2. T T í í ch ch phân phân b b ộ ộ i i • Tính chất 3 Nếu chia miền D thành 1 2 , D D bởi đường cong có diện tích bằng 0 thì: 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy = + ∫∫ ∫∫ ∫∫ . 1.4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH 1.4.1. Đưa về tích phân lặp a) Định lý (Fubini) Giả sử tích phân ( , ) D I f x y dxdy = ∫∫ tồn tại, trong đó 1 2 {( , ) : , ( ) ( )} D x y a x b y x y y x = ≤ ≤ ≤ ≤ ,   Chương Chương 2. 2. T T í í ch ch phân phân b b ộ ộ i i và với mỗi [ ; ] x a b ∈ cố định, 2 1 ( ) ( ) ( , ) y x y x f x y dy ∫ tồn tại. Khi đó: 2 1 ( ) ( ) ( , ) . y x b a y x I dx f x y dy = ∫ ∫ Tương tự, nếu miền D là: 1 2 {( , ) : ( ) ( ), } D x y x y x x y c y d = ≤ ≤ ≤ ≤ thì 2 1 ( ) ( ) ( , ) . x y d c x y I dy f x y dx = ∫ ∫   Chương Chương 2. 2. T T í í ch ch phân phân b b ộ ộ i i Chú ý 1) Nếu miền D là hình chữ nhật, {( , ) : , } [ ; ] [ ; ] D x y a x b c y d a b c d = ≤ ≤ ≤ ≤ = × thì: ( , ) ( , ) = ( , ) . b d d b D a c c a f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx = ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2) Nếu 1 2 {( , ) : , ( ) ( )} D x y a x b y x y y x = ≤ ≤ ≤ ≤ và ( , ) ( ). ( ) f x y u x v y = thì: 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) . y x b D a y x f x y dxdy u x dx v y dy = ∫∫ ∫ ∫   Chương Chương 2. 2. T T í í ch ch phân phân b b ộ ộ i i 3) Nếu 1 2 {( , ) : ( ) ( ), } D x y x y x x y c y d = ≤ ≤ ≤ ≤ và ( , ) ( ). ( ) f x y u x v y = thì: 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) . x y d D c x y f x y dxdy v y dy u x dx = ∫∫ ∫ ∫ 4) Nếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành những miền đơn giản. VD 1. Cho ( , ) D I f x y dxdy = ∫∫ . Xác định cận tích phân lặp với miền D giới hạn bởi 0, 2 , 0 y y x x a = = = > .   Chương Chương 2. 2. T T í í ch ch phân phân b b ộ ộ i i VD 2. Tính tích phân 2 6 D I xy dxdy = ∫∫ . Trong đó, [0; 2] [ 1; 1] D = × − . . hàm của hàm số hợp a) Hàm hợp với một biến độc lập • Cho ( , ) f x y là hàm khả vi đối với , x y và , x y là những hàm khả vi đối với biến độc lập t . Khi đó, hàm hợp của biến t . cấp 1 a) Số gia của hàm số • Cho hàm số ( , ) f x y xác định trong lân cận 0 ( , ) S M ε của điểm 0 0 0 ( , ) M x y . Cho x một số gia x ∆ và y một số gia y ∆ , khi đó hàm ( , ) f. trường hợp xét hàm số ( , ) f x y mà không nói gì thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm 2 ( , )M x y ∈ ℝ sao cho ( , ) f x y có nghĩa. c) Hàm số hai biến số • Trong mặt