Phân tích hệ xử lý số Tuyến Tính Bất Biến Nhân Quả bằng Hàm hệ thống H(z)
Trang 12.4 phân tích hệ xử lý số Tuyến Tính Bất Biến
Nhân Quả bằng Hàm hệ thống H(z)
2.4.1 hàm hệ thống H (z)
2.4.1 a Định nghĩa : Hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý số TTBBNQ là biến đổi Z của đặc tính xung h(n) :
0
).
( )]
( [
)
(
n
n
z n h n
h ZT
z
với RC[H(z)]:|z| R h Phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ được tính theo tích chập [1.5-7] :
h(n)
* x(n) n
y( )
Có thể tìm được : X(z) ZT[x(n)] và H(z) ZT[h(n)]
Do đó, theo tính chất tích chập của biến đổi Z có :
) ( )
( )]
(
* ) ( ) ( [ )
Từ đó suy ra : ( ) (( ))
z
z z
X
Y
Theo [2.4-3] , hàm hệ thống H (z) của hệ xử lý số TTBBNQ là tỷ số của phản ứng Y (z) và tác động X (z), do đó hàm
hệ thống H (z) còn được gọi là hàm truyền đạt Z của hệ xử lý số TTBBNQ
Biểu thức [2.4-3] cho phép tìm hàm hệ thống H (z) của hệ xử lý số TTBBNQ khi biết tác động X (z) và phản ứng
Y (z), còn biểu thức [2.4-2] cho phép tìm phản ứng Y (z) và y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ khi biết hàm hệ thống H (z) và tác
động X (z)
Lấy biến đổi Z ngược hàm hệ thống H (z) của hệ xử lý số TTBBNQ , nhận được đặc tính xung h(n) của hệ :
)]
( [ )
Từ quan hệ vào ra [2.4-2], có thể mô tả hệ xử lý số TTBBNQ theo sơ đồ khối trên hình 2.3, do đó hàm hệ thống
H (z) đặc trưng cho cấu trúc phần cứng hoặc thuật toán phần mềm của hệ xử lý số trong miền Z
Hình2.3: Sơ đồ khối hệ xử lý số TTBBNQ theo hàm hệ thốngH (z).
2.4.1b Tìm hàm hệ thốngH (z) từ phương trình sai phân
Xét hệ xử lý số TTBBNQ được mô tả bằng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng tổng quát bậc N :
M N
k
k r
a
0 0
) ( )
(
Lấy biến đổi Z cả hai vế của phương trình sai phân trên :
M N
k
k r
r y n r ZT b x n k
a ZT
0 0
) ( )
( Theo tính chất tuyến tính và tính chất trễ của biến đổi Z nhận được :
M N
k
k k r
r
0 0
) ( )
(
0
) ( 0
) (
0
0 ) (
) ( )
N
N
M
M
N
M
z z
a
z b z
a
z b z
z z
r
r r k
k k
r
r r k
k k
X
Y
Có thể biểu diễn hàm hệ thống H (z) qua N cực điểm z pkcủa nó :
) (
.
) )(
(
)
( )
(
) ( )
(
2 1
0
1 1 0
) (
N M M
M M
N
p p
z z a
b z
b z
b z
z
z z
X
Y H
[2.4-6]
ở đây cần lưu ý rằng, để tìm đúng H (z) thì phương trình đặc trưng D(z) 0phải có hệ số a0 1, vì thế nếu a0 1
thì phải nhóm a ra ngoài 0
Lấy biến đổi Z ngược biểu thức [2.4-6] với RC[H(z)] : |z| max[z pk], nhận được đặc tính xung h(n) của
hệ :
H (z)
Trang 2
) (
) ( )]
( [ )
(
z X
z Y IZT z
IZT n
Ví dụ2.22 : Cho hệ xử lý số TTBBNQ có phương trình sai phân :
) ( ) ( ) ( ) ( )
2y n y n y n x n x n
Hãy xác định hàm hệ thống H (z) và đặc tính xung h(n) của hệ.
Giải : Lấy biến đổi Z cả hai vế của phương trình sai phân trên :
) ( )
( )
( )
( )
2Y z z Y z z Y z X z z X z
Hay : ( )( 2 4 1 2 2 ) ( )( 1 3 1 )
Y
) (
) ( )
(
) ( )
(
) (
) (
) ( ) (
1 2 2
3 1
2 2
3 2
4 2
3 1
2 2
2
1 2
1 1
z z
z z z
z z
z z z
z
z z
z z
X
Y H
) (
) ( )
(
) ( )
(
) ( ) (
1 2
3 1
2 2
3
z
z z z
z
z z z
z z
X
Y H
Lấy biến đổi Z ngược hàm hệ thống H (z), tìm được đặc tính xung h(n) :
) (
) ( )]
( [ )
(
1 2
3
z
z z IZT z
IZT n
) ( ) ( ) (
) ( ) (
1 1
1 2
3
z z
z
z z
H
2
3 1 1
1 2
1 3
2 2
2 2
) (
) )(
(
2
1 1 1 2 1 3
1 2 2 1 ) ( ) )(
(
C dz d z z z z
) ( ) ( )
(
) ( ) (
1
1 1
2
1 1
2
3
z z
z
z z
z
H
) ( ) ( ) (
1 1
2
1
z
z z
z z
H
Với RC[H(z)]:|z| 1, theo bảng 2.3 tìm được đặc tính xung h(n) :
) ( ) ( )
(n 0 , 5u n n u n
Hay : h(n) (0 , 5 n).u(n)
2.4.1 c Tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số qua biến đổiZ
Khi biết đặc tính xung h(n) của hệ xử lý số TTBBNQ và tác động x(n), có thể tìm được phản ứng y(n) của hệ xử lý
số theo tích chập :
h(n)
* x(n) n
y( )
Các phương pháp tính trực tiếp tích chập đã được trình bầy ở chương một đều khá phức tạp, và trong nhiều trường
hợp không thể tìm được biểu thức của phản ứng y(n) Có thể tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ dễ dàng hơn bằng cách tính tích chập qua biến đổi Z, các bước thực hiện như sau :
1- Tìm các biến đổi Z thuận : X(z) ZT[x(n)] và H(z) ZT[h(n)]
2- Từ đó xác định được : Y(z) X(z).H(z)
3- Tìm biến đổi Z ngược : y(n) IZT[Y(z)] IZT[X(z).H(z)]
Trong đa số các trường hợp, hàm hệ thống H (z) và tác động X (z) có dạng phân thức hữu tỷ :
) (
) ( ) (
z
z z
A
B
z
z z
Q
P
Do đó phản ứng Y (z) của hệ xử lý số TTBBNQ là :
) ( )
(
) ( )
( ) ( )
( ) (
z z
z z z
z z
Q A
P B H
X
Trước hết xét trường hợp hàm hệ thống H (z) có N cực điểm đơn z pk là nghiệm của phương trình đặc trưng
0
)
A , còn tác động X (z) có m cực điểm đơn z pi là nghiệm của phương trình đặc trưng Q(z) 0, trong đó các cực
z pk zpi với mọi k và i Đồng thời, các cực điểm của hàm hệ thống H (z) không bị loại trừ bởi các không điểm của tác động
X (z) và ngược lại Để tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ , phân tích hàm :
m
k n
k
z z z
z z
Y
1
) (
Phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ là dãy nhân quả, nên với RC[Y(z)] : |z| max[z pk ,z pi], nhận được
y(n) là tổng của hai thành phần :
Trang 3) ( )
(
)
1 0
n y n y z z
n
m i
n pi k n
k
n pk
[2.4-8]
Trong đó dao động tự do :
n k
n pk
k z n
0
Thành phần dao động tự do y0(n) của y(n) phụ thuộc vào các cực của hàm hệ thống H (z), tức là phụ thuộc vào cấu
trúc của hệ xử lý số
Còn dao động cưỡng bức :
m k
n pi k
1
)
Thành phần dao động cưỡng bức y p (n) của y(n) phụ thuộc vào các cực của tác động X (z), tức là phụ thuộc vào
dạng của tác động x(n).
Giá trị của các hệ số A k và Q k được xác định theo [2.3-17], chúng phụ thuộc vào cả hàm hệ thống H (z) lẫn tác động
X (z).
Trong trường hợp hàm hệ thống H (z) hoặc tác động X (z) có các cực bội thì phải phân tích Y (z) theo biểu thức [2.3-21] , với các hệ số được xác định theo [2.3-24] Tương tự như trên, phản ứng y(n) cũng là tổng của hai thành phần dao
động tự do và dao động cưỡng bức :
) ( )
( )
(n y0 n y n
Nếu một số cực điểm của hàm hệ thống H (z) bị loại trừ bởi các không điểm của tác động X (z) (hoặc ngược lại),
thì thành phần dao động tự do (hoặc dao động cưỡng bức) sẽ mất bớt các số hạng tương ứng
Ví dụ2.23 : Cho hệ xử lý số có đặc tính xung h(n) rect3(n 1) và tác động x(n) 2n.u(n)
, tìm phản ứng y(n)
và xác định tính ổn định của hệ
Giải : Theo bảng 2.3 tìm được các biến đổi Z thuận :
) ( )]
( [ )]
( [ )
(
2
2
z
z n
u ZT n
x ZT
X
3
2 3
) ( )]
( [ )
1
1
z
z z z
z
z n
h ZT z
Phản ứng :
) (
) (
) (
) ( ) ( )
( ) (
2
1 1
2 3
2
z z
z z z
z z z
z z
z
Y
Không điểm z01 = 0 của tác động X (z) đã hạ bậc cực bội zp1 = 0 của hàm hệ thống H (z), do đó dao động tự do y0(n)
sẽ bớt đi một số hạng
) (
) (
)]
( [ )
(
2
1 2
2
z z
z z IZT z
IZT n
Để tìm y(n), phân tích Y (z) thành tổng của các phân thức :
) ( )
(
) (
) (
2 2
1
3
3 2 2 1 3
2
z z
z z z
z
z z z
Y
[2.4-12]
Trong đó, các hệ số C1 , C2 , C3 phụ thuộc vào cực bội bậc 3 của hàm hệ thống H (z) tại zp1 = 0 , hệ số B phụ thuộc
vào cực đơn của tác động X (z) tại zp2 = 2 Tính các hệ số của [2.4-12] :
8
7 2
1 2 2 2
2
) 2 1
3
2 3
) (
)(
(
2
1 2
1 0
2
1
) ( )
(
) (
3 3
3 2
0 2
1 0
2
1
) (
) (
) (
)
2 3
3 2
C
0 2
1 1
2 2
2
2 2
)
) )
)
(
( (
(
z z z
z
C
0 2
1 2
4 2
2
2 2
2
)
)
(
(
z z z
z z
C
4
3 2
3 0
2
3 4
2 2
2
2 2
) ( )
(
) (
0 2
3 4 0
0 2
1
2
2 2
2 2
2 1
)
) )
)
(
( (
(
z z dz
d dz
d z
z z dz
C
Trang 40 2
3 4 2
2 4 2 2
4
2 2
1
) (
) )(
( ) (
) (
C
4
7 16
12 2
3 2 2 4
) (
) ).(
( ) (
) (
1 4
2
C
Thay giá trị của các hệ số trên vào [2.4-12] nhận được :
) (
)
(
2
1 8
7 1 2
1 1 4
3 1 4
7
3
z z
z z
z
z
Y
2 8
7 1 2
1 1 4
3 4
7
2
z
z z
z z
Y
Vì hệ xử lý số là TTBBNQ nên phản ứng y(n) là dãy nhân quả, với RC[Y(z)]:|z| 2, theo bảng 2.3 nhận được :
) ( )
( (
) ( )
( )
( )
8
7 2 2
1 1 4
3 4
n
2
1 1 4
3 4
7
Và dao động cưỡng bức : ( ) 2 ( )
8
7
n u n
Vì y0(n) 0 khi n 2, nên hệ đã cho ổn định
2.4.2 Xét tính ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ theo hàm hệ thống H (z)
2.4.2 a Điều kiện ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ theoH (z)
Vì các hệ xử lý số TTBB phản nhân quả và không nhân quả không có trên thực tế, nên chỉ cần xét tính ổn định của các hệ xử lý số TTBBNQ
Biểu thức [1.6-8] ở chương một đã đưa ra điều kiện ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ trong miền thời gian rời rạc
n :
0
) (
Vì h(n) IZT[H(z)] nên dựa vào [2.4-13] có thể tìm được điều kiện ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ theo hàm hệ thống H (z)
Theo các cực của hàm hệ thống H (z), có thể phân tích H (z) thành tổng các phân thức, khi đó h(n) là tổng các
thành phần tương ứng Để hệ xử lý số TTBBNQ ổn định, tất cả các thành phần của h(n) đều phải thỏa mãn [2.4-13] Theo các cực đơn, cực bội hoặc cực phức của H (z), đặc tính xung h(n) có các dạng như sau :
Với các cực thực đơn z pk, thành phần đặc tính xung h k (n)được xác định theo [2.3-18] :
) (
)
pk k
Từ điều kiện ổn định [2.4-13] : lim ( ) lim[ ( )] 0
n k
n
n pk
z
Với các cực phức liên hợp z pe, thành phần đặc tính xung h e (n)được xác định theo [2.3-27] :
) cos(
).
(
|
|
)
Từ điều kiện ổn định [2.4-13] : lim ( ) 0
n
n pe
z
Với các cực thực bội z pk, thành phần đặc tính xung h k (n)được xác định theo [2.3-25] :
q
i
i n pq i
i
i n n
n n
1
)
)!
(
) ) (
( )
(
1
1 1
Từ điều kiện ổn định [2.4-13] : lim ( ) 0
n q
n
h lim( ) 0
n
n pq
z
Tổng hợp các biểu thức [2.4-14] , [2.4-15] và [2.4-16] , để hệ xử lý số TTBBNQ ổn định theo điều kiện [2.4-13] thì tất cả các cực z pk của hàm hệ thống H (z) phải thỏa mãn điều kiện :
1
|
Điều kiện ổn định [2.4-17] của hệ xử lý số TTBBNQ có thể được phát biểu như sau : Điều kiện đủ để hệ xử lý số
TTBBNQ ổn định là tất cả các cực điểm của hàm hệ thống H (z) đều nằm trong vòng tròn đơn vị |z|= 1
Trang 5Hệ xử lý số TTBBNQ có đặc tính xung h(n) là dãy nhân quả, hàm hệ thống H (z) có
] max[
|
|
:
)]
(
RC , nên điều kiện ổn định [2.4-17] còn được phát biểu như sau : Điều kiện đủ để hệ xử lý
số TTBBNQ ổn định là vòng tròn đơn vị |z|= 1 nằm trong miền hội tụ của hàm hệ thống H (z) .
Hình 2.4 minh họa điều kiện ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ
a R x |z| 1 , hệ ổn định b R x |z| 1 , hệ không ổn định
Hình2.4: Điều kiện ổn định của hệ xử lý sốTTBBNQtheoH (z).
Điều kiện ổn định [2.4-17] chỉ là điều kiện đủ, vì nếu hệ xử lý số TTBBNQ có hàm hệ thống H (z) thỏa mãn điều
kiện [2.4-17] thì chắc chắn ổn định với mọi dạng tác động x(n) Tuy nhiên, hệ xử lý số TTBBNQ có hàm hệ thống H (z)
không thỏa mãn điều kiện ổn định [2.4-17], nhưng nếu dạng của tác động x(n) làm cho X (z) có các không điểm z0k loại trừ tất cả các cực điểm |z pk | 1 của H (z), thì hệ vẫn ổn định
Ví dụ2.24 : Xét hệ xử lý số TTBBNQ có hàm hệ thống :
) )(
( ) (
) (
)
(
5 , 0 5 , 1 2 75 , 0 2
2 5 , 1 4
z z
z
z z
z
z z
H
Vì H (z) có hai cực đơn là z p1 1 , 5 và z p2 0 , 5, trong đó |z p1| 1 , 5 1, nên hệ đã cho không thỏa mãn điều kiện ổn định [2.4-17]
Tuy nhiên, với tác động x(n) u(n) 1 , 5 u(n 1)thì hệ đã cho sẽ ổn định, thật vậy :
) (
) , ( ) ( ) (
)
(
1
5 1 1
5 , 1
z
z z
z
z
z
X
Phản ứng :
) )(
( ) )(
(
) (
) , ( ) ( ).
( )
(
5 , 0 1
5 , 0 5
, 0 5
, 1 2 1
5 1
z z
z z
z
z z
z z
z
Y
Để tìm phản ứng y(n) của hệ, phân tích hàm :
) (
) ( ) (
) (
) (
5 , 0
1 1
1 5
, 0 1
2 1
z z
z z
z
Y
5 , 0
z
z z
z z
z
Y
Hệ xử lý số là TTBBNQ nên với RC[Y(z)]:|z| 1, theo bảng 2.3 nhận được :
) ( ) ( )
( )
( )]
( [ )
(n IZT z u n 0 , 5 u n y n y0 n
Thành phần dao động tự do của phản ứng y0(n) 0 , 5n u(n)
0 khi n , vì thế hệ đã cho ổn định, mặc
dù nó không thỏa mãn điều kiện ổn định [2.4-17] Nguyên nhân là không điểm z01 = 1,5 của tác động X (z) đã loại trừ cực
điểm z p1 = 1,5 của hàm hệ thống H (z), làm cho dao động tự do y0(n) không còn thành phần mất ổn định ứng với 1 , 5n u(n)
Muốn xét tính ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ theo điều kiện ổn định [2.4-17], phải giải phương trình đặc trưng
D (z) = 0 để tìm tất cả các cực điểm của hàm hệ thống H (z) Giải các phương trình có bậc lớn hơn 3 là phức tạp, vì thế người ta xây dựng các tiêu chuẩn để xét tính ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ mà không cần giải phương trình D (z) = 0
2.4.2b Tiêu chuẩn ổn định Jury
Tiêu chuẩn Jury cho phép xác định tính ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ theo các hệ số của phương trình đặc trưng D (z) = 0 Xét phương trình D (z) = 0 dưới dạng lũy thừa của zn:
0
1 1 1 2 2 1 ( 1) )
(z a z a z a N z N a N zN
Hay dưới dạng lũy thừa của z : n
0
1
2 2
1
)
(z z N a z N a z N a N za N
Các phương trình [2.4-18] và [2.4-19] có bậc N và hệ số a0 = 1
Trang 6Sử dụng các hệ số a0 a N của phương trình [2.4-18] hoặc [2.4-19], lập được bảng Jury gồm ( N – 1) hàng như sau :
Bảng Jury
Hàng Các phần tử tính theo hệ số của đa thức đặc trưng D (z)
Trong đó các phần tử ci , di trên các hàng 2, 3 của bảng Jury được tính theo định thức của các ma trận như sau :
) (
1
i i i
i
i N N
N
N
a a a a a
a
với i = 0 , 1 , 2 , … , (N-1)
) (0 1 1 1
1 0
i i i
i
i N N
N
N
c c c c c c
c c
với i = 0 , 1 , 2 , … , (N-1)
Mỗi hàng tiếp theo của bảng Jury sẽ có số phần tử giảm đi 1 và được tính tương tự cho đến hàng thứ (N – 1) chỉ
còn 3 phần tử r0 , r1 , r2
Tiêu chuẩn ổn định Jury được phát biểu như sau :
Phương trình D (z) = 0dạng[2.4-18] hoặc[2.4-19] sẽ có tất cả các nghiệm nằm trong vòng tròn đơn vị |z| =
1nếu thỏa mãn tất cả các điều kiện sau :
1 Giá trị đa thức D(z) z 1 0
2 Giá trị đa thức D(z) z 1 0 Nếu N chẵn.
hoặc D(z) z 1 0 Nếu N lẻ.
3 Các phần tử ở đầu và cuối mỗi hàng của bảng Jury thỏa mãn :
1
0
|
|
|
|
|c N1 c0
|
|
|
|d N2 d0
…
|
|
|
|r2 r0
Hệ xử lý số TTBBNQ có phương trình đặc trưng khôngthỏa mãn tiêu chuẩn ổn định Jury thì không thỏa mãn điều
kiện ổn định [2.4-17]
Ví dụ2.25 : Xét tính ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ có hàm hệ thống :
) (
) (
5 , 1 4
2 2
z z
z z
H
Giải : Để sử dụng tiêu chuẩn Jury, xét phương trình đặc trưng theo dạng [2.4-18] (với a0 = 1) :
0 75 , 0 2
2
)
(z z z
D
Vì D (z) có bậc N = 2 là số chẵn, nên bảng Jury chỉ có một hàng theo các hệ số của D (z) Xét các điều kiện của
tiêu chuẩn ổn định Jury :
1 D(z) z1 1 2 0 , 75 0 , 25 0 ; không thỏa mãn
2 D(z) z1 1 2 0 , 75 3 , 5 0 ; thỏa mãn
3 |a2 |0,75 1 ; thoả mãn
Hệ xử lý số đã cho không thỏa mãn tiêu chuẩn ổn định Jury, nên không thỏa mãn điều kiện ổn định [2.4-17] Đó chính là kết luận khi khảo sát hệ xử lý số trên ở ví dụ 2.24
Ví dụ2.26 : Xét tính ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ có hàm hệ thống :
4 3 2 1
1
2 3 4
2 5
)
z z z z
z z
H
Giải : Để sử dụng tiêu chuẩn Jury, xét phương trình đặc trưng theo dạng [2.4-18] , với a0 = 1 :
0 4
1 4
1 2
1 4
3
)
(z z z z z
D
Vì D (z) có bậc N = 4 là số chẵn, nên bảng Jury có ba hàng với các phần tử là a i , c i , d i , trong đó các phần tử a i là
hệ số của D (z) :
Trang 7a ;
4
3
1
a ;
2
1
2
a ;
4
1
3
a ;
4
1
4
a
Tính các phần tử của hàng thứ hai c 0 , c1 , c2 , c3 :
16
15 4
1 4
1 1
0 a a
c
16
11 4
1 4
1 4
. 3
4 1
1 a a a
c
16
6 2
1 4
1 2
1
. 2
4 2
2 a a a
c
16
1 4
3 4
1 4
1
. 1
4 3
3 a a a
c
Tính các phần tử của hàng thứ ba d0 , d1 , d2 :
256
224 16
1 16
1 16
15 16
15
.
3 3 0 0
d
256
159 16
6 16
1 16
11 16
. 2
3 1 0
d
256
79 16
11 16
1 16
6 16
. 1
3 2 0
d
Xét các điều kiện của tiêu chuẩn ổn định Jury :
4
11 4
1 4
1 2
1 4
3 1 1
)
4
3 4
1 4
1 2
1 4
3 1 1
)
4
1
|
|a4 ; thỏa mãn
16
15 16
1
|
|
|
|c3 c0 ; thỏa mãn
256
224 256
79
|
|
|
|d2 d0 ; thoả mãn
Hệ xử lý số TTBBNQ đã cho thỏa mãn tiêu chuẩn Jury nên ổn định
Để xét tính ổn định của hệ xử lý số, ngoài tiêu chuẩn ổn định , còn có các tiêu chuẩn khác nữa, ví dụ như tiêu
chuẩn Schur - Cohn (xem tài liệu tham khảo 6)
