Bài 2: ĐỒNG DƯ THỨC . A. Tóm tắt lý thuyết: I. Định nghĩa: 1.Định nghĩa: Cho số nguyên m > 0.Nếu hai số nguyên a và b khi chia cho m có cùng số dư thì ta nói rằng a đồng dư với b theo môđun m và viết: a b (modm). 2. Ví dụ: 3 5 (mod2) 14 0 (mod 7) II. Tính chất : 1. Nếu a b (mod m) thì a - b m 2. Nếu a b (mod m) và b c (mod m) thì a c (mod m) 3. Nếu a b (mod m) và c d (mod m) thì a c b d (mod m) 4. Nếu a b (mod m) và c d (mod m) thì ac bd (mod m) 5. Nếu a b (mod m) thì a n b n (mod m) 6. Nếu a b (mod m) thì ka kb (mod m) với k > 0 7. Nếu ka kb (mod km) thì a b (mod m) với k > 0 8. Nếu ka kb (mod m) và (k , m) = 1thì a b (mod m) . 9. Định lí Fermat: Nếu p là số nguyên tố thì : n p n (mod p) ; n Z Hoặc : Nếu p là số nguyên tố thì : n p-1 1 (mod p), với (n,p) = 1 10. Định lí Euler : Cho m là một số nguyên dương bất kì và (m) là số các số dương nhỏ hơn m và nguyên tố với m. Thế thì : n (m) 1 (mod m) * Cách tính (m) : phân tích m ra thừa số nguyên tố : m = a 1 α . a 2 β a n λ . Thế thì : (m) = m n aaa 1 1 1 1 1 1 21 III. Bài tập ứng dụng: Bài 1: Chứng minh 2 100 - 1 chia hết cho 5 Giải : Ta có 2 4 1(mod 5) =>(2 4 ) 25 1 25 (mod 5) =>2 100 1(mod 5) hay 2 100 - 1 5 Bài 2: Tìm số dư của phép chia 2 99 cho 3. Giải : Có 2 3 -1 (mod 3) (2 3 ) 33 (-1) 33 (mod 3) 2 99 -1 (mod 3) . Vậy 2 99 chia 3 dư 2. Bài 3 : Tìm chữ số cuối cùng của 2 999 Bài 4: Chứng minh 2 2008 không chia hết cho 10. Bài 5: Chứng minh rằng trong các số tự nhiên thế nào cũng có số k sao cho 1983 k - 1 chia hết cho 10 5 . Giải: Cách 1: Áp dụng nguyên tắc Dirichlet: Cho k lần lượt lấy 10 5 + 1 giá trị liên tiếp từ 1 trở đi, ta được 10 5 + 1 giá trị khác nhau của 1983 k - 1. Chia 10 5 +1 số này cho 10 5 , ta có nhiều nhất là 10 5 số dư, do đó theo nguyên tắc Dirichlet, phải có hai số cho cùng số dư khi chia cho 10 5 . Giả sử đó là hai số 1983 m -1 và 1983 n - 1 (m > n). Thế thì hiệu của hai số này phải chia hết cho 10 5 : (1983 m - 1) - (1983 n -1) = 1983 m - 1983 n = 1983 n (1983 m-n -1) 10 5 . Do 1983 không chia hết cho 10 5 => 1983 n cũng không chia hết cho 10 5 . Vì vậy 10 m-n - 1 chia hết cho 10 5 . Như vậy tìm được số k = m-n sao cho 1983 k - 1 chia hết cho 10 5 . Cách 2: Áp dụng định lí Euler: Vì 1983 không chia hết cho 2 và không chia hết cho 5 , còn 10 5 = 2 5 5 5 nên (1983, 10 5 ) = 1 . Áp dụng định lí Euler: 1983 (10 5 ) 1 (mod 10 5 ) Mà (10 5 ) = 10 5 (1 - 2 1 ) (1 - 5 1 ) = 4. 10 4 . Nên ta có 1983 4.10 4 1 (mod 10 5 ). số 4.10 4 là số k phải tìm. Đề bài áp dụng: 1. Tìm số dư khi :a) chia 8! Cho 11; b) chia 1532 5 -1 cho 9 c) chia 3 40 cho 83.; d) chia 2 1000 cho 25; e) chia 3012 93 cho 13 2. Chứng minh rằng : a) 2 4n - 1 15; b) 2 70 + 3 70 13 c) 12 2n+1 - 11 n+2 133; d) 2222 5555 + 5555 2222 7 e) 1 4k + 2 4k + 3 4k + 4 4k không chia hết cho 5 . Bài 2: ĐỒNG DƯ THỨC . A. Tóm tắt lý thuyết: I. Định nghĩa: 1.Định nghĩa: Cho số nguyên m > 0.Nếu hai số nguyên a và b khi chia cho m có cùng số dư thì ta nói rằng a đồng dư với b theo. n p-1 1 (mod p), với (n,p) = 1 10. Định lí Euler : Cho m là một số nguyên dư ng bất kì và (m) là số các số dư ng nhỏ hơn m và nguyên tố với m. Thế thì : n (m) 1 (mod m) * Cách tính. - 1 5 Bài 2: Tìm số dư của phép chia 2 99 cho 3. Giải : Có 2 3 -1 (mod 3) (2 3 ) 33 (-1) 33 (mod 3) 2 99 -1 (mod 3) . Vậy 2 99 chia 3 dư 2. Bài 3 : Tìm chữ số