phân tích hệ xử lý số Tuyến Tính Bất Biến Nhân Quả bằng phương trình sai phân

Phân tích hệ xử lý số Tuyến Tính Bất Biến Nhân Quả bằng phương trình sai phân

- Sơ đồ cấu trúc của các hệ xử lý số TTBB được mô tả bằng đặc tính xung h(n) hữu hạn (hệ FIR) sẽ có số phần tử hữu hạn (xem hình 1.37), do đó hệ FIR luôn thực hiện được theo cấu trúc không có phản hồi. - Sơ đồ cấu trúc của các hệ xử lý số TTBB được mô tả bằng đặc tính xung h(n) vô hạn (hệ IIR) sẽ có số phần tử vô hạn (xem hình 1.38), do đó không thể thực hiện được hệ IIR theo quan hệ vào ra không đệ quy, với cấu trúc không có phản hồi. Từ đây phát sinh vấn đề cần có phương pháp khác để mô tả và thực hiện các hệ xử lý số IIR.1.7 phân tích hệ xử lý số Tuyến Tính Bất Biến Nhân Quả bằng phương trình sai phân 1.7.1 Mô tả hệ xử lý số bằng phương trình sai phân 1.7.1a Thực hiện hệ xử lý số IIR bằng quan hệ vào ra đệ quyĐể đưa ra giải pháp thực hiện hệ xử lý số IIR có đặc tính xung )()( nuanhn= ở ví dụ 1-25, viết lại biểu thức [1.6-14] dưới dạng :∑ ∑∞=∞=−+=−=0 1)()()()(k kkkkknxanxnxanyĐổi chỉ số, đặt (k - 1) = k’ ⇒ k = (k’ + 1) và khi k = 1 thì k’ = 0 :∑∑∞=∞=+−−+=+−+=0''0')1'()'(.)()]'([)()(11kkkkkknxaanxnxanxnyVì : )()'(110''−=−−∑∞=nynxakkkNên nhận được:)(.)()(1−+=nyanxny[1.7-1]Biểu thức [1.7-1] là quan hệ vào ra đệ quy. Theo [1.7-1] xây dựng được sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số IIR có )()( nuanhn= ở hình 1.40, nó chỉ có ba phần tử tạo thành một vòng phản hồi. Hình 1.40 : Sơ đồ cấu trúc đệ quy của hệ xử lý số TTBB có )()( nuanhn=.Như vậy, theo quan hệ vào ra không đệ quy [1.6-14] sơ đồ cấu trúc của hệ IIR đã cho cần có vô hạn phần tử nên không thể thực hiện được, còn theo quan hệ vào ra đệ quy [1.7-1] có thể thực hiện được hệ xử lý số IIR đã cho bằng ba phần tử. Hệ xử lý số nhân quả đệ quy có quan hệ vào ra theo [1.4-11] với các chỉ số k ≥ 0 , r ≥ 1: [ ] .),( .,,)(, .,)()(0rnyaknxbnxbFnyrk−−=[1.7-2]Tương tự như quan hệ vào ra đệ quy [1.7-1], có thể tách [1.7-2] thành tổng của hai hàm số F1 và F2 , trong đó F1 chỉ phụ thuộc vào các thành phần tác động )( knx −, còn F2 chỉ phụ thuộc vào các thành phần phản ứng bị giữ chậm )( rny −:[ ]+−= .,)(, .,)()(01knxbnxbFnyk [ ] .),(, .,)(112rnyanyaFr−−+[1.7-3]Từ quan hệ vào ra đệ quy [1.7-3] , có sơ đồ khối tổng quát của hệ xử lý số nhân quả đệ quy ở hình 1.41, đây là sơ đồ khối có phản hồi.Hình 1.41 : Sơ đồ khối tổng quát của hệ xử lý số nhân quả đệ quy.46y(n)+Dx(n)a[ ] .),( .,),(01knxbnxbFk−+[ ]. . .,)(. . . ,) ,(112rnyanyaFr−−x(n)y(n) 1.7.1b Mô tả hệ xử lý số bằng phương trình sai phânKhi k và r là số hữu hạn, k ≤ M và r ≤ N, dạng cụ thể tổng quát của quan hệ vào ra đệ quy [1.7-3] là :∑∑==−−−=NMrrkkrnyanxbnyk10)()()([1.7-4]Hoặc biểu diễn dưới dạng tương đương :∑∑==−=−MNkkrrknxbrnya00)()( Với a0 = 1 [1.7-5]Trong đó, x(n) là tác động, y(n) là phản ứng, các hệ số ra và kb phụ thuộc vào tính chất và cấu trúc của hệ xử lý số, N và M là hằng số.Các biểu thức [1.7-4] và [1.7-5] được gọi là phương trình sai phân bậc N. Dấu trừ ở vế phải của phương trình sai phân [1.7-4] chỉ là hình thức để biểu diễn phương trình sai phân [1.7-5] dưới dạng tổng.Khi N = 0, từ [1.7-4] có phương trình sai phân bậc không : ∑=−=Mkkknxbny0)()([1.7-6]Phương trình sai phân bậc không [1.7-6] mô tả các hệ xử lý số nhân quả không đệ quy, nó là dạng cụ thể của quan hệ vào ra không đệ quy [1.4-10] có sơ đồ khối trên hình 1.39. Khi M = 0, từ [1.7-5] có phương trình sai phân thuần nhất : ∑==−Nrrrnya00)([1.7-7]Phương trình sai phân thuần nhất mô tả các hệ xử lý số có tác động x(n) bằng không. Phụ thuộc vào tính chất của các hệ số ra và kb, có các loại phương trình sai phân mô tả các dạng hệ xử lý số như sau : - Phương trình sai phân có một trong các hệ số ra và kb phụ thuộc vào tác động x(n) hoặc phản ứng y(n) là phương trình sai phân phi tuyến, chúng mô tả hệ xử lý số nhân quả phi tuyến.- Phương trình sai phân có một trong các hệ số ra và kb phụ thuộc vào biến thời gian rời rạc n là phương trình sai phân không bất biến, chúng mô tả hệ xử lý số nhân quả không bất biến.- Phương trình sai phân có tất cả các hệ số ra và kb là hằng số được gọi là phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng, chúng mô tả hệ xử lý số TTBBNQ.Xem lại quan hệ vào ra [1.7-1] y(n) = x(n) + a.y(n -1), đó là phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc một. Khi thay tác động )()( nnxδ=vào phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc không [1.7-6], nhận được biểu thức đặc tính xung h(n) có độ dài hữu hạn của hệ hệ xử lý số TTBBNQ :nkkbnbnhMk∑==−=0)()(δ[1.7-8]Như vậy, phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc không mô tả hệ xử lý số TTBBNQ không đệ quy có đặc tính xung h(n) hữu hạn (hệ FIR). Các hệ số kbcủa phương trình sai phân [1.7-8] là các mẫu tương ứng của đặc tính xung h(n). Các phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc một trở lên mô tả hệ xử lý số TTBBNQ đệ quy có đặc tính xung h(n) vô hạn (hệ IIR).ở đây cần có sự phân biệt đúng về phương trình vi phân mô tả hệ tương tự và phương trình sai phân mô tả hệ xử lý số. Về mặt thuật ngữ toán học, vi phân là vô cùng nhỏ, dt → 0, còn sai phân là sự sai khác với lượng đủ nhỏ chứ không phải là vô cùng nhỏ. Vì vậy, phương trình sai phân biểu diễn giá trị của dãy số xác định cách đều nhau một khoảng hữu hạn đủ nhỏ, nhưng không phải là lượng vi phân. Do đó, phương trình sai phân mặc dù có dạng rời rạc của phương trình vi phân, nhưng nó không phải là biểu diễn gần đúng của phương trình vi phân. Phương trình sai phân là biểu diễn chính xác để mô tả hệ xử lý số. 1.7.2 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằngKhi biết tác động x(n) và phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng của hệ xử lý số TTBBNQ, có thể tìm được phản ứng y(n) của hệ bằng cách giải phương trình sai phân. Dưới đây sẽ trình bầy hai cách giải trực tiếp phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng là phương pháp thế và phương pháp tìm nghiệm tổng quát.1.7.2a Phương pháp thếPhương pháp thế giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng được thực hiện bằng cách thế lần lượt các giá trị của x(n) vào phương trình sai phân để lần lượt tìm được các giá trị của phản ứng y(0), y(1), y(2), …. . Để giải phương trình sai phân cần phải có các điều kiện ban đầu y(-1), y(-2), …. , đó chính là các trạng thái khởi tạo của hệ xử lý số trước khi có tác động. Hệ xử lý số có phương trình sai phân bậc N thì cần N điều kiện ban đầu. Chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp thế giải phương trình sai phân qua một vài ví dụ.47 Ví dụ 1.26 : Tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ được mô tả bằng phương trình sai phân )()()()(21,015,0−+−+=nynynxny, với tác động )()( nnxδ= và các điều kiện ban đầu y(-2) = y(-1) = 0. Hãy cho nhận xét về phản ứng y(n) và tính ổn định của hệ đã cho.Giải : Sử dụng phương pháp thế lần lượt tính được các giá trị của y(n).10.1,005,0121,015,000.)()()()(=+=−+−+=+yyyδ5,001,01.5,0011,005,011.)()()()(=++=−++=yyyδ35,011,05,0.5,0001,015,022.)()()()(=++=++=yyyδ225,05,01,035,0.5,0011,025,033.)()()()(=++=++=yyyδ1475,035,01,0225,0.5,0021,035,044.)()()()(=++=++=yyyδ09625,0225,01,01475,0.5,0031,045,055.)()()()(=++=++=yyyδ. . . . . . . . . . . . .Tiếp tục tính tương tự có thể lập được bảng các giá trị của y(n) và xây dựng được đồ thị của nó. Từ các kết quả trên, có các nhận xét sau :- Do tác động vào hệ là dãy xung đơn vị δ(n), nên phản ứng y(n) chính là đặc tính xung h(n) của hệ đã cho.- Hệ sử lý số đã cho có đặc tính xung h(n) → 0 khi n → ∞ , nên theo định lý ổn định 1, hệ ổn định. Ví dụ 1.27 : Hãy giải phương trình sai phân )()(.)(1nxnyany+−= Với tác động )()( nunx= và điều kiện ban đầu y(-1) = 1Giải : Sử dụng phương pháp thế lần lượt tính được các giá trị của y(n).0111010.)()(.)( aaauyay+=+=+−=0122)()(.)(.)()(.)(101101aaauuayauyay++=++−=+=012323)()(.)()()()(.)(2101212aaaauuauayauyay+++=+++−=+=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . =+++++−=+−=−−+)( .)()()()()()(.)(21011211nuuauauayanunyanynnnn 0211 . aaaaannnn+++++=−−+Hoặc viết dưới dạng tổng quát : ∑∑=+=++=−+−=nkknnkknaaknuayany0101)()()(1Hay :)()()(0nynynyp+=[1.7-9]Trong đó : 110)()(1++=−=nnayany[1.7-10]và : ∑∑===−=nkknkkpaknuany00)()([1.7-11]Thành phần y0(n) theo biểu thức [1.7-10] không phụ thuộc vào tác động x(n), chỉ phụ thuộc vào hệ số a của phương trình sai phân và điều kiện ban đầu y(-1), tức là y0(n) phụ thuộc vào cấu trúc của hệ xử lý số và giá trị khởi tạo của hệ. Thành phần y0(n) chính là nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất tương ứng khi cho tác động x(n) bằng không và được gọi là thành phần dao động tự do của phản ứng y(n).Thành phần yp(n) theo biểu thức [1.7-11] phụ thuộc vào hệ số a của phương trình sai phân và tác động u(n), đó là phản ứng của hệ xử lý số do sự cưỡng bức của tác động, nên được gọi là thành phần dao động cưỡng bức của phản ứng y(n). Có thể nhận thấy rằng, nghiệm cưỡng bức yp(n) theo biểu thức [1.7-11] chính là tích chập của tác động u(n) và đặc tính xung )()( nuanhn=.Qua các ví dụ trên có thể rút ra nhận xét sau : Phương pháp thế giải trực tiếp phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng cho phép xác định các giá trị của phản ứng y(n) dưới dạng tường minh, nhưng có nhược điểm là việc giải mất rất nhiều thời gian, và trong nhiều trường hợp chỉ biết được giá trị của phản ứng y(n) mà không biết được biểu thức toán học của nó. 1.7.2b Phương pháp tìm nghiệm tổng quátTheo biểu thức [1.7-9], nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng có dạng : )()()(0nynynyp+=[1.7-12]Trong đó thành phần tự do y0(n) là nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất tương ứng nhận được khi cho tác động x(n) = 0. Còn thành phần cưỡng bức yp(n) là một nghiệm riêng của phương trình sai phân không thuần nhất đã cho.Các bước giải của phương pháp tìm nghiệm tổng quát như sau : - Bước 1 : Tìm nghiệm y0(n) của phương trình sai phân thuần nhất. - Bước 2 : Tìm một nghiệm riêng yp(n) của phương trình sai phân.- Bước 3 : Xác định nghiệm tổng quát theo biểu thức [1.7-12].- Bước 4: Tìm các hằng số sai phân theo các điều kiện ban đầu. 48 Để tìm nghiệm tự do y0(n) của phương trình sai phân thuần nhất, người ta thế nAnyα.)(0= vào phương trình sai phân thuần nhất : ∑==−Nrrrnya00)(và nhận được phương trình :0 .22110=++++−−−NNnnnnAaAaAaAaααααHay : 0) .(22110=++++−−−NNNNNaaaaAnααααGiải phương trình đặc trưng : 0 .22110=++++−−NNNNaaaaαααnhận được N nghiệm αk , từ đó có y0(n) dưới dạng :∑==NknkkAnuny10).()(α[1.7-13]Trong đó Ak là các hằng số sai phân được xác định từ điều kiện ban đầu.Nghiệm riêng yp(n) của phương trình sai phân thường có dạng : )(.)( nxBnyp=[1.7-14]hoặc : )( )( nxnBnyp=[1.7-15]Sau đây, xét một số ví dụ giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bằng phương pháp tìm nghiệm tổng quát.Ví dụ 1.28 : Giải phương trình sai phân )()()(12−+= nynxny, với tác động )()( nunx = và điều kiện ban đầu 01)( =−yGiải : - Bước 1 : Tìm nghiệm y0(n) của phương trình thuần nhất :012)()( =−− nynyThế nAnyα.)(0=vào phương trình thuần nhất :2020.2)( 11==−=−⇒⇒−−αααααnnnAAATheo [1.7-13] nhận được nghiệm tự do : )( )(20nuAnyn=- Bước 2 : Tìm nghiệm cưỡng bức dưới dạng )(.)(.)( nunxnyBBp==. Thế yp(n) vào phương trình sai phân đã cho nhận được :)()()(.1.2nununuBB=−−Phương trình trên đúng với mọi 1≥n, để xác định B chọn n = 1 và có : )()()(.10.21uuuBB=− 11)2(−=⇒=−⇒BBBVậy nghiệm cưỡng bức là : )()( nunyp−=- Bước 3 : Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân đã cho là :)()( )()()(20nunuAnynynynp−=+=- Bước 4 : Xác định hằng số sai phân từ điều kiện ban đầu. Theo phương trình sai phân và điều kiện ban đầu ở đầu bài xác định được :10.211200)()()( =−=−+= yuyDo đó nghiệm tổng quát có giá trị y(0) là : 10020)()( )(0=−= uuAyvậy 211==−⇒AA. Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân : )()( )(22nununyn−= , hay )(].1[)()1(2nunyn−=+Ví dụ 1.29 : Tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số có phương trình sai phân )()()()()(122312−+=−−−+nxnxnynyny, với tác động )()( nunx= và điều kiện ban đầu y(-1) = y(-2) = 0. Cho biết tính ổn định của hệ đã cho.Giải : - Bước 1 : Tìm nghiệm y0(n) của phương trình thuần nhất :02312)()()( =−−−+ nynynyThế nAnyα.)(0=vào phương trình thuần nhất :0320.3.2)( .2221=−+=−+−−−⇒ααααααnnnnAAAAGiải phương trình đặc trưng 032)(2=−+ααnhận được các nghiệm : 11=αvà 32−=αTheo [1.7-13] nghiệm tự do là : )(].)([)(3210nuAAnyn−+=- Bước 2 : Tìm nghiệm cưỡng bức dưới dạng )( )( )( nunnxnnyBBp==. Thế yp(n) vào phương trình sai phân đã cho nhận được : 49 Dãy x(i) trong b nhộ ớ )()()()()()()(.1.222.311.2.−+=−−−−−+ nunununnunnuBBnBPhương trình trên đúng với mọi 2≥n, để xác định B chọn n = 2 và có :)()()()(.1221.222uuuuBB+=+ 43)21)22((=⇒+=+⇒BBBVậy nghiệm cưỡng bức là : )(.)( .43nunnyp=- Bước 3 : Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân đã cho là :)( )( ()(.)()()(43)3210nunnuAnuAnynynynp++=+=− - Bước 4 : Xác định hai hằng số sai phân từ điều kiện ban đầu. Theo phương trình sai phân và điều kiện ban đầu ở đầu bài, xác định được : )()()()()(12023120−+=−−−+uuyyy100.210.30.20)()( =+=−+⇒yyvà : )()()()()( 02113021 uuyyy +=−−+111.210.31.21)()( =+=−+⇒yyTheo nghiệm tổng quát xác định được ở bước 3 có hệ phương trình :=++==++=−−111431)311100430)300)( )( ()(.)()( )( ()(.)(121021uuAuAyuuAuAy=+−=+⇒143312121AAAAGiải hệ phương trình trên tìm được : 16131=A và 1632=A Vậy nghiệm tổng quát của phương trình sai phân đã cho là : )( )( ()(.)(43)31631613nunnununyn++=−Hay :)( .()(43)31631613nunnyn++=−Trong đó thành phần dao động tự do là nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất : )( ()()316316130nunyn+=−Hệ sử lý số đã cho có dao động tự do y0(n) → - ∞ khi n → ∞ , nên theo định lý ổn định 1, hệ không thỏa mãn điều kiện ổn định. Các ví dụ trên cho thấy rằng, giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bằng phương pháp tìm nghiệm tổng quát là khá phức tạp, khi phương trình sai phân có bậc N > 2 sẽ càng phức tạp hơn vì phải giải phương trình bậc cao.Như vậy, cả hai phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng đã được trình bầy ở trên đều phức tạp, vì thế người ta sẽ tìm phương pháp khác để giải phương trình sai phân dễ dàng hơn, vấn đề đó sẽ được nghiên cứu ở chương hai.1.7.3 Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số theo phương trình sai phân1.7.3a Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số có phương trình sai phân bậc 0 Xét hệ xử lý số TTBBNQ có phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc không dạng tổng quát (hệ FIR không đệ quy) :∑=−=Mkkknxbny0)()([1.7-16] 50Dy(n)bMb1b1DDDbMb2b2++++Dy(n)x(n)x(n)b0b0+ +D Dãy x(i) trong b nhộ ớ a. Dạng chuẩn tắc b. Dạng chuyển vịHình 1.42 : Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số FIR không đệ quy theo [1.7-16].Hệ xử lý số TTBBNQ có quan hệ vào ra [1.7-16] là hệ có số phần tử hữu hạn và không đệ quy, nên sơ đồ cấu trúc của hệ không có phản hồi và có thể thực hiện được như trên hình 1.42. Sơ đồ ở hình 1.42a được gọi là dạng chuẩn tắc, khi thực hiện bằng phần cứng thì chuỗi liên tiếp M phần tử trễ sẽ là bộ ghi dịch M nhịp. Khi đổi vị trí các phần tử trễ, nhận được sơ đồ cấu trúc dạng chuyển vị trên hình 1.42b. Trong cấu trúc này, dãy tác động x(n) trước hết được nhân với tất cả các hệ số b0 , b1 , b2 , . , bM sau đó mới được giữ trễ và cộng. Cấu trúc chuyển vị khi được thực hiện bằng phần cứng thì các phần tử trễ là bộ nhớ. Hình 1.43 : Sơ đồ cấu trúc hoặc thuật toán của hệ xử lý số TTBBNQ không đệ quy sử dụng bộ nhớ.Khi các mẫu giá trị của tác động x(n), x(n - 1), x(n - 2), ., x(n - M), và các hệ số b0 , b1 , b2 , . , bM được lưu giữ trong bộ nhớ dưới dạng hai dãy số liệu, có thể thực hiện hệ xử lý số TTBBNQ có phương trình sai phân bậc không [1.7-16] bằng sơ đồ cấu trúc hoặc thuật toán ở hình 1.43.1.7.3b Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số có phương trình sai phân bậc N Xét hệ xử lý số TTBBNQ được mô tả bằng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc N ≥ 1 (hệ IIR đệ quy với N ≥ 1) :∑∑==−−−=NMrrkkrnyanxbnyk10)()()([1.7-17]Hệ xử lý số TTBBNQ có quan hệ vào ra [1.7-17] là hệ đệ quy, sơ đồ cấu trúc của nó gồm hai nhóm, nhóm thứ nhất là phần giữ chậm tác động vào x(n), nhóm thứ hai là phần phản hồi giữ chậm phản ứng y(n). Trên hình 1.44 là sơ đồ cấu trúc dạng chẩn tắc 1 của hệ. Đối với các hệ xử lý số TTBBNQ, đổi thứ tự của hai khối liên kết nối tiếp không làm thay đổi phản ứng y(n), nên có thể đưa sơ đồ cấu trúc trên hình 1.44 về dạng chuyển vị trên hình 1.45.Thay hai dãy trễ của sơ đồ cấu trúc ở hình 1.45 bằng một dãy trễ , nhận được sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn tắc 2 trên hình 1.46 với N phần tử trễ ít hơn ( khi giả thiết M > N ).51y(n)X X X+x(n)Dãy bi trong b nh ộ ớ Dãy x(i) trong b nhộ ớb0b1bM. . . .+X lý ửs h cố ọx(n). . . .x(n-M)x(n-1)Dx(n)y(n)+++D+++DDb0b1b2bM-a1-a2-aNDDD Hình 1.44 : Sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn tắc 1 của hệ IIR đệ quy [1.7-17]. Hình 1.45 : Sơ đồ cấu trúc dạng chuyển vị của hệ IIR đệ quy [1.7-17].Khi các mẫu giá trị của tác động x(n), x(n-1), x(n-2), ., x(n-M), và các hệ số b0, b1, b2 , . , bM , cũng như các mẫu giá trị của phản ứng y(n), y(n-1), y(n-2), ., y(n-N), và các hệ số a1, a2 , . , aN được lưu giữ trong bộ nhớ dưới dạng bốn dãy số liệu, chúng ta có thể thực hiện hệ xử lý số TTBBNQ có phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng [1.7-17] như sơ đồ cấu trúc hoặc thuật toán trên hình 1.47.52y(n)x(n)DD-a1-a2-aN+++Db0b1b2bM++DDD+y(n)x(n)++DDD-a1-a2-aN+++b0b1b2bMD+bN+ Hình 1.46 : Sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn tắc 2 của hệ IIR đệ quy [1.7-17].1.7.3c Thực hiện hệ xử lý số FIR theo cấu trúc có phản hồiHệ xử lý số TTBBNQ có phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc không [1.7-16] với giá trị M lớn là hệ FIR với đặc tính xung h(n) có độ dài lớn. Nếu thực hiện hệ theo cấu trúc không có phản hồi thì số phần tử nhiều. Để giảm số phần tử, có thể thực hiện hệ FIR theo cấu trúc có phản hồi bằng cách biến đổi quan hệ vào ra không đệ quy thành quan hệ vào ra đệ quy. Ví dụ dưới đây minh họa cho điều đó.Ví dụ 1-30 : Hãy xây dựng sơ đồ cấu trúc của hệ tích lũy trung bình có quan hệ vào ra :∑=−+=MkkMnxny0)()()(11[1.7-18]Giải : Quan hệ vào ra [1.7-18] là phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc không. Theo [1.7-18] xây dựng được sơ đồ cấu trúc không có53 . IIR.1.7 phân tích hệ xử lý số Tuyến Tính Bất Biến Nhân Quả bằng phương trình sai phân 1.7.1 Mô tả hệ xử lý số bằng phương trình sai phân 1.7.1a. hệ xử lý số theo phương trình sai phân1 .7.3a Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số có phương trình sai phân bậc 0 Xét hệ xử lý số TTBBNQ có phương trình sai phân