PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA DẤU CĂN Các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu căn thường gặp trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 và các kỳ thi học sinh g
Trang 1PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA DẤU CĂN
Các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu căn thường gặp trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 và các kỳ thi học sinh giỏi Với cơ sở
lý thuyết đã được cung cấp ở chương I, tác giả xin đưa ra một số ví dụ minh hoạ
VD1:
Tìm GTNN của biểu thức sau với x R
1) D x 19962 x 19972
1
F
Giải:
1) D x 1996 x 1997
Cách 1: Xét các khoảng giá trị của x
Với x < 1996 thì D = 1996 - x + 1997 – x = 3993 – 2x > 1
Với 1996 x 1997 thì D = 1
Với x > 1997 thì D = 2x – 3993 > 1
Do đó minD = 1 xảy ra khi 1996 x 1997
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức a + b a b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0
Trang 21996 1997
D x x x 1996 1997 x 1
MinD = 1 xảy ra khi x 1996 1997 x 0 1996 x 1997
1
F
Điều kiện : x 0
Cách 1:
Vì F < 0 nên xảy ra
0
min
x F
(x a ) ya 0 xya xy a xyasa a s( a)
Vì x 0 nên
0
min
x
x
= 0
Vậy minF = -1 xảy ra khi x = 0
1 x 1
Vậy minF = -1 xảy ra khi x = 0
VD2:
Tìm GTLN của biểu thức
K
xyz
Giải:
K
với điều kiện x 1,y 2,z 3
Áp dụng bất dẳng thức Cô-si ta có:
Trang 3 1 1
x x
2
2
Do đó
2 2 2 2 3
K
1
2 2 2 2 3 2 2 3
Xảy ra khi x = 2, y = 4, z = 6
VD3:
Tìm GTNN của biểu thức sau
2
5 3
1
x
H
x
Giải:
2
5 3
1
x
H
x
xác định khi -1 < x < 1 H 0
Ta có
2
2
2 2
2
3 5
9 30 25 16 16
16 16
1
x
H
x
Trang 4Vậy minH = 4 khi x = 3
5
VD4:
Tìm GTNN của biểu thức sau
K = x 2 1 x 1 x 2 1 x 1
Giải:
Điều kiện : x 1
K = x 2 1 x 1 x 2 1 x 1
K = x 1 12 x 1 12
= x 1 1 x 1 1
x 1 1 1 x 1 2
minK = 2 x 1 1 1 x 1 0
Vì x 1 1 0 nên 1 x 1 0 x 0
Vậy minK = 2 xảy ra khi 1 x 0
Bài tập đề nghị:
Bài 1 Tìm GTLN của biểu thức:
x x
Trang 5Bài 2 Tìm GTLN của biểu thức:
B =
x
Bài 3 Tìm GTNN của biểu thức:
3 2
2
x
x x
2
x
x x
Bài 4 Tìm GTLN của biểu thức:
4
x D
x