Tìm liên hệ giữa xvà y.
Trang 1Hệ bất phương trình vô tỷ
Bài 1:
1 3 2
) ( ) (
2
x
y x y y x x
Bài 2:
xy y
x
xy y
x
3
2 2 2
2 2
Bài 3:
1
1
2 2
xy y x
y x
Bài 4:
xy y
x
xy y x
4
1
2 2
2 2
Bài 5:
3
1
2
2 xy xy x
y x
Bài 6:
1
|
|
1
|
| 2 2
x y
y x
Bài 7:
x z
z
z y y
y x
x
1 3
1 3
1 3
2 2 2
Bài 8:
|
| 2
|
| 2
4 2 2
2 2
y x
y x
y x
Tìm n0 nguyên
Bài 9:
1 2
1
y y xy
y y xy
Bài 10:
0 10 9 3
0 4 5 2 3 2
x x x x x
Trang 2Bài 11:
1 2
2
3 2
5
2 2
m
m y
xy x
y xy x
;(ĐHQG 2001)
Bài 12:
a y
x
y x
3 5
3
(ĐHSPI 2001)
Bài 13:
2 )
1 ( 2
2
a y
x y x
y x
;(ĐHGTVT 2001)
Bài 14:
) 1 4 ( 4
) 2 3 ( 2 8 5 2 2
2 2
x m m x
mx m
m x
Tìm m dể với mọi x đều là n0 đúng ít nhất một trong 2 pt
Bài 3 Tìm các giá trị cu a để hệ phương trình sau có
nghiệm
2 3 0
x y z
Bài 4 Cho hệ phương trình
2000
x x y
2 Phương trình tham số:
Bài 1: Giải biện luận hệ
b y b a x b a
a y b a x b a
2 2
Bài 2:
c c ay
x
b y ax
2
Trang 31, Cho b = 0 giải theo a và b
2, Tìm b đểa ta luôn được c sao cho hệ có nghiệm
2 )
1 (
3 2
6
ay x a
y a ax
1, Giải biện luận theo a
2, Giả sử(x,y) là nghiệm Tìm liên hệ giữa xvà y
Bài 4:
b ay cx
a cy bx
c by ax
có nghiệm Chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc
Bài 5: Giải biện luận
z az y x
a z ay x
a z y ax
3 2
Bài 6: Giải biện luận
1
1
n my nx
m ny mx
Bài 7: Tìm m để hệ có nghiệm
m y x m
m y
m x
2 1
1 1
1
Bài 8:
3 )
1 (
1 )
1 ( 3
y x k
k y k x
Xác định k để hệ đó có nghiệm
Bài 9:
6 4
3
y kx
ky
x
Xác định k để hệ có nghiệm(x0,y0) mà x0,y0>1
Bài 10:
2 )
1 2 (
4 )
2 (
5
3 2
m y m mx
m y m x
m
Xác định m để hệ vô nghiệm
Bài 11:
7 5
2
y x
n y mx
Xác định n để hệ có nghiệm m
Trang 4Bài 12:
m y x
my x
y mx
1
1
Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 13: Tìm m để hệ có nghiệm nguyên
1
3 2
m y x
m y mx
Bài 14: Tìm liên hệ giữa x và y để hệ không phụ thuộc vào m
a,
5 2 )
1
2
(
2 )
2
(
m y x
m
m my x
m
3 2 )
1 (
1 )
3 (
m y x m
M y m x
Bài 15: a, b, c là 3 cạnh của chứng minh rằng
a cy bz
b az cx
c bx ay
Bài 16: Tìm m, n, p để hệ sau đồng thời vô nghiêm
m y px
n py x
1
my nx
m y px
n py x
my
Bài 17: Giải và biện luận
1
0 ) ( ) ( ) (
0
abz acy bcx
z b a y c a x c b
z y x
Bài 18: Cho
3 2 ) 3 (
4
m y m x
m y mx
1 Với giá trị nào của m hệ pt có n0duy nhất: x y
2 Với giá trị m tìm được tìm: Min{x+y}
Bài 19: Tìm liên hệ của a, b, c để hệ có n0
0 0 0
2 2 2
b ax cx
a cx bx
c bx ax
Trang 5Bài 18: Tìm m, n, p để hệ có n0
m py nz
n mz px
p nz my
II biến đổi tương đương
Bài 1:
54 ) )(
(
63 ) )(
(
45 ) )(
(
z y x z x
z y x z y
z y x y x
Bài 2: 1 Cho abc > 0 Giải hệ
c zx
b yz
a xy
2 áp dụng giải hệ
a,
2 5 1
xz
z
x
yz
z
y
xy
y
x
b,
xy z
y x z
xz z
y x y
yz z z y x x
6 ) (
3 ) (
(
c,
4 7 24 5 24
z x xyz
z y xyz
y x xyz
Bài 3: Giải a,
z xy z
y zx y
x yz x
2 2 2
2 2 2
1 1 1
2 2
2 2
2 2
z y x
z y x
z y x
c,
y x
t
txy
x t
z
ztx
t z
y
yzt
z y
x
xyz
Trang 6Bài 4: Giải a,
x z z
z y y
y x x
2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1
3 3 3
2 2 2
z y x
z y x
z y x
Bài 5: Giải
0 155 48
48 )
3 2 ( 4
9 3
2 4
2
x y y
x y
y x
I/ Giải các hệ phương trình sau :
1/
0 x 500 yx
y
0 y 2000 xy
x
2
3
2
3
3 x 64 z 48 z
12
2 z 64 y 48 y
12
1 y 64 x 48 x
12
3 2
3 2
3 2
G/s (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình trên thì dễ thấy ( y; z; x); (z; y; x) cũng là nghiệm của hệ do đó có thể giả sử :
x = max{x; y; z}
Từ 12x2 48x6412x2 4x41616
2 y 16
Tương tự x2;z2
Trừ (1) cho (3): y3 – x3 = 12(x2 – z2) – 48(x-z)
y3 – x3 = 12(x– z)(x+z-4)
VT0;VT0 Dấu “=” xảy ra xyz
3/
2001 5
19
2001 5
19
2001 5
19
y y 1890 x
z
x x 1890 z
y
z z 1890 y
x
Ta đi cm hệ trên có nghiệm duy nhất x = y = z
Trang 7Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ ( x; y; z) cũng là nghiệm của hệ
không mất tính tổng quát ta giả sử ít nhất 2 trong 3 số x, y, z không âm
Ví dụ: x 0; y 0 Từ phương trình 1 z 0
Cộng từng vế phương trình ta có:
z 1890z x 1890x y 1890z z z x x y y Ta
0 t 1 t 1890t t t
t 1890 t t (đỳng)
t 1 t 1890t t t
Thật vậy: 2001 2000 1000
cô si
t 1890 1 t 2t
t 18 t 4(đpcm) Vậy x = y = z
4/
x x x
1
z
2
z z z 1
y
2
y y y 1
x
2
2 3
2 3
2 3
2 x z 2 z z
2 z y 2 y y
2 y x 2 x x
2 4
5
2 4
5
2 4
5
Tỡm nghiệm dương của phương trỡnh
8
xyz
z y x 8 z y
7/
0 8 y 12 y
6 z
0 8 z 12 z
6 x
0 8 x 12 x
6 y
2 3
2 3
2 3
Trang 8
1 y x
z y z y
y x x
z z
y
y
x
1 z
y
x
9/
yz c y
a z c
xy a x
c y b
xz c z
b x a
Trong đú a;b;c R*
10/
n 3 8 x
8 x 8
x
n x
x x
n 2
1
n 2
1
11/
x 17 y 8 y xy 8 x
49 xy
3 x
2 2
2 3
12/
1 z x 2 1
z
z
1 y z 2 1
y
y
1 x y 2 1
x
x
3 2
3 2
3 2
13/
2 x y
2 y x
3 3
14/
0 27 z 27 z
9
x
0 27 y 27 y
9
z
0 27 x 27 x
9
y
2 3
2 3
2 3
15/
2004 x
4 z
x 30
2004 z
4 y
z 30
2004 y
4 x
y 30
2 2 2
16/
0 8 z 12 z
6
x
0 8 y 12 y
6
z
0 8 x 12 x
6
y
2 3
2 3
2 3
17/
x x z z 2
z z y y 2
y y x x 2
2 2 2
Trang 9
1 xz yz
xy
z
1 z 5 y
1 y 4 x
1
x
3
19/
2 2
2 2
x 1 x 21 y
y 1 y 21 x
20/
350 z
y
x
10 z
y
x
0 z y
x
7 7
7
2 2
2
21/
2121 4
30 y 2001 x
2121 2001
y 4 30 x
22/
8
1
xyz
4
3 xz yz
xy
2
3 z y
y 5 6
x 3 5 y x
5
x 9 y x x
y x x
2 2
2 2
24/
2 x z 2 z z
2 z y 2 y y
2 y x 2 x x
2 4
5
2 4
5
2 4
5
25/ Tìm m để hệ phương trình sau có đúng 2 nghiệm.
2 m y x
256 y
x
8 8 8
3 2
y
x
1 y 3
2
x
3
3
Trang 10
x 17 y 8 y xy
8
x
49 xy
3
x
2 2
2 3
28/
1 z x 2 1 z z
1 y z 2 1 y y
1 x y 2 1 x x
3 2
3 2
3 2
29/
2 x
y
2 y
x
3
3
2 x y
2 y x
3 k
3 k
30/
x x z
z
2
z z y
y
2
y y x
x
2
2
2
2
2 2
2 2
x 1 x 21 y
y 1 y 21 x
32/
2121 4
30 y 2001
x
2121 2001
y 4 30
x
33/
y 5 6
x 3 5 y x
5
x 9 y x x
y x x
2 2
2 2
34/
350 z
y
x
10 z
y
x
0 z y
x
7 7
7
2 2
2
bn 1 b x
n x
n 1 i
2 i
n 1 i i
CMR:Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x1 = x2
= = xn =1
Trang 11
z x xy
z
y z xz
y
x y yz
x
2
2 3 2
7 9 9 3
y x
y y xy x
38/
2 5 1
z x xz
z y yz
y x xy
38/
3 1
1 1
2 2
x y
y x
40/
20
10 2
2
y xy y
x xy x
41/
Sử dụng bất đẳng thức chứng minh x ≤ y, y ≤ z, z ≤ x x = y = z
1,
2 2
1
6
x xy y
MTCN
2 2
4 2 2 4
5
( 98) 13
x y
NT
x x y y
3,
3 3
30 ( 93) 35
x y y x
BK
3 3
1
( 97)
x y
AN
5,
2 2
4 4 2 2
7 ( 1 2000) 21
x y xy
SP
2 2
11
( 2000) 3( ) 28
x y xy
QG
7,
7 1
78
x xy y xy
8,
2 2
2 2
1 ( )(1 ) 5
( 99) 1
x y
xy
NT
x y
Trang 12
2 2
2 2
1 1
4 ( 99)
1 1
4
x y
x y
AN
x y
2
( 2)(2 ) 9
( 2001)
AN
11,
( 99)
AN
2
(3 2 )( 1) 12
x x y x
BCVT
2 2 2
6 ( 1 2000)
SP
2 2 3 3
4
x y
HVQHQT
( 2000)
QG
16,
2
2
3
3
MTCN
1 3 2
( 99)
1 3 2
x
y x QG y
x y
18,
3
3
3 8
( 98)
3 8
QG
2
2
3 2
( 2001) 3
2
x y
x TL
y x
y
20,
( 1 2000)
NN
21,
2 2 2 2
2 3
( 2003) 2
3
y y x KhèiB x
x y
2
3 2 16
x xy
HH TPHCM
( 2001) 6
TM
HVNH TPHCM
2 2
2 2
2 ( ) 3
( § 97) ( ) 10
Trang 13III Phương pháp thế
Bài 1:
2
5 6
xy
y x
y x y
x
y
x
Bài 2:
1 1
1 1
1 1
x z z y
y x
Bài 3:
2
2
2
8
4
x
xy
y xy
;(CĐSPHN 2001)
IV Phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 1:
5 6 5
2
2 y
x
x
y y
x
2 2 2
2 2
5 1
6
x y x
x xy y
;(ĐHSP
2000)
Bài 3:
x y
x
y
y y
x
x
3 ) (
2
10 (
2 2
2 2
;(ĐH Mỏ 1997) Bài 4:
2 ) (
7
3 3
y x xy
y x
;(ĐHQG 1997)
Bài 5:
2 2
3 3
3
6
19 1
x xy
y
x y
x
;(ĐH TMại 2001) Bài 6:
3 2
1
2
0 ) 2 ( 6 ) 4
( 5
)
2
y x
y
x
y x y
x y
x
;
(ĐHXD 1997)
Bài 7:
6 4
9 ) 2 )(
2 (
2
y x x
y x x
x
;(ĐHAN 01) Bài
8:
0 2
/
1
0 2 1 ) 1 8 )(
1 4
(
x
x x
x
x
(HVQY 01)